9. distribuciones continuas

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

LEONARDO LÓPEZ C.
ECONOMIA ESTADISTICA COMPUTARIZADA

PARALELO: 261

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una
función continua.
En la práctica, se corresponden con variables asociadas con
experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier
valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo,
áreas, etc.
Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución
absolutamente continua si existe una función real f, positiva e
integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de
distribución F de X se puede expresar como

Esperanza Matemática o valor esperado de la variable aleatoria se
representa por E(X) y se calcula, en el caso continuo, mediante la
fórmula:

Gráficamente, la esperanza de una variable aleatoria continua coincide
con el centro de gravedad del área encerrada entre la función de
densidad y el eje OX.


Varianza
Se representa por Var(X)=σ2 y se calcula, en el caso continuo, mediante
la fórmula:

De manera intuitiva podemos decir que dos variables aleatorias son
independientes si los valores que toma una de ellas no afectan a los de la otra
ni a sus probabilidades.

Si queremos una definición algo más formal, basta con que recordemos que
dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección es igual al
producto de probabilidades, aplicando esta definición a sucesos del
tipo X ≤ a tenemos la definición siguiente:

Diremos que dos variables aleatorias X e Y son independientes si y sólo si

P(X ≤ a ∩ Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b) = FX(a) · FY(b)

A la función F(x, y) = P(X ≤ a ∩ Y ≤ b) se la conoce como la función de
distribución conjunta de X e Y.
Como consecuencia inmediata de la independencia de X e Y, se cumple lo
siguiente:
P(a < X ≤ c ∩ b < Y ≤ d) = P(a < X ≤ c) · P(b < Y ≤ d)

DISTRIBUCIÓN NORMAL
Esta distribución, en su versión más simple N(0;1), fue introducida por primera
vez por De Moivre en 1733 como aproximación de la distribución binomial.
Posteriormente, Laplace y Gauss la hallaron empíricamente estudiando la
distribución de los errores de medición, y tras sus trabajos se convirtió en la
distribución más utilizada.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
En estadística la distribución exponencial es una distribución de
probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidad es:

Su función de distribución es:

donde e es una constante.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución
exponencial son:

DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO
Esta distribución surge cuando se desea conocer la distribución de la suma de
los cuadrados de variables independientes e igualmente distribuidas con
distribución Normal.

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución
de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población
normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la
determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la
construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de
dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y
ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del
cociente donde:

 Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
 V tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad
 Z y V son independientes
 Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable
aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con
parámetro de no-centralidad μ.

La media muestral.
Sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

La Varianza es:

Error estándar de la media:

Intervalo de Confianza:

DISTRIBUCIÓN F
Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución
de probabilidad continua. También se la conoce como distribución F de
Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor.
Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

,donde
 U1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2 grados de libertad
respectivamente, y
 U1 y U2 son estadísticamente independientes.

La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una
prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

DISTRIBUCIÓN BETA
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con
distribución beta son:

Un caso especial de la distribución beta con a = 1 y b = 1 es
la distribución uniforme en el intervalo [0, 1].
Para relacionar con la muestra se iguala E[X] a la media y V[X] a la
varianza y de despejan a y b.

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