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Tema 2
Estimación por intervalos de
conﬁanza y contrastes de hipótesis
Estadística Avanzada
Ana D. Maldonado
Departamento de Matemáticas, Universidad de Almería

Índice
1 Planteamiento general de un intervalo de confianza
2 Metodología general de contrucción de un intervalo de confianza
3 Planteamiento general de un contraste de hipótesis paramétrico
4 Método de construcción de contrastes de hipótesis
5 Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis de uso frecuente
© Ana D. Maldonado 2

PLANTEAMIENTO GENERAL DE UN INTERVALO DE
CONFIANZA

Planteamiento General de un Intervalo de Conﬁanza
En el tema anterior aprendimos que los estimadores son funciones de las observaciones
muestrales, y cuando se calcula el valor del estimador θ̂ para una muestra concreta entonces
se tiene la estimación puntual.
Ejemplo 10 del Tema 1
Para estimar el tiempo medio, µ, en atender a un cliente se obtiene una muestra de 10 clientes
seleccionados al azar y se mide el tiempo, en segundos, en ser atendidos en una ventanilla, obteniendo:
115, 78, 194, 91, 110, 50, 61, 176, 163, 156
La estimación puntual del tiempo medio en atender a un cliente fue de µ̂ = X̂n = 119.4

Sabemos que el valor proporcionado por la estimación puntual generalmente difiere del
verdadero valor del parámetro θ. La pregunta que nos hacemos ahora es ¿cuánto difiere? Es
deseable proporcionar, junto a la estimación puntual, un intervalo que medida del posible
error asociado a la estimación del parámetro.
Ejemplo 10 del Tema 1 (continuación)
Sabemos que el verdadero valor de µ no es exactamente 119.4.
En este tema, aprenderemos a construir un intervalo [θ̂1, θ̂2] dentro del cual esperaríamos
encontrar el valor del parámetro θ. Este intervalo se conoce como intervalo de confianza.

• Toda aproximación debe ir acompañada de una acotación de error cometido.
• En el Tema 1 se definió un error cuadrático medio, pero sólo como criterio de elección
entre estimadores, no como una medida del error de una estimación.
Para tratar de dar una aproximación más adecuada del parámetro que estemos estudiando,
usaremos los intervalos de confianza.
Intervalo de confianza
A partir de una muestra, construiremos dos cantidades numéricas, θ̂1 y θ̂2, de tal manera que el
intervalo [θ̂1, θ̂2] ofrezca unas garantías determinadas de contener al valor desconocido de θ. Además
lo que pretendemos es que el intervalo obtenido sea de amplitud mínima.

Considérese una población representada por X → f(x; θ), con θ desconocida.
Dada una muestra aleatoria simple de X, X1, . . . , Xn, determinamos dos funciones a partir de
los valores muestrales, θ̂1(X1, . . . , Xn), θ̂2(X1, . . . , Xn), denotados por θ̂1(X) y θ̂2(X).
• Antes de particularizar su valor para la muestra, θ̂1(X) y θ̂2(X) son funciones que
dependen de la muestra; por lo tanto, son variables aleatorias.
• A partir del resultado de una muestra, θ̂1 y θ̂2, se convierten en valores ﬁjos.

Estimación por intervalo del parámetro θ
Dado que el objetivo es construir un intervalo cuya probabilidad de contener al verdadero valor del
parámetro, θ, sea muy alta, tenemos que determinar dos funciones, θ̂1(X) y θ̂2(X), que nos darán los
valores extremos del intervalo, tales que
P[θ̂1(X) ≤ θ ≤ θ̂2(X)] = 1 − α (1)
donde
• 0 < α < 1, normalmente pequeño. Valores típicos de α son 0.05, 0.1 y 0.01.
• 1 − α recibe el nombre de nivel de conﬁanza.

Interpretación del intervalo de confianza
Observando el intervalo dado en la expresión (1) se pone de manifiesto:
• Que se trata de un intervalo aleatorio, pues los extremos dependen de la muestra seleccionada y,
por tanto, las funciones θ̂1(X) y θ̂2(X) son variables aleatorias.
• Que el parámetro desconocido θ se considera un valor fijo, no una variable aleatoria.
• En consecuencia, en incorrecto interpretar que 1 − α es la probabilidad de que θ esté entre θ̂1 y θ̂2
Por lo tanto, la interpretación correcta de la expresión (1) es que 1 − α es la probabilidad de que el
intervalo aleatorio [θ̂1(X), θ̂2(X)] incluya al verdadero valor del parámetro.
Interpretación de un IC dada una muestra
Una vez seleccionada la muestra, la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro esté en el
intervalo [θ̂1, θ̂2] es 1 si de verdad está o 0 si no está entre los dos números en los que se convierten θ̂1 y
θ̂2 al particularizarlos para la muestra X1, . . . , Xn concreta.

