![Modèle d’état/State-space Model
Analogique/Continuous Discret/Discrete
Non linéaire
Nonlinear
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]
˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]
y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t)
˙
Linéaire
x (k + 1) = Φ(k)x (k) + Γ(k)u (k)
Linear
y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t) y (k) = C(k)x (k) + D(k)u (k)
time-invariant
stationnaire
Linéaire et
Linear and
x (t)
˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k)
y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k)
Denis Gillet @ EPFL 1](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-1-320.jpg)
![3.2 Grandeurs Nominales
u Système y
dynamique
non linéaire
et stationnaire
x
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]
˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]
linéaire
Non
y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
Station-
x (k + 1) = f [x (k) , u (k)] x (t) = f [x (t) , u (t)]
˙
naire
y (k) = g [x (k) , u (k)] y (t) = g [x (t) , u (t)]
Trajectoire
nominale
˙
x (t) = f [¯ (t) , u (t)]
¯ x ¯ x (k + 1) = f [¯ (k) , u (k)]
¯ x ¯
y (t) = g [¯ (t) , u (t)]
¯ x ¯ y (k) = g [¯ (k) , u (k)]
¯ x ¯](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-2-320.jpg)
![3.2.3 Point de fonctionnement
Point de fonctionnement = état nominal = point d’équilibre
Si le système se trouve à son point de fonctionnement et en
l’absence de perturbation, il y reste
La trajectoire nominale n’évolue plus au cours du temps
x(t) = x;
¯ ¯ u(t) = u;
¯ ¯ y (t) = y
¯ ¯
Analogique Discret
˙ ˙
x (t) = x = 0
¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x
¯ ¯ ¯ ∀k
0 = f [¯, u]
x ¯ x = f [¯, u]
¯ x ¯
y = g [¯, u]
¯ x ¯ y = g [¯, u]
¯ x ¯
n+p équations algébriques à résoudre
r degrés de liberté](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-3-320.jpg)
![Linéarisation par la tangente
Analogique Discret
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]
˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]
y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
Forme commune des fonctions non linéaires
f [x, u]
g[x, u]
On cherche une approximation linéaire valable autour d’une
trajectoire nominale ou d’un point de fonctionnement
x(t)
¯ u(t)
¯ y (t)
¯
→ ¯
x ¯
u ¯
y
x(k)
¯ u(k)
¯ y (k)
¯
4](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-4-320.jpg)
![Résumé linéarisation par la tangente
Analogique Discret
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]
˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]
linéaire
Non
y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
x(t) = x(t) − x(t)
˜ ¯ x(k) = x(k) − x(k)
˜ ¯
y (t) = y(t) − y (t)
˜ ¯ y (k) = y(k) − y (k)
˜ ¯
Trajectoire
nominale
u(t) = u(t) − u(t)
˜ ¯ u(k) = u(k) − u(k)
˜ ¯
˙
x (t) = f [¯ (t) , u (t)]
¯ x ¯ x (k + 1) = f [¯ (k) , u (k)]
¯ x ¯
y (t) = g [¯ (t) , u (t)]
¯ x ¯ y (k) = g [¯ (k) , u (k)]
¯ x ¯
fonctionnement
˙ ˙
x (t) = x = 0
¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x
¯ ¯ ¯ ∀k
Point de
0 = f [¯, u]
x ¯ x = f [¯, u]
¯ x ¯
y = g [¯, u]
¯ x ¯ y = g [¯, u]
¯ x ¯
˙ ∂f ∂f
x (t) = ∂f x (t) + ∂u
˜ ∂x ˜ u (t) x (k + 1) = ∂f x (k) +
˜ ˜ ∂x ˜ ∂u u (k)
˜
linéarisé
Modèle
x,¯
¯u x,¯
¯u x,¯
¯u x,¯
¯u
∂g ∂g ∂g ∂g
y (t) = ∂x
˜ x (t) + ∂x
˜ u (t)
˜ y (k) = ∂x
˜ x (k) + ∂x
˜ u (k)
˜
x,¯
¯u x,¯
¯u x,¯
¯u x,¯
¯u
10](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-10-320.jpg)
![Cuve de mélange: Modèle d’état
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t)
˙ S
x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)}
˙ (t)
y1 (t) = S x1 (t)
1
y (t) = x (t)
