Zapata suarez

REVISIÓN DE LOS FUNDAMENTOS DEL DISEÑO BASADO EN
DESPLAZAMIENTOS PARA PUENTES

Patricio Zapata1, Vinicio Suárez2
1
Profesional en formación de la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad Técnica
Particular de Loja, Loja-Ecuador, ypzapata@utpl.edu.ec,
2
Director de la Unidad de Ingenieria Civil Geologia y Minas de la UTPL.
vasuarez@utpl.edu.ec (07) 2570275 ext 2929

Los métodos de diseño sismorresistente basados en desplazamientos han ganado
popularidad en el diseño de edificios y puentes ya que presentan varias ventajas sobre los
métodos tradicionales basados en fuerzas. La principal diferencia entre los métodos
basados en desplazamientos y los basados en fuerzas radica en que los primeros utilizan
desplazamiento como medida de la demanda sísmica y también como indicador del nivel
daño, tomando ventaja de que el daño se correlaciona mejor con los desplazamientos que
con las fuerzas. Aunque en términos generales, los métodos basados en desplazamientos
han demostrando su superioridad frente a aquellos basados en fuerzas, es necesario
diferenciar a los métodos basados en desplazamientos en función de las hipótesis sobre el
comportamiento estructural en los que estos se basan. Una diferencia fundamental entre
los métodos basados en desplazamientos radica en las metodologías utilizadas que
permiten que la respuesta no-lineal de las estructuras sea considerada como lineal en el
proceso de diseño. Métodos como los propuestos por Caltrans, FEMA y AASHTO utilizan
modelos que relacionan en forma directa los desplazamientos inelásticos con los
desplazamientos elásticos del sistema equivalente usado en diseño, mientras que métodos
como el Espectro de Capacidad (ATC-40) y el Diseño Directo Basado en
Desplazamientos utilizan sistemas equivalentes con periodo alargado y amortiguamiento
equivalente. En esta investigación se comparan los efectos en el diseño sismorresistente
causados por el uso de los distintos modelos que permiten la linearización de la
respuesta de puentes y edificios de hormigón armado. Las fortalezas y debilidades de
cada método son identificadas y se concluye que el uso de amortiguamiento equivalente
resulta conveniente debido a la disponibilidad de distintos modelos que consideran la
respuesta histérica de varios sistemas estructurales.

1. INTRODUCCIÓN

Idealmente, las estructuras sismorresistentes son diseñadas con una configuración simple, tal
que su comportamiento pueda ser modelado y analizado fácilmente, aspirando que la disipación de la
energía tome lugar en partes bien definidas de la estructura.

El Diseño Basado en Desplazamientos (DBD) ha ganado notable popularidad en la última
década, esto por las muchas ventajas que ha mostrado ante el diseño convencional, “el Diseño Basado en
Fuerzas”(DBF). La diferencia primordial entre los métodos DBD y DBF), es que el primero utiliza
desplazamientos como una medida de la demanda sísmica y también como un indicador del daño. El
DBD toma ventaja, del simple hecho de que los desplazamientos se correlacionan mejor con el daño que
con las fuerzas. Sin embargo, es necesario diferenciar entre los procedimientos de DBD, algunas hipótesis
sobre el comportamiento estructural en la que éstos se basan. En esta investigación algunas teorías de
apoyo para el DBD se presentan, cubriendo algunos temas como:

• Linerarización de la respuesta inelástica de sistemas de Un Grado de Libertad (UGL).
• Análisis comparativo de los métodos de linearización usados en DBD.
• Revisión de los métodos existentes de DBD.

El objetivo principal de esta investigación es revisar las hipótesis en la que están basados algunos
métodos de DBD.

V
∆

K
cr

K
eff

∆
∆y ∆

Rotula Plástica

Energía Disipada
Aceleración

(a)

∆
5%
∆ e2
∆e
Desplazamiento

∆e = ∆i Período largo
Tn Teff
∆i
ξ > 5%
∆e
∆i
Período corto

Período T
(b)

Figura 1. Efectos del movimiento sísmico en sistemas inelásticos de un grado de libertad

