![Generalizando....
El Montante en capitalización compuesta:
M=C(1+i)t
El Interés en capitalización compuesta
I=M-C=C(1+i)t-C=C[(1+i)t-1]
La capitalización compuesta es un Ley
Financiera a en la que los intereses se
acumulan al capital: Los intereses producen
nuevos intereses cada periodo](https://image.slidesharecdn.com/tema20-091110125752-phpapp01/85/Tema2-0-6-320.jpg)
Tema2 0
- 1. Contenidos del curso Tema 0: Introducción BLOQUE 1 Tema 1: Capitalización y descuento simple Tema 2: Capitalización y descuento compuesto BLOQUE 2 Tema 3: Rentas BLOQUE 3 Tema 4: Préstamos Tema 5: Empréstitos
- 2. SUMARIO 1. Concepto de interés compuesto 2. Los tantos 1. Relación entre los tantos 2. Conversión de tantos anuales en periodales 3. Distinción entre tantos efectivos y nominales 3. La TAE 4. Comparación entre el interés simple y el interés compuesto 5. Descuento compuesto 6. Tanto único equivalente 7. Criterios de selección de inversiones: El VAN y el TIR
- 3. 1-Concepto de interés compuesto Un banco nos presta a 800€ durante 3 años cobrándonos un interés del 6%, que se va acumulando al principal cada año. ¿Cuánto nos pagará? Operación financiera Los intereses producen intereses, pasan a engrosar el capital principal en cada periodo
- 4. Solución Gráfica financiera 800 ¿Vf=M? 0 1 2 3 Capital: C=800 interés: i=6% Tiempo: t=3 años M1=800*(1+0,06) M2=800*(1+0,06)*(1+0,06)=800*(1+0,06)2 M3=M=800*(1+0,06)2*(1+0,06)=800*(1+0,06)3=952,81
- 5. Otra pregunta: ¿cuántos intereses habrá pagado? Gráfica financiera 800 M 0 1 2 3 Capital: C=800 Montante: M=952,81 Intereses=M-C=952,81-800=152,8128
- 6. Generalizando.... El Montante en capitalización compuesta: M=C(1+i)t El Interés en capitalización compuesta I=M-C=C(1+i)t-C=C[(1+i)t-1] La capitalización compuesta es un Ley Financiera a en la que los intereses se acumulan al capital: Los intereses producen nuevos intereses cada periodo
- 7. Observaciones Es necesario que el tiempo y el rédito vengan dados en la misma unidad temporal y de no ser así deben ser trasladados: El tiempo lo puedo trasladar de la forma habitual: 11 meses 11/12 años El interés no puede ser trasladado de la forma habitual: Un interés mensual del 1% NO ES un interés anual del 12%
- 8. Ejercicio 17 (Carlos Gimeno) Obtener el montante de un capital de 125.000 € invertido durante 10 años y 5 meses a una tasa de interés efectivo compuesto del 6,32%
- 9. Solución Gráfica financiera 125.000 ¿Vf=M? 0 1 2.............10+5/12 Capital: C=125.000 interés: i=6,32% Tiempo: t=10 años y 5 meses (5/12 años) M1=125.000*(1+0,0632) M2=125.000*(1+0,0632)*(1+0,0632)=125.000*(1+0,0632)2 ................................ M10=M=125.000*(1+0,0632)10+(5/12)=236.673,30€
- 10. Observaciones Si cada periodo tiene un tipo de interés distinto habrá que calcular el montante capitalizando periodo por periodo 800 ¿Vf=M? 0 1 2 3 i=2% i=3% i=4% M=800*(1+0,02)*(1+0,03)*(1+0,04)= =874,0992
- 11. Observaciones Diremos que: Dos capitales Un capital con un conjunto de capitales Dos conjuntos de capitales ...son equivalentes en un momento t si sus valores en ese momento coinciden
