Trigonometria 16
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Este documento presenta varios problemas de trigonometría relacionados con triángulos. 1) Resuelve un problema utilizando la ley de cosenos para encontrar el lado faltante de un triángulo. 2) Calcula el secante de un ángulo utilizando la proporcionalidad de los lados. 3) Equivalencia de expresiones trigonométricas. 4) Determina el ángulo desconocido utilizando la relación entre los lados y los senos.
Trigonometria 16
- 1. Trigonometría SEMANA 16 RPTA.: D RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 3. En un triángulo ABC, la expresión: OBLICUÁNGULOS b gsen ( B + C ) W= c − b gcos A 1. En un triángulo ABC, si: A = 60°; es equivalente a: b = 4 7; c = 6 7 . Halle el lado “a” A) tg B B) ctg B C) 1 D) 2 E) 1/2 A) 7 B) 10 C) 13 D) 14 E) 20 RESOLUCIÓN * ∆ ABC → A + B + C = 180° → B + C = 180° − A RESOLUCIÓN * Ley de proyecciones: De la ley de cosenos: c = a gcosB + b gcos A → c − b gcos A = a gcosB a2 = b2 + c2 − 2bc gcos A b gsen ( 180° − A ) b gsen A ⇒ ( ) ( ) ( )( ) W= = 2 2 a2 = 4 7 + 6 7 − 2 4 7 6 7 gcos 600 a gcosB a gcosB 2 a = 196 2RsenB gsenA ∴ W= = tgB ∴ a = 14 2RsenA gcosB RPTA.: D RPTA.: A 2. Los lados de un triángulo son proporcionales a los números 3;5 4. En un triángulo ABC, se conoce y 7. Siendo “ θ ” la medida de su que: B = 45°; b = 2 y c = 6 . menor ángulo interno; halle Indicar la medida del ángulo C. " s ec θ " . 7 6 13 A) sólo 30° B) sólo 45º A) B) C) 13 13 7 C) sólo 60° D) 30° ó 150° 14 13 E) 60° ó 120° D) E) 13 14 RESOLUCIÓN B RESOLUCIÓN 45º 1 6 3 5 sec θ = ? = cos θ menor ángulo → θ 7 A 2 C Ley de cosenos: 32 = 52 + 72 − 2 ( 5) ( 7 ) gcos θ 2 6 13 = → c os θ = sen 45° senC 14 14 3 ∴ s ec θ = senC = 13 2 CICLO 2007-II Página 1 Prohibida su Reproducción y Venta
- 2. Trigonometría ∴ C = 60º ó 120º RPTA.: E RPTA.: A 5. En un triángulo ABC, se conoce 7. Halle la medida del ángulo B de que: A = 120°, b = 7 cm y un triangulo ABC cuyos lados a, b, c = 8 cm. Halle la longitud del y c cumplen la relación: lado a. ( b + a − c ) ( c − a + b ) = 3 ac A) 13 m B) 130 m A) 30° B) 45° C) 60° C) 1,3 m D) 0,13 m D) 120° E) 150° E) 0,013 m RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN b + ( a − c ) b − ( a − c ) = 3ac B b2 − ( a − c ) = 3 ac 2 a 8 (a2 ) ( + c2 − 2ac cosB − a2 − 2ac + c2 = 2ac ) 120º 1 cosB = − C A 2 7 ∴ B = 120° a = 7 + 8 − 2 ( 7 ) ( 8 ) cos 120° 2 2 2 RPTA.: D a = 13 cm = 0,13m 8. En un triangulo ABC de lados BC = a, AC = b, AB = c Se RPTA.: D 7 ab cumple: (a+b+c)(a+ b - c)= 3 6. En un triángulo ABC de lados M = 3 sen 2 C g senC Calcule: AB=c; AC = b; BC =a Determine: M = ab g sen C gctg A + ctgB 35 35 A) B) 36 6 A) c2 B) b2 C) a2 C) 35 D) 2 35 a2 c2 D) E) E) 18 2 2 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 7ab 7ab ( a + b + c) ( a + b − c) ⇒ ( a + b ) − c2 = 2 M = ab gsenC ctg A + ctgB = 3 3 sen ( A + B ) ab 1 M = ab gsenC g , ⇒ a2 + b2 − c2 = ⇒ cos C = sen A gsenB 3 6 2ab gcos C 6 a = 2Rsen A 35 Ley de senos b = 2Rsen B c c = 2Rsen C Luego: 1 sen C M = 3 ( 2senC ) ( cos C ) ( senC ) = 6 gsen2C gcos C sen ( A + B ) M = 4R 2senA gsenB g senC 35 1 35 2 sen A gsenB ⇒ M = 6 g = 6 6 36 M = ( 2R senC ) = c 2 2 CICLO 2007-II Página 2 Prohibida su Reproducción y Venta
