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3.2.3. IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD
Seno
𝐬𝐢𝐧 (
𝒙
𝟐
) = ±√
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟐
Coseno
𝐜𝐨𝐬 (
𝒙
𝟐
) = ±√
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟐
Tangente
𝐭𝐚𝐧 (
𝒙
𝟐
) = ±√
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙
3.2.4. IDENTIDADES DE SUMA PRODUCTO
𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
) 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
)
𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
) 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
)
𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = −𝟐 𝐬𝐢𝐧 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
) 𝐬𝐢𝐧 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
)
𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
) 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
)
3.2.5. IDENTIDADES DE PRODUCTO A SUMA
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 =
𝟏
𝟐
[𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) + 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚)]
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒚 =
𝟏
𝟐
[𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) − 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚)]
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 =
𝟏
𝟐
[𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚)]
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 =
𝟏
𝟐
[𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) − 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚)]](https://image.slidesharecdn.com/tutorialidentidadestrigonometricas-150824070126-lva1-app6892/85/Tutorial-identidades-trigonometricas-8-320.jpg)
Tutorial identidades trigonometricas..
- 1. UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA DE SANTA ELENA SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS “MANUAL Y VIDEO TUTORIAL: IDENTIDADES TRIGÓNOMETRICAS” AUTORES: DILLON TORAL NADELL NICOLE MENOSCAL PERERO MANUEL ENRIQUE CARRERA: INGENIERÍA EN PETRÓLEO PET 20 DOCENTE: Ing. Carlos Malavé Carrera. SANTA ELENA Agosto 2015
- 2. ÍNDICE GENERAL 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 1 1.1. OBJETIVOS...................................................................................................... 1 2. ESQUEMA DE CONTENIDO................................................................................. 2 3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS................................................................. 3 3.1. IDENTIDADES CON 1 ANGULO.................................................................. 3 3.1.1. IDENTIDADES COCIENTES ................................................................. 3 3.1.2. IDENTIDADES RECÍPROCAS.............................................................. 3 3.1.3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS............................................................. 3 3.1.4. IDENTIDADES PARES O IMPARES ................................................... 4 3.2. IDENTIDADES CON 2 ANGULOS ............................................................... 4 3.2.1. IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE MEDIDAS DE ÁNGULOS................................................................................................................. 4 3.2.2. IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLE............................................... 5 3.2.3. IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD................................................... 6 3.2.4. IDENTIDADES DE SUMA PRODUCTO .............................................. 6 3.2.5. IDENTIDADES DE PRODUCTO A SUMA.......................................... 6 4. DEMOSTACIONES DE EJERCICIOS CON IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS..................................................................................................... 7 5. CONCLUSIÓN.......................................................................................................... 9 6. ANEXO ...................................................................................................................... 9 7. BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 10 8. VIDEO TUTORIAL SOBRE LA RESOLUCION DE EJERCICIOS. .............. 10
- 3. 1 1. INTRODUCCIÓN La trigonometría es una rama de las matemáticas, que en tiempos antiguos fue desarrollada por astrónomos griegos, quienes consideraban al cielo como el interior de una esfera. La aplicación de la trigonometría es muy extensa aunque su etimología se refiera a mediciones de triángulos. La trigonometría astronómica fue traslada a las matemáticas por medio de Regiomontano y mejorado por Copérnico y su alumno Rheticus. La evolución de la trigonometría ha ido evolucionando, debido a esto es usada por muchos (Agrimensores, navegantes, ingenieros, etc.). En la actualidad se la utiliza con distintos fines: corrientes eléctricas, mareas en los océanos, movimiento pendular, patrones de ondas cerebrales, latidos de corazón, etc. 1.1. OBJETIVOS Demostrar las igualdades trigonométricas empleando las leyes fundamentales del seno, coseno y tangente. Simplificar expresiones con identidades trigonométricas reemplazantes a ángulos dobles, ángulos mitad, ángulos suma y de suma a producto. Reemplazar expresiones complejas mediantes identidades fundamentales conocidas. En esta sección veremos que teniendo una expresión trigonométrica, es posible simplificarla o deducirla en otra expresión más pequeña similar a la original, usando las principales identidades trigonométricas entre las cuales tenemos: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, ángulo doble, ángulo medio, productos de seno y/o coseno. Para realizar las identidades trigonométricas es recomendable seguir con el siguiente proceso: Empezar a trabajar con el miembro que contenga las expresión con mayor grado de dificultad, Es de vital importancia el uso de las funciones de seno y coseno. Realizar las conversiones necesarias con el fin de que nuestra expresión sea idéntica a la del otro miembro.
- 4. 2 2. ESQUEMA DE CONTENIDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES CON 1 ÁNGULO IDENTIDADES CONCIENTES IDENTIDADES RECÍPROCAS IDENTIDADES PITAGÓRICAS IDENTIDADES PARES O IMPARES IDENTIDADES CON 2 ÁNGULOS IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE MEDIDAS DE ÁNGULOS IDENTIDADES DE ÁNGULO DOBLE IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD IDENTIDADES DE SUMA A PRODUCTO IDENTIDADES DE PRODUCTO A SUMA
- 5. 3 3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 3.1. IDENTIDADES CON 1 ANGULO 3.1.1. IDENTIDADES COCIENTES 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐭 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 3.1.2. IDENTIDADES RECÍPROCAS 𝐜𝐨𝐭 𝒙 = 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 = 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒙 3.1.3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 = 𝟏 A partir de esta identidad y dividiendo por cos2 x y sin2 x, obtendremos lo siguiente: sin2 𝑥 cos2 𝑥 + cos2 𝑥 cos2 𝑥 = 1 cos2 𝑥 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 sin2 𝑥 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 sin2 𝑥 = 1 sin2 𝑥 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒙
- 6. 4 3.1.4. IDENTIDADES PARES O IMPARES Mediante las graficas de las funciones trigonometricas, podemos deducir lo siguiente: 𝐬𝐢𝐧 −𝒙 = −𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 −𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐭𝐚𝐧 −𝒙 = −𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐭 −𝒙 = −𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝐬𝐞𝐜 −𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐜𝐬𝐜 −𝒙 = −𝐜𝐬𝐜 𝒙 3.2. IDENTIDADES CON 2 ANGULOS 3.2.1. IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Seno 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 Coseno 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 Tangente 𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 − 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒚
- 7. 5 3.2.2. IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLE Seno Si tenemos esto: sin 2𝑥 sin(𝑥 + 𝑥) sin 𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 sin 𝑥 2 sin 𝑥 cos 𝑥 Entonces: 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Coseno Si tenemos esto: cos 2𝑥 cos(𝑥 + 𝑥) cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 sin 𝑥 cos2 𝑥 − sin2 𝑥 Entonces: 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 Ademas por medio de las identidades pitagoricas, podemos deducir lo siguiente: cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − (1 − cos2 𝑥) cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − 1 + cos2 𝑥 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 − 𝟏 De la misma manera: cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 cos 2𝑥 = (1 − sin2 𝑥) − sin2 𝑥 cos 2𝑥 = 1 − sin2 𝑥 − sin2 𝑥 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 Tangente Si tenemos esto: tan 2𝑥 sin 2𝑥 cos 2𝑥 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos2 𝑥−sin2 𝑥 2 tan 𝑥 1−tan2 𝑥 Entonces: 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙
- 8. 6 3.2.3. IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD Seno 𝐬𝐢𝐧 ( 𝒙 𝟐 ) = ±√ 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟐 Coseno 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙 𝟐 ) = ±√ 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟐 Tangente 𝐭𝐚𝐧 ( 𝒙 𝟐 ) = ±√ 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 3.2.4. IDENTIDADES DE SUMA PRODUCTO 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 ( 𝒙 + 𝒚 𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙 − 𝒚 𝟐 ) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 ( 𝒙 − 𝒚 𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙 + 𝒚 𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = −𝟐 𝐬𝐢𝐧 ( 𝒙 + 𝒚 𝟐 ) 𝐬𝐢𝐧 ( 𝒙 − 𝒚 𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙 + 𝒚 𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒙 − 𝒚 𝟐 ) 3.2.5. IDENTIDADES DE PRODUCTO A SUMA 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟏 𝟐 [𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) + 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚)] 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒚 = 𝟏 𝟐 [𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) − 𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚)] 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 = 𝟏 𝟐 [𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚)] 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 = 𝟏 𝟐 [𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) − 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚)]