2. LINEARIZACIÓN DE LA RESPUESTA INELÁSTICA DE SISTEMAS DE UGL

Cuando una estructura bajo excitación sísmica se desplaza más allá de su límite elástico, su
respuesta máxima es influenciada por dos fenómenos: la degradación de la rigidez y la disipación de
energía tal como se muestra en la Fig. (1.a). La degradación de la rigidez es causada por la fluencia de las
secciones en la estructura y su efecto primario es el incremento de la demanda de desplazamiento debido
al alargamiento del período fundamental. Al contrario, el comportamiento histerético que resulta de la
formación de rótulas plásticas, representa la disipación de energía, de tal manera, que cuando ésta
aumenta, existe también un incremento del amortiguamiento, lo que hace que la demanda de
desplazamiento disminuya. Estos efectos pueden visualizarse para diferentes regiones del espectro de
diseño de desplazamiento en la Fig. (1.b). Si un sistema de UGL con período inicial Tn es considerado
elástico (5% de amortiguamiento), este responde con un desplazamiento máximo elástico ∆e, pero si una
resistencia menor a la requerida para comportamiento elástico es considerada, la fluencia ocurre, seguida
por el alargamiento del período Teff el cual tiende a incrementar la demanda de desplazamiento ∆e2, sin
embargo este efecto es contrarrestado por el incremento del amortiguamiento debido a la disipación de
energía, de tal manera que la demanda de desplazamiento disminuye. Como resultado de la disminución
del desplazamiento, causado por el incremento del amortiguamiento, el efecto de alargamiento del
período es contrarestado. En una cierta parte del espectro, ∆e y ∆i coinciden, esto significa que el efecto
de alargamiento del período es completamente contrarrestado por el incremento del amortiguamiento, esta
observación ha resultado de la regla de los “desplazamientos iguales”, Newmark and Hall (1973), de
sistemas elastoplásticos de UGL. Para sistemas de UGL con períodos cortos, el efecto del período es
mayor que el efecto del amortiguamiento, el cual resulta en un incremento de la demanda de
desplazamiento ∆i y ocurre lo contrario para sistemas de UGL con períodos largos de vibración.

Para propósitos de diseño, el daño sísmico es usualmente presentado en forma de espectro
elástico, por lo que es conveniente, sustituir el sistema inelástico real de UGL por un elástico, uno tal, que
alcance el mismo desplazamiento máximo del sistema inelástico. Existen dos métodos ampliamente
conocidos, para linearizar sistemas inelásticos de UGL, (Miranda 1993). Un primer método es el llamado
“Método del Coeficiente para Desplazamiento”, este método hace, que el sistema inelástico sea
reemplazado por un sistema elástico, con el mismo nivel de amortiguamiento elástico y período
fundamental elástico. La respuesta máxima del sistema substituto (sistema elástico) es entonces
modificada, mediante la aplicación de un coeficiente C para encontrar un desplazamiento tal, que
corresponda al desplazamiento del sistema inelástico. El coeficiente C ha sido ampliamente estudiado
(Miranda, 1993; AASTHO, 2006; FEMA 440; Caltrans, 2004), de donde han resultando, expresiones
tales como las que se muestran a continuación en la Tabla 1.

Tabla 1. Varias ecuaciones de coeficientes para desplazamiento
Origen Modelo Aplicable a:
C = C1C2 ec. (1)
R −1
C1 = 1 + Teff < 1 ec. (2)
2
COEFICIENTE aTe
C C1 = 1 Teff > 1 SISTEMAS CON
FEMA 440 2 DEGRADACIÓN
1 ⎛ R −1⎞
C2 = 1 + ⎜ ⎟ Teff < 0.7 ec. (3) DE LA RIGIDEZ
800 ⎜ Tn ⎟
⎝ ⎠
C2 = 1 Te ff > 0.7
CALTRANS C=1 PUENTES
⎛ 1 ⎞ T* 1 T*
C = ⎜1 − ⎟ + ≥1 ≥1
⎝ R⎠ T R T
ec. (4)
AASHTO 2006 PUENTES
T*
C =1 ≤1
T

El modelo propuesto por FEMA 440 (2005), determina el coeficiente para desplazamiento,
mediante el producto de dos coeficientes C1 y C2 (ec.1). Donde, el coeficiente C1 relaciona los
desplazamientos de sistemas elásto-plásticos para los desplazamientos de sistemas elásticos con el mismo
período fundamental Tn y amortiguamiento de 5%. El coeficiente C2 es un factor de corrección para
diferentes respuestas de sistemas con degradación histerética de rigidez. En la ec. (2) y ec. (3), R es un

factor de reducción de fuerza, Tn es el período fundamental y la constante a es un valor que depende del
tipo de suelo. Caltrans (2004) recomienda el uso de la aproximación de los “desplazamientos iguales”,
aunque se ha reconocido que esta regla no es conservadora para estructuras con períodos cortos.
AASHTO (2006) en su nueva guía sísmica, presenta un coeficiente para desplazamiento que es
determinado como una función del período fundamental, factor de reducción de fuerza y período T* tal
como se muestra en la ec. (4).

El segundo método de linearización, es el llamado “Linearización Equivalente”. En este método,
el sistema inelástico de UGL es substituido por un sistema elástico con período alargado efectivo y
amortiguamiento viscoso efectivo que es mayor al 5% (Shibata y Sozen, 1976). La Tabla 2, muestra
varios modelos de linearización equivalente aplicables a sistemas en puentes, cada uno de los modelos
están en función de la demanda de ductilidad de desplazamiento µ. Donde, ξeff es el amortiguamiento
efectivo del sistema, ξν es el amortiguamiento en el rango elástico, α es la razón entre la segunda y
primera pendiente de la respuesta fuerza-deformación, los coeficientes a, b, c, d y A, B, C, D, G, H, I, J
dependen del modelo histerético. Una representación gráfica de los dos métodos de linearización se
presenta en la Fig. 2.
C. ami de
to
en
laz te
sp ien
(V)

de efic

e
∆

∆e ∆i
Co

i =
Cortante Basal

∆

Respuesta real no-lineal
%

Linearización
–5

5% equivalente
ξ>
e
–T

–
e

f
K

T ef
–
f
K ef
Desplazamiento (∆)

Figura 2. Modelos de linearización

Tabla 2. Varios modelos de linearización equivalente.
Origen Modelo Aplicable a:
a⎛ ⎞⎛ ⎞ 1
ξ eff = ⎜1 − 1 ⎟.⎜1 + 1 ⎟. ec. (5) COLUMAS EN PUENTES
π⎜
⎝ µb ⎟ ⎜
⎠⎝ (Teff + c)d ⎟ N
⎠
BLANDON
µ
Teff = To
1 + αµ − α
⎛ µ −1⎞
⎜
ξ eff =ξ ν + CST ⎜ ⎟
⎟% ec. (6)
⎝ πµ ⎠
CsT = 50 + 40(1 − Teff ) , Teff < 1 COLUMAS EN PUENTES
DWAIRI CST = 50 , Teff > 1

SEÁREZ ξ eff = ξ νµ −0.376 + ξ hyst ec. (7) PILAS CON PILOTES
Para 1 < µ < 4 :
ξ eff = A(µ − 1) 2 + B(µ − 1)3 + ξν ec. (8)

FEMA(440) [
Teff = G (µ − 1) 2 + H(µ − 1)3 + 1 To ] ec. (9) SISTEMAS CON
Para 4 ≤ µ ≤ 6.5 : DEGRADACIÓN DE LA
ξ eff = C + D(µ − 1) + ξν ec. (10) RIGIDEZ

Teff = [I + J (µ − 1) + 1]To ec. (11)
ATC-40 2 (µ − 1)(1 − α) SISTEMAS CON
ξ eff = 0.05 + K ec. (12)
π µ(1 + αµ − α) COMPORTAMIENTO
µ HISTERÉTICO TIPO B
Teff = To
1 + αµ − α

Los modelos de la Tabla 2, permiten la linearización de la respuesta de sistemas de UGL usando
una combinación de período efectivo Teff y amortiguamiento efectivo ξeff. El método de ATC-40 (1996),
utiliza el área de la histéresis, como un indicador del amortiguamiento efectivo (Jacobsen, 1930).
Recientemente, un trabajo realizado por Dwairi (2004), muestra que cuando se utiliza el período efectivo
el cual está basado en una rigidez secante para respuesta máxima, el amortiguamiento efectivo es
sobreestimado comparado con el obtenido mediante la aproximación basada en al área de la histéresis.
Por lo tanto, Dwairi ha obtenido un amortiguamiento histerético, para combinarlo con la rigidez secante
en desplazamiento máximo, de tal manera que el amortiguamiento efectivo resultante para un sistema
inelástico de UGL se aproxima al obtenido mediante un Análisis No-Lineal de Historia en el Tiempo
(ANHT). Una aproximación similar ha sido desarrollada por Blandon (2004) y Suárez (2006) para
obtener modelos de amortiguamiento efectivo que puedan usarse en el diseño directo basado en
desplazamientos (Priestley, 2000). En el 2005, FEMA publicó el documento FEMA-440 (2005), este
propone un nuevo modelo de linearización equivalente (ec. 8 y ec.10), en este modelo, el
amortiguamiento efectivo esta relacionado a un período efectivo (ec.9 y ec.11) respectivamente, basado
en la rigidez el cual no es secante para respuesta máxima, de acuerdo con FEMA el uso de tal definición
de período reduce la variabilidad en la determinación del amortiguamiento.

3. ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS MÉTODOS DE LINEARIZACIÓN USADOS
EN DBD

El método del coeficiente para desplazamiento y el de linearización equivalente, los cuales
fueron discutidos en la sección anterior, permiten la substitución de un sistema inelástico por un sistema
elástico, el cual debe tener la misma respuesta máxima del sistema inelástico. Aunque ambos
procedimientos persiguen el mismo objetivo, éstos muestran diferentes fundamentos:

a) La respuesta máxima de un sistema inelástico de UGL obtenida mediante un ANHT, depende de varios
factores, tal como el modelo histerético, modelo de amortiguamiento y datos sísmicos. Los modelos de
amortiguamiento equivalente como los que se muestran en Tabla 2, cuyo propósito es representar la
capacidad de disipación de energía de un sistema para diferentes comportamientos histeréticos, con la
excepción de ATC-40 y FEMA-440, estos modelos están basados en una hipótesis, de que el
amortiguamiento proporcional a la rigidez tangencial es más apropiado que el amortiguamiento
proporcional a la rigidez inicial para modelar el amortiguamiento viscoso de un sistema inelástico
(Priestley y Grant 2004). Por otro lado, los métodos de coeficientes para desplazamiento, permiten la
estimación directa de la demanda inelástica, considerando los efectos de período alargado y
amortiguamiento incrementado. A diferencia de los modelos de amortiguamiento efectivo y con la
excepción de FEMA-440, los modelos de coeficientes para desplazamiento han sido típicamente
desarrollados para sistemas con respuesta elásto-plástica solamente, considerando el uso de un
amortiguamiento viscoso proporcional a la rigidez inicial.

b) El método del coeficiente para desplazamiento, el cual esta basado en propiedades de sistema inicial
(sistema elástico), puede usarse en procedimientos de DBD, como el criterio de diseño sísmico de
Caltrans, Caltrans (2004), la nueva guía sísmica de AASHTO o el método del coeficiente para
desplazamiento de FEMA-356 (2000), donde la rigidez y período de la estructura es determinada al
comienzo del proceso. Por el contrario, el método de linearización equivalente, es más apropiado para
procedimientos tal como el DDBD, Priestley (2000), donde el período, rigidez y resistencia son el
resultado del diseño

Mediante una comparación cuantitativa de los métodos: el coeficiente para desplazamiento y el
de linearización equivalente, un coeficiente para desplazamiento C puede obtenerse de un modelo de

amortiguamiento equivalente para un espectro de respuesta de aceleración dado según el IBC (2000),
representado en la Fig. 3. Por lo tanto basándose en su definición, se tiene que:

∆
C= i ec. (13)
∆e

Donde ∆i es el desplazamiento inelástico y ∆e es el desplazamiento elástico de dos sistemas de
UGL, teniendo el desplazamiento elástico el mismo período fundamental Tn y 5% de amortiguamiento
viscoso. En el método de linearización equivalente, el desplazamiento inelástico de un sistema de UGL es
encontrado en términos de período efectivo Teff y amortiguamiento efectivo ξeff, de la forma como se
muestra a continuación:

7
∆ i(T ) = ∆ e(T ) ec. (14)
eff eff 2 + ξ eff

En esta ecuación, el desplazamiento elástico de un sistema de UGL con período efectivo es
reducido basándose en un factor de modificación del Eurocode (1998), que cuenta con el
amortiguamiento efectivo del sistema. Reemplazando la ec. (14) en ec. (13), donde C es obtenido como la
razón de desplazamiento elástico para período inicial y efectivo con un factor de reducción de
amortiguamiento:

∆ e(T ) ec. (15)
eff 7
C=
∆ e(T ) 2 + ξ eff
n

De acuerdo al espectro de respuesta de aceleración de la Fig. 3, la ec. (15) puede simplificarse para tres
casos:

a) Cuando To < Tn < Ts y To < Teff < Ts

S T2
∆ e = DS (T < Ts ) ec. (16)
4π 2
2
Teff 7
C= 2
ec. (17)
Tn 2 + ξ eff

b) Cuando To < Tn < Ts y Teff > Ts

S T
∆ e = D1 (T > Ts ) ec. (18)
4π 2

Ts Teff 7
C= 2
ec. (19)
Tn 2 + ξ eff

c) Cuando Tn > Ts y Teff > Ts

Teff 7
C= ec. (20)
Tn 2 + ξ eff

Figura 3. Espectro de respuesta de aceleración, IBC (2000)

