Transformada de laplace

1. CAPÍTULO 6 La Transformada de Laplace 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED En esta sección, presentamos con detalle la manera en que utilizaremos la TL para obtener la solución de un PVI. Con este método podremos no sólo resolver PVI con ED lineales, como las consideradas en los capítulos 4 y 5, sino también otros tipos de PVI que no se han planteado antes en este libro. 6.5.1 Esquema general del método Para una ED lineal de segundo orden con coeficientes constantes y condiciones iniciales en t D 0, y 00 C ay 0 C by D f .t / con y.0/ D y0; y 0.0/ D y1: (6.1) Aplicamos TL a la ED y considerando (??) y (??) hallamos que Lf y 0g D sY y.0/ D sY y0 Lf y 00g D s2Y sy.0/ y 0.0/ D s2Y sy0 y1: El resultado será entonces: .s2Y sy0 y1/ C a.sY y0/C bY D .s2 C as C b/Y sy0 y1 ay0 D F.s/ ) ).s2 C as Cb/Y D F.s/ C sy0 C y1 C ay0I de donde: Y.s/ D F.s/ C sy0 C y1 C ay0 s2 C as Cb : (6.2) Hemos convertido el PVI (6.1) en una expresión algebraica en la que Y.s/ D Lf y.t /g ya se encuentra despejada y en donde la función buscada es y.t /. Para encontrar y.t /, se toma la transformada inversa en 1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010 1

2. 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias (6.2): y.t / D L1 s2 C as C b : (6.3) f Y.s/g D L1 F.s/ C sy0 C y1 C ay0 Éste es el esquema general del método de la TL para resolver un PVI que, como se observa, comprende tres etapas. 1. Aplicar la TL a la ED, tomando en cuenta las condiciones iniciales. 2. Despejar Y.s/. Esto será posible enmuchos casos puesto que el resultado de aplicar L a una ED lineal de coeficientes constantes es una ecuación lineal con incógnita Y.s/. 3. Aplicar TL inversa a Y.s/ para obtener y.t / D L1 f Y.s/g. En general es en este paso donde pueden aparecer las dificultades, puesto que se requiere de un buen manejo del cálculo de L1 de las fun-ciones resultantes. Veremos algunas técnicas en los ejemplos siguientes para determinar dicha trans-formada inversa. Ejemplo 6.5.1 Resolver el PVI y 00 C 9y D 5t C 2; con y.0/ D 5 y 0.0/ D 1. H Como Lf y 00g D s2Y sy.0/ y 0.0/ D s2Y 5s C 1; resulta que s2Y 5s C 1 C 9Y D 5 s2 C 2 s ) .s2 C 9/Y D 5 C 2s s2 C 5s 1 ) Y.s/ D 5s3 s2 C 2s C 5 s2.s2 C 9/ : La solución del PVI será entonces: y.t / D L1 5s3 s2 C 2s C 5 s2.s2 C 9/ : Pospondremos el cálculo de la transformada inversa para la siguiente subsección. Ejemplo 6.5.2 Encontrar la solución general de la ED y 00 C 6y 0 C 25y D 0. H Como no hay condiciones iniciales explícitas podemos suponer que y.0/ D y0 y 0.0/ D y1, de modo que obtendremos: Lf y 0g D sY y0 Lf y 00g D s2Y sy0 y1I de donde, al aplicar TL en la ED, obtenemos: s2Y sy0 y1 C 6.sY y0/ C 25Y D 0 ) .s2 C 6s C 25/Y D sy0 C y1 C6y0 ) )Y.s/ D y0s C 6y0 C y1 s2 C 6s C 25 D y0s C 6y0 C y1 .s2 C 6s C 9/C 16 D y0s C 6y0 C y1 .s C 3/2 C 42 : La solución de la ED se obtiene aplicando la transformada inversa: y.t / D L1 .s C 3/2 C 42 D L1 y0.s C 3/ C6y0 C y1 3y0 f Y.s/g D L1 y0s C 6y0 C y1 .s C 3/2 C 42 D .s C 3/2 C 42 C .3y0 C y1/L1 1 D y0L1 s C 3 .s C 3/2 C 42 D D y0L1 s C 3 .s C 3/2 C 42 C 3y0 C y1 4 L1 4 .s C 3/2 C 42 D D y0e3t cos 4t C 3y0 C y1 4 e3t sen4t:

3. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 3 Ejemplo 6.5.3 Resolver el PVI y 00 C 2ty 0 C 2y D e2t ; con y.0/ D 1 y 0.0/ D 2. H Notemos ahora que Lf y 0g D sY y.0/ D sY 1 Lf y 00g D sLf y 0g y 0.0/ D s.sY 1/ 2 D s2Y s 2: En cuanto al segundo término de la ED: Lf ty 0g D d ds Lf y 0g D d ds OEsY 1 D Y sY 0: Entonces la TL de la ED queda como sigue: Lf y 00 C 2ty 0 C 2yg D Lf y 00g C 2Lf ty 0g C 2Lf yg D D .s2Y s 2/ C2.Y sY 0/C 2Y D L°e2t D 1 s 2 ) ) 2sY 0 C .s2 2 C 2/Y D 1 s 2 Cs C 2 D 1 C .s 2/.s C 2/ s 2 D s2 3 s 2 ) ) 2sY 0 C s2Y D s2 3 s 2 ) )Y 0 s 2 Y D s2 3 2s.s 2/ : (6.4) En este caso el problema original fue una ED lineal no homogénea con coeficientes variables. Al aplicar TL a la ED no se redujo a una ecuación algebraica sino a una ED (6.4) para Y.s/. La nueva ED (6.4) es más sencilla que la original porque es lineal de primer orden. El plan a seguir sería primero resolver la ED lineal de primer orden para Y.s/ y después aplicar L1 al resultado obtenido. 6.5.2 Técnicas de cálculo de L1. Fracciones parciales Para determinar L1 f F.s/g de expresiones del tipo F.s/ D P.s/ Q.s/ en donde Q.s/ es un polinomio y P.s/ es otro polinomio de grado menor que el grado de Q.s/ posiblemente multiplicado por una exponencial, procederemos buscando descomponer la función F.s/ en términos más simples de forma similar almétodo de fracciones parciales utilizado en la integración de funciones racionales. Teorema 6.1 Fundamental del Álgebra Todo polinomio Q.s/ D ansn C an1sn1 C C a1s C a0 de grado n 1, cuyos coeficientes pueden ser números reales o complejos, tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad) y se puede factorizar así: Q.s/ D an.s r1/m1 .s r2/m2 .s rk/mk ; donde las ri son las raíces y las mi son las multiplicidades de cada una, con m1 C m2 C C mk D n: Más aún, si los coeficientes son reales, entonces las raíces complejas aparecen en pares conjugados, es decir, si r D ˛ C ˇi es una raíz, entonces r D ˛ ˇi es otra raíz, de modo que en ese caso Q.s/ contendrá un factor .s r/.s r/ D .s ˛ ˇi /.s ˛ C ˇi / D .s ˛/2 C ˇ2; con ˛ y ˇ reales. Por lo anterior podemos factorizar el denominador Q.s/ en factores lineales de la forma .s ri / o bien en factores cuadráticos irreducibles de la forma .s ˛/2 C ˇ2 así como potencias de ellos.

