Transformada jonathan v 9 7-16

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Popular de Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Bachilleres:
Jonathan Villarroel
Tecnol. Mecánica Mtto.
Puerto. La Cruz, julio 2.016
Profesora: Ranielina Rondón
Matemática IV

Definición de Transformada de Laplace
La transformada de Laplace:
Es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución
de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de
una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático
o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la
función F(s), definida
Que quiere decir:
Sea f una función definida para , la transformada de
Laplace de f(t) se define como
cuando tal integral converge
Notas
1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de
integración se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en
la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
1. De orden exponencial
2. Continua a trozos
Propiedades de la Transformada de Laplace:
Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t)
respectivamente. Entonces:
L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)
Multiplicación por una constante

Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)
Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t
tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al
tiempo de f(t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)
En general, para las derivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).
Teorema del Valor Inicial
Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:
Lím f(t) = Lím s F(s)
si el límite existe.
APLICACIONES
La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales
que involucran funciones , periódicas, funciones discontinuas a trozos o
deltas de Dirac.
Ejemplo
Con la transformada de Laplace podemos resolver circuitos electrónicos en
este caso circuito RLC.
Iniciamos con la ecuación

Donde E(t) es la fuente, R el valor de la resistencia, L el valor del inductor y c el valor de la
capacitancia
Sustituimos los valores y nos queda
Aplicamos Laplace a toda la ecuación y obtenemos.
Multiplicamos 10s toda la ecuacion para simplificar
Aplicamos Laplace inversa
Tabla de Transformadas
1. Obtención

2. Obtención
3. Obtención
4. Obtención Para n entero
:
5. Obtención Para
Nota sobre la función Gamma.
6. Obtención Para s > a
7. Obtención
8. Obtención
9. Obtención
10.Obtención

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA
La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función
de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir
si es que acaso
Esta definición obliga a que se cumpla:
y
Definición.
Si la transformada de Laplace de una función
F(t) es f(s), es decir, si L |F(t)| = f(s),
entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace de f(s) y se
expresa por F(t) = L-1 |f(s)| , donde L-1 se llama el operador transformada
inversa de Laplace. Como la transformada de Laplace de una función nula
N(t) es cero,
es claro que si
L |f(t)| = f(s) entonces L |F(t) + N(t)| = f(s).
De esto se deduce que puede haber dos funciones diferentes con la misma
transformada de Laplace.
Para demostrar algunos aspectos, tomemos el siguiente ejemplo, en el cual
dos funciones diferentes
F1 (t) = e-3t y F2(t) = 0 t =1
e-3t de otra manera tienen la misma transformada de Laplace,
es decir 1/(s + 3),

Si la consideramos las funciones nulas, vemos que la transformada inversa
de Laplace es única. Sin embargo, es única en cada intervalo 0<= t <= N y de
orden exponencial para t > N, aceptará siempre esa unicidad a menos que se
establezca claramente lo contrario. Tabla de transformadas inversas de
Laplace.
Tabla
F(s)
L-1{f(s) = F(t)
1. 1/s 1
2. 1/s2 T
3. 1 / sn+1 n=0,1,2,... tn / n!
4. 1 / s-a eat
5. 1 / s2+a2 sen at / a
6. s / s2+a2 cos at
7. 1 / s2-a2 sen h at / a
8. s / s2 - a2 cos h at
PROPIEDAD DE LINEALIDAD.
Teorema. Si c1y c2 son constantes arbitrarias y f1(s) y f2(s) son las
transformadas de F18t) y F2(t) respectivamente, entonces
L-1{c1f1(s) + c2f2(s)} = c1 L-1{f1(s)} + c2 L-1{f2(s)}
= c1F1(t) + c2F2(t)
Este resultado se puede extender fácilmente al caso de más de dos
funciones.
L-1 4/(s - 2) - 3s/(s2 + 16) + 5/(s2+ 4) =
4 L-1 1/(s - 2) - 3 L-1 s/(s2 + 16) + 5 L-1 1/(s2 + 4) =
= 4e2t - 3 cos 4t + 5/2 sen 2t
Debido a esta propiedad podemos decir que L-1 es un operador lineal o que
tiene propiedad de linealidad.

L-1 (5s + 4)/s2 - (2s - 18)/(s2 + 9) + (24 - 30 s )/s4 =
L-1 (5/s2) + (4/s3) - [2s /(s2 + 9)] + [18/ (s2 + 9)] + (24/s4) - (30/s7/2)
= 5t + 4(t2/2!) - 2cos3t + 18 [(sen3t)/3] + 24(t3/3!) - 30(t5/2/r(7/2)
= 5t + 2t2 - 2 cos 3t + 6 sen 3t + 4t3 - 16t5/2/ TT
Puesto que r(7/2)= 5/2 * 3/2 * ½ r(1/2) = (15 TT )/ 8.
Transformada inversa de Laplace aplicando fracciones parciales
1.- Determinar:
L-1 =
𝟓
( 𝒔−𝟐)( 𝒔−𝟑)(𝒔−𝟔)
La fracción parcial queda:
𝟓
( 𝒔−𝟐)( 𝒔−𝟑)(𝒔−𝟔)
=
𝑨
𝑺−𝟐
+
𝑩
𝑺−𝟑
+
𝑪
𝑺−𝟔
A (S – 3) (S – 6) + B (S –2) (S – 6) + C (S – 2) (S – 3) = 5
A (S2 – 6S -3S + 18) + B (S2 – 6S – 2S + 12) + C (S2 – 3S - 2S + 6) = 5
A (S2– 9S+ 18) + B (S2 – 8S + 12) + C (S2 -5S+ 6) =5
S2 (A + B + C) + S (-9A – 8B – 5C) + (18A + 12B + 6C) =5
A + B + C = 0 A= -B –C (I)
-9A – 8B – 5C = 0
18A + 12B + 6C = 5 (III)
-9(-B – C) – 8B – 5C = 0 9B + 9C – 8B – 5C = 0 B + 4C = 0 B = - 4C
(II)

Introducir la ecuación I y II en la III
18 (-(-4C) – C) + 12(-4C) + 6C = 5
72C – 18C – 48C + 6C = 5 12 C = 5 C =
5
12
B = -4
5
12
B =
−20
12
B =
−5
3
A = -
−5
3
-
5
12
A =
5
3
-
5
12
A =
20−5
12
A =
15
12
L-1 =
𝟓
( 𝒔−𝟐)( 𝒔−𝟑)(𝒔−𝟔)
=
15
12
L-1
𝟏
𝑺−𝟐
_
5
3
L-1
𝟏
𝑺−𝟑
+
5
12
L-1
𝟏
𝑺−𝟔
=
15
12
e 2t
-
5
3
e 3t +
5
12
e 6t
2.- Determinar
L-1 =
𝟏
( 𝒔 𝟐+ 𝟏) (𝒔 𝟐+ 𝟗)
𝟏
( 𝒔 𝟐+ 𝟏) (𝒔 𝟐+ 𝟓)
=
𝑨𝑺+𝑩
𝑺 𝟐+ 𝟏
+
𝑪𝑺+𝑫
𝑺 𝟐+ 𝟗

AS + B (S2 + 9) + CS +D (S2 + 1) = 1
AS3 + 9AS + BS2 + 9B + CS3 + CS + DS2 + D = 1
S3 (A + C) + S2 (B + D) + S (9A + C) + (9B + D) = 1
A + C = 0
B + D = 0
9A + C = 0
9B + D = 1
A = - C
B = - D
9 (-C) + C = 0 - 9C + C = 0 - 8C = 0 C = 0
A = 0
9 (-D) +D = 1 - 9D + D = 1 - 8D = 1
D = -
1
8
B = - ( -
1
8
) B =
1
8
L-1 =
𝟏
( 𝒔 𝟐+ 𝟏) (𝒔 𝟐+ 𝟗)
= L-1
𝟏
𝟖
𝑺 𝟐+ 𝟏
- L-1
𝟏
𝟖
𝑺 𝟐+ 𝟗
=
1
8
L-1
𝟏
𝑺 𝟐+ 𝟏
-
1
8∗3
L-1
𝟑
𝑺 𝟐+ 𝟗

=
1
4
Sen t -
1
24
Sen 3t
Transformada de Laplace aplicando la tabla
1.-Determine:
L = - 4 t2 + 16 t + 9 – cos 2 t
Utilizando la tabla de transformación se tiene:
= - 4 L t2
+ 16 L t + 9 L 1 - L cos 2t

