T06

Cap´
ıtulo 6

MATRICES Y DETERMINANTES

6.1. Introducciń
o
Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de
´
datos, as´ como su manejo.
ı
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´sicamente en el siglo XIX
a
por matem´ticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´s William Hamilton.
a e
Las matrices se encuentran en aquellos ´mbitos en los que se trabaja con datos regularmente
a
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´micas y Biol´gicas.
o o

6.2. Matrices. Definiciń y primeros ejemplos
o
Una matriz es una tabla rectangular de n´meros reales dispuestos en filas y columnas del modo:
u
  
a11 a12 a13 . . . a1n ←
 a21 a22 a23 
 . . . a2n  ←

A= . . . .. .  ← Filas de la matriz A
 .. .
. .
. . .  
. 

am1 am2 am3 . . . amn ←
Columnas de la matriz A

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´ ındices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
As´ el elemento a23 est´ en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarń con letras
ı a a
may´sculas.
u
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
 
√ 3 1 0
2 1 6 −4 0  2 −4 0 
A= B= C = −1 1
√ 
3 4 1 2 1 5 2
1 0 0

A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaõ es 2 x 2.¿Qu´ elemento es a21 ?.
n e
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaõ es 2 x 3.¿Qu´ elemento es b23?.
n e
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaõ es 4 x 3.¿Qu´ elemento es c42 ?.
n e
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaõ o dimensiń es m
n o
x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nö de filas y en segundo lugar el de columnas.

82

CAP´
ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 83

6.3. Tipos de matrices
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,
0 0 0 0 0
A=
0 0 0 0 0
es una matriz nula de tamaõ 2x5.
n
2. Se llama matriz fila a la que s´lo tiene una fila, es decir su dimensiń es 1x n.
o o
Por ejemplo,
1 0 −4 9
es una matriz fila de tamaõ 1 x 4.
n
3. Se llama matriz columna a la que s´lo consta de una columna, es decir su dimensiń ser´ m x
o o a
1, como por ejemplo:  
1
C= √  0
− 8
es una matriz columna de tamaõ 3 x 1.
n
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´mero de filas que de columnas, es decir su
u
dimensiń es n x n. La matriz ( 2 1 ) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tamaõ 2 x 2 o
o 3 4 n
simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
 
1 2 3
D= 6 5 4
−3 −4 0
de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos
a11 , a22 , a33, . . . , ann , siendo la matriz:
 
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n 
 
A= . . . .. . 
 . . .
. .
. . . 
.
an1 an2 an3 . . . ann
En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ formada por 1, 5, 0.
ıa
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11 +
a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n , a2,n−1, a3,n−2, . . . , an1 .
En la matriz D estar´ formada por 3, 5, -3.
ıa

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:
 
1 0 0 0  
0 −4 0  1 4 1 3
0 
E= 3 4 F = 0 9 −5
5 0 
0 0 π
1 3 16 −78 Triangular superior
Triangular inferior

CAP´

Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, s´lo tiene elementos en la diagonal principal.
o
Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.
Un ejemplo de matriz diagonal ser´ıa:
 
1 0 0 0
0 −45 0 0
G= 0

0 3 0
0 0 0 0

Por ultimo, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal s´lo unos, se denomina matriz unidad
´ o
o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamaõ de la matriz. Algunas matrices
n
identidad son:  
  1 0 0 0
1 0 0  
1 0 0 1 0 I4 = 0 1 0 0
I2 = I3 = 0 0 1 0
0 1
0 0 1
0 0 0 1

6.4. Aplicaciones de las matrices
Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar
valores num´ricos atendiendo a dos criterios o variables.
e
Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos
ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la
tabla siguiente:

2 unid. 5 unid. 10 unid.
Color N 0’04 0’08 0’12
Color F 0’03 0’05 0’08

Sabiendo que en un aõ se venden el siguiente n´mero de paquetes:
n u

Color N Color F
2 unid. 700000 50000
5 unid. 600000 40000
10 unid. 500000 500000

Resumir la informaciń anterior en 2 matrices A y B, de tama˜ o respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las
o n
ventas en un aõ (A) y los precios (B).
n

Nos piden que organicemos la informaciń anterior en dos matrices de tama˜ o concreto. Si nos fijamos
o n
en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

N F
2 ud 5 ud 10 ud  
0 04 0 03 2 ud
700000 600000 500000 N 0 08
A= B= 0 05 5 ud
50000 40000 500000 F
0 12 0 08 10 ud

Estas matrices se denominan matrices de informaciń, y simplemente recogen los datos num´ricos del
o e
problema en cuestiń.
o
Otras matrices son las llamadas matrices de relaciń, que indican si ciertos elementos estń o no
o a
relacionados entre s´ En general, la existencia de relaciń se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia
ı. o
de dicha relaciń de expresa con un 0.
o
Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la informaciń dada por un grafo y expresarla
o
num´ricamente.
e

CAP´

En Matem´ticas, un grafo es una colecciń cualquiera de puntos conectados por lineas.
a o
Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:
* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo
mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conectan el mismo par de puntos.
* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una flecha.
Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Figura 6.1: Grafo, Grafo simple y Grafo dirigido.

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos
fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente,
de tal forma que:
* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la
columna j mediante una linea que los una directamente.
* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una
linea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior ser´:
a

A B C D
 
A 0 1 0 1
B 0
 0 1 0
C 1 0 0 0
D 0 0 0 0

Ejercicio
1) Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:

2) Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:

A B C D
A B C  
  A 0 1 1 1
A 0 1 0
B 0
 0 0 1
B 1 0 1
C 1 0 0 0
C 0 0 0
D 0 1 1 0

CAP´

6.5. Operaciones con matrices
6.5.1. Suma y diferencia
Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla.
Para sumar o restar dos matrices del mismo tama˜ o, se suman o restan los elementos que se encuentren
n
en la misma posiciń, resultando otra matriz de igual tamaõ.
o n
Por ejemplo:
2 1 3 2 0 4 0 1 −1
− =
−4 2 1 3 2 5 −7 0 −4
2x3 2x3 2x3

Si las matrices tienen diferente tamaõ, no se pueden sumar o restar entre s´
n ı.

Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:
a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaõ correspondiente.
n
d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.
Ejemplo:
Si    
0 −1 0 1
A = −4 −2 =⇒ −A =  4 2
3 −9 −3 9
3x2 3x2
porque:      
0 −1 0 1 0 0
−4 −2 +  4 2 = 0 0
3 −9 −3 9 0 0
3x2 3x2 3x2

Ejercicios:

1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 pa´
ıses A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los a˜ os
n
2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:

X Y Z X Y Z
   
A 11 6 7 0 5 A 13 3 7 1
A2000 = B 14 5 10 1 2 A2001 = B 15 7 11 1 3 2
C 20 9 3 2 2 3 C 21 02 43

Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos aõs.
n
¿Cuńtos millones ha exportado el pa´ B al Z en total?
a ıs
Calcula el incremento de las exportaciones del aõ 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.
n

2. Calcula x, y, z en la suma:
     
x − y −1 2 y 0 z −1 −1 3
 1 y −x + −z 2 3 =  0 4 4
0 z 2 −2 3 x −2 4 1

3. Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:

3−a b −2 2 a+b 4 −1 a 2
+ =
4 −c + 1 6 1−c 2 0 2 0 6

CAP´

6.5.2. Producto por un n´mero real
u
Dada una matriz cualquiera A y un n´mero real k, el producto kóA se realiza multiplicando todos
u
los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaõ. (Evidentemente la misma regla
n
sirve para dividir una matriz por un n´mero real).
u
Por ejemplo:
2 1 3 −10 −5 −15
−5 · =
−4 2 1 20 −10 −5
2x3 2x3
Propiedades:
a) Distributiva respecto de la suma de matrices: kó(A + B) = kóA + kóB
b) Distributiva respecto de la suma de n´meros: (k + d)óA= kóA + dóA
u
c) Asociativa: kó(dóA)=(kód)óA
d) Elemento neutro, el n´mero 1: 1óA=A
u

Ejercicios:
1 1 −1 0
1. Si A = yB= , halla una matriz X que verifique la ecuaciń:
o
0 1 0 2
2·X −4·A = B

2. Determina las matrices X y Y sabiendo que:


3X − 5Y = 1 −2

8 1

 −X + 3Y = 2 4

3 0

6.5.3. Trasposiciń de matrices
o
Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz
que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.
2 1 0 7
Por ejemplo, si A = , entonces la matriz traspuesta de A es:
−3 4 2 1
 
2 −3
1 4 
At = 
0 2 


7 1

Evidentemente, si A es una matriz de tamaõ m x n, su traspuesta At tendr´ tamaõ n x m, pues el
n a n
n´mero de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.
u
Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendr´ el mismo tama˜ o.
a n

Propiedades:
a) (At )t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.
b) (A + B)t = At + B t
c) (k · A)t = k · At
En base a esta nueva operaciń, podemos definir otras dos clases de matrices, que son:
o

Matriz sim´trica, que es aquella para la que se cumple
e que At = A, por ejemplo la matriz:
 
2 1 3
A= 1 0 −2
√
3 −2 7

CAP´

es sim´trica (compru´balo).
e e
En una matriz sim´trica, los elementos son sim´tricos respecto a la diagonal principal.
e e

Ejercicio: ¿Puede ser sim´trica una matriz que no sea cuadrada?¿Por qu´?.
e e

Matriz antisim´trica, es aquella para la que se cumple que At = −A.
e
Por ejemplo:  
0 1 3
B = −1 0 −2
−3 2 0
es antisim´trica (comprueba).
e
En una matriz antisim´trica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qu´?),
e e
y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.