- 3. Trigonometría * ∆ ABC : A + B + C = 180° RPTA.: A → A + B = 180° − C 9. Siendo P el semiperimetro de un → B + C = 180° − A triangulo ABC, indicar el Condición: equivalente reducido de: sen ( A + B ) cos ( B + C ) (b+c)cos A + (a+c) cosB + (a+b)cos C = c a sen ( 180° − C ) cos ( 180° − A ) p = A) p B) 2 p C) c a 2 + senC − cos A p = D) E) 4p 2RsenC 2Rsen A 4 1 = − ctgA RESOLUCIÓN −1 = ctg A ⇒ A = 135º E = b cos A + c cos A + a cosB + c cos B RPTA.: D + acos C + b cos C 12. En un triángulo uno de sus lados Si: c = b cos A + acosB mide 20 cm y los ángulos internos E = a+b+ c adyacentes con él miden 16° y E=2p 37°. Halle su perímetro. RPTA.: B A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm 10. En un triangulo ABC, reduce: D) 44 cm E) 50 cm (b cos C − a) tgB E= b sen C RESOLUCIÓN A) 1 B) -1 C) -2 1 x 180º-53º y D) 2 E) - 2 16º 37º RESOLUCIÓN 20 cm. b cos C − ( b cos C + c cos B ) tgB E= Aplicando “Ley de senos” b senC x 20 y c cosB senB = = E=− g sen37° sen ( 180° − 53°) sen16° bsenD cosB E = -1 sen 53º RPTA.: B x 2 y x = 15 cm = → 3 4 7 → y = 7cm 11. En un triangulo ABC se cumple: = sen ( A + B ) cos ( B + C ) 5 20 25 = ∴ Perímetro ∆ = x + y + 20 = 42 cm c a Luego su ángulo “A” mide: RPTA.: C A) 120° B) 127° C) 143° 13. En un triángulo ABC, simplifique D) 135° E) 150° la expresión: E =bg cos B + c gcos C RESOLUCIÓN A) b cos (B-C) B) a cos (B-C) CICLO 2007-II Página 3 Prohibida su Reproducción y Venta
- 4. Trigonometría C) c cos (B-C) D) a sen (B-C) RESOLUCIÓN E) b sen (B-C) → ( ) M = acos A b2 + c2 + b cosB a2 + c2 +( ) RESOLUCIÓN ( c cos C a2 + b2 ) E = 2RsenB gcosB + 2R senC gcos C → M = ab2 cos A + ac2 cos A + a2b cosB + E = R sen2B + R sen2C bc2 cosB + a2c cos C + b2c cos C E = R 2 sen ( B + C ) cos ( B − C ) M = ab ( b gcos A + a gcosB ) + ac ( c gcos A + a gcosC ) + E = acos ( B − C ) “c” “b” RPTA.: B bc ( c gcosB + b gcos C ) 14. Halle “x” en la figura: “a” ∴ M = 3 abc RPTA.:E x 16. En un triángulo ABC, simplifique la expresión: a B b A E = cos2 + cos2 5 3 2 2 2 2 Siendo p el semiperimetro de A) 6 B) 7 C) 8 dicho triángulo D) 9 E) 10 p RESOLUCIÓN A) p B) 2p C) 2 D) p/4 E) 4p 60º 5 x=? RESOLUCIÓN B A 4 E = a g2 cos2 + b g2 cos2 120º 2 2 60º 4E = a ( 1 + cos B ) + b ( 1 + cos A ) 60º 5 3 4 E = a + a cos B + b + b cos A 4 E = a+b+ c Aplicando ”Ley de cosenos” x2 = 32 + 52 − 2 ( 3 ) ( 5) cos120° P E= ∴ 2 x=7 RPTA.: C RPTA.: B 17. En un triángulo ABC, determine el 15. En un triángulo ABC reduce: valor de x para que verifique la ( ) M = a b2 + c2 cos A + b a2 + c2 cosB ( ) siguiente expresión: +c a +b ( 2 2 ) cos C B + C B − C 2c x tg − tg 2 = b + c 2 A) 3 B) a + b + c C) 3 (a + b + c) D) abc E) 3abc CICLO 2007-II Página 4 Prohibida su Reproducción y Venta
