Concepto ecuacion dif...
- 1. dx dx Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una variable desconocida y sus derivadas. CONCEPTOS BASICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como x2 + 5x + 4 = 0 con la variable x,eneste curso vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y” + 2y’ + y = 0, para conocer la función y. Pero antes de comenzar cualquier cosa, se debe aprender algo de las definiciones y terminología básicas en este tema. En cálculo aprendimos que la derivada, dy / de la función y = ф(x) es en sí, otra función de x que se determina siguiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si y = eS, entonces dy / = 2xeS. Al reemplazar eS, por el símbolo y se obtiene dy = 2xy (ecuación 1) dx El problema al que nos encararemos en este curso no es “dada una función y = ф(x), determinar su derivada”. El problema es “dada una ecuación diferencial, como la ecuación 1, ¿hay algún método por el cual podamos llegar a la función desconocida y = ф(x)?” Definición de ecuación diferencial Ejemplos: y''' + y'' + y' + y = 0 d3y d2y dy dx3 + dx2 + dx + y = 0 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN EL TIPO. Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que la variable desconocida depende solamente de una variable independiente. Ejemplos: y' = −ky y'' + xy' + x2y = x + 1 dy = cosx dx (x2 + y2)dx − 2xydy = 0 Importante recordarque enlaecuación d2i di 1 dt2 dt C i =es la variable dependiente L + R + i = Eωcosωt t =es la variable independiente L,R, C, E y ω= sonllamados parámetros o constantes Recuerde que unaecuación esunaigualdad x2 + 5x + ⏟ 4 = ⏟ 0 1 ˛ °_ t e _ r_ m i_ no 2 _ ° _ t e _ rm _ i _ no 3_ ° t_ e_ rm _ i ¸ no M i enbro derecho M i em bro i Zqui erdo
- 2. Una ecuación diferencial parcial es que la que la variable desconocida depende de dos o más variables independientes. Ejemplos: 2u k2 = x2 u 2u t2 2u 2u = ℎ2 ( t x2 + y2) CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN EL ORDEN. El orden de una ecuación diferencial ordinaria o parcial es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Ejemplo: y'' + xy' = sekx (es una ecuación diferencial de orden 2) y(4) − y(3) = y'y + 2x5 (es una ecuación diferencial de orden 4) y' = −ky (es una ecuación diferencial de orden 1) y''' + xy' + x2y = x + 1 (es una ecuación diferencial de orden 3) CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD. Se dice que una ecuación diferencial de la forma yn = ƒ(x, y, y', y'', … . yn–1) es lineal cuando f es una función lineal de y, y', y'', … . yn–1. Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma g(x) = y + y' + ⋯ + yn–1 + yn En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: i) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1. ii) Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente. Ejemplo: x2y'' + xy' + (x2 − k2)y = 4x3 Una ecuación diferencial se dice que no es lineal si falta alguna de las derivadas entre y y la derivada de mayor orden, por ejemplo suponga que se tiene una ecuación de tercer orden, porque la derivada mayor es la tercera (y''') pero no aparece la primera derivada (y'), como sigue: g(x) = y + y'' + y´´´ (ecuación diferencial no lineal porque falta y' )
- 3. Practica: En el siguiente cuadro marque con una equis las propiedades que se indican al lado derecho, es decir si es ordinaria, parcial, lineal, no lineal, orden y las variables dependientes e independientes. Ecuación diferencial Ordinaria Parcial lineal No lineal Orden Variable independiente Variable dependiente 1) y' = y − x2 2) y'' − 3y' + 2y = eS 3 4 2 8 3) d y d y ( ) + ( ) = x dS3 dS2 4) dф = ф − θ dθ 5) dS = S–y dy S+y 6) (x + y)dx + (x − y)dy = 0 7) x3y''' + x2y'' + xy' + y = lkx 8) y'' = sek(xy') 2 9) d S + k2 = 0 dt2 10) (x2 + y2)dx + 2xydy = 0
- 4. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Una solución para una ecuación diferencial en la variable desconocida y y la variable independiente x en el intervalo G es una función y(x) que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x en G. Ejemplo: Verifique que la función ƒ(x) = e–2S es una solución de la ecuación diferencial y''' − 3y' + 2y = 0 Solución: Observe que la ecuación diferencial involucra a la primera y tercera derivada de ƒ(x) ƒ'(x) = (−2x)′e–2S = −2e–2S ƒ'' (x) = −2 ∙ (−2x)′e–2S =−2 ∙ −2e –2S = 4e –2S ƒ'''(x) = 4 ∙ (−2x)′e–2S=4 ∙ −2e–2S = −8e–2S Una vez obtenidas estas derivadas se sustituyen en la ecuación diferencial. ⟹ y''' − 3y' + 2y = 0 ⟹ −8e–2S − 3(−2e–2S) + 2(e–2S) = 0 ⟹ −8e–2S + 6e–2S + 2e–2S = 0 ⟹ −8e–2S + 8e–2S = 0 ⟹ 0 = 0 De esta forma se verifica que una función es solución de una ecuación diferencial. Practica: 1. Verifique que la función ƒ(x) = e–3S es una solución de la ecuación diferencial y''' + 2y'' − 3y′ = 0. 