Ejercicios:
   
1 3 3 1 1 2
1. Dadas las matrices A = 1 4 3 y B =  2 0 −1 calcula 3At − B t .
1 3 4 −6 −1 0
2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:
  

2X − 3Y = 1 5 
X + Y = 2 1 
2X + Y = 3 1
  
4 2 3 0 0 −2
a) b) c)
 X − Y = −1


0 
X − Y = 6 2


X + 2Y =

1 0
3 6 0 1 −2 4

6.5.4. Producto de matrices
Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos
matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condiciń:
o

“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, AóB , es condiciń indispensable que el n´mero
o u
de columnas de A sea igual al n´mero de filas de B”
u
Si no se cumple esta condiciń, el producto AóB no puede realizarse, de modo que esta es una
o
condiciń que debemos comprobar previamente a la propia multiplicaciń.
o o
Una vez comprobado que el producto AóB se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una
matriz n x p (observemos que el nö de columnas de A = n = nö de filas de B), entonces el producto
AóB da como resultado una matriz C de tamaõ n x p del siguiente modo:
n

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=AóB, se obtiene multiplicando
los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

Ve´moslo mediante un ejemplo:
a
Para multiplicar las matrices:
 
0 −4 1
−3 2 1 4 1 −2 1
A= y B=
2 0 2

2 5 3 −2
2x4 3 2 1
4x3

primero comprobamos que se puede realizar el producto AóB, pues el nö de columnas de A es 4 y el
nö de filas de B tambiń es 4, y el resultado, segń lo dicho ser´ una matriz de tamaõ 2 x 3, tiene 2
e u a n

CAP´

filas y 3 columnas: 
0 −4 1
−3 2 1 4 1 −2 1
· =
2 5 3 −2 2 0 2
2x4 3 2 1 2x3
4x3

S´lo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:
o
El elemento de la fila 1 y columna 1 de AóB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1
de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

(−3) · 0 + 2 · 1 + 1 · 2 + 4 · 3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16

El elemento de la fila 1 y columna 2 de AóB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de
A y la columna 2 de B y sumar:

(−3) · (−4) + 2 · (−2) + 1 · 0 + 4 · 2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16

El elemento de la fila 1 y columna 3 de AóB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de
A y la columna 3 de B y sumar:

(−3) · 1 + 2 · 1 + 1 · 2 + 4 · 1 = −3 + 2 + 2 + 4 = 5

As´ sucesivamente se obtienen (comprueba):
ı

16 16 5
5 −22 11
2x3

Ejercicios:

1. Para las matrices A y B anteriores, calcula BóA
1 −3 3 −5
2. Si A = ,B = , calcula si es posible AóB y BóA. ¿Coinciden?.
−2 6 2 1
 
1 −1
0 3 0 2
3. Lo mismo si A = −2, B = .
1 −1 5
4 1
4. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:
   
1 2 3 1
2 1 0
A = 1 1 1  B = 2 C=
3 4 5
0 2 −1 1

Adem´s, calcula A2 y A3 .
a

5. Para las matrices
   
2 3 0 1 2
1 −1 2 0 3 4
A= B= C = −5 1 4 −2 D = 1
4 0 −3 −1 −2 3
1 0 0 −3 3

calcula:

A + B, 3A − 4B, A · B, A · D, B · C, C · D, At · C, Dt · At , B t · A, Dt · D, D · Dt

CAP´

Propiedades del producto de matrices
a) Asociativa: Aó(BóC) = (AóB)óC
b) Distributiva respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

(B + C) · A = B · A + C · A
c) Elemento neutro, la matriz identidad correpondiente, si A es m x n:

A · In = A

Im · A = A
d) En general el producto de matrices no es conmutativo

A·B =B·A

Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Esta es una propiedad muy importante.
e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:
 
5
2 1 3   0
· 2 =
0 2 1 0
2x3
−4 2x1
3x1

Se dice que el conjunto de las matrices con la operaciń producto tiene divisores de cero, es decir, hay
o
matrices no nulas cuyo producto es nulo.

Ejercicios:

1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes,
que son ciertas para las operaciones con n´meros reales?:
u
a) (A + B)2 = A2 + B 2 + 2 · A · B
b) (A − B)2 = A2 + B 2 − 2 · A · B
c) (A + B) · (A − B) = A2 − B 2

2 −1
2. Determina los valores de a y b de la matriz A = para que A2 = A.
a b

1 2
3. ¿Qu´ matrices conmutan con la matriz
e ?.
0 1

6.6. La matriz inversa
Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operaciń.
o
Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectár la multiplicaciń de dos matrices,
u o
y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicaciń, en general no es conmutativo,
o
es decir AóB es distinto de BóA.
En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que
podemos efectuar los productos AóB y BóA, que darń como resultado otra matriz del mismo orden,
a
aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serń, en general, distintas.
a
Sabemos tambiń que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In .
e
Por analog´ con el caso de los n´meros reales, podemos plantearnos la siguiente cuestiń:
ıa u o

