Variacion de parametros
- 1. * GERMAN EDUARDO ACEVES GOMEZ 11310003 B:209
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- 3. Es similar a la hipótesis yp = u(x)yl(x) que usamos en la sección a fin de hallar una solución particular, yp, de la ecuación lineal de primer orden (1). Para la ecuación lineal de segundo orden (2) se busca una solución de la forma *
- 4. en que y1 y y2 formen un conjunto fundamental de soluciones, en 1, de la forma homogénea asociada de (2). Aplicamos dos veces la regla del producto para diferenciar y, obtenemos *
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- 6. Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas, UI y UZ, es de esperar que necesitemos dos ecuaciones. Las podemos obtener si establecemos la hipótesis adicional de que las funciones ~1 y u2 satisfacen ylu; + y& = 0. Esta hipótesis es pertinente porque si pedimos que ylu; +y2& = 0, la ecuación (5) se reduce ay;u; + y;u; =f(x). Con ello ya tenemos las dos ecuaciones que deseábamos, aunque sea para determinar las derivadas U; y u;. Aplicamos la regla de Cramer y la solución del sistema *
- 7. Las funciones ut y 2.~ se determinan integrando los resultados en (6). Se ve que el determinante es el wronskiano de yl y y2. Sabemos, por la independencia lineal entre yt y y2 en Z, que W(‘yt(x), yz(x)) INDIFERENTE 0 para toda x en el intervalo.
- 8. Por lo general, no se aconseja memorizar fórmulas, sino más bien comprender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es demasiado largoy complicado para recurrir a él cada que deseemos resolver una ecuación diferencial. En este caso lo más eficaz es usar las formulas (6). Así, para resolver av” + aty’ + soy = g(x), primero se halla la función complementaria y, = ctyt + ~2~2, y después se calcula el wronskiano W(yr(x), y&)). Se divide entre a2 para llevar la ecuación a su forma reduciday” + Py’ + Qy =f(x) para hallar-f(x). Se determinan ut y u2 integrando, respectivamente, u; = WtIWy u; = WzIW, donde se definen WI y W2 de acuerdo con (7). Una solución particular es y, = ulyl + 2~2~2. La solución general de la ecuación es, por consiguiente, y = yc + y,. *
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