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- 1. CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
- 2. CONJUNTOSUn conjunto esta constituido por una serie de elementos que poseen una característica o condición especial.Estos elementos se denotan con letras minúsculas (a,b,..) y se encierran entre corchetes {} o círculos , los conjuntos se identifican por ser denotados por una letra Mayúscula(A,B,C…).El Conjunto Universal es un conjunto que posee todos los elementos, y se denota (U).EjemploEl conjunto de los Números Reales (R), cuyos elementos son todos los números Naturales, Cero, Enteros negativos, Fraccionarios, Racionales, Irracionales.R= {-∞…,-2,-1,0,1,2,..∞}
- 3. DETERMINAR UN CONJUNTOPor EXTENCIONCuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno.Ejemplo A={z, w ,x} y D={8,17,25}2. Por COMPRENCIONCuando los elementos de un conjunto, cumplen con una función determinada, la cual esta expresada. EjemploF = {nє N/ n divide a 7} Lo que quiere decir que F son todos los números divisibles entre tres.
- 4. SUBCONJUNTOSSon conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere decir que su condición cumple ambos conjuntos. EjemploTes el conjunto formado por todos los Carros Turbo que existen, mientras que C es el conjunto formado por todos los tipos de carros que existen, entonces decimos claramente que T es un SUBCONJUNTO de C y se denotaT⊂C, ya que los Carros Turbo pertenecen al subconjunto T pero al mismo tiempo pertenecen al conjunto C porque son carros. Diremos que T es subconjunto Propio de C , si se cumple = (T⊂C) y ( T≠C)Lo que quiere decir que TODOS los elementos de T (carros Turbo) están dentro del conjunto C, pero que no todos los elementos de C (TODOS los carros) esta dentro del conjunto T.
- 5. CONJUNTO ES VACIO Cuando no posee elementos y se denota ᵩAᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA no tiene elementos ya que no existe ningún x dentro de el.(debería satisfacer x=x y como es x ≠ x , quiere decir que no hay). CONJUNTO POTENCIA Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo.se denota S(P) o 2SUsando el ejemplo anterior donde el conjunto {C} (son todos los carros),{T}(carros de tipo Turbo), {A} (carros de tipo Aspirados), {I} (carros de tipo Inyeccion)Decimos que: 2S{C} ={{T},{A},{I},{T,A}{T,I}{A,I},{T,A,I}}
- 6. IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES.Atreves de diferentes teoremas esto es posible demostrarse ya que:A = B A C B ^ B C AA es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.UNION de ConjuntosConsiderando J y W dos conjuntos.{G}= {3,6,9} y {P} = {1,5,7}la unión de {G} y{P}, se denota A U B = {xєU / x є J ᵛx є W }Entonces:G UP = {1,3,5,6,7,9} es decir que todos los elementos o están en G o en P.
- 7. Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B :A U A= AA U U= UA U ᵩA = AA U B = B U AINTERSECCION de Conjuntos A ∩ BSignifica que algunos elementos de A están presentes en B.Propiedades de la INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B:A I A = A , ∀ A A I U = A , donde U es el conjunto universalA I ᵩA = ᵩAA I B = B I A
- 8. Diferencia de ConjuntosSon todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no en el conjunto BEjemplo Sean A = { 10,20,30,40,50,60} y B = {10,15,25,30, 45,60}Entonces A-B ={20,40,50} y B-A = {15,25,45}Diferencia SimétricaSe denota como ADB y ADB= (A-B U B-A) Usando el ejemplo anterior podemos decir que la Diferencia Simétrica es ADB= {20,40,50,15,25,45}Propiedades de la Diferencia de ConjuntosSean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:(AUB) - C = (A - C) U (B - C)(A I B) - C = (A - C) I (B - C)(AD B) - C = (A - C) D (B - C)A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)(B - C) I A = (B I A) - (C I A)
- 9. Complemento de un ConjuntoEl complemento de un conjunto son los elementos que le faltan a el mismo para para llegar a ser igual a U.Se define C(F) = {xÎ U/ xÏ F}Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.Ejemplo Si U = {1,10,100,1000} y G = {10,100} entonces C(G) = {1,1000}Teorema: Considerando A y B dos conjuntosA - B = AI C(B)C(C(A)) = A AUC(A) = U AI C(A) = f C(U) = f C(f ) = U AÌ B Û C(B) Ì C(A)
- 10. TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN(para Conjuntos)C(AUB) = C(A) I C(B) C(AIB) = C(A) U C(B)EjemploHallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que:C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}
- 11. ALGEBRA DE PRODUCTOSAsí como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuaciónLeyes de idempotentes
- 18. Leyes de MorganConjunto Producto o Producto CartesianoConsideramos los conjuntos A y B dos conjuntos, A x B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}Ejemplo Si G = {a, b} y P = {2,3,4} entonces G x P = {(a,2), (a,3), (a,4), (b,2), (b,3), (b,4)} y G x P = {(2,a), (2,b), (3,a), (3,b), (4,a),(4,b)}Notamos que GxP¹ Px GTeorema Si A,B,C son tres conjuntos entoncesA x B = F Û A = F Ú B = FA x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)
- 19. Operaciones GeneralizadasFamilia Indizada de ProductosConsideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjuntoh Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.Las familias de conjuntos pueden ser finitas sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales .ParticiónSea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.EjemploSi F={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.
- 20. TEORIA DE LA CARDINALIDAD DE CONJUNTOSDiremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. Ejemplo El conjunto {f,g,m,p,s} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos. Definimos A un conjunto finito, si: El cardinal de A es 0 si A = f El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos EjemploSi F = {0,1,3,5,8,9} entonces #A = 6 Los siguientes teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. Teorema: Sean A y B dos conjuntos finitos, se cumple 1. B - A) = #B - #(AI B) 2. #(AUB) = #A + #B - #(AI B) Teorema: Si A;B y C son tres conjuntos finitos se cumple #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).