2 2 16](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-16-320.jpg)
![Cuve de mélange: Point de fonctionnement
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
x1 (t)
x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K
˙ y1 (t) = S x1 (t)
1
S
y (t) = x (t)
x2 (t) =
˙ {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)}
1
x1 (t)
2 2
0 = u1 + u2 − K x1
¯ ¯ ¯
y1 = S x1
¯ 1
¯
S
y =x
¯2 ¯2
0= 1
x1
¯ {[c1 − x2 ] u1 + [c2 − x2 ] u2 }
¯ ¯ ¯ ¯
17](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-17-320.jpg)
![Résumé linéarisation par la tangente
u Modèle d’état non linéaire y
et stationnaire
f [x, u]
g [x, u]
x
u ˜
u Modèle d’état ˜
y y
linéarisé
A˜ + B u
x ˜
− C x + D˜
˜ u +
¯
u ¯
y
19](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-19-320.jpg)
![Cuve de mélange: Modèle inverse
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) y1 (t) = S x1 (t)
˙
1
S
y (t) = x (t)
x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)}
˙ (t)
2 2
y1 (t) = 1 x1 (t) = 1 u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ≡ w1 (t)
˙ S ˙ S S
y2 (t) = x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ≡ w2 (t)
˙ ˙ (t)
25](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-25-320.jpg)
![Cuve de mélange: Modèle inverse
u1 = q1 u2 = q2
c1 c2
1
y1 = h = x1 x1 = V
S
y2 = x2 = c
y1 (t) =
˙ u1 (t) + u2 (t) − K x1S
(t)
S x1 (t)
˙ = ≡ w1 (t)
1 1
S
y2 (t) = x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ≡ w2 (t)
˙ ˙ (t)
u1 (t) = c2 −c1 [c2 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S
1 (t)
− w2 (t)x1 (t)
u2 (t) = 1
w2 (t)x1 (t) − [c1 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S
(t)
c2 −c1 26](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-26-320.jpg)
![Cuve de mélange: Modèle inverse
u(t)
Système y(t)
MIMO
x(t)
x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t)
˙
w(t) u(t)
S
y(t)
u1 (t) = 1
[c2 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S
(t)
− w2 (t)x1 (t) x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)}
˙ (t)
c2 −c1
u (t) = 1
w2 (t)x1 (t) − [c1 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S
(t)
2 c2 −c1 y1 (t) = S x1 (t)
1
y (t) = x (t)
2 2
Intégrateurs
w1 (t) 1/ y1 (t)
s
w2 (t) 1/ y2 (t)
s
27](https://image.slidesharecdn.com/bslides11-111010074439-phpapp01/85/B-slides-11-27-320.jpg)
B slides 11
- 1. Modèle d’état/State-space Model Analogique/Continuous Discret/Discrete Non linéaire Nonlinear x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k] y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k] x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) ˙ Linéaire x (k + 1) = Φ(k)x (k) + Γ(k)u (k) Linear y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t) y (k) = C(k)x (k) + D(k)u (k) time-invariant stationnaire Linéaire et Linear and x (t) ˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k) y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k) Denis Gillet @ EPFL 1
- 2. 3.2 Grandeurs Nominales u Système y dynamique non linéaire et stationnaire x x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k] linéaire Non y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k] Station- x (k + 1) = f [x (k) , u (k)] x (t) = f [x (t) , u (t)] ˙ naire y (k) = g [x (k) , u (k)] y (t) = g [x (t) , u (t)] Trajectoire nominale ˙ x (t) = f [¯ (t) , u (t)] ¯ x ¯ x (k + 1) = f [¯ (k) , u (k)] ¯ x ¯ y (t) = g [¯ (t) , u (t)] ¯ x ¯ y (k) = g [¯ (k) , u (k)] ¯ x ¯
