Módulos algebra de matrices (1)

Álgebra de Matrices

Prof. Esteban Hernández

Justificación

Las matrices son una herramienta importante en las
representación de ideas matemáticas. Sus aplicaciones
alcanzan todas las ramas de matemáticas y ciencias.
El conceptos de matriz es tan importante que existe toda
una rama de las matemáticas que trata exclusivamente
el estudio de las matrices, esta se conoce como el álgebra
lineal. Veremos en este módulo los conceptos generales
de matrices y las aplicaciones a la solución de sistemas
de ecuaciones lineales.

Pre-prueba

1. Suma las matrices
 2 −1 −2   −3 0 −1
 0 4 1 + 4 3 3  =
   
 −3 3 5   0 0 4 
   

2. Resta las matrices
2 0 −0  −3 0 −1
0 3 1 − 1 3 1=
   
−3 1
 2 0 0
  1

3. Multiplica las matrices
1 −1 0  −3 0 −1
0 2 1.  4 1 0 =
   
−3
 3 1  0
  0 4

4. Encuentra la multiplicación ecalar
 2 −1 −2 
5 0 4 1  =
 
 −3 3 5 
 
5. Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y el
resto al12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por ciento
de manera que obtenga un 8% de interés anual? Resuelve
usando matrices.

Objetivos:

1. Definir el concepto de matriz.
2. Definir los conceptos de matrices cuadradas, matriz
identidad, matriz transpuesta, matriz inversa,
vectores fila y columna y matrices triangularizadas.
3. Definir las operaciones entre matrices.
4. Resolver ejercicios de aplicación usando matrices.

Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números
que forman la matriz se llaman entradas o elementos y se
escriben dentro de paréntesis.
Las matrices se identifican con letras mayúsculas.
Ejemplos de matrices:

 2 3  3 −1 −3
A= 3 2 0 
4 5 B =  3 2 −2  C=
     4 1 −3

4 0 5 
 
Las líneas horizontales de números se conoce como filas y
las verticales como columnas.

 3 2 0  fila
C=
 4 1 −3

columna

Al número de filas por el número de columnas de una matriz
se le llama el orden o tamaño de la matriz.

 2 3
A= Matriz 2x2
 4 5


 3 −1 −3
B =  3 2 −2 
 
Matriz 3x3
4 0 5 
 

3 2 0 
C= Matriz 2x3
 4 1 −3

Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.

Definición de matriz mxn:
Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n
columnas se conoce como una matriz m x n.
 a11 a12 a13 .... a1n 
a a22 a23 ... a2 n 
 21 
 a31 a32 a33 ... : 
A= 
 : :
: ... : 
 : 
 
 am1
 am 2 am 3 ... amn 

Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij donde i
corresponde a la posición de la fila y j corresponde a la posición
de la columna. Una matriz mxn se suele escribir en la forma
general abreviada,
A =  aij 
  o A =  aij 
 
mxn

Definición de un vector fila:
Una matriz que tiene una sola fila se llama vector fila.
A = [ a1 a2 a3 ... an ]
Ejemplo:

A = [ 1 2 0 −1] vector fila 1x4

Definición de un vector columna:
Una matriz que tiene una sola columna se llama vector
columna.
Ejemplo:
2
B=  0  vector columna 3x1
 
1 
 
Aclaración:
No confunda la notación aij de un elemento con la notación
aij  = ( aij ) de una matriz.
 

Definición :
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los
mismos elementos.
Ejemplo:
 x y 1 1 3 1
Si   =  4 −1 v  entonces x = 1; y = 3;
 z −1 5   
z = 4; v = 5
Definición :
La transpuesta de una matriz mxn, A es la matriz nxm cuya
fila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denota
por AT
Ejemplo:

0 4 
0 3 1
Si A=  entonces AT = 3 −1
 4 −1 4 

 
1 4 
 

Matrices especiales:

1. La matriz cero
Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros de conoce
como la matriz cero y se denota por 0nxm o solo por 0.
Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el
número cero. 0 0 0 
02x3 = 
Ejemplo:  0 0 0
La matriz cero 2x3 es;

2. Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de
filas que de columnas.
Ejemplo:
 3 −1 −3 Matriz cuadrada 3x3
B =  3 2 −2 
 