Interpretación del concepto de confianza
Si se repitiera el experimento muestral X1, . . . , Xn un número suficiente de veces, es decir, se obtuviese
muchas muestras distintas, el 100(1 − α)% de casos se confiaría en que el verdadero valor del
parámetro θ pertenezca al intervalo [θ̂1(X), θ̂2(X)].
Por ejemplo, para un nivel de confianza del
95%, si tomamos 100 muestras aleatorias
de tamaño n de la misma población,
esperamos que aprox. el 95% de ellos
contendrán el verdadero valor del
parámetro y el 5% restante no. Pero como
en la práctica solo tomamos una muestra
aleatoria, no conocemos si nuestro
intervalo es uno del 95% o del 5% y por eso
hablamos de que tenemos un nivel de
confianza del 95%.

METODOLOGÍA GENERAL DE CONTRUCCIÓN DE UN
INTERVALO DE CONFIANZA

Metodología general de construcción de un IC
Método pivote
Este método consiste básicamente en la obtención de un estadístico llamado pivote T(X1, . . . , Xn, θ)
que veriﬁque las siguientes condiciones:
1. El pivote T(X1, . . . , Xn, θ) es una función de las observaciones muestrales y del parámetro θ, de tal
manera que para cada muestra solo dependerá de θ.
2. La distribución muestral del pivote T(X1, . . . , Xn, θ) es conocida y no depende del parámetro θ.

Método Pivote
Al conocer la distribución muestral del pivote y no depender del parámetro θ, dado un nivel
de conﬁanza 1 − α, podemos calcular de forma sencilla dos valores λ1 y λ2 que cumplan
P[λ1 ≤ T(X1, . . . , Xn, θ) ≤ λ2] = 1 − α (2)
Este par λ1 y λ2 no son únicos. ¿Cómo escogemos los valores λ1 y λ2, al no ser únicos?
Selección de λ1 y λ2
Escogeremos λ1 y λ2 de forma que se reparta la probabilidad sobrante α en dos mitades (suele
coincidir con el IC de amplitud mínima.)

Método Pivote
Una vez tengamos λ1 y λ2, despejamos θ de T(X1, . . . , Xn, θ) y obtendremos
P[ ˆ
θ1(X1, . . . , Xn, λ1) ≤ θ ≤ ˆ
θ2(X1, . . . , Xn, λ2)] = 1 − α
que es lo que buscábamos.
Condiciones Método Pivote
1. La existencia de T(X1, . . . , Xn, θ), cuya distribución esté totalmente determinada y que no dependa
de θ.
2. La posibilidad de despejar θ en la doble desigualdad del interior de los corchetes de la expresión
(2).

Método Pivote
Ejemplo 1
Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria procedente de una población N(µ, σ), con σ conocida. Deseamos
obtener el intervalo de conﬁanza al nivel del 95% para el parámetro poblacional µ.

Método Pivote
Ejemplo 1 (Solución)

Método Pivote

PLANTEAMIENTO GENERAL DE UN CONTRASTE DE
HIPÓTESIS PARAMÉTRICO

Planteamiento General de un Contraste de Hipótesis
Mientras que los intervalos de confianza se utilizan para estimar parámetros, los contrastes
o test de hipótesis sirven para tomar decisiones acerca de las características poblacionales.
Ambos métodos de inferencia estás estrechamente ligados ya que se basan en las mismas
distribuciones muestrales.
Contrastes de hipótesis
Un contraste de hipótesis tiene como objetivo decidir si una determinada hipótesis sobre la
distribución en estudio es confirmada o invalidada a partir de las observaciones de una muestra.
Ejemplos de hipótesis
• Una compañía recibe un gran cargamento de piezas. Sólo acepta el envío si no hay más de un 5%
de piezas defectuosas. ¿Cómo tomar una decisión sin verificar todas las piezas?
• Un investigador quiere saber si una propuesta de reforma fiscal es acogida de igual forma por
hombres y mujeres. ¿Cómo puede comprobar esa conjetura?

Conceptos básicos
Hipótesis estadística
Una hipótesis estadística es cualquier afirmación sobre alguna característica desconocida de la
población.
• Si la hipótesis se refiere al valor de un parámetro desconocido θ de la población, diremos que se
trata de un contraste paramétrico.
• Si la hipótesis se refiere al modelo probabilístico de la población, hablaremos de contrastes no
paramétricos (Tema 3).
En cualquier caso, el primer paso para contrastar hipótesis es definir dos alternativas que
cubran todos los resultados posibles; esto es lo que llamaremos hipótesis nula e hipótesis
alternativa.

Conceptos básicos
Llamaremos hipótesis nula, H0, a la hipótesis que se contrasta. El nombre de "nula" proviene
de que H0 representa la hipótesis que mantendremos a no ser que los datos indiquen su
falsedad, y debe entenderse, por tanto, en el sentido de "neutra". La hipótesis H0 nunca se
considera probada, aunque puede ser rechazada por los datos.
Observaciones sobre la hipótesis nula
• La hipótesis nula es la que se quiere contrastar.
• Se denota por H0.
• Viene dada por una igualdad o aﬁrmación positiva.
• El contraste de hipótesis NO sirve para demostrar H0.
• A partir de los datos de la muestra, la conclusión del contraste será:
• Rechazar H0, si hay una fuerte evidencia en su contra.
• No rechazar H0, si NO hay suﬁciente evidencia de que sea falsa (es decir, dada la muestra
observada, es aceptable suponer que H0 es cierta).

Conceptos básicos
Si rechazamos H0 estamos implícitamente aceptando una hipótesis alternativa, H1.
Aceptamos H1 si los datos de la muestra indican claramente que H0 no es cierta, y por tanto,
su contrario, H1, debe ser cierto.
Observaciones sobre la hipótesis alternativa
• La hipótesis alternativa es la negación de H0.
• Se denota por H1.
• H1 nunca contiene los signos ‘=’, ‘≤’, ‘≥’.
• H1 puede aceptarse o no aceptarse.
• El contraste de hipótesis sirve para demostrar H1, ya que requiere una fuerte evidencia (en contra
de H0) para ser aceptada. Por lo tanto, H1 es la hipótesis que se desea probar fuera de toda duda
(salvo error α).

Tipos de error
DECISIÓN
No rechazar H0 Rechazar H0
H0 cierta
correcta errónea
H0 falsa
errónea correcta

Tipos de error
DECISIÓN
No rechazar H0 Rechazar H0
H0 cierta
correcta
Nivel de conﬁanza:
1-α
errónea
Error de tipo I (Nivel de
signiﬁcación: α)
H0 falsa
errónea
Error de tipo II (β)
correcta
Potencia: 1 − β

Tipos de error
Tipos de error en un contraste de hipótesis
• Error de Tipo I: Rechazar H0 cuando es cierta.
• Error de Tipo II: Aceptar H0 cuando es falsa.

Tipos de error
El test de hipótesis se debería diseñar de forma que los errores tipo I y tipo II no se
cometieran de forma frecuente, es decir, que tengan una baja probabilidad.
Probabilidad del error tipo I y tipo II
α = P(Error tipo I) ; β = P(Error tipo II)
• α recibe el nombre de nivel de signiﬁcación del test.
• 1 − β recibe el nombre de potencia del test. Nótese que
1 − β = P(Rechazar H0 cuando es falsa)

Tipos de error
α: probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta (error tipo I)
β: probabilidad de no rechazar H0 cuando es falsa (error tipo II)
potencia: probabilidad de rechazar H0 cuando es falsa

Ejemplo
Ejemplo 2
Una empresa sabe que el tiempo necesario para atender la queja de un cliente es una variable aleatoria
X → N(µ, 4), e intenta determinar, para mejorar su servicio, si el tiempo medio necesario para atender
la queja de un cliente ha aumentado a 7 minutos o sigue siendo de 4 minutos. Para ello, se selecciona
una muestra aleatoria de 16 clientes y se mide el tiempo necesario para atender sus quejas, y si la
media muestral es mayor que 5.6, se rechaza que µ = 4, y por lo tanto se acepta que µ = 7.
1. Determinar la probabilidad de los errores Tipo I y Tipo II. (Sol: 0.0548; 0.0808)
2. Determinar la potencia del test. (Sol: 0.9192)
3. Si deseamos una probabilidad de cometer un error de Tipo I igual al 2%, determinar la región
crítica y la probabilidad de cometer un error de Tipo II. (Sol: C = (6.0537, + ∞); 0.172)

Ejemplo

Tipos de error
Observación
Hemos visto que al disminuir α (ha pasado de 0.0548 a 0.02), aumenta β (ha pasado de 0.0808 a
0.172). Lo ideal es minimizar la probabilidad de cometer ambos errores, α y β, pero esto no se puede
lograr simultáneamente, ya que al disminuir uno, aumenta el otro. La única forma de lograrlo es
incrementar el tamaño de la muestra.

MÉTODO DE CONSTRUCCIÓN DE CONTRASTES DE
HIPÓTESIS

Método de construcción de un Contraste de Hipótesis
Etapas del contraste de hipótesis
1. Deﬁnir la hipótesis nula a contrastar, H0 , y la alternativa, H1.

H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0

H0 : θ ≤ θ0
H1 : θ θ0

H0 : θ ≥ θ0
H1 : θ θ0
Test bilateral Test unilateral Test unilateral

Etapas del contraste de hipótesis (continuación)
2. Definir una medida de discrepancia, T = d(θ̂, θ0), entre los datos muestrales, X1, . . . , Xn, y H0.
Llamaremos a esta medida estadístico del contraste. Para contrastes paramétricos:
• La discrepancia puede expresarse como una función del valor del parámetro especificado
por H0 y el valor estimado en la muestra, θ̂.
• La medida de discrepancia debe tener una distribución conocida bajo el supuesto de que H0
es cierta.
3. Decidir qué discrepancias consideramos inadmisibles con H0, es decir, a partir de qué valor de
diferencia entre θ̂ y θ0 es demasiado grande para poder atribuir al azar. Esto lo hacemos fijando un
valor para α.
4. Tomar la muestra, calcular el valor del estimador θ̂ y de la discrepancia observada d(θ̂, θ0), que
usualmente se llama t0. Si ésta es pequeña, aceptar H0; si es demasiado grande, rechazar H0 y
aceptar H1.

Región de rechazo
El método tradicional de realizar un contraste es
1. Dividir el rango de discrepancias que puede observarse cuando H0 es cierta en dos regiones: una
región de aceptación de H0 y otra de rechazo, llamada región crítica o de rechazo.
2. Fijado α, la región de rechazo se determina a partir de la distribución de T = d(θ̂, θ0), suponiendo
que H0 es cierta.
3. Cuando la discrepancia observada (t0) en la muestra pertenece a la región de rechazo, se dice que
se ha producido una diferencia (estadísticamente) signiﬁcativa, y se rechaza la hipótesis H0. Es
decir, rechazaremos H0 cuando el estadístico de contraste tome valores muy extremos.

p-valor
En lugar de contrastar hipótesis a niveles de signiﬁcación α preasignados, también se puede hallar el
nivel de signiﬁcación más bajo al que se puede rechazar H0, dada la muestra concreta. Es lo que se
denomina p-valor o nivel crítico de un contraste.
Por lo tanto, se puede interpretar el p-valor como la probabilidad de obtener un valor del estadístico del
contraste igual de extremo o más que el valor obtenido para la muestra en cuestión cuando la hipótesis
nula es verdadera.
Cuando calculamos el p-valor, podemos contrastar H0 utilizando la siguiente regla:
• No rechazar H0 si p ≥ α
• Rechazar H0 si p α

Cálculo del p-valor
• Contraste bilateral (H1 : θ 6= θ0): 2 · min{P(T t0|H0 cierta), P(T t0|H0 cierta)}
• Contraste unilateral por la derecha (H1 : θ θ0): P(T t0|H0 cierta)
• Contraste unilateral por la izquierda (H1 : θ θ0): P(T t0|H0 cierta)

p-valor o región crítica
• Las conclusiones son las mismas, ambas reglas de decisión son equivalentes. Si aceptamos H0
basándonos en p-valor, también la aceptaremos basándonos en la región crítica, y viceversa.
• En SPSS solo se muestran p-valores, no regiones críticas, al resolver contrastes de hipótesis.

INTERVALOS DE CONFIANZA Y CONTRASTES DE
HIPÓTESIS DE USO FRECUENTE

IC y CH de uso frecuente
Vamos a estudiar los siguientes Intervalos de Conﬁanza (IC) y Contrastes de Hipótesis (CH)
para poblaciones normales y proporciones:
• IC y CH para poblaciones normales
• Para la media de una distribución. diapositiva 47
• Igualdad de varianzas de dos muestras independientes. diapositiva 56
• Igualdad de medias de dos muestras independientes
• con varianzas desconocidas, pero iguales. diapositiva 65
• con varianzas desconocidas, no necesariamente iguales. diapositiva 67
• Igualdad de medias de dos muestras emparejadas. diapositiva 76
• IC y CH para proporciones
• Una muestra. diapositiva 84
• Dos muestras. diapositiva 90

Muestras independientes y relacionadas
Muestras independientes
En las muestras independientes, los elementos
de una muestra no están relacionados con los
elementos de la otra muestra. Por tanto, las
muestras independientes son mediciones
realizadas en 2 conjuntos de elementos
diferentes.
Muestras relacionadas
En las muestras relacionadas (emparejadas o
pareadas), cada elemento de una muestra está
relacionado con un elemento de la otra muestra.
Por ejemplo, mediciones realizadas sobre el
mismo conjunto de elementos antes y después
de un evento.

IC y CH para la media de una Población Normal
Una muestra
Si consideramos una población en donde existe una variable X → N(µ, σ), cuya media µ es
desconocida y disponemos de una muestra X1, . . . , Xn podemos obtener:
• Intervalo de conﬁanza para µ con el estadístico pivote:
X̄ − µ
S/
√
n
→ t(n − 1)
• Contrastes bilaterales y unilaterales para µ, mediante el estadístico de contraste:
T =
X̄ − µ0
S/
√
n
→ t(n − 1)
donde X̄ es la media muestral y S2
es la varianza muestral.
i

Contrastes de Hipótesis para µ: prueba t de Student
Contraste Estadístico Contraste Región Crítica P-valor
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0

[T tn−1, α
2
] ∪ [T tn−1,1− α
2
] 2 · min
n
P[T t0], P[T t0]
o
H0 : µ ≤ µ0
H1 : µ µ0

T =
X̄ − µ0
S/
√
n
→ t(n − 1) [T tn−1,1−α] P[T t0]
H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ µ0

[T tn−1,α] P[T t0]

Ejemplo 3
Se supone que el peso en gramos de los huevos procedentes de una granja sigue una distribución
normal. Seleccionada aleatoriamente una muestra de 8 huevos, se obtuvieron los siguientes pesos
70, 70, 68, 68, 69, 71, 67, 70
Se pide el intervalo de conﬁanza y contrastar la hipótesis de que el peso medio de los huevos
procedentes de dicha granja es igual a 70 gramos, utilizando en ambos casos un nivel de conﬁanza del
95%. (Sol: [67.99, 70.26]; p-valor = 0.1107)

Ejemplo 3 (Solución Intervalo de conﬁanza)

Ejemplo 3 (Solución Contraste de hipótesis)

CH para dos Poblaciones Normales: varianzas
Los contrastes de hipótesis relativos a la varianza son cada vez más importantes. Por
ejemplo:
• Las empresas tratan de reducir la variabilidad de los procesos con el ﬁn de garantizar
que todas las unidades producidas sean de alta calidad.
• En los estudios de control de calidad, a menudo se trata de saber qué proceso tiene la
menor varianza.
• En investigación ﬁnanciera, la varianza se puede utilizar como una medida del riesgo de
una acción en el mercado de valores. Cuanto mayor sea la varianza, mayor será el
riesgo.
i

Dos muestras independientes
Si consideramos una población en donde existen dos variables independientes:
X → N(µx, σx), Y → N(µy, σy)
cuyas medias y varianzas son desconocidas, podemos considerar el siguiente contraste de hipótesis
bilateral sobre las varianzas:

H0 : σ2
x = σ2
y
H1 : σ2
x 6= σ2
y
Para ello, es fundamental disponer de dos muestras independientes.

El test de Levene se utiliza para contrastar la igualdad de varianzas en dos (o más) muestras
independientes. El estadístico de contraste para la realización del test es:
F =
n(D̄1 − D̄)2
+ m(D̄2 − D̄)2
n
X
i=1
(D1i − D̄1)2
+
m
X
i=1
(D2i − D̄2)2
n+m−2
→ F(1, n + m − 2)
donde
• n y m son el tamaño muestral de X e Y, respectivamente
• D1i = |xi − x̄| y D2i = |yi − ȳ|
• D̄1 =
Pn
i=1 D1i
n y D̄2 =
Pm
i=1 D2i
m
• D̄ =
Pn
i=1 D1i+
Pm
i=1 D2i
n+m

Contrastes de Hipótesis para Igualdad de Varianzas: prueba de Levene
Contraste Estadístico Contraste P-valor
H0 : σ2
x = σ2
y
H1 : σ2
x 6= σ2
y

F =
n(D̄1 − D̄)2
+ m(D̄2 − D̄)2
n
X
i=1
(D1i − D̄1)2
+
m
X
i=1
(D2i − D̄2)2
n+m−2
→ F(1, n + m − 2) P[F f0]

Ejemplo 4
En un estudio sobre los préstamos realizados por dos entidades ﬁnancieras a sus clientes se toma una
muestra aleatoria de 6 préstamos de la primera entidad, obteniendo como resultado la siguiente
muestra:
7000, 8500, 9900, 10000, 6900, 7100
Una muestra aleatoria, independiente de la anterior, de 9 préstamos de la segunda entidad ofreció
como resultado la siguiente muestra
2000, 3600, 5000, 3000, 2500, 6100, 4000, 3300, 2200
Admitiendo que las dos distribuciones poblacionales son normales, contrastar a nivel de signiﬁcación
del 5% si podemos aceptar la igualdad de varianzas de ambas poblaciones. (Sol: p-valor = 0.584)

IC y CH para dos Poblaciones Normales: medias
Si consideramos una población en donde existen dos variables independientes:
cuyas medias µx y µy son desconocidas, podemos obtener:
• Intervalo de conﬁanza para la diferencia de medias, µx − µy.
• Contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la diferencia de medias, µx − µy.
Para ello, es fundamental disponer de dos muestras independientes, X e Y, de tamaños n y m,
respectivamente.
Además, tanto el pivote como el estadístico del contraste para la diferencia de medias dependen de si
las varianzas son iguales σ2
x = σ2
y o si son distintas σ2
x 6= σ2
y , cuestión que podemos determinar con el
contraste anteriormente estudiado para varianzas.
i

Caso 1: varianzas poblacionales desconocidas pero iguales, σ2
x = σ2
y
• Intervalos de Conﬁanza. Si σ2
x = σ2
y , el estadístico pivote viene dado por:
X̄ − Ȳ − (µx − µy)
Sp
p
(1/n) + (1/m)
→ t(n + m − 2)
• Contrastes de Hipótesis. Si σ2
x = σ2
y , el estadístico de contraste viene dado por:
T =
X̄ − Ȳ − ∆0
Sp
p
(1/n) + (1/m)
→ t(n + m − 2)
donde
S2
p =
(n − 1)S2
x + (m − 1)S2
y
n + m − 2
y X̄ e Ȳ son las respectivas medias muestrales y S2
x y S2
y son las respectivas varianzas muestrales. i

Contrastes de Hipótesis para µx − µy. Caso σ2
x = σ2
y
H0 : µx − µy = ∆0
H1 : µx − µy 6= ∆0

2 · min
n
P[T t0], P[T t0]
o
H0 : µx − µy ≤ ∆0
H1 : µx − µy ∆0

T =
X̄ − Ȳ − ∆0
Sp
p
(1/n) + (1/m)
→ t(n + m − 2) P[T t0]
H0 : µx − µy ≥ ∆0
H1 : µx − µy ∆0

S2
p =
(n − 1)S2
x + (m − 1)S2
y
n + m − 2
P[T t0]

Caso 2: varianzas poblacionales desconocidas y distintas, σ2
x 6= σ2
y
• Intervalos de Conﬁanza. Si σ2
x 6= σ2
y , el estadístico pivote viene dado por:
X̄ − Ȳ − (µx − µy)
q
(S2
x /n) + (S2
y /m)
→ t([ν])
• Contrastes de Hipótesis. Si σ2
x 6= σ2
y , el estadístico de contraste viene dado por:
T =
X̄ − Ȳ − ∆0
q
(S2
x /n) + (S2
y /m)
→ t([ν])
donde
ν =
(S2
x /n + S2
y /m)2
(S2
x /n)2/(n − 1) + (S2
y /m)2/(m − 1)
y X̄ e Ȳ son las respectivas medias muestrales y S2
x y S2
y son las respectivas varianzas muestrales. i

Contrastes de Hipótesis para µx − µy. Caso σ2
x 6= σ2
y
H0 : µx − µy = ∆0
H1 : µx − µy 6= ∆0

2 · min
n
P[T t0], P[T t0]
o
H0 : µx − µy ≤ ∆0
H1 : µx − µy ∆0

T =
X̄ − Ȳ − ∆0
q
(S2
x /n) + (S2
y /m)
→ t([ν]) P[T t0]
H0 : µx − µy ≥ ∆0
H1 : µx − µy ∆0

ν =
(S2
x /n + S2
y /m)2
(S2
x /n)2/(n − 1) + (S2
y /m)2/(m − 1)
P[T t0]

Ejemplo 5
muestra:
7000, 8500, 9900, 10000, 6900, 7100
2000, 3600, 5000, 3000, 2500, 6100, 4000, 3300, 2200
Admitiendo que las dos distribuciones poblacionales son normales, obtener al nivel del 95% un
intervalo de conﬁanza para la diferencia entre sus medias poblacionales. (Sol: [3130.863, 6291.359])

Ejemplo 6
muestra:
7000, 8500, 9900, 10000, 6900, 7100
2000, 3600, 5000, 3000, 2500, 6100, 4000, 3300, 2200
Admitiendo que las dos distribuciones poblacionales son normales, ¿podemos considerar que los
importes medios de los préstamos de las dos entidades ﬁnancieras son iguales? (Sol: p-valor = 2.2e-5)

Dos muestras apareadas
Si al igual que el caso anterior, consideramos una población en donde existen dos variables:
pero suponemos que ambas variables son dependientes, sus correspondientes muestras deben ser de
igual tamaño n
Muestra para X: X1, . . . , Xn
Muestra para Y: Y1, . . . , Yn
y ambas muestras estarán apareadas.
i

Muestras apareadas
Si desconocemos las medias poblacionales µx y µy, en el caso de muestras apareadas podemos
obtener intervalos de conﬁanza y contrastes de hipótesis para la diferencia de medias µx − µy. Para
ello, debemos considerar la v.a D = X − Y. Con ello:
• Intervalo de Conﬁanza para µD con el estadístico pivote:
D̄ − µD
SD/
√
n
→ t(n − 1)
• Contraste de Hipótesis para µD, mediante el estadístico de contraste:
T =
D̄ − D0
SD/
√
n
→ t(n − 1)
donde D̄ y S2
D son respectivamente la media muestral y la varianza muestral de la muestra
correspondiente a la v.a D.

Contrastes de Hipótesis para µx − µy. Muestras apareadas.
H0 : µx − µy = ∆0
H1 : µx − µy 6= ∆0

2 · min
n
P[T t0], P[T t0]
o
H0 : µx − µy ≤ ∆0
H1 : µx − µy ∆0

T =
D̄ − D0
SD/
√
n
→ t(n − 1) P[T t0]
H0 : µx − µy ≥ ∆0
H1 : µx − µy ∆0

D = X − Y P[T t0]

Ejemplo 7
Una empresa de marketing ofrece a una conocida editorial preparar a sus representantes mediante un
curso acelerado que, según aﬁrma, supondrá un incremento de las ventas realizadas por éstos. Para
comprobar el resultado del curso, se seleccionó una muestra aleatoria de 6 representantes y se
contabilizó su volumen de ventas durante la semana anterior y posterior al curso. Los resultados, en
miles de euros, fueron los siguientes:
Representante 1 2 3 4 5 6
Ventas antes 130.2 180.7 149.6 153.2 162.6 160.1
Ventas después 136.9 201.5 167.3 150.1 173.3 170.4
Suponiendo que la distribución del volumen semanal de ventas es normal, construir un intervalo de
conﬁanza al 90% para la diferencia entre las ventas medias semanales antes y después del curso. (Sol:
[-17.47, -3.57])