4. 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias Las fracciones parciales en que se descompone el cociente P.s/ Q.s/ pueden ser A s r ; B .s r/m ; Cs C D .s ˛/2 C ˇ2 ; Ks C L .s ˛/2 C ˇ2m ; donde los números A, B, C deben ser determinados. Ejemplo 6.5.4 Descomponer F.s/ D 3s 7 .s 1/.s 3/ en fracciones parciales y calcular L1 f F.s/g. H Buscamos A y B de modo que 3s 7 .s 1/.s 3/ D A s 1 C B s 3 : Para que la suma de fracciones iguale a la fracción original, se debe cumplir que A.s 3/C B.s 1/ .s 1/.s 3/ D 3s 7 .s 1/.s 3/ I y esto ocurre sólo si los numeradores son iguales: A.s 3/C B.s 1/ D 3s 7; (6.5) dado que los denominadores de estas fracciones son iguales. Teniendo en cuenta esta condición, se deter-minarán A y B basados en el supuesto de que la relación que los determina se cumple idénticamente para todo número s. Hay dos estrategias a seguir y las ilustraremos a continuación: 1. Agrupar términos e igualar los coeficientes de las mismas potencias de ambos lados de (6.5). Ha-ciendo esto obtenemos: A.s 3/C B.s 1/ D 3s 7 ) .A C B/s .3A C B/s D 3s 7 ) A CB D 3 y 3A C B D 7: Resolviendo este sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas A, B, obtenemos A D 2 y B D 1. 2. Asignar directamente valores a s para obtener varias ecuaciones más simples que (6.5). Para esto, escogemos valores para s que hagan que varios términos del lado izquierdo de (6.5) se anulen. Estos valores son las raíces del denominador Q.s/. Para el presente ejemplo: Si s D 1, entonces A.1 3/C B.1 1/ D 3.1/ 7 ) 2A D 4 ) A D 2. Si s D 3, entonces A.3 3/C B.3 1/ D 3.3/ 7 ) 2B D 2 ) B D 1. La solución es la misma que se obtuvo utilizando la estrategia anterior. Esto ocurre cuando los coefi-cientes que buscamos son los asociados a las fracciones simples de términos no repetidos. Usando cualquiera de los dos caminos hallamos: 3s 7 .s 1/.s 3/ D 2 s 1 C 1 s 3 I y de aquí: L1 3s 7 .s 1/.s 3/ D 2L1 1 s 1 C L1 1 s 3 D 2et C e3t ; por la linealidad de L1.

5. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 5 Ejemplo 6.5.5 Descomponer F.s/ D 2s 8 s2 5s C 6 en fracciones parciales y calcular L1 fF.s/g. H Factorizamos el denominador: s2 5s C 6 D .s 2/.s 3/: Buscamos A y B, de modo que 2s 8 .s 2/.s 3/ D A s 2 C B s 3 D A.s 3/ CB.s 2/ .s 2/.s 3/ : De nuevo, basta con que se cumpla la identidad de los numeradores: A.s 3/ CB.s 2/ D 2s 8: Si s D 2, entonces A.2 3/ C B.2 2/ D 2.2/ 8 ) A D 4 ) A D 4. Si s D 3, entonces A.3 3/ C B.3 2/ D 2.3/ 8 ) B D 2. Por consiguiente: 2s 8 s2 5s C 6 D 4 s 2 2 s 3 I y de aquí podemos concluir además que s2 5s C 6 D 4L1 1 L1 2s 8 s 2 2L1 1 s 3 D 4e2t 2e3t : Ejemplo 6.5.6 Descomponer F.s/ D s3 4s2 C 5s 2 s.s C 1/.s 2/.s C 3/ en fracciones parciales y encontrar L1 f F.s/g. H Buscamos A, B, C, D de modo que s3 4s2 C 5s 2 s.s C 1/.s 2/.s C 3/ D A s C B s C 1 C C s 2 C D s C 3 : Esta igualdad se cumple sólo cuando: A.s C 1/.s 2/.s C 3/ C Bs.s 2/.s C 3/ C Cs.s C 1/.s C 3/ C Ds.s C1/.s 2/ D s3 4s2 C 5s 2: Entonces, evaluando en las raíces del denominador: 1. Si s D 0, entonces: A.1/.2/.3/ C B 0 C C 0 CD 0 D 03 4 02 C 5 0 2 ) ) 6A D 2 ) A D 1 3 : 2. Si s D 1, entonces: A 0 C B.1/.3/.2/ C C 0 C D 0 D .1/3 4.1/2 C 5.1/ 2 ) ) 6B D 12 ) B D 2: 3. Si s D 2, entonces: A 0 C B 0 C C.2/.3/.5/ C D 0 D .2/3 4.2/2 C 5.2/ 2 ) ) 30C D 0 ) C D 0:

6. 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias 4. Si s D 3, entonces: A 0 C B 0 C C 0 C D.3/.2/.5/ D .3/3 4.3/2 C 5.3/ 2 ) ) 30D D 27 36 15 2 D 80 ) D D 8 3 : Por tanto, el cociente original se descompone como: F.s/ D s3 4s2 C 5s 2 s.s C 1/.s 2/.s C 3/ D 1 3 s C .2/ s C1 C 0 s 2 C 8 3 s C 3 : De lo anterior podemos concluir también que L1 f F.s/g D 1 3 s 2L1 1 L1 1 s C1 C 8 3 s C 3 D L1 1 1 3 2et C 8 3 e3t : Ejemplo 6.5.7 Descomponer F.s/ D 8s2 7s C 6 s2.s 2/ en fracciones parciales y calcular L1 f F.s/g. H Este ejemplo muestra lo que puede ocurrir cuando hay factores repetidos en el denominador. Ahora buscaremos A, B, C de manera que 8s2 7s C 6 s2.s 2/ D A s C B s2 C C s 2 : Esta igualdad se cumple sólo cuando: As.s 2/ C B.s 2/ C Cs2 D 8s2 7s C 6: Evaluamos en las dos raíces del denominador: 1. Si s D 0, entonces: A 0 C B.2/ C C 0 D 8 02 7 0 C 6 ) ) 2B D 6 ) B D 3: 2. Si s D 2, entonces: A 0 CB 0 C C.22/ D 8 22 7 2 C 6 ) ) 4C D 32 14C 6 D 24 ) C D 6: Para obtener A podemos dar a s cualquier otro valor y usar los valores ya determinados para B y C: 3. Por ejemplo, si s D 1, entonces: A.1/.1/ C B.1/ C C.12/ D 8 12 7 1 C 6 ) ) A B C C D 8 7 C 6 D 7 ) A .3/ C 6 D 7 ) A D 2 ) A D 2: Por lo tanto: F.s/ D 8s2 7s C 6 s2.s 2/ D 2 s 3 s2 C 6 s 2 : De lo anterior podemos concluir: L1 f F.s/g D 2L1 1 s 3L1 1 s2 C 6L1 1 s 2 D 2 3t C 6e2t :

7. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 7 Ejemplo 6.5.8 Descomponer en fracciones parciales F.s/ D 9s4 16s3 25s2 C 154s 99 .s 2/3.s C3/2 y calcularL1 fF.s/g. H Buscamos constantes A, B, C, D, E de modo que F.s/ D A s 2 C B .s 2/2 C C .s 2/3 C D s C 3 C E .s C 3/2 ; y esto ocurre si: A.s 2/2.s C 3/2 C B.s 2/.s C 3/2 CC.s C 3/2 C D.s 2/3.s C 3/ C E.s 2/3 D D 9s4 16s3 25s2 C 154s 99: (6.6) Usamos las dos raíces de denominador para determinar los coeficientes: 1. Si s D 2, entonces: A 0 C B 0 C C.52/ C D 0 C E 0 D 9 24 16 23 25 22 C 154 2 99 ) ) 25C D 144 128 100 C 308 99 D 125 ) C D 5: 2. Si s D 3, entonces: A 0 C B 0 C C 0 C D 0 C E.5/3 D 9 .3/4 16 .3/3 25 .3/2 C 154 .3/ 99 ) ) 125E D 729C 432 225 462 99 D 375 ) E D 3: Podríamos continuar asignando valores a s (como 0, 1, 1, etc.) para obtener ecuaciones que deben satis-facer los coeficientes que aún faltan por determinar, pero seguiremos un camino diferente para mostrar un nuevo enfoque que es especialmente útil cuando se tienen raíces repetidas, como en el presente ejemplo. Si tomamos la derivada en ambos lados de (6.6), resulta: 2A.s 2/.s C 3/2 C 2A.s 2/2.s C 3/C B.s C 3/2 C 2B.s 2/.s C 3/C C 2C.s C 3/ C 3D.s 2/2.s C 3/C D.s 2/3 C 3E.s 2/2 D D 36s3 48s2 50s C 154: (6.7) Si ahora en (6.7) hacemos de nuevo s D 2 y s D 3, obtendremos: 3. Si s D 2: A 0 C A 0 C B.52/ C B 0 C 2C.5/ C D 0 C D 0 CE 0 D 36.23/ 48.22/ 50.2/C 154 ) ) 25B C 10C D 288 192 100C 154 ) 25B C 50 D 150 ) B D 4: 4. Si s D 3: A 0 C A 0 C B 0 CB 0 C C 0 C D 0 C D.5/3 C 3E.5/2 D D 36.3/3 48.3/2 50.3/C 154 ) ) 125D C 75E D 1 100 ) 125D D 1 100C 225 ) D D 7: El éxito de esta estrategia radica esencialmente en el hecho de que al derivar un término de la forma G.s/ D J.s a/.s b/k; con k 1; resulta G0.s/ D J.s b/k C kJ.s a/.s b/k1I y al evaluar esta derivada en s D a, el segundo término se anula, pero el primero ya no lo hace. Por otro lado, si se evalúa esta derivada en s D b, ambos términos se anulan. Así, para determinar el último

8. 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias coeficiente A, podemos derivar (6.7) de nuevo y evaluar en s D 2. Escribiendo únicamente los términos que no se anulan en tal situación, resulta: 2A.s C 3/2 C 2B.s C 3/C 2B.s C 3/ C 2C

12. sD2 D 108s2 96s 50

16. sD2 ) )2A.5/2 C 4B.5/ C 2C D 432 192 50 ) )50A D 190 20B 2C D 190 80 10 D 100 ) A D 2: Por consiguiente, la descomposición en fracciones parciales queda: F.s/ D 2 s 2 C 4 .s 2/2 C 5 .s 2/3 C 7 s C 3 3 .s C 3/2 : Si aplicamos L1 en la anterior igualdad, obtendremos: f .t / D L1 fF.s/g D s 2 C4L1 1 D 2L1 1 .s 2/2 C 5 2 .s 2/3 C 7L1 1 L1 2 s C 3 3L1 1 .s C 3/2 D D 2e2t C 4te2t C 5 2 t2e2t C 7e3t 3te3t D 2C 4t C 5 2 t2e2t C .7 3t /e3t : Ejemplo 6.5.9 Descomponer el cociente Y.s/ D 5s3 s2 C 2s C 5 s2.s2 C 9/ en fracciones parciales y calcular L1 f Y.s/g. H Buscamos los coeficientes A, B, C, D para los cuales: 5s3 s2 C 2s C 5 s2.s2 C 9/ D A s C B s2 C Cs C D s2 C 9 D As.s2 C 9/C B.s2 C 9/ C .Cs C D/s2 s2.s2 C 9/ : Para que esto ocurra, debe suceder: As.s2 C 9/C B.s2 C 9/ C .Cs C D/s2 D 5s3 s2 C 2s C 5: 1. Si s D 0, entonces: A 0 C B.9/ C.C 0C D/ 0 D 5 03 02 C 2 0 C 5 ) )9B D 5 ) B D 5 9 : 2. Si s D 3i , de modo que s2 D 9 y s3 D .3i /3 D 27i , tenemos: A.3i /.9 C 9/C B.9 C 9/C .C 3i C D/.9/ D 5.27i / .9/ C 2.3i / C 5 ) ).27i /C 9D D 129i C 14 )8 : 27C D 129 9D D 14 ) 8 : C D 129 27 D 43 9 I D D 14 9 : 3. Ya conocidos B D 5 9 , C D 43 9 y D D 14 9 , para determinar A podemos dar cualquier valor a s y usar los ya conocidos de B, C y D. Si s D 1: A.1/.12 C 9/ C B.12 C 9/C .C 1 C D/.12/ D 5.13/ 12 C 2 1 C5 ) )10A C 10B C C C D D 11 ) 10A C 50 9 C 43 9 14 9 D 11 ) )10A D 11 79 9 D 20 9 ) A D 2 9 :

17. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 9 De lo anterior, nos queda Y.s/ D 5s3 s2 C 2s C 5 s2.s2 C 9/ D 2 9 s C 5 9 s2 C 43 9 s 14 9 s2 C 9 : Si aplicamos ahora L1 en la expresión anterior, obtenemos: L1 f Y.s/g D 2 9 s C L1 1 5 9 s2 C L1 1 43 9 L1n s s2 C9 o 14 27 L1 3 s2 C 9 D D 2 9 C 5 9 t C 43 9 cos 3t 14 27 sen 3t: Esta función es solución de la ED en el ejemplo 6.5.1 de la página 2. Ejercicios 6.5.1 Aplicación de la TL para resolver ED. Fracciones parciales. Soluciones en la página 25 Calcular L1 fF.s/g de las funciones siguientes, utilizando el método de fracciones parciales: 1. F.s/ D 4s C 3 s2 C3s C 2 . 2. F.s/ D 3s C 2 s2.s C 1/2 . 3. F.s/ D 4s C 1 .s C 2/.s2 C 1/ . 4. F.s/ D 3s3 C 2s2 C 4s 1 .s2 C 4/.s2 C 9/ . 5. H.s/ D 1 s3.s2 C 1/2 . 6.5.3 Técnicas de cálculo de L1. Método de Heaviside En esta sección estudiaremos otra estrategia para calcular la transformada inversa de Laplace de funciones racionales F.s/ D P.s/=Q.s/, la cual se conoce como el método de Heaviside; dicho método considera cuatro casos; todos ellos surgen del tipo de raíces que tenga la función polinomial Q.s/. Los cuatros casos son: factores lineales no repetidos, factores lineales repetidos, factores cuadráticos irreducibles no repetidos y factores cuadráticos irreducibles repetidos. Analicemos cada uno de ellos por separado. Factores lineales no repetidos En este caso todas las raíces del polinomio Q.s/ son simples o de multiplicidad 1, es decir, todas aparecen exactamente una vez. Para establecer el método de Heaviside, consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.5.10 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 4s C 2 .s 7/.s C 8/ . H Como el denominador de F.s/ es un producto de factores lineales no repetidos tenemos, de acuerdo con el método de fracciones parciales, que F.s/ se descompone como: F.s/ D 4s C 2 .s 7/.s C 8/ D C1 s 7 C C2 s C 8 : (6.8) Sabemos que L1 1 s a D eat , por lo cual la transformada inversa de F.s/ es L1 f F.s/g D f .t / D C1e7t C C2e8t : (6.9) Claramente la transformada inversa es una combinación lineal de exponenciales del tipo eai t donde ai es una raíz simple del denominador de F.s/. Determinemos ahora los coeficientes C1 y C2; para ello multi-pliquemos la ecuación .6:8/ por el denominador de F.s/, es decir, por .s 7/.s C 8/; tenemos entonces: 4s C 2 D C1.s C 8/C C2.s 7/:

18. 10 Ecuaciones diferenciales ordinarias Esta relación se debe satisfacer para todo valor de s, en particular, si evaluamos cuando s D 7: 4.7/C 2 D C1.7 C 8/ C C2.7 7/ ) C1 D 30 15 D 2: Observe que el valor de C1 se obtuvo multiplicando primero por .s 7/.s C8/, después evaluando en s D 7 y, finalmente, dividiendo entre el valor que se obtuvo al evaluar el término .s C 8/. Este procedimiento es equivalente a sólomultiplicar F.s/ por .s7/ y evaluar posteriormente en s D 7. En efecto, simultiplicamos la ecuación .6:8/ por .s 7/ obtenemos: .s 7/F.s/ D 4s C 2 s C 8 D C1 C C2.s 7/ s C 8 I y al evaluar en s D 7 resulta: lím s!7 .s 7/F.s/ D 4s C 2 s C 8

22. sD7 D C1 C C2.7 7/ 7 C 8 ) C1 D 30 15 D 2: En esta expresión hemos usado lím s!7 .s 7/F.s/ porque F.s/ no está definida en s D 7. Sin embargo, como .s 7/ es un factor no repetido, el resultado de la simplificación del producto .s 7/F.s/ sí se encuentra definido. Advierta que el término que contiene el coeficiente C2 se anula al evaluar en s D 7. Siguiendo este último procedimiento, calculamos C2; para este caso, primero multiplicamos la ecuación .6:8/ por .s C 8/, y obtenemos: .s C 8/F.s/ D 4s C 2 s 7 D C1.s C 8/ s 7 C C2: Si ahora evaluamos en s D 8, resulta: lím s!8 .s C 8/F.s/ D 4s C 2 s 7

26. sD8 D C1.8 C 8/ 8 7 C C2 ) C2 D 30 15 D 2: Finalmente, utilizando los valores de C1 D 2 y C2 D 2 en la ecuación .6:9/, obtenemos: L1 f F.s/g D f .t / D 2e7t C 2e8t : Dos conclusiones arroja este ejemplo. Primero, si F.s/ D P.s/=Q.s/ es una función racional con grado de P menor que grado de Q, y si Q.s/ se puede expresar como un producto de factores lineales no repetidos del tipo s ai , entonces la transformada inversa de F.s/ es una combinación lineal de funciones eai t , es decir: L1 f F.s/g D f .t / D C1ea1t C C2ea2t C C Cneant I (6.10) donde a1; a2; a3; : : : ; an son raíces simples de Q.s/. Como segunda conclusión podemos decir que los coe-ficientes Ci están dados por Ci D lím s!ai .s ai / F.s/I (6.11) o de forma más simple, los coeficientes Ci se obtienen eliminando el factor .s ai / del denominador de F.s/ y evaluando el resultado en s D ai . Estamos ahora en condiciones de establecer el método de Heaviside para el caso de factores lineales no repetidos. Método de Heaviside 1. Determinar todas las raíces reales ai i D 1; 2; 3; ; n; de multiplicidad 1 de Q.s/. 2. Calcular los coeficientes Ci usando la ecuación (6.11).

27. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 11 3. Sumar a la transformada inversa el término: C1ea1t CC2ea2t C C Cneant : Observe que Q.ai / D 0 para i D 1; 2; 3; ; n; lo cual permite escribir los coeficientes Ci en la forma: Ci D lím s!ai .s ai /F.s/ D lím s!ai P.s/ Q.s/ s ai D lím s!ai P.s/ lím s!ai Q.s/ s ai D lím s!ai P.s/ lím s!ai Q.s/ Q.ai / s ai D P.ai / Q0.ai / : Teorema 6.2 Si F.s/ D P.s/ Q.s/ es un cociente de dos polinomios de modo que el grado de Q.s/ es mayor al de P.s/, entonces en el cálculo de la inversa f .t / D L1 fF.s/g, el término que corresponde a un factor lineal no repetido .s a/ de Q.s/ queda expresado como P.a/ Q1.a/ eat o bien como P.a/ Q0.a/ eat ; donde Q1.s/ representa el polinomio obtenido de Q.s/ eliminando el factor .s a/; en otra forma: Q.s/ D .s a/Q1.s/; Q1.a/ ¤ 0: Finalmente, podemos concluir que, cuando Q.s/ es un producto de factores lineales no repetidos: Q.s/ D L1 P.s/ n XiD1 P.ai / Q0.ai / eai t D n XiD1 P.ai / Qi .ai / eri t : Apliquemos ahora el método de Heaviside en los siguientes ejemplos: Ejemplo 6.5.11 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D s2 C 3s 7 .s C 3/.s C 4/.s 1/ : H Advierta que la fracción es propia y su denominador sólo está formado por factores lineales no repeti-dos; en consecuencia su descomposición en fracciones parciales es F.s/ D s2 C 3s 7 .s C3/.s C 4/.s 1/ D C1 s C3 C C2 s C 4 C C3 s 1 I y la transformada inversa de F.s/ está dada por L1 f F.s/g D f .t / D C1e3t C C2e4t C C3et I donde: C1 D lím s!3 .s C 3/F.s/ D s2 C 3s 7 .s C 4/.s 1/

31. sD3 D 9 9 7 .3 C 4/.3 1/ D 7 4 I C2 D lím s!4 .s C 4/F.s/ D s2 C 3s 7 .s C 3/.s 1/

35. sD4 D 16 12 7 .4 C 3/.4 1/ D 3 5 I C3 D lím s!1 .s 1/F.s/ D s2 C 3s 7 .s C 3/.s C 4/

39. sD1 D 1 C 3 7 .1 C 3/.1 C 4/ D 3 20 : Por lo cual, la transformada inversa de Laplace es L1 fF.s/g D f .t / D 7 4 e3t 3 5 e4t 3 20 et :

40. 12 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo 6.5.12 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 1 s.s2 1/.s2 9/ . H Observemos que la fracción es propia y que todas las raíces del denominador, s D 0; 1;1; 3;3, son de multiplicidad 1; es decir, son raíces simples. Entonces la descomposición en fracciones parciales de F.s/ es F.s/ D 1 s.s2 1/.s2 9/ D 1 s.s 1/.s C 1/.s 3/.s C 3/ D D C1 s C C2 s 1 C C3 s C 1 C C4 s 3 C C5 s C 3 I y su transformada inversa está dada por L1 fF.s/g D f .t / D C1 C C2et C C3et C C4e3t C C5e3t ; donde los coeficientes C1; C2; C3; C4; C5 son C1 D lím s!0 .s/F.s/ D .s 1/.s C 1/.s 3/.s C 3/

44. 1 sD0 D 1 .1/.1/.3/.3/ D 1 9 I C2 D lím s!1 .s 4/F.s/ D s.s C 1/.s 3/.s C 3/

48. 1 sD1 D 1 .1/.2/.2/.4/ D 1 16 I C3 D lím s!1 .s C 1/F.s/ D s.s 1/.s 3/.s C 3/

52. 1 sD1 D 1 1.2/.4/.2/ D 1 16 I C4 D lím s!3 .s 3/F.s/ D s.s 1/.s C 1/.s C 3/

56. 1 sD3 D 1 .3/.2/.4/.6/ D 1 144 I C5 D lím s!3 .s C 3/F.s/ D s.s 1/.s C 1/.s 3/

60. 1 sD3 D 1 3.4/.2/.6/ D 1 144 : Por lo cual, la transformada inversa de Laplace es L1 f F.s/g D f .t / D 1 9 1 16 et 1 16 et C 1 144 e3t C 1 144 e3t : Factores lineales repetidos Consideremos ahora el caso en que algunas de las raíces de Q.s/ son de multiplicidad mayor que dos o bien igual a dos. Ejemplo 6.5.13 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 1 s.s 4/2 . H Como s D 4 es una raíz doble, la descomposición en fracciones parciales de F.s/ es F.s/ D 1 s.s 4/2 D A .s 4/2 C B s 4 C C s : (6.12) Conocemos el resultado: L1 1 .s a/n D L1 1 sn eat D tn1 .n 1/Š eat : La forma de la transformada inversa de F.s/ de (6.12) es L1 f F.s/g D f .t / D Ate4t C Be4t C C: (6.13)

61. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 13 Observe que la transformada inversa es una combinación lineal de las funciones te4t ; e4t ; 1. Para determinar los coeficientes procedemos como sigue. Para el coeficiente C basta con multiplicar la ecuación .6:12/ por s y posteriormente evaluar en s D 0; así obtenemos: C D lím s!0 .s/F.s/ D .s 4/2

65. 1 sD0 D 1 16 : No podemos seguir el proceso anterior para calcular A y B ya que si multiplicamos la ecuación (6.12) por .s 4/ no obtenemos, después de simplificar, una expresión definida en s D 4. Necesitamos multiplicar (6.12) por .s 4/2 para que se encuentre definida la expresión; si lo hacemos obtenemos: 1 s D A C B.s 4/C C.s 4/2 s : (6.14) Esta expresión se simplifica cuando se evalúa en s D 4 ya que sólo se preserva el coeficiente A en el lado derecho; tenemos entonces, al evaluar en ese punto, que A D 1 4 . La expresión previa (6.14) es una identidad válida para s ¤ 4 y, si derivamos ambos lados, obtenemos una expresión válida también. Derivando (6.14) resulta: 1 s2 D B C C OEs 2.s 4/ .s 4/2 s2 D B C 2C.s 4/ s C .s 4/2 s2 : Si evaluamos nuevamente en s D 4, obtenemos B D 1 16 . Observe que no es importante derivar el término C.s 4/2 s ya que se anulará cuando se evalúe en s D 4. Reuniendo estos resultados, obtenemos finalmente la transformada inversa de F.s/, ésta es L1 fF.s/g D f .t / D 1 4 te4t 1 16 e4t C 1 16 : Este ejemplo permite ver que, cuando enQ.s/ aparecen factores lineales repetidos del tipo .sa/2, entonces el desarrollo en fracciones parciales contendrá términos de la forma: A .s a/2 C B s a y, en consecuencia, en la transformada inversa tendremos: Ateat C Beat ; (6.15) donde A D lím s!a .s a/2F.s/; B D lím s!a d ds .s a/2F.s/: (6.16) En general, si Q.s/ contiene factores como .s a/n, entonces la transformada inversa de F.s/ contendrá términos de la forma: A1eat C A2teat C A3t2eat C C Antn1eat ; (6.17) donde los coeficientes esta dados por Ak D 1 .n k/Š lím s!a dnk dsnk OE.s a/nF.s/ ; con k D 1; 2; 3; ; n: (6.18) Estos resultados son el núcleo del método de Heaviside que establecemos a continuación.

66. 14 Ecuaciones diferenciales ordinarias Método de Heaviside 1. Determinar las raíces reales s D a de multiplicidad n de Q.s/. 2. Calcular los coeficientes Ak de (6.18). 3. Usar los coeficientes en (6.17) y sumarlos a la tranformada inversa. Por otra parte, si regresamos al caso n D 2 y utilizamos los valores obtenidos en (6.16), al usar estos valores en la expresión (6.15), obtenemos una forma alternativa de la transformada inversa de Laplace: Ateat C Beat D lím s!a .s a/2F.s/teat C lím s!a d ds .s a/2F.s/eat D s!a .s a/2F.s/teat C D lím d ds .s a/2F.s/eat D s!a .s a/2F.s/test C D lím d ds .s a/2F.s/est D s!a .s a/2F.s/ D lím dest ds C d ds .s a/2F.s/est D D lím s!a d ds .s a/2F.s/est : Donde hemos utilizado: lím s!a est D lím s!a eat I d.uv/ ds D du ds v C u dv ds @est @s D test : Es decir, para calcular la transformada inversa de funciones con dos términos repetidos basta con calcular lím s!a d ds .s a/2F.s/est : Este resultado es el núcleo del método de Heaviside. En el caso general cuando Q.s/ contenga factores del tipo .s a/n, entonces la transformada inversa contendrá términos como: 1 .n 1/Š lím s!a dn1 dsn1 .s a/nF.s/est : (6.19) Ejemplo 6.5.14 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 7s 6 .s 5/.s C 1/3 . H Como s D 1 es una raíz triple, la descomposición en fracciones parciales de F.s/ es F.s/ D 7s 6 .s 5/.s C 1/3 D A s 5 C 2B .s C 1/3 C C .s C 1/2 C D s C 1 : (6.20) Si ahora usamos el resultado .s a/n D L1 1 L1 1 sn eat D tn1 .n 1/Š eat ; con n D 2; 3; la transformada inversa de F.s/ es L1 f F.s/g D f .t / D Ae5t C Bt2et C Ctet C Det : (6.21) Observe que hemos colocado un factor 2 multiplicado por B en (6.20) para que apareciera sólo el factor B en (6.21). Advierta también que la transformada inversa es una combinación lineal de e5t y de un polinomio general de grado dos multiplicado por et . Para determinar los coeficientes procedemos como sigue.

67. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 15 Para el coeficiente A basta con multiplicar por .s 5/ la ecuación (6.20) y evaluar despúes en s D 5; así obtenemos: A D lím s!5 .s 5/F.s/ D 7s 6 .s C1/3

71. sD5 D 29 216 : Simultiplicamos la ecuación (6.20) por .sC1/ o por .sC1/2, obtenemos una expresión que no está definida en s D 1. Necesitamos multiplicar por .s C 1/3 para tener una expresión definida en el punto; y entonces: 7s 6 s 5 D A.s C1/3 s 5 C 2B C C.s C1/ C D.s C 1/2: (6.22) Si ahora evaluamos en s D 1, resulta 2B D 7 6 1 5 D 13 6 ya que los otros términos del lado derecho se anulan. La última expresión es una identidad válida para s ¤ 5; esperamos entonces que la expresión que se obtiene al derivar ambos miembros se mantenga. Derivando (6.22), entonces resulta: d ds 7s 6 s 5 D d A.s C 1/3 ds s 5 C 2B C C.s C 1/C D.s C 1/2 ) ) .s 5/7 .7s 6/.1/ .s 5/2 D d A.s C 1/3 ds s 5 C 2B C C.s C 1/C D.s C 1/2 ) ) 29 .s 5/2 D 2A.s 8/.s C 1/2 .s 5/2 C C C 2D.s C 1/: Evaluando en s D 1 resulta C D 29 36 . Observe que no es necesario derivar el término A.s C 1/3 s 5 , ya que al evaluar en s D 1 se anulará. Para evaluar el coeficiente D derivamos nuevamente la expresión previa notando que la derivada del primer término del lado derecho se anulará al evaluar en s D 1. Tenemos entonces: d ds

75. 29 .s 5/2 sD1 D 2D ) .s 5/3

79. 58 sD1 D 2D ) 29 216 D D: Resulta finalmente que la transformada inversa de F.s/ es L1 f F.s/g D f .t / D 29 216 e5t C 13t2 12 et 29 36 tet 29 216 et : Ejemplo 6.5.15 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D s C 4 .s 3/.s C 5/2 . H El denominador de F.s/ tiene la raíz simple s D 3 y la raíz doble s D 5. De acuerdo con esto, su descomposición en fracciones parciales es F.s/ D A s 3 C B .s C 5/2 C C s C 5 I y la transformada inversa es f .t / D L1 f F.s/g D Ae3t C Bte5t C Ce5t I

80. 16 Ecuaciones diferenciales ordinarias donde los coeficientes están dados por: A D lím s!3 OE.s 3/F.s/ D s C 4 .s C 5/2