4 0 5 
 


 4 −1
A= Matriz cuadrada 2x2
 3 6

3. Matriz diagonal
Una matriz cuadrada nxn cuyas entradas son todas ceros
excepto las entradas de la diagonal se llama matriz
diagonal.
Ejemplo:
4 0
Una matriz diagonal 2x2 es; A = 
 0 6

3 0 0
Una matriz diagonal 3x3 es; B = 0 −2 0 
 
0 0 5
 


4. Matrices triangularizadas
Una matriz se dice que está triangularizada por arriba si
todas las entradas bajo la diagonal principal son cero.
Una matriz se dice que está triangularizada por abajo si
todas las entradas sobre la diagonal principal son cero.
Ejemplos:
Una matriz triangularizada por arriba es;
 3 −1 −3 
A = 0 2 0 
 
0 0 5 
 
Una matriz triangularizada por abajo es;
3 0 0 
B = 3 2 0 
 
1 0 5 
 


5. Matriz identidad
Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la
diagonal principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz
identidad.
Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn.
Ejemplos: 1 0 
La matriz identidad 2x2 es; I = 
0 1
1 0 0
I = 0
 1 0

La matriz identidad 3x3 es;
0
 0 1

1 0 0 0
0 1 0 0
La matriz identidad 4x4 es; I = 
0 0 1 0
 
0 0 0 1

Operaciones con matrices:
1. Suma de matrices
Si A =  aij  y B = bij  son dos matrices mxn entonces
   
definimos la suma de A y B por,
A + B =  aij  + bij  ≡  aij + bij 
     
La suma de matrices se obtiene sumando las entradas
correspondientes de las dos matrices. Observe que la suma
está bién definida si las dos matrices tienen el mismo tamaño.
Ejemplos:
Encuentra la suma las matrices.

 3 0 −2  5 −3 6 
1. Si A =   y B = 0 2 5  entonces
 2 −1 4   
 3 0 −2  5 −3 6   3 + 5 0 − 3 −2 + 6 
A+ B =   + 0 2 5  ≡  2 + 0 −1 + 2 4 + 4 
 2 −1 4     

Operaciones con Matrices :

 8 −3 4 
A+ B ≡ 
 2 1 8 

1 2   7 −2 
2. Si A = 3 4  y B =  −6 4  entonces
   
5 6 
  3 0
 
1 2   7 −2  1 + 7 2 − 2   8 0 
A + B = 3 4  +  −6 4  ≡ 3 − 6 4 + 4  =  −3 8 
       
5 6   3 0   5 + 3 6 + 0   8 6 
       

Propiedades de matrices nxm:

1. A + B = B + A, propiedad conmutativa.
2. A + (B + C) = (A + B) + C, propiedad asociativa
3. A + 0 = 0 + A , propiedad de identidad
4. (A + B)T = AT + BT propiedad de las transpuestas
Ejemplos:
 1 2 1 0 1 2   −2 1 −1
Si A =   , B = 1 −3 1  , C =  0 −2 1  ,
 −2 0 1    
0 0 0
D=
 0 0 0


a. Demuestra que A + B = B + A.

 1 2 1 0 1 2   1 3 3 
A+ B =   + 1 −3 1  ≡  −1 −3 2 
 −2 0 1    


0 1 2   1 2 1  1 3 3 
B+ A=   +  −2 0 1 ≡  −1 −3 2 
1 −3 1     
Por lo tanto A + B = B + A.
b. Demuestra que A + (B + C) = (A +B) + C.

 1 2 1  −2 2 1   −1 4 2 
A+ ( B + C) =   +  1 −5 2  =  −1 −5 3 
 −2 0 1    

 1 2 3   −2 1 −1  −1 4 2 
( A + B) + C =   +  0 −2 1  =  −1 −5 3 
 −1 −3 2     

Por lo tanto A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.


c. Demuestra que A + 0 = A.

 1 2 1  0 0 0   1 2 1
A+0 =   + 0 0 0  =  −2 0 1
 −2 0 1    

Definición de la multiplicación escalar:
Si A =  aij  es una matriz mxn y k es un número real
 
(un escalar) definimos y denotamos la multiplicación escalar
de A y k por, kA = k  aij  =  kaij 
   
.
La multiplicación escalar se obtiene multiplicando cada entrada
o elemento de la matriz A por el escalar k.

La multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices :
Para definir la multiplicación de dos matrices necesitamos
definir la multiplicación de un vector fila por un vector columna
y determinar los tamaños de las matrices que se pueden
multiplicar.

Definición del producto interno de vectores
El producto interno de un vector fila de tamaño, 1xp, por un
vector columna de tamaño, px1, se denota y define por,
 v11 
v 
 21 
U .V = u11 u12 u13 ... u1 p  .  v31  = u11.v11 + u12 .v21 + u13 .v31 + ... + u1 p .v p1
  
 M 
 v p1 
 
Observa que el producto interno de un vector fila por un vector
columna produce un número real.

Ejemplo:
Encuentra el producto interno de los siguientes vectores.
3
 −1
 
1. [ 2 1 − 3 4 − 1] .  4  = 2 ( 3) + 1( − 1) + ( − 3) ( 4 ) + 4 ( 5 ) + ( − 1) ( 6 )
 
5
6
  = 6 + ( − 1) + ( − 12 ) + 20 + ( − 6 ) = 7
 −1
 −5
2. [ − 3 − 4 0 1] .   = − 3 ( − 1) + ( − 4 ) ( − 5 ) + ( 0 ) ( 1) + 1( 0 )
1
 
0
= 3 + 20 + 0 + 0 = 23
Ojo: El resultado del producto interno es un número real y el número de
columnas del primer vector debe ser igual al número de filas del segundo.


Definición de la multiplicación de matrices
Sea A una matriz de tamaño nxp,y sea B una matriz de
tamaño pxm. Definimos y denotamos la multiplicación de A y
B por A.B = C, donde C es la matriz de tamaño nxm cuyas
entradas cij son el producto interno de la fila i por la columna j.
Ejemplo:
Encuentra los productos AB y BA de las siguientes matrices.
 1 3
 6 − 2 8
1. A =  y B =  5 0
 1 4 5 
 
 2 7
 
 1 − 2
 3 1  y B =  2 5 0
2. A =    4 − 1 1
 0 − 1  
 


  1  3 
  0 
 [ 6 − 2 8]  5 
  [ 6 − 2 8]   
 1 3
 6 − 2 8    3  7 
1. AB =  . 5 0 =
   

 1 4 5   2 7

  1  3 
   1 4 5  5 1 4 5]  0  
[ ]  [   

  3
   7 
  

 6 − 10 + 24 18 + 0 + 56 
=
 1 + 20 + 15 3 + 0 + 35 

 20 74 
=
 36 38 



 1 3  9 10 23
 5 0   6 − 2 8 
BA =    1 4 5 =  30 − 10 40 

 2 7  
  19 24 51
 

 1 − 2  −6 7 −1 −2
 3 1   2 5 3 0  =  10 14 11 1 
2. AB =    4 −1 2 1  
 0 − 1 
 
  − 4 1 − 2 − 1
 

BA no está definida pues los tamaños no coinciden.
No se puede multiplicar una matriz 2 × 3 por otra 4 × 2

Propiedades de la multiplicación de matrices
Si AB y C son matrices para las cuales la multiplicación esta definida y k
es un número real (escalar):
1. A(BC) = (AB)C propiedad asociativa
2. A( B + C ) = AB + AC propiedad distributiva
3. ( A + B )C = AC + BC propiedad distributiva
4. (kA)B = k(AB) asociativa escalar

Ejemplo:
Demuestra las siguientes igualdades.

5 3
1. [ 3 −3 1]  1  = 10
  2. [ 5 0 −1]  −9  = 15
 
 −2 
  0
 

La multiplicación de matrices:
1
 −1 0 −1  −1 3   0 2 
3. [ 0 −1 1 2]   = 3 4.    0 −2  =  −3 5 
 −2  3 2     
 
2
3 −1 4   −1 3 5
5.    0 −2 1 = no está definida
3 −2 5   

 −1 3   −9 2 23 
 0 −2   0 1 −5 =  6 −2 −12 
6.    −3 1 6   
6 0   
   0 6 −30 
1 3
 
 2 0 −2 1  1 0  5 −7 
7.    −1 5  = 3 14 
 −2 3 −1 1  
 
 1 −3


1 3  4 9 −5 4 
 1 0  2 0 −2 1  2 0 −2 1 
  
8.   = 
 −1 5   −2 3 −1 1  −12 15 −3 4 
 
   
 1 − 3  8 −9 1 −2 
Ejemplos:
9. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz
3x4 y B es una matriz 4x3?

10. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz
5x4 y B es una matriz 3x5?

La inversa de una matriz:

La matriz identidad
La matriz cuadrada diagonal nxn cuyas entradas en
la diagonal principal son todas 1 y las demás
entradas son todas 0 se conoce como la matriz
identidad nxn.
1 0 ... 0
0 1 ... 
0 1 0 0
I n=  1 0
I 2=  I 3=  0 1 0 
M M M M  0 1

 
  0 0 1
 
0 0 0 1
La inversa de una matriz
Sea A una matriz cuadrada nxn. Si existe una matriz B, nxn tal
que AB = BA = In, decimos que B es la matriz inversa de A y la
denotamos por B = A-1.

Ejemplos: 1 0
1 0   
1. Verifica que la matriz inversa de   es −1 1 .
2 2 
 2
1 0 −2   −9 2 2
2. Verifica que la matriz inversa de 4 −2  es  −41 9 .
 1   4 
1 2 −10   2 2
   −5 1 1
 
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz
Si A es una matriz invertible nxn construya la matriz aumentada
[ A I n ] . La matriz inversa A-1, nxn, se obtiene reduciendo la
matriz mediante operaciones elementales de filas hasta obtener
la matriz  I n A−1  .

Ejemplos:
2 4 
1. Encuentra la matriz inversa de A =  .
3 1
2 41 0 1  1 
3 1
1
f1 → f1 2 0
 10  → 3
2
1
2

 0 1


 1  1 2
1 0
2
1 2 0 −3 f1 + f 2 → f 2
 →  
3 1
2
 0 −5 − 3 1
 0 1  2 
1 1 2 2
1 0 
− f2 → f2  

→5
0 13 −1 
 10 5

1 1
2 − 10
2 
−2 f 2 + f1 → f1  5 
 → 0 1 3 −1 
 10 5

− 1 2 
10 5  1 −1 4 
A−1 = =
 3 − 1  10  3 −2 
 
 10 5

Verifica que AA-1 = I2 .

2 −3
2. Encuentra la matriz inversa de  .
3 5

 3 1
0
2 −3 1 0 1 − 2 
3
1 2
1  → 3 0 1
f1 → f1
 5 0  2
5
 
 3 1 0
1 − 2 
2
−3 f1 + f 2 → f 2  −3 
 0 19 → 2
1
 2 
 3 1 0 
1 − 2 
2 2
f2 → f2  −3 2 
 0 1
19
→ 19 19 

1 0
5 3 
3  19 19 
f 2 + f1 → f1
→ 0
2

1 −3
19
2 
19 

La iversa de una matriz:
 5 3 
19 19  1  5 3
A −1
= =
−3 2  19 −3
 2

 19 19 
4 2
3. Encuentra la matriz inversa de  .
2 1

4 2 1 0 4 2 1 0
2  →
f1 + 2 f 2 → f 2 0 0 0 1
 1 0 1  

No es posible tener la matriz inversa en el lado izquierdo por lo
tanto la matriz no es invertible, la matriz inversa no existe.

Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales.
a11 x + a12 y = k1
Si tenemos un sistemas de ecuaciones 2x2, 
a21 x + a22 y = k 2
podemos definir los siguientes conceptos,
a11 a12 
a. La matriz de los coeficientes, A =  .
a21 a22 
x
b. El vector variable, X =   .
y

 k1 
c. El vector constante, K =   .
k2 
a11 a12   x   k1 
d. La ecuación matricial del sistema, a  .  y  = k  .
a22     2 
 21

A. X = K


La ecuación matricial del sistema se puede resolver multiplicando
ambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz de los
coeficientes.
A−1 A. X = A−1 K
X = A−1 K
a b
Se puede demostrar que la matriz inversa 2x2, 
c d

−1
a b  1  d −b 
es   = ad − bc −c a  .
c d   
Ejemplo:
Resuelve el sistema usando la ecuación
2 x − 3 y = 7
1. 
3 x + 5 y = 20

Solución:
2 x − 3 y = 7  2 −3  x   7 
 ⇒  3 5   y  =  20 
3 x + 5 y = 20     
−1
 2 −3 1  5 3 1  5 3
 3 5  = 2 5 − 3 −3  −3 2  = 19  −3 2 
  ( ) ( )    

1  5 3   2 −3  x  1  5 3   7 
 −3 2   3 5   y  = 19  −3 2   20 
19       

1 0   x  1 95
0 1   y  = 19 19 
    

 x   5 C.S . = { ( 5,1) }
 y  = 1 ⇒ x = 5, y =1
   

Ejemplo 2:
Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y el resto al
12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por ciento de manera
que obtenga un,
a. 8% de interés anual?
b. 10% de interés anual?
c. 10.5% de interés anual?