- 3. 3.2.3 Point de fonctionnement Point de fonctionnement = état nominal = point d’équilibre Si le système se trouve à son point de fonctionnement et en l’absence de perturbation, il y reste La trajectoire nominale n’évolue plus au cours du temps x(t) = x; ¯ ¯ u(t) = u; ¯ ¯ y (t) = y ¯ ¯ Analogique Discret ˙ ˙ x (t) = x = 0 ¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x ¯ ¯ ¯ ∀k 0 = f [¯, u] x ¯ x = f [¯, u] ¯ x ¯ y = g [¯, u] ¯ x ¯ y = g [¯, u] ¯ x ¯ n+p équations algébriques à résoudre r degrés de liberté
- 4. Linéarisation par la tangente Analogique Discret x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k] y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k] Forme commune des fonctions non linéaires f [x, u] g[x, u] On cherche une approximation linéaire valable autour d’une trajectoire nominale ou d’un point de fonctionnement x(t) ¯ u(t) ¯ y (t) ¯ → ¯ x ¯ u ¯ y x(k) ¯ u(k) ¯ y (k) ¯ 4
- 5. Linéarisation par la tangente Exacte Ecarts f (x) x=x−x ˜ ¯ y =y−y ˜ ¯ z Approchée u=u−u ˜ ¯ ˜ z z = f (¯) ¯ x ˜ x ¯ x x Fonction de x uniquement d df z= ˜ f (x)|x=¯ x = x ˜ (¯)˜ xx dx dx 5
- 6. Linéarisation par la tangente Exacte Ecarts f (x) x=x−x ˜ ¯ y =y−y ˜ ¯ z Approchée u=u−u ˜ ¯ ˜ z z = f (¯) ¯ x ˜ x Fonction de x et de u (n=r=1) ¯ x x f (x, u) − f (¯, u) ∼ z − z = z = x ¯ = ¯ ˜ ∂x f (¯, u)˜ ∂ x ¯x + ∂u f (¯, u)˜ ∂ x ¯u g(x, u) − g(¯, u) ∼ y − y = y = x ¯ = ¯ ˜ ∂x g(¯, u)˜ ∂ x ¯x + ∂u g(¯, u)˜ ∂ x ¯u Analogique ˜ = ˙ ˙ ¯ ˙ z (t) ∼ x(t) − x(t) = x(t) ˜ Discret z (k) ∼ x(k + 1) − x(k + 1) = x(k + 1) ˜ = ¯ ˜ 6
- 7. Linéarisation par la tangente ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1 z1 = ˜ ∂x1 (¯, u)˜1 x ¯x + ... + ∂xn (¯, u)˜n x ¯x + ∂u1 (¯, u)˜1 x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r x ¯u . . . zn = ∂fn (¯, u)˜1 + . . . + ∂xn (¯, u)˜n + ˜ ∂x1 x ¯x ∂f n x ¯x ∂fn ∂u1 (¯, u)˜1 x ¯u + ... + ∂fn ∂ur (¯, u)˜r x ¯u ∂g1 ∂g1 ∂g1 ∂g1 y1 = ˜ ∂x1 (¯, u)˜1 x ¯x + ... + ∂xn (¯, u)˜n x ¯x + ∂u1 (¯, u)˜1 x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r x ¯u . . . ∂g ∂gp ∂gp ∂gp yp = ∂xp (¯, u)˜1 + . . . + ∂xn (¯, u)˜n + ˜ 1 x ¯x x ¯x ∂u1 (¯, u)˜1 x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r x ¯u ˙ x(t) ˜ ∂f ∂f =z= ˜ ∂x (¯, u)˜ x ¯x + ∂u (¯, u)˜ x ¯u x(k + 1) ˜ ∂g ∂g y= ˜ ∂x (¯, u)˜ x ¯x + ∂u (¯, u)˜ x ¯u 7
- 8. Linéarisation par la tangente ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) x ¯ ∂f ∂f2 ∂f2 ∂f2 (¯, u) = x ¯ ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) = A x ¯ ∂x . . . . . . . . . ∂fn ∂fn ∂fn ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) x ¯ ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) x ¯ ∂f ∂f2 ∂f2 ∂f2 (¯, u) = x ¯ ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) = B x ¯ ∂u . . . . . . . . . ∂fn ∂fn ∂fn ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) x ¯ 8
- 9. Linéarisation par la tangente ∂g1 ∂g1 ∂g1 ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) x ¯ ∂g ∂g2 (¯, u) x ¯ ∂g2 (¯, u) x ¯ ... ∂g2 (¯, u) = C x ¯ (¯, u) = x ¯ ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂x . . . . . . . . . ∂gp ∂gp ∂gp ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) x ¯ ∂g1 ∂g1 ∂g1 ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) x ¯ ∂g ∂g2 (¯, u) x ¯ ∂g2 (¯, u) x ¯ ... ∂g2 (¯, u) = D x ¯ (¯, u) = x ¯ ∂u1 ∂u2 ∂ur ∂u . . . . . . . . . ∂gp ∂gp ∂gp ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) x ¯ 9