84. sD3 D 7 64 I s!5 .s C 5/2F.s/ D B D lím s C 4 s 3

88. sD5 D 1 8 D 1 8 I C D lím s!5 d ds .s C 5/2F.s/ D s 3

92. d ds s C 4 sD5 D

95. 7 .s 3/2

96. sD5 D 7 64 : Finalmente, la transformada inversa está dada por: f .t / D L1 f F.s/g D 7 64 e3t C 1 8 te5t 7 64 e5t : Ejemplo 6.5.16 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 1 s3.s 1/2 . H El denominador de F.s/ tiene la raíz triple s D 0 y la raíz doble s D 1, por lo cual su descomposición en fracciones parciales es F.s/ D 2A s3 C B s2 C C s C D .s 1/2 C E s 1 I y su transformada inversa es f .t / D L1 f F.s/g D At2 C Bt C C C Dtet C Eet I donde los coeficientes están dados por s!0 s3F.s/ D 2A D lím .s 1/2

100. 1 sD0 D 1I B D lím s!0 d ds s3F.s/ D .s 1/2

104. sD0 d ds 1 D .s 1/3

108. 2 sD0 D 2I C D lím s!0 1 2 d2 ds2 s3F.s/ D 1 2 d2 ds2 1 .s 1/2

112. sD0 D .s 1/4

116. 3 sD0 D 3I s!1 .s 1/2F.s/ D D D lím 1 s3

120. sD1 D 1I E D lím s!1 d ds .s 1/2F.s/ D s3

124. d ds 1 sD1 D 3 s4

128. sD1 D 3: Finalmente, la transformada inversa está dada por f .t / D L1 fF.s/g D 1 2 t2 C 2t C 3 C tet 3et :

129. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 17 Ejemplo 6.5.17 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 4s C 3 .s C 1/2.s 1/2 . H El denominador de F.s/ tiene las raíces dobles s D 1; 1. Así que, de acuerdo con el resultado 6:19/, tenemos que la transformada inversa está dada por la suma de la función f1.t / D lím s!1 d ds .s C 1/2F.s/est D lím s!1 d ds .4s C3/est .s 1/2 D D lím s!1 .s 1/2.4est C .4s C 3/test / ..4s C 3/est /2.s 1/ .s 1/4 D D 4.4et C .1/tet / .et /2.2/ 16 D 16et 4tet 4et 16 D 3 4 et 1 4 tet más la función f2.t / D lím s!1 d ds .s 1/2F.s/est D lím s!1 d ds .4s C 3/est .s C 1/2 D D lím s!1 .s C 1/2.4est C .4s C 3/test / ..4s C 3/est /2.s C1/ .s C 1/4 D D 4.4et C 7tet / .7et /2.2/ 16 D 16et C 28tet 28et 16 D 3 4 et C 7 4 tet : Por lo tanto, la transformada inversa está dada por f .t / D L1 fF.s/g D 3 4 et 1 4 tet 3 4 et C 7 4 tet : Ejemplo 6.5.18 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 1 s3.s 1/ . H El denominador de F.s/ tiene las raíces s D 0; 1; la primera de ellas triple y la segunda simple. Así que, de acuerdo con el resultado (6.19), tenemos que la transformada inversa está dada por la suma de las funciones f1.t / y f2.t / siguientes: f1.t / D lím s!0 1 2 d2 ds2 .s3/F.s/est D lím s!0 1 2 d2 ds2 est s 1 D lím s!0 1 2 d ds .s 1/test est .s 1/2 D D lím s!0 1 2 .s 1/2.test C.s 1/t2est test / ..s 1/test est /2.s 1/ .s 1/4 D D 1 2 .t2 .t 1/2.1// D t2 2 t 1: s!1 .s 1/F.s/est D lím f2.t / D lím s!1 est s3 D et : Por lo tanto, la transformada inversa está dada por f .t / D L1 f F.s/g D t2 2 t 1 C et :

130. 18 Ecuaciones diferenciales ordinarias Factores cuadráticos irreducibles no repetidos Esta situación corresponde al caso en que en el denominador Q.s/ de F.s/ D P.s/=Q.s/ aparecen factores cuadráticos irreducibles simples del tipo .s a/2 Cb2, es decir, cuando Q.s/ tiene raíces complejas simples de la forma a Cbi . Los resultados del caso de factores lineales no repetidos son aplicables en esta situación aunque requieren del uso del álgebra de los números complejos. También existe una segunda posibilidad que requiere del cálculo de la parte real e imaginaria de una cantidad compleja. Ambas posibilidades las estudiaremos en los ejemplos siguientes: Ejemplo 6.5.19 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 4 s.s2 C 1/ . H En este caso las raíces del denominador son s D 0; i;i , de forma que la descomposición en fracciones parciales es F.s/ D A s C B s i C C s C i I y la transformada inversa es f .t / D L1 fF.s/g D A C Bei t C Cei t : Para obtener los coeficientes seguimos el proceso estudiado en el caso de factores lineales no repetidos. Tenemos entonces: A D lím s!0 OEs F.s/ D s2 C 1

134. 4 sD0 D 4I B D lím s!i OE.s i /F.s/ D s.s C i /

138. 4 sDi D 4 i.2i / D 2I C D lím s!i OE.s C i /F.s/ D s.s i /

142. 4 sDi D 4 i.2i / D 2: Usando ahora estos resultados, tenemos que la transformada inversa de Laplace de F.s/ es f .t / D L1 f F.s/g D 4 2ei t 2ei t D 4 4 cos t I donde hemos utilizado la relación cos t D .ei t C ei t /=2. Observación. El cálculo de la transformada inversa para el caso de factores cuadráticos irreducibles simples, siguiendo el proceso anterior, requiere de las expresiones cos t D ei t C ei t 2 ; sen t D ei t ei t 2i I ambas ya utilizadas en el texto. Estudiemos ahora una segunda opción mediante los ejemplos siguientes: Ejemplo 6.5.20 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 4s C 5 .s2 C 1/.s2 C 9/ . H En este caso, los factores cuadráticos s2 C 1 y s2 C 9 son irreducibles y sus raíces son ˙i y ˙3i , respec-tivamente, por lo cual la descomposición de F.s/ en fracciones parciales tiene la forma F.s/ D 4s C 5 .s2 C 1/.s2 C 9/ D As CB s2 C 1 C Cs C 3D s2 C 9 I (6.23) y su transformada inversa es f .t / D L1 fF.s/g D Acos t C B sent C C cos 3t C D sen3t: (6.24)

143. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 19 Observe que en la descomposición (6.23) se coloca el término 3D para que en la transformada inversa apareciera D. Para determinar los coeficientes seguimos el proceso siguiente. Multiplicando .6:23/ por s2 C 1: 4s C 5 s2 C 9 D As C B C .Cs C 3D/.s2 C 1/ s2 C 9 : Evaluando en s D i , el segundo término del lado derecho desaparece y se obtiene: 4i C 5 1 C 9 D Ai C B ) A D 1 2 B D 5 8 : Si ahora multiplicamos .6:23/ por s2 C 9 se tiene: 4s C 5 s2 C 1 D .As C B/.s2 C9/ s2 C 1 C Cs C 3DI y evaluando en s D 3i resulta: 12i C 5 9 C 1 D 3Ci C 3D ) C D 1 2 D D 5 24 : Finalmente, la transformada inversa de Laplace de F.s/ es f .t / D L1 fF.s/g D 1 2 cos t C 5 8 sen t 1 2 cos 3t 5 24 sen3t: Ejemplo 6.5.21 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 1 .s2 2s C 2/.s2 C 4/ . H F.s/ se puede escribir como F.s/ D 1 OE.s 1/2 C 1.s2 C 4/ . Los factores cuadráticos .s 1/2 C1 y s2 C4 son irreducibles; sus raíces son 1 ˙ i ˙2i , respectivamente. La descomposición de F.s/ en fracciones parciales es de la forma: F.s/ D 1 OE.s 1/2 C 1.s2 C 4/ D A.s 1/C B .s 1/2 C 1 C Cs C2D s2 C 4 I (6.25) y su transformada inversa es f .t / D L1 fF.s/g D A.cos t /et C B.sen t /et CC cos 2t C D sen 2t: Observación. A se multiplica por s 1 y D por 2 para que en la transformada inversa aparezcan sólo A y D. Para determinar los coeficientes, multiplicaremos por los factores irreducibles. Si multiplicamos la ecuación .6:25/por .s 1/2 C 1, tenemos: 1 s2 C 4 D A.s 1/C B C .Cs C 2D/..s 1/2 C 1/ s2 C 4 : Si ahora evaluamos en s D 1 C i , el segundo término del lado derecho de esta última expresión se anula y obtenemos entonces: 1 .1 C i /2 C 4 D Ai C B: Como Ai C B D 1 .1 C i /2 C 4 D 1 4 C 2i D 4 2i .4 C2i /.4 2i / D 4 2i 16C 4 D 1 5 i 10 ;

144. 20 Ecuaciones diferenciales ordinarias tenemos, al igualar las partes reales e imaginarias, A D 1=10, B D 1=5. De la misma forma, si multipli-camos la ecuación .6:25/ por s2 C 4, tenemos: 1 .s 1/2 C 1 D OEA.s 1/C B.s2 C 4/ .s 1/2 C 1 C Cs C 2D: Evaluando en s D 2i , se anula el primer término del lado derecho de esta expresión y obtenemos: 1 .2i 1/2 C 1 D 2Ci C2D: Como 2Ci C 2D D 1 .2i 1/2 C 1 D 1 4 4i C 1 C 1 D 1 2 4i D 2 C 4i .2 4i /.2 C 4i / D 2 C 4i 4 C 16 D 1 10 C i 5 resulta, igualando las partes reales y las imaginarias, que C D 1=10, D D 1=20. Finalmente, la transfor-mada inversa de Laplace es f .t / D L1 fF.s/g D 1 10 .cos t /et C 1 5 .sen t /et C 1 10 cos 2t 1 20 sen 2t: Analicemos el trabajo realizado en los dos últimos ejemplos. Al inicio identificamos los factores cuadráticos irreducibles y las raíces de Q.s/. Después, por cada factor del tipo .sa/2Cb2, propusimos que aparecieran los siguientes términos en el desarrollo en fracciones parciales: A.s a/ C bB .s a/2 C b2 I lo que nos llevó directamente a los términos que debe contener la transformada inversa, es decir, Acos.bt /eat C B sen.bt /eat : (6.26) El cálculo de los coeficientes lo hicimos multiplicando F.s/ por el factor irreducible y evaluando en la raíz s D a C bi , esto es, s!aCbi .s a/2 C b2F.s/ D A.s a/C Bb

148. lím sDaCbi D Abi C Bb: De aquí igualamos las partes reales e imaginarias de la ecuación para obtener el resultado: A D 1 b s!aCbi .s a/2 C b2F.s/I Im lím B D 1 b s!aCbi .s a/2 C b2F.s/: (6.27) Re lím Éstas son expresiones generales que podemos utilizar siempre que tengamos factores cuadráticos simples e irreducibles en Q.s/ y son parte central del método de Heaviside que establecemos a continuación: Método de Heaviside 1. Determinar todas las raíces complejas a C bi de multiplicidad 1 de Q.s/. 2. Calcular los coeficientes A y B usando (6.27). 3. Calcular el término (6.26) y sumarlo en la transformada inversa. Apliquemos el método en los siguientes ejemplos:

149. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 21 Ejemplo 6.5.22 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 3s C 4 .s2 C 1/.s C 2/ . H Advirtamos primero que Q.s/ D .s2 C 1/.s C 2/ sólo tiene el factor cuadrático irreducible s2 C 1 cuyas raíces son s D a ˙ bi D ˙i , de donde identificamos que a D 0 y b D 1. Además se tiene un factor lineal s C 2 con raíz s D 2. En consecuencia, la transformada inversa de F.s/ es una combinación lineal de las funciones cos t , sent e2t , es decir: f .t / D L1 f F.sg D Acos t C B sent C Ce2t I donde los coeficientes A y B están dados por A D 1 b s!aCbi s a/2 C b2/F.s/ D Im lím Im lím s!i .s2 C 1/F.s/ D Im 3s C 4 s C 2

153. sDi D D Im 3i C 4 i C2 D Im .3i C 4/.2 i / .i C 2/.2 i / D Im 6i C 8 C 3 4i 5 D 2 5 : B D 1 b s!aCbi .s a/2 C b2/F.s/ D Re lím Re lím s!i .s2 C 1/F.s/ D Re 3s C 4 s C 2

157. sDi D D Re 3i C 4 i C2 D Re .3i C 4/.2 i / .i C 2/.2 i / D Re 6i C 8 C 3 4i 5 D 11 5 : El coeficiente C se calcula como: C D lím s!2 OE.s C 2/F.s/ D 3s C 4 s2 C 1

161. sD2 D 6 C 4 4 C 1 D 2 5 : Finalmente, la transformada inversa de Laplace es f .t / D L1 f F.s/g D 2 5 cos t C 11 5 sent 2 5 e2t : Ejemplo 6.5.23 Determinar la transformada inversa de Laplace de F.s/ D 1 s4 C 4s2 . H Observación. Q.s/ D s4C4s2 D s2.s2 C4/ sólo tiene el factor cuadrático irreducible s2 C4 cuyas raíces son s D a ˙ bi D ˙2i , de donde identificamos que a D 0 y b D 2. También tiene un factor lineal s2 con raíz doble s D 0. Por lo tanto, la transformada inversa de F.s/ es una combinación lineal de las funciones cos 2t , sen 2t , t 1, es decir: f .t / D L1 f F.s/g D Acos 2t CB sen 2t C Ct C D: Los coeficientes A y B están dados por A D 1 b s!aCbi .s a/2 C b2F.s/ D Im lím 1 2 s!2i .s2 C 4/F.s/ D Im lím 1 2 Im 1 s2

165. sD2i D 1 2 Im 1 4 D 0: B D 1 b s!aCbi .s a/2 C b2/F.s/ D Re lím 1 2 s!2i .s2 C 4/F.s/ D Re lím 1 2 Re 1 s2

169. sD2i D 1 2 Re 1 4 D 1 8 : Por otra parte, los coeficientes C y D están dados por s!0 s2F.s/ D C D lím s2 C 4

