Tarea 4
- 1. Topolog´ 1 ıa Veronica Villegas Santiago Miguel Angel Mora luna Rodrigo Jos´ Burgos e 03/03/2012 DEMOSTRAR LO SIGUIENTE: a)A◦⊂ = A⊂− Sabemos que A⊂− = {x ∈ X/x es adherente a A⊂ } x es adherente a A⊂ si toda vecindad de ”x” interseca a A⊂ De tal manera que: Br (x) ⊂ V ∩ A⊂ = ∅ Por otra parte tomemos a x ∈ A◦⊂ , entonces x ∈ A◦ como x ∈ A◦ , ∀V vecindad de x, V ⊂ A◦ Ahora, sabemos que A◦ ⊂ A Es decir V ∩ A⊂ = ∅ de aqu´ı x ∈ Br (x) ⊂ V ∩ A⊂ = ∅ por lo que A◦⊂ ⊂ A⊂− ...(1) Al principio vimos quex ∈ A⊂− y se llego a que Br (x) ⊂ V ∩ A⊂ por lo que A◦⊂ ⊃ A⊂− ...(2) de 1 y 2 tenemos que: A◦⊂ = A⊂− b)A⊂⊂ = A Del lado izquierdo: sea x ∈ A⊂⊂ tenemos que x ∈ A⊂ por lo cual x ∈ A as: A⊂⊂ ⊂ A Del lado derecho Sea x ∈ A tenemos que x ∈ A⊂ por lo cual x ∈ A⊂⊂ de esta manera A ⊂ A⊂⊂ Luego A⊂⊂ = A c)A−− = A− sea x ∈ A−− , vemos que x es adherente a A− se sigue que x ∈ A− . 1
- 2. por lo que : A−− ⊂ A− Tomemos x ∈ A− , Podemos ver que entonces , x va a estar en A−− tambi´n e por lo cual. A−− ⊃ A− por lo cual : A−− = A− 2