Transformada de laplace - introducción
- 2. Muchos de los sistemas físicos se expresan matemáticamente en función de ecuaciones diferenciales.
- 3. La Transformada de Laplace es un método que involucra la conversión de ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas facilitando el proceso de solución ℒ Ecuaciones integro- diferenciales Ecuaciones ALGEBRAICAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA ℒ −𝟏 SOLUCION Ecuaciones EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
- 5. 𝑓 𝑡 = 30𝛿(𝑡) Ejemplo 1. Se tiene la función impulso f(t). Expresarla en el dominio de la frecuencia “s” Solución Se aplica transformada de Laplace a ambos lados de la igualdad: 𝑓 𝑡 = 30𝛿(𝑡) Dada f(t): ℒ 𝑓 𝑡 = ℒ 30𝛿(𝑡) 𝐹 𝑠 = 30 (1) 𝐹 𝑠 = 30) 30 f(t) F(s)
- 6. 𝑓1 𝑡 = 100𝜇(𝑡) Ejemplo 2. Se tiene la función escalon f1(t). Expresarla en el dominio de la frecuencia “s” Solución Se aplica transformada de Laplace a ambos lados de la igualdad: Dada f(t): ℒ 𝑓1 𝑡 = ℒ 100𝜇(𝑡) 𝐹1 𝑠 = 100 1 𝑠 𝑭𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎 𝒔 𝑓1 𝑡 = 100𝜇(𝑡) 100 f(t) F(s)
- 7. 𝑓2 𝑡 = 5𝑒−3𝑡 Ejemplo 3. Se tiene la función f1(t). Expresarla en el dominio de la frecuencia “s” Solución f(t) F(s) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑒−3𝑡 a= 3 𝑒−𝑎𝑡 F(s)= 1 𝑠+𝑎 Si el exponente es negativo El exponente a queda positivo, en el plano “s” 𝐹 𝑠 = 1 𝑠 + 𝑎 = 1 𝑠 + 3 Se aplica transformada de Laplace a ambos lados de la igualdad: Dada f(t): ℒ 𝑓2 𝑡 = ℒ 5𝑒−3𝑡 𝐹2 𝑠 = 5 1 𝑠 + 3 𝐹2 𝑠 = 5 𝑠 + 3 𝑓2 𝑡 = 5𝑒−3𝑡 5
- 8. g 𝑡 = 12𝑠𝑒𝑛(5𝑡) Ejemplo 4. Se tiene la función g(t). Expresarla en el dominio de la frecuencia “s” Solución Dada g(t): ℒ 𝑔 𝑡 = ℒ 12𝑠𝑒𝑛(5𝑡) 𝐺 𝑠 = 12 5 𝑠2 + 52 𝐺 𝑠 = 60 𝑠2 + 25 g 𝑡 = 12𝑠𝑒𝑛(5𝑡) 𝐺 𝑠 = 12𝑥5 𝑠2 + 25 f(t) F(s) 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) F(s)= 𝑤 𝑠2+𝑤2 Para w=5 F(s)= 5 𝑠2+52
- 13. Considerando las condiciones iniciales =0
- 14. Considerando las condiciones iniciales =0 Multiplicando por “S” a ambos lados de la igualdad:
- 15. 𝑉 𝑠 𝑠3 + 6𝑠2 + 8𝑠 = 2 𝑉 𝑠 = 2 𝑠3 + 6𝑠2 + 8𝑠 𝑠3 𝑉 𝑠 + 6𝑠2 𝑉 𝑠 + 8𝑠𝑉 𝑠 = 2 Sacando V(s) como factor común: Despejando V(s):