= - 4
2
𝑠3
+ 16
1
𝑠2
+ 9
2
𝑠
-
+ + -= -
2.-Determine:
L = t3 + 3 t – e4t + sen 4 t
= L t3
+ 3 L t - L e4t
+ L sen 4 t
= + - +
Transformada inversa de Laplace aplicando fracciones parciales
1.- L-1 =
𝟐𝒔 _ 𝟓
𝒔 𝟐+𝟓𝒔−𝟏𝟒

Las raíces del denominador son:
S2 + 5s – 14 = (s + 7) (s -2)
𝟐𝒔 _ 𝟓
𝒔 𝟐+𝟓𝒔−𝟏𝟒
=
𝑨
𝑺+𝟕
+
𝑩
𝑺−𝟐
𝟐𝒔 _ 𝟓
( 𝑺+𝟕)(𝑺−𝟐)
=
𝑨
𝑺+𝟕
+
𝑩
𝑺−𝟐
A (S - 2) + B(S + 7) = 2S – 5
As – 2A + Bs + 7B = 2s – 5
(A + B)s + (- 2A + 7B) = 2s – 5
A + B = 2 B = 2 – A
-2A + 7B =- 5
-2A + 7(2 – A) = -5
-2A +14 – 7A = -5
-9A + 14 = - 5
-9A = -5 – 14
-9A = - 19
A = −19
−9⁄ A=
19
9
B= 2 -
19
9

B =
18−19
9
B = −
1
9
Por tanto:
L-1 =
𝟐𝒔 _ 𝟓
𝒔 𝟐+𝟓𝒔−𝟏𝟒
= L-1 =
19
9
𝒔+𝟕
+
−
1
9
𝒔−𝟐
=
19
9
L-1
𝟏
𝑺+𝟕
−
1
9
L-1
𝟏
𝑺−𝟐
=
19
9
e-7t
−
1
9
e2t
2.- L-1 =
𝟑
𝒔(𝒔 𝟐+𝟗)
𝑨
𝑺
+
𝑩𝑺+𝑪
(𝒔 𝟐+𝟗)
=
𝟑
𝒔(𝒔 𝟐+𝟗)
A (s2 + 9) + (Bs +C)s = 3
As2 + 9A + Bs2 + C = 3
(A+ B)s2 + 9A + C = 3
A +B = 0
C= 0

9A = 3
A =
3
9
A=
1
3
A +B = 0
B = - A
B = −
1
3
Por tanto:
L-1 =
𝟑
𝒔(𝒔 𝟐+𝟗)
= L-1 =
1
3
𝒔
+
−
1
3
𝑠+0
(𝑠2 + 9)
=
1
3
L-1
𝟏
𝑺
−
1
3
L−1 𝒔
(𝒔 𝟐+𝟗)
=
1
3
−
1
3
cos3t

Transformada de Laplace aplicando la tabla
1.-Determine:
L= 7t – 4 + 8 sen (9 t)
Usando la propiedad lineal tenemos:
L= 7t – 4 + 8 sen (9 t) = 7 L t - 4 L 1 + 8 L Sen (9t)
7 L t - 4 L 1 + 8 L Sen (9t) = 7
1
𝑠2 – 4
1
𝑠
+ 8
9
𝑠2+92
= 7
1
𝑠2
– 4
1
𝑠
+ 8
9
𝑠2+81
Aplicando algebra se tiene:
=
7 ( 𝑠2
+81)−4 𝑠 ( 𝑠2
+81)+8 𝑠3
𝑠2( 𝑠2 +81)
=
7𝑠2
+567 −4𝑠3
−324𝑠 +8 𝑠3
𝑠2( 𝑠2 +81)
=
567 −324𝑠 +7𝑠2
+4𝑠3
𝑠2( 𝑠2 +81)

Por tanto:
L= 7t – 4 + 8 sen (9 t) =
567 −324𝑠 + 7𝑠2
+4𝑠3
𝑠2( 𝑠2 +81)
2.- Determine:
L = t2 – e-9t + 5 + (2t – 1)2
L = t2 – e-9t + 5 + 4t2 -4t + 1 L = 5t2 -4t + 6 – e-9t
= 5 L t2 - 4 L t + 6 L 1 - L e -9t
= 5
2
𝑠3
– 4
1
𝑠2
+ 6
2
𝑠
– (-
1
𝑠+9
)
=
10
𝑠3
-
4
𝑠2
+
12
𝑠
+
1
𝑠+9
Por tanto:
L = t2 – e-9t + 5 + (2t – 1)2 =
10
𝑠3
-
4
𝑠2
+
12
𝑠
+
1
𝑠+9

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