2. Verifique que la función ƒ(x) = 3e–2S + 4eS es una solución de la ecuación diferencial y''' − 3y' + 2y = 0. 3. Verifique que la función ƒ(x) = x3 − 6x − 5 es una solución de la ecuación diferencial y'' − y + y = x3 − 3x2 + 1 4. Verifique que la función ƒ(x) = sekx es una solución de la ecuación diferencial y'' + y = 0. 5. Verifique que la función u = xtakx es una solución de la ecuación diferencial xu' = u + x2 + u2. Algunas ecuaciones diferenciales no tendrán solución ((y')4 + y2 = −1), otras solo tendrán una solución ((y')4 + y2 = 0) y otras presentaran infinitas soluciones (y(x) = c1sek2x + c2cos2x). Recuerde que si (e ) = (g(x))′e g(S) ' g(S) y (ln g(x))' = ∙ g′(x) 1 g(S) Recuerde que (seku)' = cosu ∙ u′ (cosu)' = −seku ∙ u′ (t aku)' = (sec2u) ∙ u′ (cosecu)’ = −cosecu ∙ cotgu ∙ uʹ (secu)’ = secu ∙ tanu ∙ uʹ (cotgu)’ = −cosec2u ∙ u′
- 5. SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES Una solución general de una ecuación diferencial es el conjunto de todas las soluciones, esta puede contener n cantidad de constantes. Ejemplo: Sea la ecuación diferencial y'' + 4y = 0. Una solución general de dicha ecuación es y = c1sek2x + c2cos2x Ejemplo: Determine una solución general para la ecuación diferencial de segundo orden y'' = 12x2 Solución: Para encontrar la solución general vamos a integrar ⇒ ƒ y′′ = ƒ 12x2 12x3 ⇒ y' = + C1 = 4x3 + C1 3 Se vuelve integrar ⇒ ƒ y′ = ƒ 4x3 + C1 4x4 ⇒ y = + C1x + C2 4 Una solución particular de una ecuación diferencial es una ecuación cualquiera que cumpla con la igualdad. La solución particular se puede obtener a partir de la solución general, sustituyendo las constantes por valores específicos, de acuerdo a ciertas condiciones dadas. Ejemplo: Sea la ecuación diferencial y'' + 4y = 0. Son soluciones particulares de dicha ecuación y = 5sek2x − 3cos2x, otra solución particular seria y = sek2x. Queda como ejercicio verificar que estas soluciones particulares cumple la ecuación diferencial. Ejemplo: Sabiendo que la ecuación diferencial y'' = 12x2 tiene como solución general y = 4S4 + C x + C determine una solución particular cuando y(0) = 1 y y′(0) = 2 4 1 2 Solución: Observe que en la primera derivada cuando x = 0 y y' = 2 ⇒ y' = 4x3 + C1 ⇒ 2 = 4(0)3 + C1 ⇒ 2 = +C1 Recuerde que: ƒ dx = x + C ƒ xndx = xn+1 k + 1 + C ƒ eSdx = eS + C ƒ dx = lk|u| + C 1 x
- 6. La otra condición nos dice que si x = 0 y y = 1 ⇒ y = x4 + C1x + C2 ⇒ 1 = (0)4 + 2 ∙ (0) + C2 ⇒ 1 = C2 Ahora la solución particular sería. y = x4 + 2x + 1 La solución general de una ecuación diferencial no siempre puede expresarse como fórmula única.x Por ejemplo la ecuación diferencial y' + y2 = 0 que tiene dos soluciones particulares y = 1 S y y = 0. Las ecuaciones diferenciales lineales son especiales a este respecto. Las soluciones de una ecuación diferencial que no se obtienen de la solución general, se les conoce como soluciones singulares. Practica: 1. Sabiendo que la ecuación diferencial y'' + 4y = 0 tiene como solución generaly = C1sek2x + C2cos2x determine una solución particular cuando y(0) = 0 yy′(0) = 1. ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARABLES. Esta es una técnica que se utiliza para resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Suponga que M(x) + N(y) dy = 0 es una ecuación ordinaria de primer orden, siendo M una dS función continua de x solamente y N una función continua de y solamente. Para este tipo de ecuación, todos los términos en x pueden juntarse a dx y todos los términos en y a dy, pudiendo obtenerse una solución por integración. De tales ecuaciones se dice que son separables, y el método de solución se llama separación de variables. Los pasos son los siguientes: 1. Expresar la ecuación en forma diferencial dy ⇒ M(x) + N(y) = 0 dx dy ⇒ M(x) = −N(y) dx ⇒ M(x)dx = −N(y)dy
- 7. 2. Integrar para obtener la solución general ⇒ ƒ M(x)dx = − ƒ N(y)dy Ejemplo: Hallar la solución general de (x2 + 4) dy = xy dS Solución: (x2 + 4)dy = xydx dy xy y = (x2 + 4) dx dy x ƒ y = ƒ (x2 + 4) dx Sea u = x2 + 4 ⇒ du = 2xdx ⇒ du = xdx 2 dy 1 ƒ = ƒ du y 2u lk|y| = 1 lk(x2 + 4) + C 2 1 lk|y| = lk√x2 + 4 + C1 eln|y| = eln√S2+4+C1 y = ec1 ∙ √x2 + 4 y = C ∙ √x2 + 4 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS. REDUCCIÓN DE ORDEN EN ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON UNA VARIABLE AUSENTE. ECUACIONES EXACTAS Y REDUCIBLES A EXACTAS POR MEDIO DE UN FACTOR INTEGRANTE. ECUACIONES LINEALES Y REDUCIBLES A ELLAS. (ECUACIÓN DE BERNOULLI.) ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA PARAMÉTRICA DE CURVAS PLANAS. TRAYECTORIAS ORTOGONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES.