TEORIA MATEM_ARMONICOS.ppt

ARMÓNICOS
ASPECTOS BÁSICOS DE TEORÍA

ARMÓNICOS: TEORÍA
ARMÓNICOS: “Distorsiones periódicas de formas de
ondas de corriente o tensión en sistemas eléctricos”
FUNCIÓN PERIÓDICA:
T es el período de la función periódica x(t)
Ejemplo:
)
(
)
( t
x
T
t
x 

x/(t
)
t
-
T/2
T/2

ARMÓNICOS: TEORÍA
donde k es un entero
Si dos funciones x1(t) y x2(t) tienen el mismo periodo T, luego la
función:
donde a y b son constantes, también tiene el periodo T.
También es cierto que la función:
también es periódica
)
(
)
( t
x
kT
t
x 

)
(
)
(
)
( 2
1
3 t
bx
t
ax
t
x 

x(t)=constante

ARMÓNICOS: TEORÍA
COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:
La serie de Fourier de una función periódica x(t) tiene la
siguiente expresión:
En esta expresión a0 constituye el valor medio de la función x(t),
mientras que an y bn, los coeficientes de la serie, son las
componentes rectangulares del nth armónico.
El correspondiente nth vector armónico es:
Con una magnitud:
y un ángulo de fase:
























1
0
2
2
cos
)
(
n
n
n
T
nt
sen
b
T
nt
a
a
t
x


n
n
n
n jb
a
A 


2
2
n
n
n b
a
A 









 
n
n
n
a
b
1
tan


ARMÓNICOS: TEORÍA
COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:
Puede demostrarse que para una función dada x(t) el coeficiente
constante a0 es:
También puede verificarse que:
para los n=1

 2
2
0 )
(
1 T
T
dt
t
x
T
a







 2
2
2
cos
)
(
2 T
T
n dt
T
nt
t
x
T
a








 2
2
2
)
(
2 T
T
n dt
T
nt
sen
t
x
T
b


ARMÓNICOS: TEORÍA
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:
Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene una magnitud
constante A/2 y un ángulo de fase  el cual esta variando en el
tiempo de acuerdo a:
donde  es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un segundo
vector (A/2)e-j rotará en la dirección opuesta al anterior. Este
aumento negativo de cambio en el ángulo de fase puede ser
considerado como una frecuencia negativa.
La suma de estos dos vectores estará siempre a lo largo del eje
real, con la magnitud oscilando entre A y –A a:


 
 ft
2



cos
2
2
A
e
A
e
A j
j

 


ARMÓNICOS: TEORÍA
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:
Reescribiendo la serie de Fourier como:
Donde x(t) es periódica con período T y
=2/T=2f, la componente nth de esta
serie, correspondiente a la armónica a una
frecuencia de fn=nf, es dado por:
Donde es el vector unitario y X(fn) da la
amplitud y fase para el vector armónico.
Amplitud
instantánea
Máxima
amplitud (A)
Im
Re
A/2

-
-




2
/
2
/
2
)
(
1
)
(
T
T
t
f
j
n dt
e
t
x
T
f
X n

t
f
j n
e 
2

.....
)
2
(
)
(
)
( 2
2
1
1
0 




 


 t
sen
A
t
sen
A
a
t
x

ARMÓNICOS: TEORÍA
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:
En el caso donde la función en el dominio del tiempo es una
función muestreada la expresión toma la forma:
Se asume que la función es periódica con un total de N muestras
por período. Esta forma discreta de la Transformada de Fourier es
la apropiada para evaluación numérica por cálculo digital.
La ecuación anterior puede también escribirse como:
donde W=e-j2/N





1
0
/
2
)
(
1
)
(
N
n
N
kn
j
n
k e
t
x
N
f
X 




1
0
)
(
1
)
(
N
n
kn
n
k W
t
x
N
f
X

ARMÓNICOS: TEORÍA
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:
Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la siguiente
forma matricial:
En esta ecuación, [X(fk)] es un vector representando los N componentes de la función en
el dominio de la frecuencia, mientras que [x(t)] es un vector representando las N
muestras de la función en el dominio del tiempo.
El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras requiere un
total de N2 multiplicaciones complejas para implementar la forma anterior.



































