Basándose en la ec. (15), C ha sido obtenido para un sistema de UGL, con período Tn ≥ 1 seg
para los modelos lineales equivalentes presentados en la Tabla 2. Los resultados se muestran en la Fig. 5
para diferentes niveles de ductilidad de desplazamiento. La Fig. 4, también muestra por comparación los
modelos de coeficientes para desplazamiento presentados en la Tabla 1.

1.4

Dwairi (Columnas)
1.2
Blandon (TAKEDA) Suárez (pilas en arcilla)
Coeficiente C

1

Degradación de la rigidez
0.8
(FEMA-440)
Tipo B (ATC – 40)

0.6
Caltrans, Coef. C FEMA-440, AASHTO (2006)

0.4
1 2 3 4 5 6 7
Ductilidad

Figura 4. Modelos de Linearización equivalente convertidos a modelos de coeficientes para
desplazamiento.

Realizando un procedimiento inverso y también por comparación, Los modelos de coeficientes
para desplazamiento de la Tabla 1, han sido convertidos a modelos de amortiguamiento efectivo, para
sistemas con Tn ≥ 1 seg cuyos resultados se muestran en la Fig. 5.

35
Tipo B (ATC – 40)
30
Amortiguamiento efectivo(%)

25 Suárez (pilas en arcilla)

20

15
Dwairi (Columnas)
10 Degradación de la rigidez
(FEMA-440)
5 Blandon (TAKEDA)
Caltrans, Coef. C FEMA-440, AASHTO (2006)
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Petiodo efectivo (seg)

Figura 5. Modelos de coeficientes para desplazamiento convertidos a modelos lineales equivalentes

4. REVISIÓN DE LOS MÉTODOS EXISTENTES DE DBD

4.1. Criterio de Diseño Sísmico de Caltrans

El Criterio de diseño sísmico de Caltrans (2004) fue cambiado al diseño basado en
desplazamientos en 1999 y consolidado por las recomendaciones del ATC-32 (American Technology
Council). El criterio de diseño sísmico es actualmente usado para el diseño de puentes comunes en el
estado de California.

El criterio de diseño sísmico es un procedimiento iterativo, en el cual, la resistencia lateral del
sistema es asumida al inicio del proceso. Entonces, por medio del análisis de la demanda de
desplazamiento y verificación de la capacidad de desplazamiento, es confirmado que el puente con una
resistencia asumida tiene un desempeño aceptable, de lo contrario, la resistencia es revisada y el proceso
es repetido.

4.2. AASHTO 2006: Guía recomendada por LRFD para el diseño sísmico de puentes en
carreteras.

La normativa de ASSHTO (2006), reconoce la variabilidad del daño sísmico dentro del territorio
de United States, como también la especificación de diferentes categorías de diseño sísmico. Para la
categoría A ningún diseño es requerido, para categorías B, C y D un análisis de la demanda y verificación
de la capacidad es requerida, este es un concepto similar al procedimiento de criterio de diseño sísmico
por Caltrans, descrito en la sección anterior. Dependiendo de la regularidad del puente, el análisis de la
demanda podría desarrollarse con el método de carga uniforme para puentes regulares, mientras que el
análisis modal espectral puede usarse para todos los puentes. La verificación de la capacidad puede darse

implícitamente usando ecuaciones para una categoría de diseño sísmico tipo B y por medio de un análisis
pushover para categorías tipo C y D. Como en el criterio de diseño sísmico por Caltrans y con la
excepción de la categoría sísmica tipo A, la guía de AASHTO 2006 requiere el uso de principios de
diseño por capacidad para el detallamiento de las secciones de la subestructura y elementos protegidos.

4.3. Diseño Directo Basado en Desplazamientos (DDBD)

El método de diseño directo basado en desplazamientos (Priestley, 2000) puede usarse para el
diseño de columnas en puentes, Kowalsky et al. (1995), pilas y pilotes pre-barrenados en subestructuras
(Suárez y Kowalsky, 2006) y edificios de concreto (SEAOC, 2003; Priestley y Kowalsky, 2000).

El DDBD, usa el método de linearización equivalente, el cual fue descrito en las secciones
anteriores. El procedimiento requiere la definición de un desplazamiento de diseño, rigidez y resistencia
requerida, de tal manera, que el desplazamiento de diseño no sea excedido por los desplazamientos que se
producen ante una agresión sísmica. Los pasos principales a seguir en la aplicación del DDBD son:

1) Dimensionamiento inicial de la subestructura del puente.
2) Determinación del desplazamiento de diseño, basándose en la curvatura o limites de ductilidad
(Dwairi y Kowalsky, 2006).
3) Determinación del amortiguamiento viscoso efectivo, basándose en las demandas de ductilidad
para el desplazamiento de diseño (Dwairi et al, 2005; Suárez, 2006). Ver Fig. 5.
4) Determinación de la rigidez requerida y resistencia, usando espectros de diseño de
desplazamientos.

5. EJEMPLO DE DISEÑO.

Con el fin de comparar, la aplicación del criterio de diseño sísmico por Caltrans y el DDBD, una
columna de puente es diseñada siguiendo las dos metodologías (coeficiente para desplazamiento y
linearización equivalente). El modelo de amortiguamiento efectivo de Dwairi (para DDBD) y el
coeficiente para desplazamiento basado en Dwairi (por Caltrans) serán utilizados.

La columna del puente (Fig. 6) empotrada en la base, consta de un peso W = 2000kN
concentrado en la parte superior de la columna, proveniente del peso de la superestructura del puente. La
altura de la columna es L =5 m, con un diámetro D = 1 m. Las propiedades del material son f’c = 21MPa
y fy = 420MPa y modulo de elasticidad del concreto E = 21538.11 MPa. Una demanda de ductilidad de
desplazamiento µ = 3 es considerada como el objetivo de desempeño. Las características de sitio para
representar el daño sísmico (Fig. 3) fueron: PGA = 0.4g, Fa = 1, Fv = 1.3, para suelo tipo C. Mediante
este ejemplo, se demostrará que la demanda de desplazamiento inelástico ∆i obtenido con un coeficiente
C (Fig. 4), es el mismo como el obtenido con amortiguamiento efectivo (Fig. 5).

W

D
L

Fig. 6 Columna de puente

5.1. Aplicación del DDBD.

Como mencionado anteriormente, el DDBD parte de un desplazamiento de diseño o desplazamiento
inelástico, para obtener como resultado, una resistencia requerida para la columna del puente. El
procedimiento de cálculo se describe a continuación:

a. Objetivo de desempeño: µ = 3
b. Con el valor de ductilidad µ = 3, se obtiene el valor del amortiguamiento efectivo ξeff (Fig. 5),
interpolando el modelo correspondiente de Dwairi, el amortiguamiento correspondiente es:

ξeff = 15.6%

c. El desplazamiento de diseño o inelástico ∆i se lo puede determinar en función de la ductilidad µ y
desplazamiento de fluencia ∆y (ec. 21), este desplazamiento relaciona la curvatura de fluencia con la
altura de la columna. Priestley (2000), aproxima esta curvatura mediante la ecuación (22) :

∆D = µ∆y ec. (21)
φy = 2.25 ε /D ec. (22)

Donde ε, es la deformación del acero (fy/Es), Es es el módulo de elasticidad del acero. Con estas
definiciones, se determina el desplazamiento inelástico:

φy = 2.25 ε /D = 2.25(0.002)/1m = 0.0045 1/m
∆y = φyH2/3 = (0.0045)(52)/3 = 0.038 m

∆i = µ∆y = 3(0.038) = 0.114 m

d. El método de DDBD utiliza el período efectivo Teff para respuesta máxima, por lo tanto, al espectro de
la Fig. 2, lo convertimos en un espectro de desplazamientos, multiplicando las aceleraciones espectrales
por un factor de modificación ec. (23), el cual involucra el amortiguamiento efectivo del sistema (literal
a.). Por lo tanto, la Fig. 7 queda definida para un ξeff = 15.6%, entrando a la gráfica con ∆i = 0.114 m se
puede obtener el Teff correspondiente para el sistema:

7
Factor = ec. (23)
2 + ξeff

Espectro de desplazamientos

0.6

0.5
De sp la zamie n to s (m)

0.4

0.3

∆d
0.2

0.1

0
0 1
T efec 2 3 4 5 6 7 8

Period (seg)

Figura 7. Espectro de desplazamientos para 15.6% de amortiguamiento

Teff = 1.4 seg

e. Determinado Teff se puede encontrar la rigidez efectiva del sistema o columna Keff, a partir de este
valor se obtiene la resistencia en máxima respuesta para la columna de puente.

