8. probabilidad y variables aleatorias
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El documento presenta definiciones y ejemplos de diferentes distribuciones de probabilidad como la regla de Laplace, teorema de Bayes, distribución de Bernoulli, binomial, Poisson, geométrica, binomial negativa e hipergeométrica. Explica conceptos clave como espacio muestral, probabilidad condicional, independencia estadística y cómo aplicar fórmulas matemáticas para calcular probabilidades en diferentes escenarios.
8. probabilidad y variables aleatorias
- 1. LEONARDO LÓPEZ C. ECONOMIA ESTADISTICA COMPUTARIZADA PARALELO: 261
- 2. Regla de Laplace Definición Su espacio muestral E tiene todos los sucesos elementales equi-probables. La probabilidad de un suceso A es:
- 3. Regla de Laplace - Ejemplo Este dado no está trucado. Su espacio muestral es : E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si lo lanzas muchísimas veces. ¿Qué número saldrá más veces el 1 o el 2 o el 3, o el 4, o el 5, o el 6? ¿ Cuál será la probabilidad de que salga un 1 ? ¿y un 2? ¿y un 3?... Parece que todos los sucesos elementales, todos los del espacio muestral E, tienen la misma probabilidad de ocurrir. Son EQUIPROBABLES. Entonces si quieres calcular la probabilidad del suceso ser par: A= {2, 4 o 6 } saldrá 3 de 6 = 0.5 3 casos que tiene el suceso A. 3 6 que tiene el espacio muestral E 6
- 4. Teorema de Bayes Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
- 5. Teorema de Bayes - Ejemplo El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%. Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (llovío, nevó o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
- 6. a) Probabilidad de que estuviera lloviendo: La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%. b) Probabilidad de que estuviera nevando: La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla: La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%
- 7. Distribución de Bernoulli Es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 − p). Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P. La fórmula es: Con x = {0,1}
- 8. Distribución de Bernoulli - Ejemplo "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz". Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5. La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz). Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos. X∼Be(0,5) P(X = 0) = f(0) = 0,500,51 = 0,5 P(X = 1) = f(1) = 0,510,50 = 0,5
- 9. Distribución Binomial La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones: 1. El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo. 2. Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernoulli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso. 3. La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q 4. Las pruebas son estadísticamente independientes.
- 10. Distribución Binomial En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en las n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento. La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.
- 11. Distribución Binomial • n es el número de pruebas. • k es el número de éxitos. • p es la probabilidad del éxito. • q es la probabilidad del fracaso. • el número combinatorio es: • Media: μ = n.p • Varianza: •Desviación Típica:
- 12. Distribución Binomial En una farmacia se ha calculado la probabilidad de venderle a un cliente con obra social es del 20%. Se eligen al azar 15 clientes de ese tipo que ingresan al negocio y se desea calcular la probabilidad de concretar menos de tres ventas. Si se cumple los supuestos básicos de la distribución binomial, entonces: P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) Matemáticamente esto se resuelve así: Entonces: P(x<3) = 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 = 0.398
- 13. Distribución de Poisson Una variable de tipo Poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo. El experimento que la genera debe cumplir las siguientes condiciones: 1. El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del anterior. 2. La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él. 3. La probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en estudio.
- 14. Distribución de Poisson Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son variables en las que se cuentan sucesos raros. La función de probabilidad de una variable Poisson es:
- 15. Distribución de Poisson Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intelección de calles, los registros policíacos indican una media de 5 accidentes mensuales en esta intersección. El departamento de seguridad vial desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 3 accidentes. Analizando el problema, este situación se ajusta a un proceso de Poisson, hay una secuencia de llegada (por mas que exista un choque múltiple, siempre hay uno que choca primero). Tenemos la siguiente información: l = 5 accidentes por mes x = 3 accidentes por mes Aplicando la formula de la probabilidad de Poisson:
- 16. Distribución Geométrica Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución. Donde: p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso
- 17. Distribución Geométrica -Ejemplo Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?. a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
- 18. Distribución Geométrica -Ejemplo b) x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
- 19. Distribución Binomial Negativa En estadística la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal. El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
- 21. Distribución Hipergeométrica Características: a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes. c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí. d) El número de repeticiones del experimento n, es constante.
- 22. Distribución Hipergeométrica Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería: donde: N = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra
- 23. Distribución Hipergeométrica Ejemplo En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.
- 24. Distribución Hipergeométrica a)N= 20+3+2 =25 total de artículos a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5-3-1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra
- 25. Distribución Hipergeométrica b)N= 25 a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5-4-1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra