S8. transformada de-laplace
- 1. ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES FORMACIÓN POR COMPETENCIAS Transformada de Laplace
- 2. OBJETIVOS Definir la transformada de Laplace. Identificar las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace. Calcular la transformada de Laplace usando la definición. Identificar las propiedades a usar para calcular la transformada de Laplace. Aplicar los métodos estudiados a diferentes problemas aplicativos del contexto real.
- 4. Definición Sea 𝒇 una función definida en 𝟎; ∞ . La transformada de Laplace de 𝒇 es la función 𝑭 definida mediante la integral: El dominio de 𝑭 está formado por los valores de 𝒔, para los que la integral en (1) existe. 𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) = 𝒆−𝒔𝒕 ∞ 𝟎 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 … (𝟏)
- 5. • 1 • Determine la transformada de Laplace de • 𝒇 𝒕 = 𝒆 𝟐𝒕 • Solución: • Usamos la definición (1) de transformada de Laplace • • 𝐅 𝐬 = 𝐞−𝐬𝐭 𝐞 𝟐𝐭 𝐝𝐭 ∞ 𝟎 = 𝒆(𝟐−𝒔)𝒕 𝒅𝒕 ∞ 𝟎 = − 𝒆 𝟐−𝒔 𝒕 (𝟐−𝒔) 𝟎 +∞ = 𝟏 (𝒔 − 𝟐)
- 6. • Determine la transformada de Laplace de: • a) 𝒇 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏(𝒕) • b) 𝒇 𝒕 = 𝒕 𝟑 • c) 𝒇 𝒕 = 6
- 7. Linealidad de la transformada de Laplace Sean 𝒇 𝟏 y 𝒇 𝟐 dos funciones cuyas transformada de Laplace existen para 𝒔 > 𝜶 además sean 𝒂 y 𝒃 dos constantes, entonces para 𝒔 > 𝜶 ℒ 𝑎𝑓1 𝑡 + 𝑏𝑓2 𝑡 (𝑠) = 𝑎ℒ 𝑓1 𝑡 (𝑠) + 𝑏ℒ 𝑓2 𝑡 (𝑠)
- 8. • 1 • Calcule la transformada de Laplace de • 𝒇 𝒕 = 𝟑𝒆 𝟐𝒕 + 𝟓𝒕 • Solución: Aplicamos la definición de transformada de Laplace y la linealidad 𝑭 𝒔 = 𝒆−𝒔𝒕 𝟑𝒆 𝟐𝒕 + 𝟓𝒕 𝒅𝒕 ∞ 𝟎 = 𝟑 𝒆(𝟐−𝒔)𝒕 𝒅𝒕 + ∞ 𝟎 𝟓 𝒆−𝒔𝒕 𝒕𝒅𝒕 + ∞ 𝟎 = 𝟑 (𝒔−𝟐) + 𝟓 𝒔 𝟐
- 9. Continuidad por partes o tramos Una función 𝒇 es continua por partes en un intervalo finito 𝒂; 𝒃 , si 𝒇 es continua en cada punto de 𝒂; 𝒃 excepto en un número finito de puntos donde 𝒇 tiene una discontinuidad de salto. Una función 𝒇 es continua por partes en 𝟎; ∞ si 𝒇 es continua por partes en 𝟎; 𝑵 para todo 𝑵 > 𝟎.
- 10. • 1
- 11. • 1 𝑎 𝑏 Función continua por partes en el intervalo 𝒂, 𝒃
- 12. • 3
- 13. • 4 • Dada la siguiente función: • 𝒇 𝒕 = 𝒆− 𝒕 𝟐 𝒔𝒊 𝟐𝒏 < 𝒕 ≤ 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟎 𝒔𝒊 𝟐𝒏 + 𝟏 < 𝒕 ≤ 𝟐𝒏 + 𝟐 𝟏 𝒔𝒊 𝒕 > 𝟖 • 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑,…. • Grafique 𝐟
- 14. Función de orden exponencial Una función 𝒇 es de orden exponencial 𝜶, si existen constantes positivas 𝜶; 𝑴 y 𝑻 tal que: Observación: Una función 𝒇 es de orden exponencial 𝜶 si: 𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒 𝛼𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 ≥ 𝑇 lim 𝑡→∞ 𝑓(𝑡) 𝑒 𝛼𝑡 = 0
- 15. • 1 • Verifique si la función 𝒇 𝒕 = 𝒆 𝒕 𝟐 es de orden exponencial • Solución: • No es de orden exponencial pues si existieran 𝜶 ∈ ℝ, 𝒕 𝟎 > 𝑴, tales que • 𝒇 𝒕 < 𝑴𝒆 𝜶𝒕 para todo 𝒕 > 𝒕 𝟎, • entonces 𝒆 𝒕 𝟐−𝜶𝒕 < 𝑀 lo cual es absurdo pues • 𝒕 𝟐 − 𝜶𝒕 → +∞ cuando 𝑡 → +∞.
- 16. Condiciones de existencia para la Transformada de Laplace Si 𝒇 es una función continua por partes en 𝟎; ∞ y de orden exponencial 𝜶, entonces 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) existe para 𝑠 > 𝛼
- 17. • 1 • ¿Existe la transformada de Laplace de 𝒇 𝒕 = 𝒕 𝟑 ?
- 18. Breve tabla de la Transformada de Laplace 𝒇 𝒕 𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) 𝟏 𝟏 𝒔 , 𝒔 > 𝟎 𝒆 𝒂𝒕 𝟏 𝒔 − 𝒂 , 𝒔 > 𝒂 𝒕 𝒏, 𝒏 = 𝟏; 𝟐; … 𝒏! 𝒔 𝒏+𝟏 , 𝒔 > 𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕 𝒂 𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 , 𝒔 > 𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕) 𝒔 𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 , 𝒔 > 𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒂𝒕) 𝒂 𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐 , 𝒔 > 𝒂 𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒂𝒕) 𝒔 𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐 , 𝒔 > 𝒂
- 19. Ejercicios Use las fórmulas para obtener la transformada de Laplace de las siguientes funciones: a) 𝒇 𝒕 = 𝒕 𝟔 b) 𝒇(𝒕) = (𝒕 − 𝟐) 𝟐 c) 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏 𝟐 (𝒕) Solución:
- 20. Propiedades de la Transformada de Laplace
- 21. Teorema 1:Traslación en 𝐬 (Primer teorema de traslación) Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)= 𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶 𝓛 𝒆 𝒂𝒕 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝑭 𝒔 − 𝒂 para 𝑠 > 𝛼 + 𝑎
- 22. • 1 • Determine: 𝓛 𝒆 𝟒𝒕 𝒕 𝟑
- 23. Teorema 2: Derivada de la Transformada de Laplace Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)= 𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶 𝓛 𝒕 𝒏 𝒇 𝒕 𝒔 = (−𝟏) 𝒏 𝒅 𝒏 𝒅𝒔 𝒏 𝑭 𝒔
- 24. • 1 • Determine: ℒ 𝑡2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
- 25. Teorema 3: Transformada de Laplace de la integral Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)= 𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶 𝓛 𝒇 𝒖 𝒅𝒖 𝒕 𝟎 𝒔 = 𝑭(𝒔) 𝒔
- 26. • 1 • Determine: 𝓛 𝒆−𝟐𝒖 𝒖 𝒕 𝟎 𝒔𝒆𝒏(𝒖)
- 27. Teorema 4: Transformada de Laplace de 𝒇(𝒕) 𝒕 Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)= 𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝑠 > 𝛼 𝓛 𝒇(𝒕) 𝒕 𝒔 = 𝑭 𝒖 𝒅𝒖 ∞ 𝒔
- 28. • 1 • Determine: 𝓛 𝒔𝒆𝒏(𝒕) 𝒕
- 29. Teorema 5:Transformada de Laplace de la derivada Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)= 𝑭 𝒔 existe y 𝒇′(𝒕) continua por tramos por partes en 𝟎, ∞ y de orden exponencial 𝜶, entonces para 𝒔 > 𝜶, entonces: 𝓛 𝒇′ 𝒕 𝒔 = 𝒔𝑭 𝒔 − 𝒇(𝟎)
- 30. • 1 • Aplique la transformada de Laplace al P.V.I • 𝒚′ − 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒚 𝟎 = 𝟎
- 31. Forma general de la Transformada de Laplace de la derivada Sean 𝒇 𝒕 ; 𝒇′ 𝒕 ; 𝒇′′ 𝒕 ; … ; 𝒇 𝒏−𝟏 (𝒕) continuas en 𝟎; ∞ y sea 𝒇 𝒏 (𝒕) continua por partes en 𝟎; ∞ , con todas estas funciones de orden exponencial 𝜶, entonces para 𝒔 > 𝜶, 𝓛 𝒇(𝒏) 𝒕 𝒔 = 𝒔 𝒏 𝑭 𝒔 − 𝒔 𝒏−𝟏 𝒇 𝟎 − 𝒔 𝒏−𝟐 𝒇′ 𝟎 − ⋯ − 𝒔𝒇 𝒏−𝟐 𝟎 − 𝒇 𝒏−𝟏 𝟎 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)= 𝑭 𝒔
- 32. Ejercicios Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones: a) 𝒇 𝒕 = 𝒆−𝟐𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒕) 𝐛) 𝒇 𝒕 = 𝒆 𝟒𝒕 𝒕 𝒆−𝟒𝒖 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒖) 𝒖 𝒅𝒖 𝒕 𝟎 Solución:
- 33. Bibliografía 2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau Xie 3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur 1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado- Dennis G. Zill 4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime Escobar A.