Intervalos de Confianza sobre una proporción
Una muestra
Si consideramos una población de la que queremos estudiar la proporción de éxitos, siendo todo lo
demás desconocido, el intervalo de confianza se obtiene con el siguiente estadístico pivote:
T =
p̂ − p
r
p(1 − p)
n
→ N(0, 1)
Como p es desconocido, el denominador del estadístico pivote debe ser estimado mediante:
p̂(1 − p̂)
n
El intervalo de confianza es asintótico, es decir, es fiable en el límite (cuando n es grande), dado que
utiliza el Teorema Central del Límite para definir la distribución del estadístico. Por tanto podemos
obtener el intervalo si n ≥ 25.
i

Contrastes de Hipótesis sobre una proporción
Una muestra.
El contraste de hipótesis acerca de una proporción es un contraste asintótico, es decir, es ﬁable en el
límite (cuando n es grande), dado que utiliza el Teorema Central del Límite para deﬁnir la distribución
del estadístico. Si la hipótesis nula es simple y establece H0 : p = p0, entonces, si es cierta, el
estadístico:
T =
p̂ − p0
r
p0(1 − p0)
n
→ N(0, 1)
nos permite llevar a cabo el contraste (n ≥ 25).

Contrastes de Hipótesis para p.
H0 : p = p0
H1 : p 6= p0

2 · min
n
P[T t0], P[T t0]
o
H0 : p ≤ p0
H1 : p p0

T =
p̂ − p0
r
p0(1 − p0)
n
→ N(0, 1) P[T t0]
H0 : p ≥ p0
H1 : p p0

P[T t0]

Ejemplo 8
Se está intentando probar que la proporción de familias con vivienda en propiedad totalmente pagada
en una ciudad es del 20%. Para ello se toma una muestra de 800 familias y se observa que la
proporción de familias con vivienda en propiedad totalmente pagada es del 18%. ¿Es consistente la
hipótesis a probar con el resultado obtenido de la muestra con un nivel de conﬁanza del 95%? (Sol:
p-valor = 0.1573)

Intervalos de Confianza sobre dos proporciones
Si consideramos una población de la que queremos estudiar si dos probabilidades de éxito (px y py)
son diferentes o no (diferencia de proporciones), siendo todo lo demás desconocido debemos
disponer de dos muestras independientes:
Muestra de tamaño n para la proporción (px): X1, . . . , Xn
Muestra de tamaño m para la proporción (py): Y1, . . . , Ym
El intervalo se obtiene con el siguiente estadístico pivote:
T =
p̂x − p̂y − (px − py)
q
p̂x(1−p̂x)
n
+
p̂y(1−p̂y)
m
→ N(0, 1)
El intervalo de confianza es asintótico, es decir, es fiable en el límite (cuando n y m son grandes y por
tanto mayores o iguales a 25).
i

Contrastes de Hipótesis sobre dos proporciones
Si consideramos una población de la que queremos estudiar si dos probabilidades de éxito (px y py)
son diferentes o no (diferencia de proporciones), siendo todo lo demás desconocido, podemos
contrastar hipótesis bilaterales y unilaterales sobre la diferencia de dichas proporciones. Para ello,
debemos disponer de dos muestras independientes.
El contraste de hipótesis para la diferencia de proporciones es asintótico y por tanto ﬁable en el límite
(cuando n y m mayores o iguales a 25). Si la hipótesis nula es simple y establece H0 : px = py,
entonces, si es cierta, el estadístico:
T =
p̂x − p̂y
q
n+m
nm
p̂(1 − p̂)
→ N(0, 1)
nos permite llevar a cabo el contraste, dónde p̂ =
np̂x + mp̂y
n + m
(para n y m ≥ 25).

Contrastes de Hipótesis para px − py.
H0 : px − py = 0
H1 : px − py 6= 0

2 · min
n
P[T t0], P[T t0]
o
H0 : px − py ≤ 0
H1 : px − py 0

T =
p̂x − p̂y
q
n+m
nm
p̂(1 − p̂)
→ N(0, 1) P[T t0]
H0 : px − py ≥ 0
H1 : px − py 0

P[T t0]

Ejemplo 9
Se desea comparar dos comunidades respecto a la proporción de personas seguidoras de un partido
político. En la comunidad A se encuestaron 500 personas de las cuales 300 se declararon seguidoras
de este partido. En la comunidad B fueron encuestadas 1000 personas de las cuales 680 se declararon
seguidoras de dicho partido. ¿Hay suﬁciente evidencia estadística para concluir, con un nivel de
signiﬁcación del 5%, que es igual la proporción de seguidores en la comunidad A que en la B? (Sol:
p-valor = 0.0022)

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