Computer Methods for Engineering with MATLAB Applications Second Edition Jaluria

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COMPUTER METHODS
FOR ENGINEERING
WITH MATLAB®
APPLICATIONS
YOGESH JALURIA
SECOND EDITION
Computational and Physical Processes
in Mechanics and Thermal Sciences

Computer Methods for Engineering with MATLAB Applications Second Edition Jaluria

COMPUTER METHODS
FOR ENGINEERING
WITH MATLAB®
APPLICATIONS
SECOND EDITION
Computational and Physical Processes

Series in Computational and Physical Processes
A Series of Reference Books and Textbooks
Series Editors
W. J. Minkowycz
Mechanical and Industrial Engineering
University of Illinois at Chicago
Chicago, Illinois
E. M. Sparrow
Mechanical Engineering
University of Minnesota, Twin Cities
Minneapolis, Minnesota
Computer Methods for Engineering with MATLAB®
Applications, Second Edition,
Yogesh Jaluria
Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Suhas V. Patankar
Heat Conduction Using Green’s Functions, Second Edition, Kevin D. Cole, James V. Beck,
A. Haji-Sheikh, and Bahman Litkouhi
Numerical Heat Transfer, T.M. Shih
Finite Element Analysis in Heat Transfer, Gianni Comini, Stefano Del Guidice,
and Carlo Nonino
Computer Methods for Engineers, Yogesh Jaluria
Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Second Edition, John C. Tannehill,
Dale A. Anderson, and Richard H. Pletcher
Computational Grids, Graham F. Casey
Modern Computational Methods, Herbert A. Konig
The Intermediate Finite Element Method: Fluid Flow and Heat Transfer Applications,
Juan C. Henrich and Darrell W. Pepper
Modeling and Dynamics of Regenerative Heat Transfer, A. John Willmott
Computational Heat Transfer, Second Edition, Yogesh Jaluria and Kenneth Torrance
The Finite Element Method: Basic Concepts and Applications, Second Edition,
Darrell W. Pepper and Juan C. Heinrich
Computational Methods in Heat and Mass Transfer, Pradip Majumdar

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v
Contents
Preface to the Second Edition................................................................................. xiii
Preface to the First Edition.....................................................................................xvii
Author......................................................................................................................xxi
Chapter 1 Introduction...........................................................................................1
1.1 Introductory Remarks.
................................................................1
1.2 Numerical Solution.....................................................................4
1.3 Importance of Analytical Results.
..............................................6
1.4 Physical Considerations..............................................................9
1.5 Application of Computer Methods to Engineering
Problems...................................................................................13
1.6 Outline and Scope of the Book................................................15
1.6.1 Basic Features.............................................................15
1.6.2 Computer Programs.................................................... 16
1.6.3 Examples and Problems.............................................. 16
1.6.4 A Preview.................................................................... 17
Chapter 2 Basic Considerations in Computer Methods.......................................21
2.1 Introduction.............................................................................. 21
2.2 Computational Procedure.........................................................23
2.2.1 Method Selection.
........................................................23
2.2.2 Programming Language.
.............................................25
2.2.3 Computer System........................................................30
2.2.4 Program Development.
................................................ 31
2.2.4.1 Algorithm.................................................... 31
2.2.4.2 Available Programs.....................................34
2.2.4.3 Validation.
....................................................35
2.2.5 Serial versus Parallel Computing................................35
2.3 Numerical Errors and Accuracy.
..............................................38
2.3.1 Round-Off Error.
.........................................................40
2.3.2 Truncation Error..........................................................42
2.3.3 Accuracy of Numerical Results.
..................................45
2.3.4 Numerical Stability.....................................................46
2.4 Iterative Convergence...............................................................48
2.4.1 Conditions for Convergence........................................49
2.4.2 Rate of Convergence...................................................50
2.4.3 Termination of Iteration..............................................50

vi Contents
2.5 Numerical Parameters.............................................................. 51
2.5.1 Step Size......................................................................52
2.5.2 Convergence Criterion.
................................................52
2.5.3 Other Arbitrarily Chosen Variables............................53
2.6 Summary..................................................................................54
Problems..............................................................................................56
Chapter 3 A Review of MATLAB® Programming.............................................59
3.1 Introduction..............................................................................59
3.2 MATLAB® Environment.........................................................59
3.2.1 Basic Commands.........................................................59
3.2.2 Matrices....................................................................... 61
3.2.3 Arrays and Vectorization............................................62
3.2.4 Matrix Algebra............................................................63
3.2.5 Polynomials.................................................................65
3.2.6 Root Solving................................................................66
3.2.7 Linear Algebraic Equations........................................67
3.2.8 Curve Fitting...............................................................67
3.2.9 Flow Control.
...............................................................68
3.3 Ordinary Differential Equations..............................................70
3.4 Input/Output.............................................................................72
3.5 Script m-Files...........................................................................76
3.6 Function m-Files.......................................................................78
3.7 Plotting..................................................................................... 81
3.8 Summary..................................................................................82
Problems..............................................................................................83
Chapter 4 Taylor Series and Numerical Differentiation......................................85
4.1 Introduction..............................................................................85
4.2 Taylor Series.............................................................................86
4.2.1 Basic Features.............................................................86
4.2.2 Finite Difference Calculus..........................................87
4.3 Direct Approximation of Derivatives.......................................95
4.4 Taylor-Series Approach and Accuracy.....................................98
4.4.1 Finite Difference Approximation of the First
Derivative....................................................................98
4.4.2 Second Derivative.......................................................99
4.4.3 Higher-Order Derivatives.......................................... 101
4.4.4 Higher-Accuracy Approximations............................ 103
4.5 Polynomial Representation.
....................................................109
4.6 Partial Derivatives.................................................................. 112
4.7 Summary................................................................................ 117
Problems............................................................................................ 118

Contents vii
Chapter 5 Roots of Equations............................................................................ 121
5.1 Introduction............................................................................ 121
5.2 Search Method for Real Roots...............................................123
5.3 Bisection Method.
...................................................................130
5.4 Regula Falsi and Secant Methods.......................................... 133
5.4.1 Regula Falsi Method................................................. 133
5.4.2 Secant Method.
..........................................................134
5.5 Newton–Raphson Method and Modified
Newton’s Method.
...................................................................138
5.5.1 Newton–Raphson Method.
........................................138
5.5.2 Modified Newton’s Method....................................... 141
5.5.3 Convergence.............................................................. 142
5.6 Successive Substitution Method............................................. 147
5.7 Other Methods........................................................................150
5.7.1 Müller’s Method........................................................ 151
5.7.2 Iterative Factorization of Polynomials...................... 153
5.7.3 Graeffe’s Method....................................................... 158
5.7.4 Additional Methods...................................................160
5.8 Summary................................................................................ 162
Problems............................................................................................ 162
Chapter 6 Numerical Solution of Simultaneous Algebraic Equations.
.............. 171
6.1 Introduction............................................................................ 171
6.2 Gaussian Elimination............................................................. 174
6.2.1 Basic Approach......................................................... 174
6.2.2 Computational Procedure.
......................................... 175
6.2.3 Solution Accuracy..................................................... 178
6.2.3.1 Ill-Conditioned Set.................................... 179
6.2.3.2 Error Correction........................................ 179
6.2.3.3 Pivoting...................................................... 180
6.2.4 Matrix Inversion and Determinant Evaluation.
......... 180
6.2.5 Tridiagonal Systems.................................................. 181
6.3 Gauss–Jordan Elimination..................................................... 189
6.3.1 Mathematical Procedure........................................... 189
6.3.2 Computational Scheme.............................................190
6.4 Compact Methods.
..................................................................194
6.4.1 Matrix Decomposition..............................................194
6.4.2 Matrix Decomposition in MATLAB®......................196
6.4.3 Crout’s Method..........................................................197
6.5
Numerical Solution of Linear Systems by
Matrix Inversion.....................................................................201
6.5.1 Computational Procedure.
.........................................202
6.5.2 Additional Considerations.........................................204

viii Contents
6.6 Iterative Methods....................................................................206
6.6.1 Basic Approach.........................................................206
6.6.2 Jacobi and Gauss–Seidel Methods............................207
6.6.3 Convergence..............................................................208
6.6.4 An Example...............................................................209
6.6.5 Relaxation Methods.
.................................................. 210
6.7 Homogeneous Linear Equations............................................ 214
6.7.1 The Eigenvalue Problem........................................... 215
6.7.2 The Power Method....................................................220
6.7.2.1 Largest Eigenvalue.
....................................220
6.7.2.2 Smallest Eigenvalue................................... 221
6.7.2.3 Intermediate Eigenvalues..........................222
6.7.3 Other Methods.
..........................................................224
6.8 Solution of Simultaneous Nonlinear Equations.....................225
6.8.1 Newton–Raphson Method.
........................................226
6.8.2 Modified Jacobi and Gauss–Seidel Methods............227
6.8.3 Convergence..............................................................228
6.9 Summary................................................................................234
Problems............................................................................................235
Chapter 7 Numerical Curve Fitting and Interpolation.
......................................247
7.1 Introduction............................................................................247
7.1.1 Exact and Best Fit.
.....................................................247
7.1.2 Interpolation and Extrapolation................................249
7.1.3 Basic Approach.........................................................249
7.1.4 Use of MATLAB® Commands................................. 251
7.2 Exact Fit and Interpolation..................................................... 251
7.2.1 Exact Fit with an nth-Order Polynomial...................252
7.2.2 Uniformly Spaced Independent Variable..................255
7.3 Lagrange Interpolation...........................................................258
7.4
Newton’s Divided-Difference Interpolating Polynomial.......262
7.4.1 General Formulas......................................................263
7.4.2 Uniformly Spaced Data.............................................266
7.4.3 Extrapolation.............................................................268
7.5 Numerical Interpolation with Splines....................................272
7.6 Method of Least Squares for a Best Fit..................................278
7.6.1 Basic Considerations.................................................278
7.6.2 Linear Regression.
..................................................... 281
7.6.3 Best Fit with a Polynomial........................................283
7.6.4 Nonpolynomial Forms.
..............................................285
7.6.4.1 Linearization.
.............................................286
7.7 Function of Two or More Independent Variables...................293
7.7.1 Exact Fit....................................................................294
7.7.2 Best Fit......................................................................296

Contents ix
7.8 Summary................................................................................299
Problems............................................................................................300
Chapter 8 Numerical Integration.......................................................................307
8.1 Introduction............................................................................307
8.1.1 Engineering Examples..............................................309
8.2 Rectangular and Trapezoidal Rules for Integration............... 310
8.2.1 The Rectangular Rule............................................... 311
8.2.2 The Trapezoidal Rule................................................ 312
8.2.3 Truncation Error........................................................ 313
8.2.3.1 Rectangular Rule....................................... 315
8.2.3.2 Trapezoidal Rule........................................ 315
8.2.3.3 Total Error................................................. 316
8.2.3.4 Accuracy.................................................... 318
8.3 Simpson’s Rules for Numerical Integration.
...........................322
8.3.1 Simpson’s One-Third Rule........................................322
8.3.2 Simpson’s Three-Eighths Rule..................................324
8.3.3 Truncation Errors......................................................326
8.3.4 Use of MATLAB® Integration Commands.
..............330
8.4 Higher-Accuracy Methods..................................................... 332
8.4.1 Richardson Extrapolation.......................................... 332
8.4.2 Romberg Integration.................................................334
8.4.3 Higher-Order Newton–Cotes Formulas....................336
8.5 Integration with Segments of Unequal Width........................340
8.5.1 Unequally Spaced Data.............................................340
8.5.2 Adaptive Quadrature................................................. 341
8.5.3 Gauss Quadrature......................................................343
8.6 Numerical Integration of Improper Integrals.........................349
8.6.1 Integrals with Infinite Limits....................................350
8.6.2 Singular Integrand.
.................................................... 351
8.6.3 Multiple Integrals......................................................356
8.7 Summary................................................................................356
Problems............................................................................................ 357
Chapter 9 Numerical Solution of Ordinary Differential Equations.
..................365
9.1 Introduction............................................................................365
9.1.1 Initial and Boundary Value Problems.......................366
9.1.2 Reduction of Higher-Order Equations
to First-Order Equations.
...........................................366
9.1.3 Solution Methods......................................................369
9.2 Euler’s Method.......................................................................370
9.2.1 Computational Formula and Physical
Interpretation of the Method.....................................370

