Ecudif semana-1
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Este documento introduce las ecuaciones diferenciales (ED), definiéndolas como igualdades que contienen derivadas de funciones desconocidas. Explica que las ED se clasifican por tipo, orden, y linealidad. Finalmente, describe que una solución de una ED ordinaria es una función cuya sustitución en la ecuación hace que esta sea verdadera. El documento incluye ejemplos y ejercicios para practicar la clasificación y solución de ED.
Ecudif semana-1
- 1. Definición de una ecuación diferencial Clasificación de las EDs Soluciones de una ED Taller No. 1 Semana No. 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales I Yoe Herrera UNAB yherrera743@unab.edu.co 27 de julio de 2017 1 / 6
- 2. Definición de una ecuación diferencial Clasificación de las EDs Soluciones de una ED Taller No. 1 Ecuación diferencial Una ecuación diferencial (ED) es una igualdad que contiene derivadas de una(s) función(es) desconocidas, o contiene diferenciales de al menos dos variables. Ejemplo 1 x + dy dx = −sen x + d2 y dx2 y − 3 √ 2x − y = ln(y ) La variable y es dependiente si aparece una de sus derivadas con respecto a otra variable y x es independiente si aparece la derivada de una de las variables dependientes con respecto a x. 2 / 6
- 3. Definición de una ecuación diferencial Clasificación de las EDs Soluciones de una ED Taller No. 1 Clasificación de las EDs Las EDs se clasifican por: tipo. La ED es ordinaria si sólo tiene una variable independiente. En caso contraria, es parcial. orden. El orden de la ED es el máximo orden de derivada que contiene. linealidad. La ED es lineal si sus términos son lineales en la variable dependiente y sus derivadas. En caso contrario, decimos que es no lineal. 3 / 6
- 4. Definición de una ecuación diferencial Clasificación de las EDs Soluciones de una ED Taller No. 1 Soluciones de una ED Consideremos la EDO (ED ordinaria) de orden n F(x, y, y , . . . y(n) ) = 0, (1) donde y(k) es la derivada de orden k de la variable y con respecto a x. La función y = φ(x) es una solución en forma explícita de (1) si existe un intervalo I ⊆ R tal que F(x, φ(x), φ (x), . . . φ(n) (x)) = 0, para todo x ∈ I. Similarmente, la relación ψ(x, y) = 0 es una solución en forma implícita de (1) si existe un intervalo I ⊆ R tal que al derivar implícitamente la relación F(x, φ(x), φ (x), . . . φ(n) (x)) = 0, para todo x ∈ I. 4 / 6
- 5. Definición de una ecuación diferencial Clasificación de las EDs Soluciones de una ED Taller No. 1 Taller No. 1 I. Clasifique cada una de las siguientes EDs 1 8xy = 4x3 − 9y ln x + 7x3 2 3(t2 − 2t)y − 5t3y + 4y − 3y = sen t 3 (x )4 − x + 4xy = (x )5 4 cos(3y ) + 5y = sec x 5 d(xy )/dx + x2y = 0 6 ∂U/∂t = 4∂2U/∂x2 + ∂U/∂y 7 exy + 2xy = 0 8 yy ˘2y = x2 9 csc z = z + 2z − 5z 10 (1 − x)y − 4xy − y = 0 5 / 6
- 6. Definición de una ecuación diferencial Clasificación de las EDs Soluciones de una ED Taller No. 1 II. Compruebe si la función o relación es una solución de la ED 1 y = e2x˘3e−x , y − y − 2y = 0 2 y = (c1 + −2x)−1/2 ,y = y3 3 y = c1x − c2 1, xy = y + (y )2 4 xy2 = c1x + c2, x(y )2 + 2yy + xyy = 0 5 x = 3 cos t − 5sen t, x x = 0 6 P = c1et 1 + c1et , dP dt = P(1 − P) III. Halle m ∈ R tal que y = emx es solución de 4y − 3y + 8y = 0. IV. Halle m ∈ R tal que y = xm es solución de 2x2y − 3xy + 5y = 0. 6 / 6