- 9. 7 4. DEMOSTACIONES DE EJERCICIOS CON IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Ejercicio #1. 𝐭𝐚𝐧 𝒙−𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙+𝐜𝐨𝐭 𝒙 = 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 − 𝟏 tan 𝑥−cot 𝑥 tan 𝑥+cot 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 − cos 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 sin 𝑥 sin2 𝑥−cos2 𝑥 (cos 𝑥)(sin 𝑥) sin2 𝑥+cos2 𝑥 (cos 𝑥)(sin 𝑥) sin2 𝑥−cos2 𝑥 sin2 𝑥+cos2 𝑥 sin2 𝑥−cos2 𝑥 1 sin2 𝑥 − (1 − sin2 𝑥) sin2 𝑥 − 1 + sin2 𝑥 2sin2 𝑥 − 1 Ejercicio #2. 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏+𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 1 cos 𝑥 − cos 𝑥 1+sin 𝑥 (1+sin 𝑥)−(cos2 𝑥) (cos 𝑥)(1+sin 𝑥) 1+sin 𝑥−(1−sin2 𝑥) (cos 𝑥)(1+sin 𝑥) 1+sin 𝑥−1+sin2 𝑥 (cos 𝑥)(1+sin 𝑥) sin 𝑥+sin2 𝑥 (cos 𝑥)(1+sin 𝑥) (sin 𝑥)(1+sin 𝑥) (cos 𝑥)(1+sin 𝑥) sin 𝑥 cos 𝑥 tan 𝑥 Ejercicio #3. 𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 = 𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝟏+𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 1−tan2 𝑥 1+tan2 𝑥 1− sin2 𝑥 cos2 𝑥 1+ sin2 𝑥 cos2 𝑥 cos2 𝑥−sin2 𝑥 cos2 𝑥 cos2 𝑥+sin2 𝑥 cos2 𝑥 cos2 𝑥−sin2 𝑥 cos2 𝑥+sin2 𝑥 (1−sin2 𝑥)−sin2 𝑥 1 1 − sin2 𝑥 − sin2 𝑥 1 − 2sin2 𝑥
- 10. 8 Ejercicio #4. 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟐𝒙(𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙) 𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝟒𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝒙 sin2 2𝑥(1−cos 2𝑥) 1+cos 2𝑥 (2sin 𝑥 cos 𝑥)2(1−(cos2 𝑥−sin2 𝑥)) cos2 𝑥−sin2 𝑥 4 sin2 𝑥 cos2 𝑥(1−cos2 𝑥+sin2 𝑥) 1+cos2 𝑥−sin2 𝑥 4 sin2 𝑥 cos2 𝑥(1−cos2 𝑥+sin2 𝑥) 1−sin2 𝑥+cos2 𝑥 4 sin2 𝑥 cos2 𝑥(sin2 𝑥+sin2 𝑥) cos2 𝑥+cos2 𝑥 4 sin2 𝑥 cos2 𝑥(2sin2 𝑥) 2cos2 𝑥 4 sin4 𝑥 Ejercicio #5. 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒙 + 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 sec 2𝑥 + tan 2𝑥 1 cos 2𝑥 + sin 2𝑥 cos 2𝑥 1+sin 2𝑥 cos 2𝑥 (sin2 𝑥+cos2 𝑥)+(2 sin 𝑥 cos 𝑥) cos2 𝑥−sin2 𝑥 sin2 𝑥+2 sin 𝑥 cos 𝑥+cos2 𝑥 (cos 𝑥−sin 𝑥)(cos 𝑥+sin 𝑥) (cos 𝑥+sin 𝑥)2 (cos 𝑥−sin 𝑥)(cos 𝑥+sin 𝑥) cos 𝑥+sin 𝑥 cos 𝑥−sin 𝑥 cos 𝑥+sin 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥−sin 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥 1+tan 𝑥 1−tan 𝑥
- 11. 9 5. CONCLUSIÓN Para poder realizar un identidad trigonometrica, solo debe alterarse uno de sus miembros con el fin de mediante las leyes fundamentales, nos de igual al miembro del otro lado, el cual no debe alterarse de ninguna manera. Para que nuestro proceso sea mas facil. Recomendaremos lo siguiente: Recordar las identidades trigonometricas fundamentales (seno,coseno y tangente). Cualquier razon trigonometrica puede ser reemplazada por otra razon trigonometrica equivalente a la misma. Las expresiones realizadas en el miembro donde realizaremos la igualdad, deben realizarse en base a las razones del otro miembro. Se debe evitar el uso de radicales. Antes de realizar un reemplazo, debemos fijarnos en las posibles simplificaciones que tendra dicho cambio. 6. ANEXO
- 12. 10 7. BIBLIOGRAFÍA ESPOL Instituto de Ciencias Matematicas - ICM. (2006). Fundamentos De Matemáticas Para Bachillerato - ESPOL. Guayas - Ecuador: Poligrafica C.A. Freddy Catro Santander, M. C. (1999). TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA PARA LAS CARRERAS DE INGENIERIA . Arica - Chile. Julio Ríos - Canal de YouTube "JULIOPROFE" - Sección Trigonometría: https://www.youtube.com/user/julioprofe/playlists Canal de YouTube "TareasPlus" - Sección Identidades Trigonométricas Complejas: https://www.youtube.com/user/Tareasplus/playlists 8. VIDEO TUTORIAL SOBRE LA RESOLUCION DE EJERCICIOS. https://www.youtube.com/watch?v=hV9sNK2TxMU