- 12. 2-Los tantos i=efectivo anual i(m)=efectivo periodal (por periodo) i(12)= efectivo mensual i(4)=efectivo trimestral i(3)=efectivo cuatrimestral i(2)=efectivo semestral i(6)=efectivo bimensual j(m)=nominal, sólo me sirve de referencia, SIEMPRE ES ANUAL
- 13. 2.1-Relación entre los tantos j ( m) i(m)*m=j(m) por tanto =i(m) i(2)*2=j(2) m Si tengo el nominal y quiero obtener un efectivo periodal puedo dividir el nominal para el número de periodos. i i(m)*m≠i por tanto i(m) ≠ m Si tengo el efectivo anual y quiero obtener el efectivo periodal NO PUEDO dividir el efectivo anual para el número de periodos
- 14. 2.2- Conversión i en i(m) Para 12 meses: M=C*(1+i(12))12 Para un año M=C*(1+i)1 Como es lo mismo un año que 12 meses C*(1+i(12))12=C*(1+i)1 (1+i(12))12=1+i En general: 1+i=(1+i(m))m j ( m) m Como i(m)= j ( m) 1+i=(1+ ) m m A partir de aquí despejo lo que me haga falta
- 15. EJEMPLO Se plantean dos alternativas de inversión: la primera genera intereses semestrales a un tanto i1(2)=6% la segunda genera intereses trimestrales a un tanto i2(4)=3,75%. ¿Qué valor debería tener i1(2) para representar la misma rentabilidad efectiva que la segunda alternativa?
- 16. Solución i1(2)=6% 1+i=(1+i(m))m --------> i1=(1+0,06)2-1=0,1236=12,36% i2(4)=3,75%. 1+i=(1+i(m))m ----> i2=(1+0,0375)4-1=0,15865=15,865% 1+i=(1+i(m))m 0,15865=(1+i2(2))2-1 -----> i2(2)=(1,15865)1/2-1 i2(2)=7,64%
- 17. 2.3-Cómo distinguir entre j(m), i , i(m) El interés nominal (j(m)) me lo pueden enunciar de las siguientes formas: Interés nominal Interés convertible Interés devengable Interés capitalizable ...con abono de intereses cada... Capitalización periodal (semestral, bimensual...) El interés efectivo anual (i) me lo pueden enunciar de las siguientes formas: Interés Interés efectivo Tasa efectiva Capitalización anual
- 18. Cómo distinguir entre j(m), i , i(m) El interés efectivo periodal (i(m)) me lo pueden enunciar de las siguientes formas: Tasa periodal (semestral, mensual...) Interés periodal (bimensual, trimestral...)
- 19. Ejercicio 1 Se deben 100.000€ pagaderos en 2 años y 300.000€ pagaderos en 5 años. El acreedor consiente en la liquidación de estas deudas mediante un pago único al cabo de tres años, valorando la operación a un 6% convertible semestralmente. Determinar el importe de este pago único.
- 20. Solución al ejercicio 1 100.000 (X) 300.000 0 1 2 3 4 5 j(2)=0,06 i(2)=0,03 X=100.000*(1+0,03)1*2+300.000*(1+0,03)-2*2=106.090+266.546,1143 X=372.636,1143€
- 21. Ejercicio 2 Una persona tiene las siguientes deudas: 50.000€ con vencimiento dentro de 1 año sin intereses 65.000€ con intereses al 4% convertible cuatrimestralmente, con vencimiento dentro de 5 años. ¿Cuál es el importe del pago único que se debería hacer dentro de 3 años, si el tanto aplicable es el 7% convertible trimestralmente?
- 22. Solución al ejercicio 2 65.000 50.000 X 0 1 2 3 4 5 0, 07 2*4 0, 04 0, 07 X=50.000*(1+ ) +65.000*(1+ 3 ) 5*3*(1+ )-2*4 4 4 X=126.455,8209€
- 23. Ejercicio 3 Una persona adquiere un bien por 15.000€. Inicialmente desembolsa 3.750€ y al cabo de un año y medio entrega 6.000€. ¿Cuál será el pago final que se deberá hacer al cabo de 3 años suponiendo un interés del 4,5% efectivo semestral?.
