Tema 1 - Conjuntos , aplicaciones y combinatoria.pdf

Tema 1: Conjuntos,
aplicaciones y combinatoria
Grado en
Ingenierı́a Informática
06GIIN | Álgebra
Profesor:
Amı́lcar J. Pérez A.

Conjuntos, aplicaciones y combinatoria
Teorı́a de conjuntos
Definición
Un conjunto es una colección de objetos fı́sicos o abstractos diferentes, a los que
llamamos elementos del conjunto.
Será usual denotar los conjuntos con mayúsculas y a sus elementos con minúsculas. Si A
es un conjunto, denotamos por a ∈ A, la relación “a es un elemento de A” o,
equivalentemente, “a pertenece a A”.
Cada conjunto se denota entre llaves separando cada elemento con una coma.
Ejemplos
1. Conjunto de los continentes de la Tierra:
{África, América, Antártida, Asia, Europa, Oceanı́a}.
2. Conjunto de los números naturales impares: {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .}.

Definición
Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si tienen los mismos elementos. En caso
contrario, escribimos A ̸= B.
Ejemplos
1. Conjunto de los números naturales: N = {1, 2, 3, . . .}
2. Conjunto de los números naturales impares:
{1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .} = {2n − 1 | n ∈ N}.
3. Conjunto de los números para contar: N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}
4. Si V es el conjunto de las vocales, entonces V = {a, e, i, o, u}.
5. Si D es el conjunto de los dı́gitos del sistema de numeración decimal, entonces
D = {0, 1, 2, 3, . . . , 9}

Definición
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. Si A es un conjunto,
su cardinal se denota por |A|.
En caso de que un conjunto A tenga una infinidad de elementos, diremos que |A| es un
cardinal infinito y lo denotaremos por |A| = ∞.
Ejemplos
1. Sea A el conjunto de los continentes de la Tierra. Entonces |A| = 6.
2. Sea B el conjunto dado por los números naturales impares. Entonces |B| = ∞.
3. Sea R el conjunto de números reales. Entonces |R| = ∞.
Nota: Sin embargo, |B| ̸= |R|. Pero esto escapa del alcance de este curso.

▶ Como los elementos de un conjunto son todos diferentes, el uso de repeticiones del
sı́mbolo asociado a un elemento es redundante.
Ejemplo
Ası́, el conjunto {a, b, c, c, d, a} es el mismo que {a, b, c, d}. Desde luego, usaremos esta
última notación sin repeticiones.
▶ Es conveniente considerar un conjunto sin elementos, al que llamaremos conjunto
vacı́o y lo denotaremos con ∅, con ∅ o con { }. Y, como era de esperar |∅| = 0.
Ejemplos
1. Si A es el conjunto de satélites de Venus. Entonces A = ∅, pues, Venus no tiene satélites.
2. Si S = {x ∈ R | x2 = −1} entonces S = ∅, porque x2 ≥ 0 para todo x ∈ R.

Definición
Un conjunto A está incluido en otro conjunto B (A ⊂ B o A ⊆ B), o bien que B
incluye A, si todo elemento de A pertenece a B, es decir:
A ⊂ B si ∀x ∈ A, x ∈ B.
En caso contrario, diremos que A ̸⊂ B.

Ejemplos
1. Sea A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d}. Entonces A ⊂ B, ya que todo elemento de A
está en B.
Por otra parte, B ̸⊂ A, ya que por ejemplo d ∈ B pero d ̸∈ A.
2. Sea A = {1, 3, 4} y B = {1, 2, 4}. Entonces no se cumple ninguna relación de
inclusión.
2.1 A ̸⊂ B, ya que 3 ∈ A, pero 3 ̸∈ B.
2.2 B ̸⊂ A, puesto que 2 ∈ B, pero 2 ̸∈ A.
3. A ⊂ A, para todo conjunto A. (La inclusión no excluye la igualdad).
4. ∅ ⊂ A para todo conjunto A. (̸ ∃x ∈ ∅ tal que x ̸∈ A)

En términos de la inclusión, la igualdad de conjuntos se reformula ası́:
Definición
Dos conjuntos A y B son iguales, A = B si A ⊂ B y B ⊂ A.
Ejemplos
▶ Para todo conjunto A, A = A.
▶ Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, a}. Entonces A = B, pues, tienen los mismos
elementos (el orden no importa al listar los elementos de un conjunto).
▶ Sean A = {a, b, c} y B = {a, b, c, d}. Entonces A ̸= B, ya que B ̸⊂ A.
▶ Si D es el conjunto de expresiones decimales periodicas, entonces Q = D. Pues
Q ⊂ D y D ⊂ Q.