- 5. Trigonometría A A M = a2 − 2a2 sen2 B + 2b2 sen2 A = a2 A) tg B) 4tg 2 2 A A RPTA.: C C) ctg D) 2 tg 2 2 A 19. E) 2 ctg 2 RESOLUCIÓN B + C tg b+c 2 Si: = b−c B − C tg 2 B + C B − C 2c tg − tg 2 = 2 b+c B + C tg 2 como: A B+C B + C A + = 90º ⇒ tg = ctg 2 2 2 2 A ∴ x = ctg 2 RPTA.: C 18. En un triángulo ABC, BC = a, AC = b, AB = c Simplifique: M = a2 cos ( 2A + 2C ) − b2 gcos ( 2B + 2C ) + b2 a2 b2 A) B) 2 2 C) a2 D) b2 2 E) 2 a RESOLUCIÓN Como: 2A + 2B + 2C = 360° c os ( 2A + 2C ) = cos2B ∧ cos ( 2B + 2C ) = cos2A → M = a2 cos 2 B − b2 cos 2A + b2 M = a2 cos 2B + b2 ( 1 − cos 2A ) 1 − 2 sen2 B 2 sen2 A Ley de senos: a = 2R sen A ∧ b = 2R senB CICLO 2007-II Página 5 Prohibida su Reproducción y Venta
- 6. Trigonometría 20. En un triángulo ABC A +B tg (AB = c, AC = b, BC = a), si a +b 2 =? W = = b = 3a, m S ACB = 60° , calcule el a −b A +B valor de: tg 2 M = 5 tg A + ctg A 72° sen36° tg 2 = tg36° 3 5 3 W= = cos 36° A) B) 3 C) 36° tg18° sen18° 3 3 tg 2 cos18° 8 3 2sen36° gcos18° sen54° + sen18° D) 2 3 E) → W= = 3 2 cos 36° gsen18° sen54° − sen18° RESOLUCIÓN 5 + 1 5 − 1 Si: C = 60 → A+B = 120°, b = 3a + Ley de tangente: cos36° + sen18° 4 4 = 5 ∴W = = B − A B − A cos36° − sen18° 5 + 1 5 − 1 b−a tg tg 4 − 4 = 2 ⇒ 2a = 2 b+a B + A 4a tg60° RPTA.: A tg 2 B − A 3 B − A 22. En un triángulo ABC, BC = a, ⇒ tg = ∧ tg = 3 2 2 2 AB = c, AB = c si ( ) c − 2 a2 + b2 c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0 4 3− 3 3 Halle la medida del ángulo agudo B + A B − A 2 = 2 = 3 ⇒ tgA = tg − = C. 2 2 3 5 5 1+ 2 2 A) 90° B) 60° C) 45° Luego: D) 30° E) 15° 3 5 8 8 3 M = 5 + = = 5 3 3 3 RESOLUCIÓN RPTA.: E ( ) c 4 − 2 a2 + b2 c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0 a4 + b4 + c4 − 2 a2 c2 − 2b2 c2 + 2 a2 b2 = a2 b2 21. En un triángulo ABC, si: A + B = 72° ∧ A - B =36° Halle: W = a+b (a 2 + b2 − c2 ) 2 = a 2 b2 a−b ⇒ ( 2 ab cos c ) 2 = a2 b2 ⇒ 4 a2 b2 cos2 c = a2 b2 ⇒ 1 5 cos2 c = A) 5 B) C)1 4 5 1 1 ∴ cos C = → C = 60° (Agudo) D) 5 E) 2 5 RPTA.: B RESOLUCIÓN 23. En un triángulo ABC (BC = a; En triángulo ABC, de la Ley de AC = b, AB = c) inscrito en una tangentes: circunferencia de radio R, se cumple m S C= 45º , además CICLO 2007-II Página 6 Prohibida su Reproducción y Venta
- 7. Trigonometría a2 − b2 = 2 2 R 2 Calcule: M = tg2A − 3 tg2B A) -1 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2 RESOLUCIÓN a2 − b2 = 2 2 R 2 …………………………* Ley de senos: a = 2R sen A , b = 2R senB 2 2 ( 2 ) En (*) 4R sen A − sen B = 2 2 R 2 2 ⇒ sen ( A + B ) g sen ( A − B ) =, 2 Pero: C = 45° ⇒ (1) A + B = 135° ⇒ sen135 : sen ( A − B ) = 2 ⇒ sen ( A − B ) = 1 2 2 2 → (2) A − B = 90° (1) + (2): 2A = 225° → ∧ (1)-(2) = 2B = 45° Luego: M = tg 225° − 3tg 45° = 1 − 3(1) = − 2 RPTA.: B CICLO 2007-II Página 7 Prohibida su Reproducción y Venta