Escribe la ecuación matricial y resuelve el sistema.
Solución:
Sea x la cantidad invertida al 6% y y la cantidad invertida al 12%.
 x + y = 10000
  x + y = 10000
a.  ⇒
.06 x + .12 y = .08 ( 10000 )
 .06 x + .12 y = 800
Las ecuación matricial es :

1 1   x  10000
.06 .10   y  =  800 
    

La inversa de la matriz de coeficientes es,
 50 
1 1 
−1
2 − 3
.06 .10  =  
   −1 50 

 3  
 50   50 
 2 − 3  1 1   x  2 − 3  10000 
    y =   
 −1 50  .06 .10     −1 50   800 

 3   
 3 

1 0   x  6666.67 
0 1   y  =  3333.33 
    

x = $6666.67 y = $3333.33

 x + y = 10000

b.   x + y = 10000
.06 x + .12 y = .10 ( 10000 ) ⇒
 .06 x + .12 y = 1000

 50   50 
 2 − 3  1 1  x  2 − 3  10000 
    y = 
50  .06 .10    

50   1000 
 −1 −1 

 3  
 3 
1 0   x   3333.33 
0 1   y  = 6666.67 
    
x = $3333.33 y = $6666.67

 x + y = 10000
  x + y = 10000
c.  ⇒
.06 x + .12 y = .105 ( 10000 )
 .06 x + .12 y = 1050

1 1   x  10000
.06 .10   y  =  1050 
    
 50   50 
 2 − 3  1 1  x  2 − 3  10000 
    y =   
 −1 50  .06 .10     −1 50   1050 

 3   
 3 
1 0   x   2500
0 1   y  =  7500 
    
x = $2500 y = $7500

Post-prueba
 2 −1 −2   −3 0 −1
 0 4 1 + 4 3 3  =
   
 −3 3 5   0 0 4 
   

 2 0 −0   −3 0 −1
 0 3 1 − 1 3 1  =
   
 −3 1 2   0 0 1 
   

 1 −1 0   −3 0 −1
 0 2 1 .  4 1 0  =
   
 −3 3 1   0 0 4 
   

 2 −1 −2 
5 0 4 1  =
 
 −3 3 5 
 
usando matrices.

Respuesta de la pre y post pruebas
 2 −1 −2   −3 0 −1  −1 −1 −3
 0 4 1 + 4 3 3  = 4 7 4 
     
 −3 3 5   0 0 4   −3 3 9 
     

 2 0 0   −3 0 −1  5 0 1 
 0 3 1  −  1 3 1  =  −1 0 0 
     
 −3 1 2   0 0 1   −3 1 1 
     

 1 −1 0   −3 0 −1  −7 −1 4 
 0 2 1  .  4 1 0  =  2 2 4
     
 −3 3 1   0 0 4   21 3 7 
     

 2 −1 −2   10 −5 −10 
5  0 4 1  =  0 20 5 
   
 −3 3 5   −15 15 25 
   

usando matrices.

Solución:
Sea x la cantidad invertida al 6% y y la cantidad invertida al 12%.
 x + y = 10000
  x + y = 10000
 ⇒
.06 x + .12 y = .08 ( 10000 )
 .06 x + .12 y = 800
Las ecuación matricial es :
1 1   x  10000
.06 .10   y  =  800 
    

La inversa de la matriz de coeficientes es,
 50 
1 1 
−1
2 − 3
.06 .10  =  
   −1 50 

 3  
 50   50 
 2 − 3  1 1   x  2 − 3  10000 
    y =   
 −1 50  .06 .10     −1 50   800 

 3   
 3 

1 0   x  6666.67 
0 1   y  =  3333.33
    

x = $6666.67 y = $3333.33

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