173. 1 sD0 D 1 4 : D D lím s!0 d ds s2F.s/ D s2 C 4

177. d ds 1 sD0 .s2 C 4/2

181. D 2s sD0 D 0:

182. 22 Ecuaciones diferenciales ordinarias Finalmente, la transformada inversa de Laplace es f .t / D L1 f F.s/g D 1 8 sen 2t C 1 4 t: Podemos resumir lo que hemos hallado hasta aquí en el siguiente teorema, cuya demostración omitimos: Teorema 6.3 Si para el cociente de polinomios F.s/ D P.s/ Q.s/ , el grado del denominador Q.s/ es mayor que el del numerador P.s/ y, si el denominador tiene un factor cuadrático de la forma .s a/2 C b2, de modo que Q.s/ D OE.s a/2 C b2Q1.s/ con Q1.a C ib/ ¤ 0I entonces, denotando G.s/ D P.s/ Q1.s/ D OE.sa/2Cb2F.s/, GI D Im OEG.a C ib/, GR D Re OEG.a C ib/, el término de f .t / D L1 f F.s/g que corresponde al factor .s a/2 C b2 es eat b OEGI cos bt C GR senbt : Ejemplo 6.5.24 Encontrar la transformada inversa de F.s/ D s2 5s C 7 .s 3/OE.s 1/2 C 4 . H Las raíces de denominador de Q.s/ son 3 1 ˙ 2i , por lo tanto: F.s/ D A s 3 C B.s 1/C 2C .s 1/2 C 22 de modo que, usando los teoremas (6.2) y (6.3), obtenemos: f .t / D L1 f F.s/g D 32 5.3/ C 7 .3 1/2 C 4 e3t C et 2 OEGI cos 2t C GR sen2t : Donde G.s/ es F.s/ suprimiendo del denominador el factor en el cual 1 C 2i es raíz; así: G.s/ D s2 5s C 7 s 3 ; por lo que G.1 C 2i / D .1 C2i /2 5.1 C 2i /C 7 .1 C 2i / 3 D 1 C4i 4 5 10i C 7 2 C 2i D 1 6i 2 C 2i D D .1 6i /.2 2i / .22/C .22/ D .2 12/C i.2 C12/ 8 D 10 8 C 14 8 i D 5 4 C 7 4 i I luego GR D 5 4 , GI D 7 4 ; y entonces: f .t / D 1 8 e3t C et 8 OE7 cos 2t 5 sen2t :

183. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 23 Ejemplo 6.5.25 Encontrar la transformada inversa de F.s/ D s3 4s2 C 11 OE.s 2/2 C 32OE.s 3/2 C 22 . H El teorema 6.3 se apuede aplicar aún cuando haya raíces complejas distintas, como es este caso. La componente correspondiente al primer factor cuadrático OE.s 2/2 C 32, cuyas raíces son 2 ˙ 3i , es e2t 3 OEG1R cos 3t C G1I sen3t ; con G1.s/ tomado de F.s/ omitiendo del denominador el factor OE.s 2/2 C32 para el cual 2C3i es raíz. Es decir: G1.s/ D s3 4s2 C 11 .s 3/2 C 4 : Demanera análoga la componente correspondiente al segundo factor cuadrático OE.s3/2C22, cuyas raíces son 3 ˙ 2i , es e3t 2 OEG2R cos 2t C G2I sen 2t ; con G2.s/ D s3 4s2 C 11 .s 2/2 C 9 : Calculamos primero los valores para G1: G1.2 C 3i / D .2 C 3i /3 4.2 C 3i /2 C 11 .2 C 3i 3/2 C4 D 8 C36i 54 27i 4.4 C 12i 9/ C 11 1 6i 9 C 4 D D 8 54 C 20C 11 C i.36 27 48/ 4 6i D 15 39i 4 6i D 15 C 39i 4 C 6i D .15 C 39i /.4 6i / 42 .6i /2 D D 60C 234 C i.156 90/ 42 C 62 D 294C 66i 52 D 147 26 C 33 26 i: Luego, para G2: G2.3 C 2i / D .3 C 2i /3 4.3 C 2i /2 C 11 .3 C 2i 2/2 C 9 D 27 C 54i 36 8i 4.9 C 12i 4/C 11 1 C 4i 4 C 9 D D 27 36 20 C 11C i.54 8 48/ 6 C 4i D 18 2i 6 C 4i D .18 2i /.6 4i / 62 C 42 D D 108 8 C i.72 12/ 52 D 116C 60i 52 D 29 13 C 15 13 i: Por tanto, la transformada inversa buscada es f .t / D L1 f F.s/g D e2t 3 147 26 cos 3t C 33 26 sen 3t C e3t 2 29 13 cos 2t C 15 13 sen 2t D D e2t 78 OE147 cos 3t C 33 sen3t C e3t 26 OE29 cos 2t C 15 sen2t :

184. 24 Ecuaciones diferenciales ordinarias Factores cuadráticos irreducibles repetidos Basta para los objetivos del texto considerar el ejemplo siguiente resuelto con la ecuación 6:19. Ejemplo 6.5.26 Determinar la transformada inversa de F.s/ D 1 s.s2 C1/2 . H Tenemos en este caso que Q.s/ D s.s2 C 1/2 D s.s i /2.s C i /2 tiene dos raíces complejas dobles, a saber: s D i;i . Así que, de acuerdo con la ecuación 6:19, tenemos que la transformada inversa es la suma de tres funciones f1.t /; f2.t /; f3.t / dadas por s!0 sF.s/est D lím f1.t / D lím s!0 est .s2 C 1/2 D 1: f2.t / D lím s!i d ds .s i /2F.s/est D lím s!i d ds est s.s C i /2 D D lím s!i s.s C i /2test est OE.s C i /2 C 2s.s C i / s2.s C i /4 D D i.2i /2tei t ei t OE.2i /2 C2i.2i / i2.2i /4 D 4i tei t C 8ei t 16 D 1 4 i tei t 1 2 ei t : f3.t / D lím s!i d ds .s C i /2F.s/est D lím s!i d ds est s.s i /2 D D lím s!i s.s i /2test est OE.s i /2 C 2s.s i / s2.s i /4 D D i.2i /2tei t ei t OE.2i /2 2i.2i / .i /2.2i /4 D 4i tei t C 8eît 16 D 1 4 i tei t 1 2 ei t : De forma que la transformada inversa está dada por f .t / D f1.t / C f2.t / C f3.t / D 1 C 1 4 i tei t 1 2 ei t 1 4 i tei t 1 2 ei t D D 1 C 1 4 i t ei t ei t 1 2 ei t C ei t D D 1 C 1 4 i t .2i sen t / 1 2 2 cos t D 1 1 2 t sen t cos t: Ejercicios 6.5.2 Aplicación de la TL para resolver ED. Método de Heaviside. Soluciones en la página 25 Calcular L1 fF.s/g de las funciones siguientes, utilizando el método de Heaviside: 1. F.s/ D 3s C 2 .s 1/.s 2/.s 3/.s 4/ . 2. F.s/ D 2s .s 1/2.s C 2/3 . 3. F.s/ D s2 C s 1 .s 1/2.s2 C 1/.s 3/ . 4. F.s/ D 1 .s 1/2.s2 C 4/.s2 C 1/ . 5. F.s/ D 4 .s2 C 1/3.s 2/ .

185. 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED 25 Ejercicios 6.5.1 Aplicación de la TL para resolver ED. Fracciones parciales. Página 9 1. f .t / D 5e2t et . 2. f .t / D 1 C 2t Cet tet . 3. f .t / D 7 5 e2t C 7 5 cos t C 6 5 sen t . 4. f .t / D 8 5 cos 2t 9 10 sen 2t C 23 5 cos 3t C 19 15 sen3t . 5. h.t / D 2 3 C t2 2 C 1 3 cos t 1 2 t cos t . Ejercicios 6.5.2 Aplicación de la TL para resolver ED.Método de Heaviside. Página 24 1. L1 fF.s/g D f .t / D 5 6 et C4e2t 11 2 e3t C 7 3 e4t . 2. L1 fF.s/g D f .t / D 2 27 tet 2 9 t2e2t 2 27 te2t . 3. L1 fF.s/g D f .t / D 5 8 et 1 4 tet C 7 20 cos t C 1 20 sen t C 11 40 e3t . 4. L1 fF.s/g D f .t / D 1 10 tet 7 50 et 2 75 cos 2t C 1 50 sen 2t C 1 6 cos t . 5. L1 fF.s/g D f .t / D 4 125 e2t C 1 5 t2 sent C 1 10 t2 cos t 9 50 t sen t 103 sent 125 C 19 25 t cos t 4 cos t 125 .

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