Tema 5 computabilidad y algoritmos
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El documento habla sobre los conceptos de computabilidad y algoritmos. En resumen: 1) La computabilidad requiere un conjunto finito de símbolos, asociar conceptos con elementos del lenguaje, encontrar combinaciones de símbolos sin ambigüedad, y definir una manera de confirmar las descripciones. 2) Un algoritmo es un conjunto de instrucciones ordenadas y finitas que permite resolver un problema mediante pasos sucesivos. 3) La máquina de Turing, descrita por Alan Turing, puede simular cualquier algoritmo y ayuda
Tema 5 computabilidad y algoritmos
- 1. Mario Alberto Domínguez Bobadilla TAREA 4 17 de Septiembre de 2013 Fundamentos De Algoritmos
- 2. COMPUTABILIDAD El concepto de "computabilidad" es uno de los pilares fundamentales de la matemática moderna. Se han elaborado diferentes teorías, todas ellas equivalentes, para precisar el concepto de computabilidad pero me interesa resaltar por su simplicidad y accesibilidad la teoría que Alan Turing elaboró en los años 30. El proceso de elaboración de la teoría de lo computable arranca y completa otra teoría matemática más antigua y fundamental: la teoría de los algoritmos. Inicialmente un algoritmo era una secuencia ordenada de operaciones que resolvían determinados problemas matemáticos de un mismo tipo. Por ejemplo, utilizamos frecuentemente en matemáticas básicas el algoritmo (el procedimiento) para multiplicar dos números dados, o también el que permite extraer la raíz cuadrada o el algoritmo que resuelve ecuaciones de segundo grado. Cualquier algoritmo se define en términos matemáticos empleando símbolos de un conjunto dado y aplicando determinadas reglas de combinación entre los mismos. Con ello obtenemos un "mensaje" compuesto por una cadena de símbolos que tiene un determinado significado. LA cadena de símbolos puede a su vez traducirse a una cadena meramente numérica aplicando un sistema dado de codificación. De esta forma entonces cualquier algoritmo escrito en cualquier sistema de símbolos puede ser transformado en un mensaje puramente numérico. Si tenemos algoritmos para determinar las raíces de ecuaciones de segundo grado porqué no buscar un algoritmo que determine las raíces de una ecuación de grado n. De esta forma se intentaba dar respuesta a la pregunta de si existía un superalgoritmo que diese respuesta a cualquier problema matemático. Pero los matemáticos se toparon con la evidencia de que ni siquiera para determinados problemas parecía existir algoritmo. Además del lado de la lógica matemática vino una aportación también desalentadora de la mano de K. Gödel, ya que demostró que existen sistemas de códigos y reglas los cuales no eran capaces de demostrar si una sentencia o mensaje generado dentro del propio sistema era verdadera o falsa (o dicho de otro modo, con estos conjuntos de reglas y símbolos se podía construir un mensaje que a priori dentro del propio sistema no podía decirse si era
- 3. verdadero o falso, como por ejemplo la frase: "esta frase es falsa"; lo que en matemática se denominaban sistemas incompletos). En esta búsqueda infructuosa de superalgoritmos los matemáticos se dieron cuenta de que para responder a la pregunta de si existía ese tal superalgoritmo debía precisarse completamente qué era un algoritmo. En este punto entra la definición que de algoritmo elaboraron Alan Turing y Emile Post mediantes sendas máquinas teóricas: la máquina de Turing y la máquina de Post. Turing y POst en realidad buscaban una definición de computabilidad, es decir una definición de qué y cómo algp puede ser computable o calculable. Para ello centraron sus argumentaciones en torno a unas máquinas de computar teóricas que se denominaron popularmente como máquinas de Turing y Post respectivamente. Así hablamos de números "turingcomputables", funciones "turingcomputables" etc., cuando pueden calcularse por medio de una máquina de Turing y de forma similar también en una máquina de Post. En resumen para la computabilidad es necesario: Un conjunto finito de símbolos. Hacer asociaciones entre conceptos y elementos del lenguaje (de símbolos) Encontrar las combinaciones adecuadas de símbolos para evitar ambigüedad. Definir una manera de confirmar tal descripción para que terceros puedan reproducirla y llegar a los mismos resultados. ALGORITMO Es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.
- 4. MAQUINA DE TURING Una máquina de Turing es un dispositivo que manipula símbolos sobre una tira de cinta de acuerdo a una tabla de reglas. A pesar de su simplicidad, una máquina de Turing puede ser adaptada para simular la lógica de cualquier algoritmo de computador y es particularmente útil en la explicación de las funciones de un CPU dentro de un computador. La máquina de Turing fue descrita por Alan Turing como automática» en una 1936 revista Proceedings of MathematicalSociety, 1 the «máquina en la London La máquina de Turing no está diseñada como una tecnología de computación práctica, sino como un dispositivo hipotético que representa una máquina de computación. Las máquinas de Turing ayudan a los científicos a entender los límites del cálculo mecánico. Una máquina de Turing consta de: 1. Una cinta que se divide en celdas, una al lado de la otra. Cada celda contiene un símbolo de algún alfabeto finito. El alfabeto contiene un símbolo especial llamado blanco (aquí escrito como 'B') y uno o más símbolos adicionales. La cinta se supone que es arbitrariamente extensible hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir, la máquina de Turing siempre es suministrada con tanta cinta como necesite para su computación. Las celdas que no se hayan escrito previamente se asumen que están rellenas con el símbolo blanco. En algunos modelos la cinta tiene un extremo izquierdo marcado con un símbolo especial; la cinta se extiende o es indefinidamente extensible hacia la derecha.
- 5. 2. Un cabezal que puede leer y escribir símbolos en la cinta y mover la cinta a la izquierda y a la derecha una (y sólo una) celda a la vez. En algunos modelos el cabezal se mueve y la cinta es estacionaria. 3. Un registro de estado que almacena el estado de la máquina de Turing, uno de los estados finitos. Hay un especial estado inicial con que el registro de estado es iniciado. Turing escribe que estos estados reemplazan el "estado de la mente" en que ordinariamente estaría una persona realizando cálculos. 4. Una tabla finita de instrucciones (llamada ocasionalmente como tabla de acción o función de transición). Las instrucciones son usualmente 5-tuplas: qiaj→qi1aj1dk, (a veces 4-tuplas), que, dado el estado (qi) la máquina está actualmente en y el símbolo(aj) se está leyendo en la cinta (el símbolo actualmente debajo del cabezal) le indica a la máquina hacer lo siguiente en secuencia (para los modelos de 5-tupla): Borra o escribe un símbolo (reemplazando aj con aj1), y entonces Mueve el cabezal (que es descrito por d k y puede tener los valores: 'L' para un paso a la izquierda, o 'R' para uno paso a la derecha, o 'N' para permanecer en el mismo lugar) y luego Asume el mismo o un nuevo estado como prescrito (ve al estado qi1). PARTES DE UN ALGORITMO Todo algoritmo debe obedecer a la estructura básica de un sistema, es decir: entrada, proceso y salida. Donde: ENTRADA Corresponde al insumo, a los datos necesarios que requiere el proceso para ofrecer los resultados esperados. PROCESO Pasos necesarios para obtener la solución del problema o la situación planteada. SALIDA Resultados arrojados por el proceso como solución.
- 6. CARACTERÍSTICAS DE LOS ALGORITMOS Las características fundamentales que debe cumplir un algoritmo son: PRECISIÓN Indica el orden de realización de cada paso dentro del proceso. DEFINICION Indica la exactitud y consistencia de los pasos descritos en el proceso,si el algoritmo se prueba dos veces, en estas dos pruebas, se debeobtener el mismo resultado. FINITUD Indica el número razonable de pasos, los cuales deben conllevar a la finalización del proceso y producir un resultado en un tiempo finito. Al diseñar un algoritmo se debe tener presente las características de precisión, definición y finitud. Existen 2 tipos de algoritmos Cualitativos: Se describen lospasos utilizando palabras. Cuantitativos: Se utilizancálculos numéricos para definirlos pasos del proceso. TIPOS DE DATOS Como se describió anteriormente, un dato es un campo que puede convertirse en información. Existen datos simples (sin estructura) y compuestos (estructurados). Los datos simples son los siguientes - Numéricos (Reales, Enteros) - Lógicos - Carácter (Char, String) DIAGRAMA DE FLUJO O diagrama de actividades es la representación gráfica del algoritmo o proceso. Se utiliza en disciplinas comoprogramación, economía, procesos industriales y psicología cognitiva. En Lenguaje Unificado de Modelado (UML), un diagrama de actividades representa los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los
- 7. componentes en un sistema. Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general. En SysML el diagrama de actividades ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven elementos físicos (e.g., gasolina) o energía (e.g., presión). Los cambios adicionales permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos. Estos diagramas utilizan símbolos con significados definidos que representan los pasos del algoritmo, y representan el flujo de ejecución mediante flechas que conectan los puntos de inicio y de fin de proceso. Un diagrama de flujo siempre tiene un único punto de inicio y un único punto de término. Las siguientes son acciones previas a la realización del diagrama de flujo: Identificar las ideas principales al ser incluidas en el diagrama de flujo. Deben estar presentes el autor o responsable del proceso, los autores o responsables del proceso anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados, así como las terceras partes interesadas. Definir qué se espera obtener del diagrama de flujo. Identificar quién lo empleará y cómo. Establecer el nivel de detalle requerido. Determinar los límites del proceso a describir. Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son: Establecer el alcance del proceso a describir. De esta manera quedará fijado el comienzo y el final del diagrama. Frecuentemente el comienzo es la salida del proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente. Identificar y listar las principales actividades/subprocesos que están incluidos en el proceso a describir y su orden cronológico. Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores, listarlas también. Identificar y listar los puntos de decisión. Construir el diagrama respetando la secuencia cronológica y asignando los correspondientes símbolos.
- 8. Asignar un título al diagrama y verificar que esté completo y describa con exactitud el proceso elegido. PSEUDOCODIGO Es una descripción informal1 de alto nivel de un algoritmo informático de programación, compacto e informal, que utiliza las convenciones estructurales de un lenguaje de programación verdadero2 , pero que está diseñado para la lectura humana en lugar de la lectura mediante máquina, y con independencia de cualquier otro lenguaje de
- 9. programación. Normalmente, el pseudocódigo omite detalles que no son esenciales para la comprensión humana del algoritmo, tales como declaraciones de variables, código específico del sistema y algunas subrutinas. El lenguaje de programación se complementa, donde sea conveniente, con descripciones detalladas en lenguaje natural, o con notación matemática compacta. Se utiliza pseudocódigo pues este es más fácil de entender para las personas que el código de lenguaje de programación convencional, ya que es una descripción eficiente y con un entorno independiente de los principios fundamentales de un algoritmo. ESTRUCTURAS BASICAS Son tres estructuras básicas de la programación estructurada. a) Secuencia b) Condicional c) Iteración Secuencial Un conjunto de instrucciones se realizan una después de otra en un orden determinado (formando una secuencia) que buscan un objetivo un objetivo. Condicional En la secuencia de ejecución de un programa la verificación de una condición hace que se puedan tomar dos rutas distintas en la ejecución. Posteriormente se vuelven a unir las dos rutas para lograr el objetivo final. Iteración Una subsecuencia de instrucciones se repite varias veces de acuerdo al estado de una condición; puede haber dos casos: - Mientras una condición sea verdadera una subsecuencia de instrucciones se sigue repitiendo. - Mientras una condición sea falsa una subsecuencia de instrucciones se sigue repitiendo.