 )
(
.
)
(
.
)
(
)
(
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
.
1
.
1
1
1
)
(
.
)
(
.
)
(
)
(
1
1
0
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
0
2
2
N
n
N
k
N
N
N
k
k
k
N
k
N
k
t
x
t
x
t
x
t
x
W
W
W
W
W
W
W
W
W
N
f
X
f
X
f
X
f
X
    
)
(
.
1
)
( n
kn
k t
x
W
N
f
X 

ARMÓNICOS: TEORÍA
Fase de la Matriz W para n=8
0 0 0 0 0 0 0 0
0 -45 -90 -135 -180 135 90 45
0 -90 -180 90 0 -90 -180 90
0 -135 90 -45 -180 45 -90 135
0 -180 0 -180 0 -180 0 -180
0 135 -90 45 -180 -45 90 -135
0 90 180 -90 0 90 180 -90
0 45 90 135 -180 -135 -90 -45

ARMÓNICOS: TEORÍA
FRECUENCIA DE NYQUIST Y ALIASING:
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
-1
-0.5
0
0.5
1
Intervalo de muestreo
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
-1
-0.5
0
0.5
1
Intervalo de muestreo

ARMÓNICOS: TEORÍA
Filtro pasa-bajo
INTERARMÓNICOS: Frecuencias armónicas que no
son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental
SUBARMÓNICOS: valores de frecuencia que están
por debajo de la frecuencia fundamental
X(f)
-f f
fc
1

DEFINICIONES Y ASPECTOS
BÁSICOS

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
VALOR RMS
Señal continua:
Señal discreta:
O, en término de los valores rms de los armónicos:


T
rms dt
t
v
T
V
0
2
2
)
(
1




N
k
k
rms t
V
N
V
1
2
1

 2
hrms
rms V
V

DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)
A partir de lo cual:




k
h
hrms
rms
V
V V
V
THD
TDT
2
2
1
1




k
h
hrms
rms
I
I I
I
THD
TDT
2
2
1
1
 2
1 100
/
1 V
rms
rms THD
V
V 

 2
1 100
/
1 I
rms
rms THD
I
I 


POTENCIAACTIVA, REACTIVAY APARENTE
POTENCIAACTIVA:
En el caso senoidal:


T
dt
t
i
t
v
T
P
0
).
(
).
(
1


h
h
h
h Cos
I
V
P 
.
.

Cos
I
V
P .
.

2
2
.
. P
S
Sen
I
V
Q 

 
2
2
. P
Q
I
V
S 



POTENCIAACTIVA, REACTIVA Y APARENTE:
En el caso NO-senoidal:
Budeanu:
En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia:
I
V
S .




h
h
h
h I
V
S 2
2
.


h
h
h
h sen
I
V
Q 
.
.
)
( 2
2
2
2
Q
P
S
D 



POTENCIAACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
Alguna características de la definición de Potencia Reactiva en condiciones senoidales:
1.- La potencia reactiva es proporcional a la diferencia entre la energía eléctrica
almacenada en los inductores y la energía almacenada en los condensadores
2.- Si la potencia reactiva es reducida a cero, el factor de potencia se hace uno
3.- La potencia reactiva completa el triángulo de potencia:
4.- La suma de todas las potencias reactivas en un nodo de un sistema de potencia es
cero.
5.- La potencia reactiva puede ser expresada por los términos V, I y sen.
6.- La potencia reactiva puede ser positiva o negativa (el signo especifica si la carga es
inductiva o capacitiva)
7.- La potencia reactiva puede ser reducida a cero insertando componentes inductivos
o capacitivos
8.- La caída de tensión de una línea de un sistema de potencia es aproximadamente
proporcional a la potencia reactiva.
2
2
2
Q
P
S 


