Trabajo practico parte 3
- 1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
- 2. Todo polinomio de grado n tiene n raíces. Es decir que la ecuación tiene n soluciones. Recordemos que es esta página sólo tendremos polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde escribimos la función, las raíces y la gráfica y verifica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces.
- 3. Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces: La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta página sin embargo daremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.
- 4. Raíces de un polinomio La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio. Por ejemplo el polinomio: f(x) = x^2 + x - 12
- 5. Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos: X^2 + x - 12 = 0 Igualando a cero. (x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando. x = - 4 Solución 1 x = 3 Solución 2
- 6. Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0 . Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12
- 7. Factorización de un polinomio El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio ( Teorema fundamental del Álgebra ). Para que podamos factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando ya las tengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma ( x - r ) donde r es una de las raíces.
- 8. Esto es, si r1 , r2 , ... , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es: f(x) = (x - r1) (x - r2) ... (x - rn)
- 9. Por ejemplo, si f(x) = x^3 - 4 x^2 + x + 6 como sus raíces son x = - 1 , x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como: f(x) = (x - (-1)) (x - 2) (x - 3) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)
- 10. 2. f(x)= x^2 + x - 12 como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como : f(x) = (x - (-4)) (x - 3) = (x + 4) (x - 3)
- 11. DIVISIBILIDAD Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta . * Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 , si termina en cero o cifra par. 24, 238, 1024.
- 12. Criterio de divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 , si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3. 564 5 + 6 + 4 = 15, es múltiplo de 3 2040 2 + 0 + 4 + 0 = 6, es múltiplo de 3
- 13. Criterio de divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 , si termina en cero o cinco. 45, 515, 7525.
- 14. Criterio de divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7 . 343 34 - 2 · 3 = 28, es múltiplo de 7 105 10 - 5 · 2 = 0 2261 226 - 1 · 2 = 224 Volvemos a repetir el proceso con 224. 22 - 4 · 2 = 14, es múltiplo de 7.
- 15. Criterio de divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11 , si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11 . 121 (1 + 1) - 2 = 0 4224 (4 + 2) - (2 + 4) = 0
- 16. Raíz Múltiple Si al hallar las raíces de un polinomio una de ella aparece mas de una vez, esa es una raíz multiple.por ejemplo: si la raíz aparece dos veces, decimos que la raíz es doble, o es triple si aparece 2 veces.
- 17. POR EJEMPLO: El coeficiente principal del polinomio P de grado 3 es 2.tiene una raíz múltiple que es 1 y una raíz doble que es 5: El polinomio es: P(x)=2(x-1)(x-5)^2
- 18. L em a d e Ga u s s
- 19. El lema de Gauss permite encontrar las raíces racionales de los polinomios de coeficientes enteros. Este lema proporciona un conjunto de posibles raíces que después, utilizando Ruffini, permite factorizar el polinomio.
- 20. El lema se enuncia de la siguiente manera: ‘ Cuando una fracción irreducible de la forma p/q es raíz de un polinomio de coeficientes enteros, entonces p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal’
- 21. Paso N º 1 Tenemos un polinomio que puede o no cumplir los requisitos de los otros casos de factoreo:
- 22. Paso N º 2 Luego de identificar el coeficiente principal y el termino independiente, extraemos los divisores de ambos. Término independiente: 3; 1; -1; -3 Coeficiente principal: 2; 1; -1; -2
- 23. Paso N º 3 A través de la fórmula p/q, obtenemos las posibles raíces del polinomio. Posibles raíces:
- 24. Paso N º 4 Realizamos el Teorema del Resto con todas las potenciales raíces que encontramos en el paso anterior. 3/2 = 0 3 = 24 -3 = -72 -3/2 = -7.5 1/2 = 1 1 = 0 -1 = 0 -1/2 = 6.25
- 25. Paso N º 5 Hacemos la Regla de Ruffini en cualquier orden, con todos los valores de las potenciales raíces que dieron cero. 1 -1 3/2 2 -3 -2 3 2 -1 -3 2 -1 -3 0 -2 3 2 -3 0 3 2 0
- 26. Paso N º 6 Obtenemos el polinomio factorizado.
- 27. Di Pietro, Laureano. Flores, Gastón. Kopp, Alfredo. Reinhard, Emanuel Cantero, Lucía. Garza, Anahí. Cuartero, Agustina