VARIABLES ALEATORIAS - UNI - EPIES
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Este documento proporciona una introducción a las distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo las distribuciones binomial y Poisson. Explica conceptos clave como función de probabilidad, función de distribución, variables aleatorias discretas y continuas. También presenta ejemplos y comandos en R para calcular probabilidades con estas distribuciones.
VARIABLES ALEATORIAS - UNI - EPIES
- 1. 1 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada T1. Distribuciones de probabilidad discretas Estadística Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Inferencia estadística: Parte de la estadística que estudia grandes colectivos a partir de una pequeña parte de éstos (Población - Muestra) Características de la muestra Tipos de procedimientos: • Inferencia paramétrica: Se admite que la distribución de la pob. pertenece a una familia paramétrica de distribuciones • Inferencia no paramétrica: No supone una distribución de prob. y las hipótesis son más generales (como simetría) • Representativa de la población • Alcanzar objetivos precisión fijados Introducción
- 2. 2 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Muestra Población x µ s σ0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 tiempo Xi 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 tiempo Xi 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 tiempo Xi Introducción Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Descriptivos de una variable Media Varianza Desviación Típica x = XiFi i=1 n ! n S2 = (Xi ! x)2 Fi i=1 n " n !1 S = S2 Introducción
- 3. 3 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Tipos de variables • Variables cualitativas, categóricas o atributos: No toman valores numéricos y describen cualidades. Ej. Clasificación en base a una cualidad. (sexo, color, etc.) • Variables cuantitativas discretas: Toman valores enteros, por lo general contar el nº de veces que ocurre un suceso. (abundancias o conteos) • Variables cuantitativas continuas: Toman valores en un intervalo, por lo general medir magnitudes continuas. (altura, temperatura, etc.) Variable aleatoria: Cualquier función medible que asocia a cada suceso en un experimento aleatorio un número real Introducción Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Variables aleatorias discretas (v.a.d.): Función de probabilidad: Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad. Para valores x1, x2, …, xn,… se asocia una p1, p2, …, pn,… donde y Función de distribución: F(x) en un valor x es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales a x. Acumula toda la probabilidad entre menos infinito y el punto considerado )( ixXP = ∑ ∞ = = )/( 1 1 n i ip )()( xXPxF ≤= Abundancia Abundancia Introducción
- 4. 4 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Variables aleatorias continuas (v.a.c.): Función de densidad: probabilidad media en entre dos valores de la variable (cuando su diferencia tiende a 0) Función de distribución:es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales a x. Acumula toda la probabilidad entre menos infinito y el punto considerado ∫ ∞− =≤= x duufxXPxF )()()( P(a < X < b) = P(a ! X ! b) f (x)dx a b " = F(b)# F(a)Temperatura Temperatura Introducción Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Definición: Experimento aleatorio que se hace una sola vez y cuyos resultados posibles son complementarios (éxito/fracaso, si/no, presencia/ausencia, etc…). Ejemplos: • Probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda. • Probabilidad de que un individuo nazca macho/ hembra. • Probabilidad de que al caer una tostada quede el lado de la mermelada hacia arriba. Modelos de dist. Discreta: Proceso de Bernoulli
- 5. 5 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Definición: Ejecutar n veces un experimento de Bernoulli. Condiciones: • Condiciones no varían • Experimentos independientes (prob. no condicional) Variables que definen al proceso: • Cantidad de veces que se ejecuta (n) • Prob. de éxito (p), prob. de fracaso (q=1-p) • Veces que se obtiene el éxito en las veces que se ejecuta (k) Ejemplos: • Lanzar una moneda 3 veces y obtener 2 caras • Probabilidad de que de las 4 crías de un mamífero 3 sean hembra. Modelos de dist. Discreta: Binomial np=µ npq=2 σX≡B (n, p) Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Función de Probabilidad: knk qp k n kXP − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ == )( Modelos de dist. Discreta: Binomial donde 0 ≤ k ≤ n Función de distribución (Tabla Binomial): ∑= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =≤ k x xnx qp x n kXP 0 )( donde 0 ≤ k ≤ n
- 6. 6 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas De una población de cetáceos se sabe que el 60% son machos. Si se extrae un conjunto de 10 de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 hembras? • X = Nº de hembras en el conjunto • n = 10 • P = 0.4 ¿Cuál es la probabilidad de que hayan 3 o menos hembras? Tabla Binomial Ejemplo 042.06.04.0 7 10 )7( 7107 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ == − XP 382.0)3()2()1()0()3( ==+=+=+==≤ XPXPXPXPXP Modelos de dist. Discreta: Binomial Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas ¿Cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 machos o menos? PROBLEMA CON LAS TABLAS (p hasta 0.5) 0.16731)2(1)3( −=≤−=≥ XPXP • n = 10 • P = 0.4 • P(X>3) • n = 10 • P = 0.6 • P(X<7) Complementario 8327.00.16731)7( =−=≤XP Modelos de dist. Discreta: Binomial
- 7. 7 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Modelos de dist. Discreta: Poisson Definición: Probabilidad de que ocurra un número de sucesos en un tiempo o espacio determinado. Variables que definen al proceso: • Número de sucesos medio que ocurren en un determinado tiepo o espacio (λ) Ejemplos: • Número de peces observados en un transecto • Número de aves avistadas durante una hora • Número de bacterias observadas por campo de microscopio µ = ! ! 2 = "X≡P (λ) Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Función de Probabilidad: P(X = x) = e!! !x x! Modelos de dist. Discreta: Poisson Función de distribución (Tabla Poisson): donde x >0 donde 0 ≤ x ≤ kP(X ! k) = x=0 k " e#! !x x!
- 8. 8 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Ejemplo Los avistamientos de cachalotes sigue una distribución de Poisson de media 2 avistamientos en un transecto de muestreo de 1km de recorrido tras una salida en barco. Calcula la probabilidad de: 1. No haya ningún avistamiento en el recorrido del barco: 2. Haya menos de cinco en el mismo recorrido: 3. Y menos de seis si consideramos un recorrido de 5km 135.0 !0 2 )0( 0 2 === − eXP 947.0 !4 2 !3 2 !2 2 21)4( 432 2 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++=≤ − eXP P(X ! 5 !' ) = e"10 100 0! + 101 1! + 102 2! + 103 3! + 104 4! + 105 5! # $ % & ' ( = 0.067 105' =⋅= λλ Modelos de dist. Discreta: Poisson Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Comando a utilizar con R: • dbinom(x,tamaño,prob): Función de probabilidad • pbinom(x,tamaño,prob): F. prob. acumulada • qbinom(prob,tamaño,prob): Quantiles • rbinom(nobs,tamaño,prob): Números pseudoaleatorios Modelos de dist. Discreta: Binomial
- 9. 9 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Comando a utilizar con R: • dpois(x,lambda): Función de probabilidad • ppois(x,lambda): F. prob. acumulada • qpois(prob,lambda): Quantiles • rpois(nobs,lambda): Números pseudoaleatorios Modelos de dist. Discreta: Poisson