Definición
La intersección entre dos conjuntos A y B, denotada por A ∩ B, es un nuevo conjunto
formado por los elementos en común de A y B.
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Si A ∩ B = ∅, i.e., A y B no tienen elementos en común, entonces diremos que A y B
son disjuntos.

Ejemplos
1. Sean A = {−1, 3, 5, 2, 6, 9} y B = {−1, 0, 4, 3, 7, 9, 10}. Entonces
A ∩ B = {−1, 3, 9}.
2. Consideremos ahora A = {a, b, c} y B = {c, d, e}. En este caso, se tiene
A ∩ B = {c}.
3. Tomemos A = {a, b, c} y B = {d, e, f }. Entonces A ∩ B = ∅.
4. Para todo conjunto A, A ∩ A = A y A ∩ ∅ = ∅.

Definición
La unión entre dos conjuntos A y B, denotada por A ∪ B, es un nuevo conjunto
formado por todos los elementos de A y B.
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Ejemplos
1. Sean A = {a, b, c, e} y B = {c, e, f }. Entonces
A ∪ B = {a, b, c, e, f }.
2. Tomemos ahora A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6}. Entonces
A ∪ B = {1, 3, 5, 2, 4, 6}.
3. Para todo conjunto A, A ∪ A = A y A ∪ ∅ = A.

Definición
El complementario de un conjunto A sobre otro conjunto B es el conjunto formado
por todos los elementos de B que no pertenecen a A y se denota por B A, es decir:
B A = {x | x ∈ B ∧ x /
∈ A}.

Ejemplos
1. Sean A = {a, b, c, f } y B = {b, c, e, f , g, j}. Entonces
B A = {e, g, j}.
2. Tomamos A = {a, b, c} y B = {d, e, f }. Entonces
B A = {d, e, f } = B.
3. Sean A = {a, b, c, d} y B = {b, c}. Entonces se tiene:
B A = ∅.
4. Para todo conjunto A, A A = ∅ y A ∅ = A.

Definición
Sean A y B conjuntos y B ⊂ A también diremos que B es un subconjunto de A.
Ejemplo
B = {a, d, e} es un subconjunto de A = {a, b, c, d, e, f }, mientras que C = {a, g} no es
un subconjunto de A.
Definición
Sea A un conjunto. El conjunto de las partes de A es el conjunto formado por todos los
subconjuntos de A y se denota por P(A). En otras palabras:
P(A) = {B | B ⊂ A}.

Ejemplos
1. Sea A = {a, b}, entonces
P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
2. Sea A = {1, 2, 3}, entonces
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Teorema
Sea A un conjunto finito, con |A| = n. Entonces |P(A)| = 2n
.

Definición
Sean A, B dos conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado por A × B,
consta del conjunto de todos los pares ordenados, donde los elementos de A ocupan la
primera posición y los de B la última:
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Ejemplos
1. Sea A = {1, 2, 3} y B = {α, β}. Entonces
A × B = {(1, α), (1, β), (2, α), (2, β), (3, α), (3, β)}.
2. R × R = {(x, y) | x, y ∈ R} es el plano R2
.

Aplicaciones
Definición
Sean A, B dos conjuntos. Diremos que f : A → B es una aplicación o función si
relaciona cada uno de los elementos de A a un único elemento de B; dicho de otra
forma:
∀a ∈ A, ∃!b ∈ B : f (a) = b.
El conjunto A recibe el nombre de dominio de f , y se denota por Dom(f ), el conjunto
B es el codominio de f y se denota por Cod(f ), y el conjunto f (A), dado por
f (A) = {f (a) | a ∈ A} recibe el nombre de recorrido o imagen de f , y lo denotamos
por Im(f ).
Nótese que Im(f ) ⊂ B.

Aplicaciones
Ejemplos
1. Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 3, 5, 8}. Tomamos f : A → B tal que f (1) = 3,
f (2) = 5 y f (3) = 3. Entonces f es una aplicación, con Dom(f ) = {1, 2, 3} e
Im(f ) = {3, 5} ⊂ B.