- 24. Solución al ejercicio 3 (15.000-3.750) 6000 X 0 1 1,5...............................3 i(2)=0,045 15.000-3.750=6.000*(1+0,045)-3+X*(1+0,045)-6 X=7.803,43€
- 25. Ejercicio 4 Se invierte un capital X en una entidad financiera que abona un interés del 9,75% nominal trimestral durante 3 años. Al mismo tiempo otro capital inferior en 25.000€ a X es invertido en otra entidad financiera generando un interés nominal bimensual del 3%. Esta segunda inversión se mantendrá 4,5 años. ¿Qué importes se han invertido si a los dos años el interés generado por el primer capital es superior al generado por el segundo en 100.000€?
- 26. Solución al ejercicio 4 X X2 y y2 0 1 2 X Valorado en 2 0, 0975 X2=X(1+ 4 )2*4=1,21247214*X Ix=1,21247214*X-X=0,21247214*X y Valorado en 2 0, 03 2*6 Y2=(X-25.000)*(1+ ) =(X-25.000)*1,06167781 6 Iy=(X-25.000)*1,06167781-(X-25.000)=(X-25.000)*0,06167781 Ix=Iy+100.000 0,21247214*X=(X-25.000)*0,06167781+100.000 X=652.929,58 Y=627.929,58
- 27. EJERCICIOS A RESOLVER Manual de “Gestión Financiera” (tema 3) 1 a 10 12 a 18 24 a 28 32 34, 35
- 28. 3- LA TAE Se denomina TAE (Tasa anual equivalente), al total producido por 1 € que se invierte un año, después de descontados gastos y comisiones de la operación. Si no existen gastos ni comisiones i=TAE
- 29. EJEMPLO 1 Invirtiendo hoy 1.000.000 €, dentro de 4 años me devuelven 1.500.000 €. ¿Cúal es la TAE de la operación?
- 30. Solución Gráfica financiera 1.000.000 1.500.000 0 1 2 3 4 M4=1.000.000*(1+i)4=1.500.000 1.500.000 (1+i)4= =1,5 1.000.000 i=1,51/4-1=0,1066819=10,67%=TAE
- 31. EJEMPLO 2 invierto hoy y durante 4 años, 1.000.000 €, siendo el interés que me produce la inversión del 5% efectivo anual. La operación la realizo a través de una entidad financiera que me cobra por cada gestión un 1%. ¿Cuál es la TAE de la operación?
- 32. Solución Gráfica financiera 1.000.000 ¿M? 0 1 2 3 4 M4=1.000.000*(1+0,05)4=1.215506 1.000.000*1,01 1.215.506*0,99 0 1 2 3 4 1.000.000*1,01*(1+i)4= 1.215.506*0,99 (1+i)4=1,1914366 i=TAE=1,19143661/4-1=4,47%
- 33. Ejercicio 1 Determinar la TAE de las siguientes operaciones: A presta a B, 15.000€ y se compromete a devolver 18.000€ al cabo de un año y medio A presta a B, 15.000€, A cobra una comisión de por la operación de 100€ y B devolverá 18.000€ al cabo de 485 días A presta a B 15.000€ y éste devolverá 8.000€ al cabo de un año y 9.150€ al cabo de 2.
- 34. Solución al ejercicio 1 15.000 18.000 0 1 1,5 años 18.000=15.000(1+i)1,5 i=TAE=12,9243%
- 35. Solución al ejercicio 1 15.000-100 18.000 0 1............................... 485 días 14.900(1+i)485/365=18.000 i=TAE=15,285912%
- 36. Solución al ejercicio 1 15.000 8.000 9.150 0 1 2 15.000=8.000*(1+i)-1+9.150*(1+i)-2 despejando resulta ecuación de segundo grado, tomamos la solución + i=TAE=9,196%
- 37. Nomenclaturas TAE: tasa (o tanto) anual efectiva, tasa (o tanto) anual equivalente TAEC: tasa anual efectiva de coste (para operaciones de pasivo) TAER: tasa anual efectiva de rendimiento de una inversión (para operaciones de activo) En las operaciones simples: TASC: Tasa anual simple de coste de negociación
- 38. EJEMPLO 1 (manual gestión financiera) Un efecto de 30.000€, que vence dentro de 90 días, se presenta hoy a negociar en una institución bancaria con las siguientes condiciones: Tanto de negociación 10% Comisión 0,7% mínimo 3€ Obtener El líquido de la negociación El TASC de la operación
- 39. Solución Gráfica financiera ¿VL? 30.000 0 1 2 3 4 90 - 7 VL=30.000-30.000*0,1* *30.000=29.040€ 360 1.000 TASC 29.040 30.000 0 1 2 3 4 90 30.000=29.040*(1+r* ) 360 r=TASC=0,1322
- 40. EJEMPLO 2 (manual gestión financiera) Un efecto de 30.000€, que vence dentro de 90 días, se presenta hoy a negociar en una institución bancaria con las siguientes condiciones: Tanto de negociación 10% Comisión 0,7% mínimo 3€ Obtener El líquido de la negociación La TAEC de la operación
- 41. Solución Gráfica financiera ¿VL? 30.000 0 1 2 3 4 90 - 7 VL=30.000-30.000*0,1* *30.000=29.040€ 360 1.000 TAEC 29.040 30.000 0 1 2 3 4 30.000=29.040*(1+i)90/360 i=TAEC=0,1389
- 42. EJERCICIOS A RESOLVER Manual de “Gestión Financiera” (tema 4) 13 a) c) y d) (tema 3) 38 a 40 49 a 53
- 43. 4- Interés simple-Interés compuesto Compuesto Simple Para periodos inferiores al año capitaliza mas la ley simple que la compuesta: t<1 simple M=1 Para periodos superiores al año capitaliza mas la ley compuesta que la simple: t>1 compuesta Para periodos de un año capitalizan lo mismo t=1
- 44. Interés simple-Interés compuesto Para periodos que incluyan años, meses y días: 2 años, tres meses y 20 días: Convenio Lineal Los periodos completos los capitalizo en compuesto (2 años) Los periodos restantes en simple Convenio exponencial Capitalizo todo en compuesto En la práctica es el que mas se usa
- 45. Ejemplo Invertimos un capital de 500.000 € en una operación que devenga el 8% trimestral (i(4))durante 3 años, 2 meses y 15 días. ¿Cuál será el montante obtenido?
- 46. Solución Convenio lineal Gráfica financiera 500.000 M 0 1 2 3 3 años, 2 meses y 15 días Tiempo completo: 12 trimestres 75 Resto trimestres 90 M=500.000*(1+0,08) 12*(1+0,08* 75 )=1.343.024 € 90
- 47. Solución Convenio exponencial Gráfica financiera 500.000 M 0 1 2 3 3 años, 2 meses y 15 días Tiempo completo: 12 trimestres Resto 0,83333 trimestres M=500.000*(1+0,08)12,833=1.342.481 € Ejercicio 19 T3 Gestión financiera
- 48. 5- Descuento Compuesto Por cuestiones operativas, dado que las operaciones comerciales suelen ser a corto o medio plazo, el que se utiliza es el descuento compuesto racional Es la operación matemáticamente inversa a la capitalización compuesta E C 0 1 2 3 C=E*(1+i)t E=C*(1+i)-t
- 49. ¿Si tuviéramos d? De forma análoga a la de la capitalización compuesta (el descuento de cada periodo se acumula al siguiente) podemos comprobar que: E=C*(1-d)t Por tanto igualando descuento comercial y racional: d C*(1-d)t=C*(1+i)-t i= 1− d
- 50. 6-TANTO ÚNICO EQUIVALENTE Hemos obtenido 600.000 € de una herencia y realizamos las siguientes inversiones: 100.000 € hoy y durante 4 años al 2% 200.000 € el segundo año y durante 3 años al 3% 300.000 € el tercer año y durante 2 años al 4% ¿A que tanto % deberíamos invertir los 600.000 € para que nos proporcione el mismo rendimiento?