CAP´

Si tenemos un n´mero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para
u
el producto, es decir un n´mero real x tal que 2óx = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento
u
neutro, el 1.
Evidentemente, en el caso de los n´meros reales es bien fćil despejar x para obtener, en nuestro
u a
1
caso, que x = , es decir, el inverso de un n´mero real es otro n´mero que multiplicado por ´l da el
u u e
2
elemento neutro, el 1.
Todo n´mero real, salvo el 0, tiene inverso.
u

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n,
cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices,tal que

A · X = In

es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In .
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los n´meros reales:
u
In
1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = , porque no hemos definido la divisiń de o
A
matrices.
2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analog´ ıa
con los n´meros).
u
Definamos, en primer lugar, el t´rmino de matriz inversa:
e

Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es
no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A
y representada por A−1 y tal que:
A · A−1 = In
y
A−1 · A = In
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es unica (s´lo hay una). Para calcular dicha matriz
´ o
inversa, podemos utilizar dos v´ ıas:

6.6.1. M´todo directo:
e
Consiste en determinar A−1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos
1 2
determinar la inversa de la matriz A = , lo que estoy buscando es otra matriz de igual tamaõ
n
−1 1
x y
(orden 2) tal que A · A−1 = I2 y A−1 · A = I2 , es decir, si A−1 = , se tiene que cumplir que :
z t

1 2 x y 1 0 x + 2z y + 2t 1 0
A · A−1 = I2 =⇒ · = =⇒ =
−1 1 z t 0 1 −x + z −y + t 0 1

 x + 2z = 1


y + 2t = 0

−x + z = 0

−y + t = 1
Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 inc´gnitas, aunque en realidad son 2
o
sistemas de dos ingńitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).
o
Resolviendo el sistema se obtiene que
1 −2 1 1
x= ,y = ,z = ,t =
3 3 3 3

CAP´

por lo que la matriz inversa es:
−2
1 1 1 −2
A−1 = 3
1
3
1 = ·
3 3 3 1 1

Se puede comprobar que tambiń se cumple que A−1 · A = I2 , luego A es invertible, tiene inversa. Si
e
el sistema no tiene soluciń, la matriz no tiene inversa.
o
1 1
Por ejemplo, en el caso en que A = , del mismo modo :
2 2

1 1 x y 1 0 x+z y+t 1 0
A · A−1 = I2 =⇒ · = =⇒ =
2 2 z t 0 1 2x + 2z 2y + 2t 0 1

 x+z = 1


y+t = 0
2x + 2z = 0


2y + 2t = 1
Y por ejemplo de 2x+2z=0 se obtiene x = -z, si se sustituye en la primera ecuaciń es -z+z=1, es
o
decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene soluciń.
o
Por tanto A no es invertible, es singular.
Este m´todo directo s´lo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaõ 2, puesto que para
e o n
las de tamaõ 3 obtenemos un sistemas de ¡9 ecuaciones con 9 inc´gnitas! que realmente es dif´ de
n o ıcil
resolver.

6.6.2. M´todo de Gauss-Jordan:
e
Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la
matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la
matriz A−1 .
Se llama transformaciń elemental en una matriz a:
o
T1) Multiplicar o dividir una fila por un n´mero real distinto de cero.
u
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un n´mero real no nulo.
u
T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre s´
ı.
1 2
Veamos como se realiza el m´todo de Gauss-Jordan, realizńdolo a la vez con la matriz
e a .
−1 1
i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente . En nuestro caso:

1 2 1 0
(A|I2 ) =
−1 1 0 1

ii) Se hace la matriz triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal)
usando transformaciones elementales en filas.
La mejor forma de realizar esto es hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la primera
columna usando la fila 1. Luego, hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la segunda
columna usando la fila 2, y as´ sucesivamente.
ı
En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:

1 2 1 0 F +F 1 2 1 0
(A|I2 ) = −2− →
− −1
−1 1 0 1 0 3 1 1

iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo
ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:

CAP´

Hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la ultima columna usando la ultima fila. Lue-
´ ´
go, hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la pen´ltima columna usando la pen´mtima
u u
fila, y as´ sucesivamente. En nuestro caso:
ı
1 2 1 0 3·F −2·F 3 0 1 −2
−− −→
− 1− −2
0 3 1 1 0 3 1 1
iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo unico que falta es dividir a cada fila entre el n´mero
´ u
adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la
parte izquierda:
3 0 1 −2 1 0 1 −2
F1 F2
,
−−3
−−
3
→ 3 3
0 3 1 1 0 1 3 11
3
v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa,
es decir, llegamos a:
−2 −2
1 0 1 1 1 1 −2
(I2 , A−1 ) = 3
1
3
1 =⇒ A−1 = 3
1
3
1 = ·
0 1 3 3 3 3 3 1 1
matriz que hab´ ıamos obtenido antes por el m´todo directo.
e
Si al realizar el m´todo de Gauss-Jordan en algń momento alguna fila es de ceros, la matriz no
e u
tiene inversa.
Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este m´todo frente al directo.
e
Veamos otro ejemplo:  
1 1 0
Calcular la inversa de la matriz B = −1 1 2 por el m´todo de Gauss-Jordan.
e
1 0 1
Siguiendo los pasos anteriores:
     