Aplicaciones
Ejemplos
2. Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 3, 5, 8}. Sea f : A → B tal que f (1) = 1, f (1) = 3,
f (2) = 5 y f (3) = 8. Entonces f NO es una aplicación, pues 1 ∈ A tiene asignados
dos valores de B: 1 y 3.

Aplicaciones
Ejemplos
3. Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 3, 5, 8}. Tomamos f : A → B tal que f (1) = 5, y
f (3) = 8. Entonces f NO es una aplicación, ya que 2 ∈ A no tiene asignado ningún
valor.

Aplicaciones
Definición
Sea f : A → B una aplicación. Diremos que f es inyectiva si ∀a, b ∈ A,
f (a) = f (b) → a = b. Dicho de otra forma, f es inyectiva si f siempre lleva elementos
distintos de A a elementos distintos de B.
Ejemplo
Sean A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5, 8} y f : A → B tal que f (1) = 1, f (2) = 3 y f (3) = 8.
Entonces f es inyectiva.

Aplicaciones
Definición
Sea f : A → B una aplicación. Se dice que f es sobreyectiva o suprayectiva si
f (A) = B o, lo que es lo mismo, ∀b ∈ B ∃a ∈ A : f (a) = b. Es decir, f es sobreyectiva
cuando cada elemento de B tiene asociado al menos un elemento de A mediante f .
Ejemplo
Sean A = {α, β, γ, δ}, B = {−1, 0, 1} y f : A → B tal que f (α) = −1, f (β) = 1,
f (γ) = 1 y f (δ) = 0 → f sobreyectiva.

Aplicaciones
Definición
Sea f : A → B una aplicación. Se dice que f es biyectiva si f es inyectiva y
sobreyectiva simultáneamente. Esta condición se traduce matemáticamente como
∀b ∈ B ∃!a ∈ A : f (a) = b.
Ejemplo
Sean A = {α, β, γ}, B = {−1, 0, 1} y f : A → B tal que f (α) = 0, f (β) = −1,
f (γ) = 1. Entonces f es biyectiva.

Aplicaciones
Teorema
Sean A, B conjuntos finitos y sea f : A → B una aplicación. Entonces se cumplen las
siguientes propiedades:
1. Si f es inyectiva, entonces |A| ≤ |B|.
2. Si f es sobreyectiva, entonces |A| ≥ |B|.
3. Si f es biyectiva, entonces |A| = |B|.

Aplicaciones
Definición
Sean A, B, C conjuntos cualesquiera, f : A → B y g : B → C aplicaciones. Entonces
puede considerarse la composición de g con f , g ◦ f : A → C definida de la siguiente
forma: dado a ∈ A (g ◦ f )(a) = g(f (a)) ∈ C.
Ejemplo
Sea A = {α, β, γ, δ}, B = {−1, 0, 1, 2}, C = {ρ, σ, τ}, f : A → B dada por f (α) = −1,
f (β) = 0, f (γ) = 0, f (δ) = 1 y g : B → C dada por g(−1) = σ, g(0) = ρ, g(1) = σ y
g(2) = τ.
Calculemos g ◦ f : A → C.

Aplicaciones
Ejemplo
▶ (g ◦ f )(α) = g(f (α)) = g(−1) = σ.
▶ (g ◦ f )(β) = g(f (β)) = g(0) = ρ.
▶ (g ◦ f )(γ) = g(f (γ)) = g(0) = ρ.
▶ (g ◦ f )(δ) = g(f (δ)) = g(1) = σ.

Aplicaciones
Teorema
Sean A, B, C tres conjuntos cualesquiera y f : A → B, g : B → C aplicaciones.
Entonces:
1. Si f , g son inyectivas, entonces g ◦ f también lo es.
2. Si f , g son sobreyectivas, entonces g ◦ f también lo es.
3. Si f , g son biyectivas, entonces g ◦ f también lo es.

Aplicaciones
Definición
Sea A un conjunto cualquiera. La aplicación identidad IdA : A → A es aquella que viene
dada por IdA(a) = a ∀a ∈ A.
Teorema
Sean A, B dos conjuntos cualesquiera. Entonces f : A → B es biyectiva si y sólo si
∃!g : B → A tal que g ◦ f = IdA y f ◦ g = IdB. La aplicación (única) g suele denotarse
por g = f −1
y recibe el nombre de aplicación inversa.
Ejemplo
Sean A = {α, β, γ}, B = {ρ, σ, τ} y f : A → B dada por f (α) = τ, f (β) = σ y
f (γ) = ρ. Entonces f −1
: B → A cumple f −1
(ρ) = γ, f −1
(σ) = β y f −1
(τ) = α.

Combinatoria
Definición
Una permutación sin repetición de un conjunto A de n elementos diferentes consiste
en cualquier ordenación que se pueda hacer con éstos, teniendo en cuenta que el orden
de secuenciación importa.
El número de ordenaciones posible viene dado por la expresión
Pn = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1 = n!.
Ejemplo
Sea A = {a, b, c, d}. Queremos cuántas permutaciones pueden realizarse con los
elementos de A (por ejemplo, abcd, bdca y dabc son tres de ellas). Como |A| = 4, se
tiene por la expresión anterior, tomando n = 4, que P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Combinatoria
Definición
Dados n elementos de r tipos diferentes, con ni el número de elementos de tipo i,
1 ≤ i ≤ r, una permutación con repetición consiste en una reordenación cualquiera de
estos elementos, donde el el total de posibilidades viene dado por
Pn1,n2,...,nr
n =
n!
n1! · n2! · · · nr !
.
Ejemplo
Reordenaciones posibles con las letras de la palabra aabbbc. r = 3 elementos diferentes:
las letras a, b y c. n1 = 2. n2 = 3. n3 = 1. Por tanto, el resultado es
P2,3,1
6 = 6!
2!·3!·1!
= 60.

Combinatoria
Definición
Una variación sin repetición consiste en tomar k elementos dentro de un conjunto de
n elementos y contar las posibles elecciones, teniendo en cuenta que no pueden elegirse
más de una vez un mismo elemento y que, a diferencia de las combinaciones, el orden de
elección importa. El número de posibilidades es, en este caso,
Vn,k = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
.
Ejemplo
Posibles números de dos cifras que pueden formarse con el conjunto de cifras {1, 2, 3, 4}:
V4,2 = 4!
2!
= 12.

Combinatoria
Definición
Una variación con repetición consiste en tomar k elementos dentro de un conjunto de
n elementos y contar las posibles elecciones, teniendo en cuenta que, en este caso, puede
elegirse más de una vez un mismo elemento y que el orden de elección importa. El
número de posibilidades es, en este caso,
VRn,k =
k veces
z }| {
n · n · · · n = nk
.
Ejemplo
Posibles números de dos cifras que pueden formarse con el conjunto de cifras {1, 2, 3, 4},
pudiendo utilizarse cada una más de una vez: VR4,2 = 42
= 16.

Combinatoria
Definición
Una combinación sin repetición consiste en tomar k elementos dentro de un conjunto
de n elementos y contar las posibles elecciones, teniendo en cuenta que no se puede
elegir más de una vez un mismo elemento y que, además, el orden de elección no
importa. En este caso, el número de posibilidades es
Cn,k =

n
k

=
n!
k! · (n − k)!
.
Ejemplo
Posibles grupos de 3 letras dentro del conjunto de 4 letras {a, b, c, d}:
C4,3 = 4
3

= 4!
3!·(4−3)!
= 4.

Combinatoria
Definición
Una combinación con repetición consiste en tomar k elementos dentro de un
conjunto de n elementos y contar las posibles elecciones, teniendo en cuenta que, en este
caso, puede elegirse más de una vez un mismo elemento y que, de nuevo, el orden de
elección no importa. En este caso, el número de posibilidades es
CRn,k =

n + k − 1
k

=
(n + k − 1)!
k! · (n − 1)!
.
Ejemplo
Posibles grupos de 3 letras dentro del conjunto de 4 letras {a, b, c, d}, admitiendo
repetición: CR4,3 = 4+3−1
3

= 6
3

= 6!
3!·(6−3)!
= 20.

¡Muchas gracias!
Contacto:
amilcar.perez@professor.universidadviu.com

Tema 1 - Conjuntos , aplicaciones y combinatoria.pdf

Más contenido relacionado

Similar a Tema 1 - Conjuntos , aplicaciones y combinatoria.pdf (20)

Último (20)

Tema 1 - Conjuntos , aplicaciones y combinatoria.pdf