- 10. Résumé linéarisation par la tangente Analogique Discret x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k] linéaire Non y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k] x(t) = x(t) − x(t) ˜ ¯ x(k) = x(k) − x(k) ˜ ¯ y (t) = y(t) − y (t) ˜ ¯ y (k) = y(k) − y (k) ˜ ¯ Trajectoire nominale u(t) = u(t) − u(t) ˜ ¯ u(k) = u(k) − u(k) ˜ ¯ ˙ x (t) = f [¯ (t) , u (t)] ¯ x ¯ x (k + 1) = f [¯ (k) , u (k)] ¯ x ¯ y (t) = g [¯ (t) , u (t)] ¯ x ¯ y (k) = g [¯ (k) , u (k)] ¯ x ¯ fonctionnement ˙ ˙ x (t) = x = 0 ¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x ¯ ¯ ¯ ∀k Point de 0 = f [¯, u] x ¯ x = f [¯, u] ¯ x ¯ y = g [¯, u] ¯ x ¯ y = g [¯, u] ¯ x ¯ ˙ ∂f ∂f x (t) = ∂f x (t) + ∂u ˜ ∂x ˜ u (t) x (k + 1) = ∂f x (k) + ˜ ˜ ∂x ˜ ∂u u (k) ˜ linéarisé Modèle x,¯ ¯u x,¯ ¯u x,¯ ¯u x,¯ ¯u ∂g ∂g ∂g ∂g y (t) = ∂x ˜ x (t) + ∂x ˜ u (t) ˜ y (k) = ∂x ˜ x (k) + ∂x ˜ u (k) ˜ x,¯ ¯u x,¯ ¯u x,¯ ¯u x,¯ ¯u 10
- 11. Systèmes intrinsèquement linéaires Analogique Discret x (t) ˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k) y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k) x(t) = x(t) − x(t) ˜ ¯ x(k) = x(k) − x(k) ˜ ¯ y (t) = y(t) − y (t) ˜ ¯ y (k) = y(k) − y (k) ˜ ¯ u(t) = u(t) − u(t) ˜ ¯ u(k) = u(k) − u(k) ˜ ¯ fonctionnement ˙ ˙ x (t) = x = 0 ¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x ¯ ¯ ¯ ∀k Point de 0 = A¯ + B u x ¯ x = Φ¯ + Γ¯ ¯ x u y = C x + D¯ ¯ ¯ u y = C x + D¯ ¯ ¯ u {¯, x, y } = {0, 0, 0} u ¯ ¯ −1 x = −A−1 B u ¯ ¯ x = (I − Φ) ¯ Γ¯ u “linéarisé” ˙ x (t) ˜ = A˜ (t) + B u (t) ˜ x (k + 1) = Φ˜ (k) + Γ˜ (k) ˜ Modèle x x u y (t) ˜ = C x (t) + D˜ (t) ˜ u y (k) = C x (k) + D˜ (k) ˜ ˜ u 11
- 12. Sustentation: Linéarisation par la tangente Modèle physique 1 L F (x, i) = i2 2 (1 + x)2 m¨ = mg − F (x, i) x 1 L x=g− ¨ i2 2m (1 + x)2 Modèle d’état u = i, x1 = x x2 = x ˙ x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) 12
- 13. Sustentation: Linéarisation par la tangente Modèle d’état x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) Point de fonctionnement y = yo ¯ 0 = x2 ¯ 0=g− L 2m(1+¯1 ) x ¯2 2u y = x1 = yo ¯ ¯ 2mg u= ¯ (1 + yo ) L 13
- 14. Sustentation: Linéarisation par la tangente Modèle d’état non linéaire x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) Modèle linéarisé y = yo ¯ ∂f1 ∂f1 ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ∂f1 ˙ ∂u (¯, u) x ¯ x= ˜ x + ˜ ˜ u ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ∂u (¯, u) x ¯ ∂g1 ∂g1 ∂g1 y= ˜ ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ x+ ˜ ∂u (¯, u) u x ¯ ˜ 14
- 15. Sustentation: Linéarisation par la tangente Modèle d’état non linéaire x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) Modèle linéarisé y = yo ¯ 0 1 0 ˙ x= ˜ L¯2 x+ ˜ L¯ u ˜ u u m(1+¯1 )3 x 0 m(1+¯1 )2 x y= ˜ 1 0 ˜ x 15
- 16. Cuve de mélange: Modèle d’état u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ˙ S x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ˙ (t) y1 (t) = S x1 (t) 1 y (t) = x (t) 2 2 16
- 17. Cuve de mélange: Point de fonctionnement u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c x1 (t) x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K ˙ y1 (t) = S x1 (t) 1 S y (t) = x (t) x2 (t) = ˙ {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} 1 x1 (t) 2 2 0 = u1 + u2 − K x1 ¯ ¯ ¯ y1 = S x1 ¯ 1 ¯ S y =x ¯2 ¯2 0= 1 x1 ¯ {[c1 − x2 ] u1 + [c2 − x2 ] u2 } ¯ ¯ ¯ ¯ 17
- 18. Cuve de mélange: Modèle d’état linéarisé u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c ˙ ˜ x1 1 K x1 ¯ 0 ˜ x1 1 1 ˜ u1 ˙ =− 2 S + (c1 −¯2 ) (c2 −¯2 ) ˜ x2 ¯ x1 0 u1 + u2 ¯ ¯ ˜ x2 x1 ¯ x x1 ¯ x ˜ u2 2 3 2 3 a 0 4 1 1 5 4 5 0 b p q ˜ y1 1 0 ˜ x1 = S ˜ y2 0 1 ˜ x2 18
- 19. Résumé linéarisation par la tangente u Modèle d’état non linéaire y et stationnaire f [x, u] g [x, u] x u ˜ u Modèle d’état ˜ y y linéarisé A˜ + B u x ˜ − C x + D˜ ˜ u + ¯ u ¯ y 19
- 20. Linéarisation par contre-réaction u(t) Système y(t) MIMO x(t) u(t) Système w(t) Modèle inverse y(t) MIMO Globale Prix à payer: Besoin de l’état Pas toujours possible !