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
F −F1
(B|I3 ) = −1 1 2 0 1 0 −2− → 0 2 2 1 1 0 −3− → 0 2 2 1 1 0
F +F1
−− −−
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 −1 1 −1 0 1
   
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
2·F2 −F 4·F1 −F
− − −2 0 2 2 1 1 0 − − −3 0 4 0 3 1 −2 − − −2
2·F3 +F
− −→ − −→ − −→
0 0 4 −1 1 2 0 0 4 −1 1 2
   
4 0 0 1 −1 2 F1 F2 F3 1 0 0 1 −1 2
4 4 4
4·F1 −F , 4 , 4
− − −2 0 4 0 3
− −→ 1 −2 −4 − − → 0 1 0 4
−−− 3 1
4
−2 
4 = (I3 |B −1 )
0 0 4 −1 1 2 0 0 1 −1 1 2
 1 −1 1  4 4 4

4 4 2
=⇒ B −1 =  3
4
1
4
−1 
2
−1 1 1
4 4 2
Tambiń se puede expresar, sacando factor comń:
e u
 
1 −1 2
1
B −1 = ·  3 1 −2
4
−1 1 2
es la inversa de B.
1 1
Si calculamos por este m´todo la inversa de A =
e resulta:
2 2
1 1 1 0 F −2·F 1 1 1 0
(A|I2 ) = −2− −1
− −→
2 2 0 1 0 0 −2 1
Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.

Ejercicios:

CAP´

1. Calcular por el m´todo de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:
e
   
1 2 −3 −2 1 4
A = 3 2 −4 B= 0 1 2 
2 −1 0 1 0 −1
 
3 0 0
2. Dada la matriz diagonal D = 0 −2 0 calcula su inversa. ¿C´mo calcular´ de forma
o ıas
0 0 5
r´pida la inversa de una matriz diagonal
a cualquiera?.

6.7. Rango de una matriz
Un concepto muy importante relacionado con las matrices es el de rango. El concepto de ran-
go se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se
introducir´ de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.
a
Baste saber que se define el rango de una matriz como el n´ mero m´ximo de filas o columnas
u a
linealmente independientes.
Sin embargo, el c´lculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando
a
el m´todo de Gauss.
e
Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el m´todo de Gauss con el
e
fin de simplificarla lo m´s posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor n´mero de ceros posible),
a u
realizando operaciones elementales en filas.
Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rg(A) al n´ mero de filas no nulas de
u
la matriz tras aplicarle el m´todo de Gauss.
e

Ejemplo: Calcular el rango de las siguientes matrices:
 
1 1 0
1 1 0 3 2 4 6
A= B= C= 2 1 1  D=
2 2 1 1 −1 −2 −3
−1 1 −2

1 1 F2 −2·F1 1 1
a) −− −
− −→ , Rg(A)=1 ,s´lo una fila distinta de cero.
o
2 2 0 0
0 3 F2 F1 1 1
b) −−→
−− , Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas.
1 1 0 3
       
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
F −2·F
c)  2 1 1  −2− −1  0 −1 1  −3− → 0 −1 1  −3− −2 0 −1 1
F +F1 F +2·F
− −→ −− − −→
−1 1 −2 −1 1 −2 0 2 −2 0 0 0
Rg(C)=2 hay 2 filas no nulas.
2 4 6 2·F2 +F 2 4 6
d) − − −1
− −→ , Rg(D)=1, s´lo una fila no nula.
o
−1 −2 −3 0 0 0
Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o
igual que el n´mero de filas de la matriz.
u
De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su n´mero de
u
filas y de columnas, pues el proceso para hacer el m´todo de Gauss se puede hacer indistintamente
e
mediante operaciones elementales en filas o en columnas.
Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qu´ valores va a estar ese rango.
e
Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango s´lo puede ser 0, 1, 2 o 3,
o ´
no hay otras posibilidades.
En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango s´lo puede ser 0,1 o 2. (De hecho,
o ´
podemos reducir esto algo m´s , pues una matriz s´lo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo:
a o

CAP´

Propiedad: Si A es una matriz de tamaõ m x n no nula se cumple que:
n

1 ≤ Rg(A) ≤ min{m, n}

Ejemplo: Calcular en funciń de k el rango de la matriz:
o

1 1 2
A=
3 3 k

Aplicando Gauss,
1 1 2 F −3·F 1 1 2
A= −2− −1
− −→
3 3 k 0 0 k−6
Ahora es evidente que si k-6=0, la ultima fila es nula. Por tanto, si k=6, la ultima fila es nula y el
´ ´
rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k-6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2
filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo:

Si k = 6, entonces Rg(A)=2
Si k=6, entonces Rg(A)=1

La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto
anteriormente:

Propiedad:
Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ Rg(A) es m´ximo.
a

Ejercicios:
 
1 −2 1
1. Calcula el rango de A segń los valores de k: A = 1 1 3.¿Para qu´ valores de k tiene A
u e
5 −1 k
inversa?.

2. Calcula el rango de las matrices:
 
0 2 1
1 0 1
A= B = 1 0 −1
2 1 0
0 4 2
 
2 −1 1 1  
0 0 1 0 2 1 5 −1 8
C =
2 1 1 1
 D = −1 2 3 4 5
1 3 10 11 13
0 0 0 1

6.8. Determinantes
Introduciremos a continuaciń el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. Este
o
concepto permite simplificar operaciones matriciales tales como el c´lculo del rango o de la matriz
a
inversa.

Definiciń:o
Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien
|A|, como el n´mero:
u
a a
det(A) = |A| = 11 12 = a11 · a22 − a12 · a21
a21 a22
Ejemplos: El c´lculo de los determinantes de orden 2 es bien sencillo, por ejemplo:
a

CAP´

1 3
a) =1ó4-(-1)ó3=4+3=7.
−1 4
−2 −3
b) =-10+6=-4.
2 5

Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente
algunos conceptos.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de
A,aij , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que
se encuentra dicho elemento aij . Se representa por Mij .
 
−2 4 5
Ejemplo: En la matriz A =  6 7 −3 , los menores complementarios de cada uno de los
3 0 2
elementos de la primera fila son:
7 −3
Menor complementario de -2:M11 = =14-0=14.
0 2
6 −3
Menor complementario de 4:M12 = =12+9=21.
3 2
6 7
Menor complementario de 5:M13 = =0-21=-21.
3 0
Y as´ sucesivamente.
ı

Ejercicio: Obtener los restantes menores complementarios de los elementos de la matriz A.

Estrechamente ligado al concepto de menor complementario se encuentra el de adjunto de una matriz.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el adjunto de un elemento aij de A como el
n´mero:
u
Aij = (−1)i+j · Mij
es decir, no es m´s que el menor complementario correspondiente acompaãdo de un signo m´s o
a n a
menos dependiendo de la fila y la columna en la que se encuentre el elemento en cuestiń.o
Por ejemplo, para la matriz anterior, los adjuntos de los elementos de la primera fila son:
Adjunto de -2:A11 = (−1)1+1 · M11 = 1 · 14 = 14 (coincide con el menor complementario)
Adjunto de 4:A12 = (−1)1+2 · M12 = (−1) · 21 = −21 (menor complementario con signo cambiado)
Adjunto de 5:A13 = (−1)1+3 · M13 = 1 · −21 = −21 (coincide con el menor complementario).

Ejercicio: Obtener los restantes adjuntos de los elementos de la matriz A.

En general puede saberse si el signo del menor complementario y del adjunto coinciden o no utilizando
una sencilla regla gr´fica, por ejemplo, para matrices 3 x 3 y 4 x 4 basta fijarse en las matrices:
a
 
  + − + −
+ − + − + − + 
− + −  
+ − + − 
+ − +
− + − +

donde el + significa que el adjunto coincide con el menor complementario y el - indica que tienen signo
contrario.

Una vez vistos estos conceptos se puede definir ya:

Definiciń: Dada una matriz cuadrada A de tamaõ n se define su determinante como la suma
o n

CAP´

del producto de los elementos de una linea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus
correpondientes adjuntos.

Se puede demostrar, aunque dicha demostraciń excede los contenidos del curso, que el valor del
o
determinante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo.
 
−2 4 5
Ejemplo: Para la matriz A =  6 7 −3 ,aplicando la definiciń, si elegimos la fila tercera queda:
o
3 0 2

4 5 −2 5 −2 4
det(A) = 3 · +0· − +2· =
7 −3 6 −3 6 7
= 3 · (−12 − 35) + 0 · (−(6 − 30)) + 2 · (−14 − 24) = −141 + 0 − 76 = −217

Si hubi´semos elegido otra fila o columna, por ejemplo la columna 2, quedar´
e ıa:

6 −3 −2 5 −2 5
det(A) = 4 · − +7· +0· − =
3 2 3 2 6 −3
= 4 · (−(12 + 9)) + 7 · (−4 − 15) + 0 · (−(6 − 30)) = −84 − 133 + 0 = −217

Ejercicio: Calcula, desarrollando por la fila que t´ elijas los determinantes de las matrices:
u
       