Keff = 4π2meff / T2eff = 4 π2(2000/9.81)/(1.4)2 = 4106.43 kN/m
Vbasal = ∆DKeff = (0.114m)(4106.43) = 451.71 KN

De esta manera, queda determinada la resistencia requerida de la columna del puente con rigidez efectiva
en máximo desplazamiento ∆i = 0.114 m.

5.2. Aplicación del criterio de diseño sísmico de Caltrans.

El procedimiento por Caltrans en si, es un procedimiento iterativo, donde se parte de una
resistencia asumida, para encontrar la demanda de desplazamiento de diseño o inelástico, en cambio, lo
contrario sucede con el procedimiento del DDBD, donde se parte de un desplazamiento de diseño para
encontrar una resistencia requerida para diseño. Como una primera iteración, el procedimiento por
Caltrans se describe a continuación.

a. Para el procedimiento por Caltrans, se toma los mismos datos para la columna del puente y daño
sísmico, que se considero en el DDBD.

b. Como punto de partida se asume una resistencia inicial de momento (My). De acuerdo con el diagrama
de momento-curvatura (Fig. 8), se puede obtener la inercia agrietada Icr, con este valor, se determina la
rigidez inicial de la columna del puente. La curvatura de fluencia se la determina con la ec. (22)

M

My
EIcr = My / Φy
Icr = My / (Φy E)
EIcr

Φ
Φy
Figura 8. Diagrama momento - curvatura

My = 1500 kN.m ⇒ resistencia asumida

Icr = My/φyE = (1500)/(0.0045)( 21538.11*1000) = 0.01548 m4
Kcr = 3EIcr/L3 = 3(21538.11*1000)( 0.01548)/(5)3 = 8001.84 kN/m

d. El período fundamental Tn, esta en función de la rigidez Kcr. Por lo tanto

Tn = 2π(W/gKcr)1/2 = 2π(2000/(9.81)(8001.84))1/2 = 1seg

e. La demanda de desplazamiento elástico ∆e se puede obtener del espectro de desplazamientos elásticos
(con 5% de amortiguamiento), obtenido de la misma manera, como se describe en el literal d) de la
aplicación del DDBD, el espectro se muestra en la Fig. 9. Entrando a la grafica, con el período Tn
podemos obtener el desplazamiento elástico ∆e:

Espectro de desplazamientos
1
0.9

Desplazamientos (m)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2 ∆e
0.1 Tn
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Periodo (seg)

Figura 9. Espectro de desplazamientos con 5% de amortiguamiento

∆e = 0.13 m

f. Con el ∆e obtenido, se puede determinar la demanda de desplazamiento o de diseño ∆i. Por lo tanto,
como este procedimiento utiliza la metodología del coeficiente para desplazamiento, de la Fig. 4, se
obtiene el coeficiente para desplazamiento C = 1.04, basado en el modelo de Dwairi para una ductilidad µ
= 3, por consiguiente se tiene:

∆i = C∆e = 1.04 (0.13) = 0.14m

g. Para chequear el desplazamiento de diseño ∆i, se determina la capacidad de desplazamiento ∆C de la
columna, donde se debe cumplir ∆i < ∆C

∆y = φyH2/3 = (0.0045)(52)/3 = 0.038 m
∆C = µ∆y = 3(0.038) = 0.114 m

Por lo que se tiene que: 0.14m > 0.114m

Por lo tanto, el desplazamiento de diseño ∆i, sobrepasa la capacidad de desplazamiento que tiene la
columna del puente. Para obtener el desplazamiento ∆I óptimo, hacemos otra iteración, imponiéndonos un
nuevo valor de resistencia (My), siguiendo el mismo procedimiento de la primera iteración.

Nueva iteración

a. Para evitar muchas iteraciones, se adoptará una resistencia, según la obtenida en el literal e) de la
aplicación del DDBD. Por lo que, la resistencia sería para este procedimiento la siguiente:

My = Vbasal (L) = 451.71 kN (5 m) = 2258.55 kN.m

c. Determinación de la inercia agrietada y rigidez inicial de la columna.

Icr = My/φyE = 0.02330 m4
Kcr = 3EIcr/L3 = 12044.11 kN/m

d. Cálculo del periodo inicial Tini.

Tn = 2π(W/gKcr)1/2 = 0.82 seg

e. Con Tn = 0.82 seg, se entra con este valor en la Fig. 9 y se lee el valor de ∆e

∆e = 0.11 m

f. Como ya se conoce el valor de C, cuyo valor se obtuvo de la Fig. 4 para un valor de µ = 3 según el
modelo de Dwairi, el desplazamiento de diseño es:

∆i = C∆e = 1.04 (0.11) = 0.114 m

g. Para chequear la demanda de desplazamiento ∆i, se compara el nuevo valor de ∆i obtenido del paso
anterior con el valor de ∆C. por consiguiente, se tiene que:

∆i = ∆C
0.114 m = 0.114 m

Por lo tanto, el Valor de ∆i es igual a ∆C. Esto significa que el desplazamiento obtenido, es un
desplazamiento ideal, es decir, la columna ante una respuesta inelástica, alcanzará el valor de capacidad
máximo de desplazamiento que tiene la columna.

Comparando el desplazamiento de diseño ∆i, que se obtuvo de ambas metodologías: el
coeficiente para desplazamiento (Caltrans) y el de linearización equivalente (DDBD), indistintamente se
obtiene el mismo valor de demanda de desplazamiento. Claro esta, que para ambas metodologías, se debe
usar un solo modelo, como por ejemplo, el uso del modelo de Dwairi para ambas metodologías. Los
valores de las demandas de desplazamiento se resumen a continuación:

Caltrans ⇒ ∆i = 0.114 m
DDBD ⇒ ∆i = 0.114 m

6. CONCLUSIONES.

Se han evaluado las hipótesis que fundamentan los métodos DBD alcanzado las siguientes conclusiones:

1. Los métodos de coeficientes de desplazamiento y el de linearización equivalente, son igualmente
validos para linearizar la respuesta de sistemas inelásticos. Cualquier diferencia en el resultado
de la aplicación de los métodos se debe al uso de las expresiones empíricas utilizadas en ambos
casos (Tablas 1 y 2)
2. Los modelos de coeficiente de desplazamiento pueden transformase en modelos de
amortiguamiento equivalente o viceversa sin perjuicio de afectar a los resultados de su
aplicación.
3. Aparentemente y en virtud de lo que se observa en Figs. 4 y 5, los modelos de amortiguamiento
equivalente capturan con mayor “resolución” la respuesta de los distintos modelos histereticos.
4. Los modelos de amortiguamiento aplicables a puentes convencionales (Dwairi y Blandon) son
muy similares. El modelo de amortiguamiento de FEMA 440, también aplicable a puentes, no
puede compararse con los otros modelos debido a que en este caso el amortiguamiento esta
relacionado a un periodo efectivo diferente al que utilizan Blandon y Dwairi
5. En Fig. 5 se observa que la regla de iguales desplazamientos (C=1) conlleva a valores mayores
de amortiguamiento que Blandon y Dwairi para ductilidades menores a 2.5, lo inverso ocurre
para valores mayores de ductilidad.
6. En Fig. 5 se observa al comparar con el modelo de Suarez, que la regla de iguales
desplazamiento no considera el amortiguamiento que proviene del suelo en el caso de puentes
con cimentaciones profundas.

7. REFERENCIAS.

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Highway Subcommittee on Bridge and Structures.

ATC-40 (1996), “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings”, Volume 1.
Blandon C. A. (2004),"Equivalent Viscous Damping for Direct Displacement Based Design", A
Dissertation Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Master Degree in Earthquake
Engineering, European School of Advanced Studies Reduction of Seismic Risk.
Caltrans (2004),“Seismic Design Criteria”, Version 1.3.
Dwairi and Kowalsky (2006), “Inelastic Displacement Patterns in Support of Direct Displacement-Based
Design for Continuous Bridge Structures”, Department of Civil, Construction and Environmental
Engineering, North Carolina State University, Campus – Box 7908, Raleigh, NC-27695, USA.
Dwairi H. M. (2004),” Equivalent Damping in Support of Direct Displacement – Based Design with
Applications to Multi-Span Bridges”, civil, construction, and environmental engineering, Raleigh North
Carolina.
Eurocode (1998), “Design Provisions for Earthquake Resistance of Structures”.
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Virginia.
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Redwood City, California 94065.
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School for Advanced Studies in Reduction of Seismic Risk (ROSE School), Via Ferrata, 27100 Pavia,
Italy
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