- 21. Sustentation: Modèle inverse Modèle physique 1 L F (x, i) = i2 2 (1 + x)2 m¨ = mg − F (x, i) x 1 L x=g− ¨ i2 2m (1 + x)2 Modèle d’état u = i, x1 = x x2 = x ˙ x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) 21
- 22. Sustentation: Modèle inverse Modèle d’état x1 = x = y x1 = x = x2 ˙ ˙ x2 = x = y = g − ˙ ¨ ¨ L 2m(1+x1 )2 u 2 y = x1 Modèle inverse y = x1 y = x1 = x2 ˙ ˙ y = x2 = g − ¨ ˙ 1 L 2m (1+x1 ) 2u 2 ≡w 2m(g − w) u= (1 + x1 ) L 22
- 23. Sustentation: Modèle inverse u(t) Système y(t) MIMO x(t) w(t) u(t) y(t) 2m(g − w) 1 L u= (1 + x1 ) y=g− ¨ u2 L 2m (1 + x)2 double intégrateur y=w ¨ w(t) 1 y(t) s2 23
- 24. 3.5 Découplage non linéaire u(t) Système y(t) MIMO 3.4 Linéarisation par x(t) contre-réaction u(t) w(t) Découpleur Système y(t) Modèle inverse MIMO Si le modèle inverse Intégrateurs existe w1 (t) Sous-système 1 y1 (t) . . r=p . wp (t) Sous-système r yp (t) 24
- 25. Cuve de mélange: Modèle inverse u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) y1 (t) = S x1 (t) ˙ 1 S y (t) = x (t) x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ˙ (t) 2 2 y1 (t) = 1 x1 (t) = 1 u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ≡ w1 (t) ˙ S ˙ S S y2 (t) = x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ≡ w2 (t) ˙ ˙ (t) 25
- 26. Cuve de mélange: Modèle inverse u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c y1 (t) = ˙ u1 (t) + u2 (t) − K x1S (t) S x1 (t) ˙ = ≡ w1 (t) 1 1 S y2 (t) = x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ≡ w2 (t) ˙ ˙ (t) u1 (t) = c2 −c1 [c2 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S 1 (t) − w2 (t)x1 (t) u2 (t) = 1 w2 (t)x1 (t) − [c1 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S (t) c2 −c1 26
- 27. Cuve de mélange: Modèle inverse u(t) Système y(t) MIMO x(t) x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ˙ w(t) u(t) S y(t) u1 (t) = 1 [c2 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S (t) − w2 (t)x1 (t) x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ˙ (t) c2 −c1 u (t) = 1 w2 (t)x1 (t) − [c1 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S (t) 2 c2 −c1 y1 (t) = S x1 (t) 1 y (t) = x (t) 2 2 Intégrateurs w1 (t) 1/ y1 (t) s w2 (t) 1/ y2 (t) s 27
- 28. Implantation discrète Intégrateurs w1 (t) 1/ y1 (t) s w2 (t) 1/ y2 (t) s yi (t) = wi (t) ˙ Φ = eAh = e0 = 1 h Aη h xi (t) = yi (t) Γ = 0 e dηB = 0 dηB = h xi (t) = 0xi (t) + 1wi (t) ˙ xi (k + 1) = xi (k) + hw(k) 28