1 8 1 3 4 −6 7 8 0 0 3 1
1 7 0  2 −1 1  0 −7 3 −2 0 2
1 6 −1 5 3 −5 1 0 1 3 4 0
     
1 1 1 0 1 2 3 4 1 0 −1 2
1 1 0 1 2 1 3 1 2 3 2 −2
     
1 0 1 1 3 1 4 3 2 4 2 1
0 1 1 1 3 4 1 2 3 1 5 −3

6.9. La regla de Sarrus
La definiciń de determinante es bastante engorrosa y se hace mucho m´s pesada a medida que
o a
aumenta el orden de la matriz A.
En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, esta regla facilita el c´lculo de dichos determi-
a
nantes.  
a11 a12 a13
Si la matriz es A = a21 a22 a23 , entonces el determinante de A se calcula mediante la resta
a31 a32 a33
de dos expresiones obtenidas del siguiente modo:
Llamaremos sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar:
- Los elementos de la diagonal principal,a11 · a22 · a33 .
- Los elementos de la linea paralela superior a la diagonal principal por el elemento aislado de la
esquina inferior izquierda:a12 · a23 · a31 .
- Los elementos de la linea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento aislado de la
esquina superior derecha:a21 · a32 · a13 .

CAP´

Gr´ficamente:
a

Figura 6.2: Sumandos positivos

Llamaremos sumandos negativos a los obtenidos al multiplicar:
- Los elementos de la diagonal secundaria,a13 · a22 · a31 .
- Los elementos de la linea paralela superior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la
esquina inferior derecha: a12 · a21 · a33 .
- Los elementos de la linea paralela inferior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la
esquina superior izquierda: a32 · a23 · a11 .
Gr´ficamente:
a

Figura 6.3: Sumandos negativos

Y entonces det (A)= Sumandos positivos - Sumandos negativos.
Por ejemplo, en el caso de la matriz anterior:
 
−2 4 5
A =  6 7 −3
3 0 2
, se tiene que aplicando la regla de Sarrus:
det(A)=(-2)ó7ó2+4ó3ó(-3)+6ó5ó0-(3ó7ó5+0ó(-2)ó(-3)+6ó4ó2)=-28-36-105-48=-217.

Ejercicio: Comprobar, mediante la regla de Sarrus, los determinantes de orden 3 obtenidos en el
ejercicio anterior.

6.10. Propiedades de los determinantes
Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostraciń,
o
son:
1. Si una matriz tiene una linea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero.
Esta propiedad es evidente, puesto que por definiciń de determinante, basta elegir dicha linea
o
para desarrollar y el determinante ser´ 0.
a

CAP´

2. Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo.

3. Si permutamos dos lineas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo,
por ejemplo:
0 1 2 −3 0 1 2 −3
1 3 2 −5 1 3 2 −5
= 91 =⇒ = −91
2 4 3 1 3 −2 −8 1
3 −2 −8 1 2 4 3 1

4. Si multiplicamos todos los elementos de una linea de un determinante por un n´mero, el deter-
u
minante queda multiplicado por ese n´mero. Por ejemplo:
u

0 1 2 −3 0 1 2 −3
1 3 2 −5 2 6 4 −10
= 91 =⇒ = 182
2 4 3 1 2 4 3 1
3 −2 −8 1 3 −2 −8 1
0 2 4 −6
2 6 4 −10
pero = 16 · 91 = 1456
4 8 6 2
6 −4 −16 2

5. Si a una linea de una matriz se le suma otra linea multiplicada por un n´mero, el determinante
u
no cambia.
Esta propiedad permite utilizar un m´todo m´s sencillo para calcular determinantes de orden
e a
mayor que 3.

6. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta,

|A| = |At|

7. Si A tiene matriz inversa, A−1 , se verifica que:
1
det(A−1 ) =
det(A)

Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o superior, o incluso de
orden 3 si la matriz es compleja, es el m´todo de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante
e
no var´ al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas,como indica la propiedad
ıa
5 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha propiedad.
As´ pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna y
ı
desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces s´lo tendremos que calcular un adjunto. Por
o
ejemplo, si calculamos:

0 1 2 −3 0 1 2 −3 0 1 2 −3
1 3 2 −5 F3 −2·F2 1 3 2 −5 F4 −3·F2 1 3 2 −5
= = =
2 4 3 1 0 −2 −1 11 0 −2 −1 11
3 −2 −8 1 3 −2 −8 1 0 −11 −14 16
Desarrollando por la columna 1
 
1 2 −3
= 1 · − −2 −1 11  =
−11 −14 16
= −(−16 − 242 − 84 − (−33 − 154 − 64)) = 91

CAP´

Como hemos dicho, hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con determinantes, puesto
que no podemos hacer las mismas operaciones que con las matrices, lo que puede confundir.
Por ejemplo, si queremos calcular el determinante:

1 2 3
C= 0 1 2
4 1 5

mediante la regla de Sarrus es:
det(C)=5+16+0-(12+2+0)=21-14=7.
Si hici´semos ceros en la primera columna, y desarroll´semos nos deber´ dar lo mismo. Ahora
e a ıa
bien,podemos hacer cero el 4 de la primera columna mediante:

1 2 3 1 2 3
F3 −4·F1 1 2
0 1 2 = 0 1 2 = = −7 + 14 = 7.
−7 −7
4 1 5 0 −7 −7

lo que es correcto. Sin embargo, si queremos hacer cero el 1 de la primera columna ser´ un error
ıa
hacer:
1 2 3 0 7 7
4·F1 −F 7 7
0 1 2 −→ 3 0 1 2 = 4 · = 4 · (14 − 7) = 28.
1 2
4 1 5 4 1 5
no obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un n´mero y eso altera el
u
valor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene no multiplicarla, como en el primer ejemplo,
puesto que si no nos damos cuenta, podemos variar el valor del determinante.

6.11. Relaciń entre la inversa y los determinantes
o
Hay una estrecha relaciń entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. De hecho se
o
verifica que:

Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ |A| = 0.
Adem´s, en este caso, la matriz inversa de A, A−1 se calcula de la manera:
a

(Adj(A)t
A−1 =
|A|

donde Adj(A) denota la matriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene de sustituir cada elemento
de A por su adjunto.
 
1 0 −1
Ejemplo: Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A =  0 1 −3.
−1 1 0
1 0 −1
En primer lugar,|A| = 0 1 −3 = 0 + 0 + 0 − (1 − 3 + 0) = 2 y por tanto A tiene inversa.
−1 1 0
Calculando Adj(A), se obtiene:
 
1 −3 0 −3 0 1
 1 0 −
 −1 0 −1 1  


 0 −1  3 3 1
1 −1 1 0 
Adj(A) = − 1 0 − = −1 −1 −1
 −1 0 −1 1 
 0 −1 1 3 1
1 −1 1 0 
−
1 −3 0 −3 0 1

CAP´

Por tanto,  
3 −1 1
(Adj(A)t) = 3 −1 3
1 −1 1
Y entonces, se obtiene: 3 
−1 1
2 2 2
A−1 = 3 −1 3
2 2 2
1 −1 1
2 2 2
Ejercicio: Calcular la inversa anterior por el m´todo de Gauss.
e

6.12. Aplicaciń de los determinantes al c´lculo del rango
o a
Los determinantes tambiń proporcionan una forma sencilla de calcular el rango de una matriz
e
cualquiera.
Un definiciń alternativa de rango de una matriz es:
o
El Rango de una matriz A es el tama˜ o del mayor menor complementario no nulo que est´ incluido
n e
dentro de la matriz.
Aplicando este criterio, calculemos el rango de las matrices siguientes:
 
1 1 0
1 1 0 3 2 4 6
A= B= C= 2 1 1  D=
2 2 1 1 −1 −2 −3
−1 1 −2

a) S´lo hay un menor de orden 2, que es:
o

1 1
=0
2 2

Como es nulo, el rango de la matriz NO es 2. Menores de orden 1 hay 4, por ejemplo |1| = 1, que es
no nulo,luego el rango de la matriz es Rg(A)=1 (el tamaõ de dicho menor complementario).
n
b) S´lo hay un menor de orden 2, que es:
o

0 3
= 0 − 3 = −3
1 1

Como no es nulo, el rango de la matriz es Rg(B)=2 (el tamaõ de dicho menor complementario).
n
c) S´lo hay un menor de orden 3, que es:
o

1 1 0
2 1 1 = −2 − 1 + 0 − (0 + 1 − 4) = −3 + 3 = 0
−1 1 −2

Como es nulo, podemos asegurar que el rango NO es 3.
Menores de orden 2 hay 9. Calculando alguno:

1 0
=1
1 1

resulta que es no nulo, luego el rango es Rg(C)=2 (el tamaõ de dicho menor complementario).
n
d) El menor m´s grande que podemos formar es de orden 2. Hay 3 de ellos:
a

2 4 2 6 4 6
= −4 + 4 = 0 = −6 + 6 = 0 = −12 + 12 = 0
−1 −2 −1 −3 −2 −3

CAP´

Son todos nulos, luego el rango NO es 2. Menores de orden 1 hay 6, y por ejemplo |6| = 6 = 0, es no
nulo, luego el rango es Rg(D)=1.

Ejercicio Calcula,utilizando los determinantes, el rango de las matrices:
 
0 2 1
1 0 1
A= B = 1 0 −1
2 1 0
0 4 2
 
2 −1 1 1  
0 0 1 0 2 1 5 −1 8
C =  D= −1 2 3 4 5
2 1 1 1
1 3 10 11 13
0 0 0 1

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