- 51. Solución Gráfica financiera 100.000 200.000 300.000 M 0 1 2 3 4 M=100.000*(1+0,02)4+200.000*(1+0,03)3+300.000*(1+0,04)2= =651.268,62 600.000 651.268,62 0 1 2 3 4 651.268,62=600.000*(1+i)4 i=0,0207096=2,2%
- 52. Generalizando... Se denomina tanto medio al tanto al que hay que invertir un capital suma matemática de otros capitales de forma que su inversión nos proporcione el mismo rendimiento que la suma de los rendimientos de los capitales invertidos independientemente a distintos tipos de interés
- 53. EJERCICIOS A RESOLVER Manual de “Gestión Financiera” (tema 3) 28 30, 31 36 Manual de “Valoración de las operaciones financieras” (tema 2) 5a8 12 a 14 18
- 54. 7-Criterios de selección de inversiones: El VAN y el TIR Una inversión supone hoy un desembolso único de 5.978,07 € y un cobro de 8.000 € dentro de 5 años. Si el tanto de valoración es el 4% compuesto anual, averiguar: El valor actual de cobros y pagos (ejemplo del manual de Gestión financiera)
- 55. Solución Gráfica financiera 5.978,07 0 1 2............................5 V.A(pagos) = 5.978,07 8.000 0 1 2 3 4 V.A(cobros) =8.000*(1+0,04)-4= 6.575,42 Como VA(cobros)>VA(pagos) Diremos que el Valor Actual Neto (VAN) de esta inversión es positivo
- 56. Generalizando.... Se llama Valor Actual Neto (VAN) de una inversión a la diferencia entre los cobros actualizados que genera y los pagos actualizados que exige: VAN= VA(cobros)-VA(pagos) Para que una inversión sea rentable es necesario que el valor actualizado de los cobros que genera sea superior al valor actualizado de los pagos que exige o sea que su VAN>0
- 57. Generalizando.... El caso límite para realiza una inversión estará en VAN=0, o sea VA(cobros)=VA(pagos) Al tanto de interés compuesto anual que hace que los cobros actualizados se igualen a los pagos actualizados, o sea que hace que el VAN sea igual a 0 se le denomina Tanto Interno de rendimiento (TIR)
- 58. Ejemplo (manual de gestión financiera) Una inversión supone hoy un desembolso único de 40.000 € y reportará unos cobros de 27.000 € dentro de 1 año y 20.000 dentro de 2 años. averiguar: La tasa de interés compuesto anual a partir de la cual es rentable la inversión
- 59. Solución Gráfica financiera 40.000 0 1 2............................n V.A(pagos) = 40.000 27.000 20.000 0 1 2............................n V.A(cobros) =27.000*(1+i)-1+ 20.000*(1+i)-2 VA(cobros)=VA(pagos) 27.000*(1+i)-1+ 20.000*(1+i)-1 = 40.000--------- i=12,1%
- 60. EJERCICIOS A RESOLVER Manual de “Gestión Financiera” (tema 3) 37 41 a 48
- 61. Concluimos... El VAN se mide en unidades monetarias, y tiene distinto valor según el tanto de valoración El TIR tiene un único valor por cada inversión y se mide en pocentajes El TIR hace que el VAN sea igual a 0 Una inversión será mas rentable cuanto Mayor sea su TIR Una inversión será rentable siempre que su TIR sea superior al tanto de mercado