Dos corrientes son ortogonales si:
El cuadrado del valor rms de la suma de ambas:
Una corriente dividida en componentes ortogonales, multiplicada por el rms de tensión:
 
T
b
a dt
i
i
T
0
.
1











T
b
a
b
T
b
a
T
a
T
b
a
I
I
dt
i
T
dt
i
i
T
dt
i
T
dt
i
i
T
I
2
2
2
2
2
2
1
.
.
2
1
1
)
(
1
2
2
2
2
2
2
)
( b
a
b
a S
S
I
I
V
S 




POTENCIA REACTIVA:
Budeanu
Fryze
 


h h
h
h
h
h Sen
I
V
Q
Q 
2
2
2
2
2
. 













 
   h
h
h
h
h h h
h
h
h
h
h Sen
I
V
Cos
I
V
I
V
S 

2
2
2
2
Q
P
S
D 


v
V
P
ia .
2
 a
r i
i
i 

2
2
r
a I
I
I 

2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
. Q
P
I
I
V
I
V
S r
a 





GRUPO DE TRABAJO IEEE (1996):
Orientación clara a la medición. Se separan las cantidades de la fundamental de la de las
armónicas:
Con lo cual la potencia aparente es:
Donde:
Se define una potencia no activa N:
El resto se denomina potencia aparente no fundamental y es:
V1IH : Potencia de distorsión de corriente VHI1 : Potencia de distorsión de tensión






1
2
2
1
2
2
1
2
h
h
H V
V
V
V
V 





1
2
2
1
2
2
1
2
h
h
H I
I
I
I
I
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( H
H
H
H I
V
I
V
I
V
I
V
VI
S 




2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 )
(
)
cos
(
)
( 
 sen
I
V
I
V
Q
P
S
I
V 




2
2
P
S
N 

2
1
2
2
2
1
2
1
2
)
(
)
(
)
( S
S
I
V
I
V
I
V
S H
H
H
H
N 





GRUPO DE TRABAJO IEEE (1996):
Al tercer término se lo denomina potencia aparente armónica y se puede
expresar como:
Donde:
Puede de aquí sacarse un elemento que indica la operación de la red:
Factor de Potencia Total Desplazamiento de Factor de Potencia
2
2
2
2
)
( H
H
H
H
H N
P
I
V
S 





1
cos
h
H
H
H
H I
V
P 
     2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
.VTHD
ITHD
VTHD
ITHD
I
V
I
V
V
V
I
I
S
S H
H
H
H
N






































S
P
P
S
P
PF H )
( 1 

 1
1
1
cos


S
P
dPF
V
I
H
H
H
THD
THD
I
V
I
V
S
S
.
1
1
1



DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES
ARMÓNICAS
POTENCIAS TRIFÁSICAS
Donde, para 4 conductores:
Si son 3 conductores:
Al igual que en el caso monofásico:
Donde:
e
e
e I
V
S 3

3
2
2
2
c
b
a
e
V
V
V
V



3
2
2
2
c
b
a
e
I
I
I
I



9
2
2
2
ca
bc
ab
e
V
V
V
V



2
2
1
2
eH
e
e V
V
V 
 2
2
1
2
eH
e
e I
I
I 

3
2
1
2
1
2
1
2
1
c
b
a
e
V
V
V
V



3
2
1
2
1
2
1
2
1
c
b
a
e
I
I
I
I




ARMÓNICAS
y:
Aquí también:
y redefiniendo:
El grado de desequilibrio de potencia aparente fundamental puede dividirse en:









 


1
2
2
2
2
3
h
ch
bh
ah
eH
V
V
V
V 








 


1
2
2
2
2
3
h
ch
bh
ah
eH
I
I
I
I
2
2
1
2
eN
e
e S
S
S 

1
e
eH
e
V
V
V
THD 
1
e
eH
e
I
I
I
THD 
     2
2
2
2
1
. e
V
e
I
e
V
e
I
e
eN
THD
THD
THD
THD
S
S











2
1
2
1
2
1 u
e S
S
S 
 

ARMÓNICAS
Se SeN
Se1
P
N
S1
0
S1
-
Sd1
P1
+
N1
+
S1
+

ARMÓNICAS
FACTORES DE CRESTA
1
2
1
2
V
V
VCF
I
I
CCF
h
h
h
h






)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
VCF
V
V
V
CCF
I
I
I
h
h
pico
h
h
pico










VCF
V
V
V
V
V
V
V
V
CCF
I
I
I
I
I
I
I
I
pico
pico
pico
pu
pico
pico
pico
pico
pu
pico
















1
1
1
1
1
1
)
(
1
1
1
1
)
(

DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA:
En un circuito RLC se producirá resonancia cuando:
La frecuencia de resonancia será:
Y el orden armónico al cual se produce la resonancia:
C
X
L
X
r
Cr
r
Lr


1



LC
r
1


L
c
r
X
X
f
LC
f
LC
f 0
0
0
2
1





L
C
r
r
X
X
LC
f
f
h 


0
0
1


RESONANCIA SERIE:
La impedancia equivalente será:
Para cualquier armónico h:
El módulo de la impedancia:
Para la frecuencia resonante:
El Factor de Calidad Q:
 
C
L X
X
j
R
Z 











h
X
hX
j
R
h
Z C
L
)
(
 
2
2









h
X
hX
R
h
Z C
L
r
r
C
L
r X
h
X
X
h 

L
C
r
X
X
h 
C
L
X
X
X C
L
r 

2
C
L
X
X
X C
L
r 

R
X
Q r


RESONANCIA SERIE:
0 500 1000 1500 2000 2500
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frecuencia [Hz]
IZI
[Ohm]

RESONANCIA PARALELO:
La impedancia equivalente será:
La impedancia para cualquier armónico será:
  C
L
C
L
C
L
C
L
C
L
C
L
C
L
X
jX
X
X
R
X
jRX
X
X
X
X
j
R
X
X
X
RX
j
Z








 
 
 2
2
C
L
C
L
C
L
C
L
C
L
C
L
X
X
h
X
hX
R
X
RX
h
Z
X
jX
h
X
hX
R
X
jRX
h
Z


























En resonancia:
Y el Factor de Calidad:
r
r
C
L
r X
h
X
X
h 

L
C
r
X
X
h 
C
L
X
X
X
C
L
X
X
X
C
L
r
C
L
r




2
r
X
R
Q 

0 500 1000 1500 2000 2500
0
5
10
15
20
Frecuencia [Hz]
IZI
[Ohm]
Q=0,5
Q=1
Q=3
0 500 1000 1500 2000 2500
-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
Frecuencia [Hz]
Fase
[º]
Q=0,5
Q=1
Q=3

COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:
“Las tensiones o corrientes de un sistema trifásico pueden
descomponerse como la suma de dos sistemas trifasicos, una de
secuencia positiva y otro de secuencia negativa, mas una
componente homopolar”
Lógicamente esto es aplicable a los armónicos:
Donde:a =-0,5+j0,866=1120, y a2=-0,5-j0,866=1240































2
1
0
2
2
1
1
1
1
1
I
I
I
a
a
a
a
I
I
I
c
b
a
012
* I
A
Iabc  abc
I
A
inv
I *
)
(
012 

Tercer armónico
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
R
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
S
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
T

Quito armónico
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
R
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
S
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
T
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-0.5
0
0.5

Séptimo armónico
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
R
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
S
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-1
0
1
T
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
-0.5
0
0.5

Secuencias de los componentes armónicos:
h 1 2 3 4 5 6 7
Sec + - 0 + - 0 +
h 8 9 10 11 12 13 14
Sec - 0 + - 0 + -
h 15 16 17 18 19 20 21
Sec 0 + - 0 + - 0

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