x Contents
9.2.2 Solution of a System of Equations.
............................372
9.2.3 Errors, Convergence, and Stability........................... 374
9.3 Improvements in Euler’s Method...........................................380
9.3.1 Heun’s Method..........................................................380
9.3.2 Modified Euler’s Method..........................................383
9.4 Runge–Kutta Methods.
...........................................................384
9.4.1 Computational Formulas...........................................386
9.4.2 Truncation Error and Accuracy.
................................389
9.4.3 System of Equations.................................................. 391
9.5 Multistep Methods..................................................................397
9.5.1 Adams Multistep Methods........................................397
9.5.2 Additional Considerations.........................................401
9.6 Predictor–Corrector Methods.
................................................401
9.6.1 Basic Features...........................................................402
9.6.2 Adams Method..........................................................403
9.6.3 Milne’s Method.........................................................404
9.6.4 Hamming’s Method.
..................................................405
9.6.5 Accuracy and Stability of Predictor–Corrector
Methods.....................................................................406
9.6.5.1 Truncation Errors.
......................................406
9.6.5.2 Step Size....................................................408
9.6.5.3 Stability.
.....................................................409
9.6.6 Simultaneous Equations............................................ 410
9.6.7 Concluding Remarks on Predictor–Corrector
Methods..................................................................... 410
9.7 Boundary-Value Problems...................................................... 416
9.7.1 Shooting Methods..................................................... 417
9.7.1.1 Linear Equations.
....................................... 419
9.7.2 Finite Difference Methods........................................420
9.7.3 Eigenvalue Problems.................................................423
9.8 Summary................................................................................430
Problems............................................................................................ 432
Chapter 10 Numerical Solution of Partial Differential Equations.
......................445
10.1 Introduction............................................................................445
10.1.1 Classification.............................................................445
10.1.2 Examples...................................................................446
10.1.3 Basic Considerations.................................................448
10.2 Parabolic PDEs.......................................................................449
10.2.1 Numerical Solution with an Explicit Scheme...........450
10.2.2 Stability of Euler’s (FTCS) Method.......................... 453
10.2.3 Implicit Methods.......................................................454
10.2.4 Other Methods and Considerations...........................456
10.2.5 Multidimensional Problems...................................... 458

Contents xi
10.3 Elliptic PDEs..........................................................................467
10.3.1 Finite Difference Approach.
......................................467
10.3.2 Numerical Solution by Iterative and
Direct Methods.
......................................................... 472
10.3.2.1 Point Relaxation.
........................................ 474
10.3.2.2 Direct Methods.......................................... 476
10.3.3 Other Methods.
.......................................................... 476
10.3.4 Other Geometries and Boundary Conditions.
...........477
10.3.5 Finite Element and Other Solution Methods.............480
10.4 Hyperbolic PDEs....................................................................489
10.4.1 Basic Aspects............................................................489
10.4.2 Method of Characteristics.........................................489
10.4.3 Finite Difference Methods........................................490
10.5 Summary................................................................................500
Problems............................................................................................502
Appendix A: Some Common Commands in MATLAB®.....................................509
Appendix B: Computer Programs in MATLAB®................................................. 513
Appendix C: Computer Programs in FORTRAN................................................. 553
References.............................................................................................................. 591

xiii
Preface to the Second Edition
Computer methods continue to be critical in the analysis, simulation, design and
optimization of engineering processes and systems. Computational approaches are
needed to solve the complex mathematical equations that typically arise in engineer-
ing problems, for correlating experimental data, and for obtaining numerical results
that are used for improving existing processes and developing new ones. The second
edition follows the basic ideas, discussions, approaches, and presentation employed
in the first edition. The focus is clearly on engineering processes and systems and on
the equations that characterize and describe these. Computer methods that are
employed to solve these equations and the nature and validity of the numerical results
obtained are discussed for a variety of problems. The main thrust is on the discussion
of the various numerical methods that are available for a given problem, on the pre-
sentation of the basic aspects of the methods, discussing their applicability, effi-
ciency and behavior, and then applying these to typical problems chosen from various
engineering disciplines.
Besides discussing the solution of different types of mathematical equations, a
large number of engineering examples and problems were chosen to present the
choice of the method, development of the numerical algorithm and use of the com-
puter to solve the problem. A systematic approach is followed to obtain physically
realistic, valid and accurate results through numerical modeling. Examples from
many different engineering areas are employed to explain the various elements
involved in the numerical solution and to make the presentation relevant and interest-
ing. Similarly, a large number of solved examples and exercises are included to sup-
plement the discussion and to illustrate the ideas and methods presented in the text.
The book continues the thinking that the basic purpose of the computational approach
is to provide physical insight and to obtain inputs for analysis and design of practical
systems. Thus, the solution methodology is linked to both the computer and to the
fundamental nature of the problem to allow the student to appreciate the basic aspects
of the numerical approach.
The book is appropriate as a textbook for engineering undergraduate courses
on computer methods at the sophomore or junior levels. Because the background
of students at the sophomore level may not be sufficient for some of the topics
covered, such as partial differential equations, a few such topics may be avoided
for sophomore students and may be included in the junior or senior courses. The
book is also appropriate as a reference on computational methods for various
other basic and applied undergraduate courses in mechanical engineering and in
other engineering disciplines. The book will also be useful as a reference for
engineers who are interested in using computer methods for analysis, simulation,
design, or data analysis.

xiv Preface to the Second Edition
The second edition is a substantially revised and updated version of the earlier
book. Recent advances in available computational facilities, both in software and
in hardware, are included. In several places, the presentation has been simplified
and clarified to make it easier to follow. Certainly, the main difference from the
first
edition is the extensive use of MATLAB®, instead of a high-level programming
language like Fortran, for numerical modeling. This is done in view of the current
trend in engineering education where MATLAB has emerged as the dominant
environment for the numerical solution of basic mathematical equations. Much of
the discussion on computer solution is thus directed at MATLAB and a large num-
ber of MATLAB commands and programs are given in the text, as well as in the
Appendix, in order to facilitate the presentation as well as to provide ready access
to MATLAB programs for solving exercises given in the text and other similar
problems. In many cases, the programs are focused on the example or problem
being considered, in order to encourage the readers to develop their own computer
programs for specific problems. However, the programs can be easily modified for
different circumstances and parameters. Available MATLAB functions and com-
mands are frequently employed to generate results that can be used for compari-
sons with the results obtained from more detailed and versatile programs. Fortran
has not been abandoned because of its continued importance in engineering and
the existence of substantial software in Fortran for many complex problems.
Several important Fortran programs are included in the Appendix to illustrate the
ease with which one could go from one computational environment or language to
another and to allow those interested in Fortran to use these for their specific prob-
lems. Additional exercises and examples are included in all the chapters. References
have been added on new topics included in the book and references in the first edi-
tion have been updated.
The methods, discussions, and computer programs presented in this textbook are
the result of many years of teaching computer methods to engineering undergraduate
students, in required as well as elective courses. The inputs from many colleagues
and graduate students, as well as undergraduate students, who took the courses from
me, have been valuable in selecting the topics, the depth of coverage, the computer
programs presented here and many other aspects related to computer methods for
solving engineering problems. Inputs from those who have used the first edition in
their courses, particularly from Professor Wally Minkowycz, have been particularly
valuable. The support and assistance provided by the editorial staff of Taylor
Francis, particularly by Jessica Vakili and Jonathan Plant, have been valuable in the
development of the second edition.
The book would never have been completed without the strong support and
encouragement of my wife, Anuradha. Our children, Ankur, Aseem, and Pratik, as
well as Pratik’s wife Leslie and son Vyan, have also been sources of inspiration and
encouragement for me and have contributed in their own way to my efforts over the
years. I greatly appreciate the patience and understanding of my family that made it
possible for me to spend extensive periods of time on the book.

Preface to the Second Edition xv
MATLAB® is a registered trademark of The MathWorks, Inc. For product informa-
tion, please contact:
The MathWorks, Inc.
3 Apple Hill Drive
Natick, MA 01760-2098 USA
Tel: 508 647 7000
Fax: 508-647-7001
E-mail: info@mathworks.com
Web: www.mathworks.com

xvii
Preface to the First Edition
The use of computational methods in the analysis and simulation of engineering
processes and systems has grown tremendously over recent years. Increasing national
and international competition has made it imperative to improve existing facilities
and to develop new ones for a wide variety of applications. Because of the constraints
imposed on detailed experimentation needed for design and optimization of systems,
due to excessive time, manpower, and financial requirements, computer simulation is
extensively employed to obtain the desired information. Analytical methods are gen-
erally very restrictive in their applicability to practical problems, and numerical
methods are usually necessary. In addition to the growing need for numerical solu-
tions to engineering problems, we have also seen substantial improvements in the
computational facilities available, both in software and in hardware, over the last
decade. All of these changes have made it more important than ever for engineers
and engineering students to develop expertise in numerical methods and to use them
for solving problems of practical interest.
In recognition of the growing importance of computer methods in engineering,
many courses in engineering curricula now include the numerical solution of engi-
neering problems on the basis of numerical analysis taught earlier at the sophomore
or junior level. Generally, engineering students are first exposed to the computational
procedure through a course on programming, frequently employing Fortran as the
programming language. Numerical methods are then taught at a later stage to intro-
duce the basic concepts of numerical analysis and to allow the students to numerically
solve important mathematical problems such as integration, matrix inversion, root
solving, and solution of differential equations. However, since the basic purpose of the
computational approach is to provide physical insight and to obtain valuable informa-
tion for the analysis and design of practical systems, such courses have been inte-
grated into the engineering curricula at most universities. This implies that the solution
methodology is coupled with the computer on one hand and with the physical or
chemical nature of the problem on the other. The numerical procedure, as well as the
results, are considered in terms of actual problems to permit the student to develop a
physical feel for the numerical approach to engineering problems.
Traditionally, numerical analysis courses have been mathematically oriented.
Although this orientation brings in some very important and fundamental aspects of
numerical analysis, it lacks in the application of the methodology to actual problems.
It is extremely important to integrate the basic understanding of the methods with
their actual use on the computer. Unless the students learn to choose and implement a
computational scheme on the computers available, they will not develop a satisfactory
appreciation or understanding of the numerical technique. In addition, recent advances
in computational facilities, such as structured programming, interactive computer
usage, and graphics output, must be introduced so that the most efficient procedure is

xviii Preface to the First Edition
adopted for a given problem. The incorporation of problems derived from various
engineering disciplines aids in this learning process and also makes it interesting and
enjoyable. In addition, it reinforces the important point that the physical or chemical
background of the given problem forms an important element in the selection of the
method and in the evaluation of the accuracy of the results obtained.
This book, directed at computer methods for engineering, integrates the treatment
of numerical analysis with the physical background of the problems being solved and
with the implementation of the methods on available computers, employing several
recent advances in this field. Although a large number of books are available on
numerical analysis, not many satisfactorily discuss the implementation of the method-
ology on the computer, and even fewer discuss the implications of the physical nature
of the problem in the numerical solution. This book recognizes the need for a satisfac-
tory incorporation of these concepts into the mathematical treatment of numerical
analysis. It couples numerical methods for a variety of mathematical problems with
the use of these methods for the solution of engineering problems on the computer.
Numerical methods for important mathematical operations, such as integration,
differentiation, root solving, and solution of algebraic systems, are discussed in
detail. The solution of differential equations, both ordinary and partial, is presented.
Curve fitting, which is an important consideration in engineering problems, is also
discussed. A large number of problems from basic sciences and various engineering
disciplines are chosen to illustrate the use of these methods. The problems chosen
are relatively simple so that they can easily be understood by students at the sopho-
more/junior level. However, in several cases, the basic background of the problem is
outlined so as to bring the important points into proper focus. The importance of the
physical or chemical background of the problem in the selection of the method, the
choice of numerical parameters, the estimation of the accuracy of the results, and the
overall validity of the results is discussed. The book mainly uses Fortran 77 to dem-
onstrate the implementation of the numerical methods on the computer, because of
the overwhelming importance of this language in engineering applications. However,
a few programs in Basic are also given to bring out the similarities between the two
languages and the ease with which one may switch from one to the other. A discus-
sion of other languages and important aspects in computational procedure is included.
A large number of examples, with the corresponding programs, are given. The pro-
grams are written specifically for these examples, so that the students must develop
their own programs for the large number of problems given at the end of the chapters.
Several important features that are currently employed in computational procedure
are demonstrated in these programs. Recent trends in this area are outlined, and their
significance for engineering applications is discussed. The students are strongly
encouraged in every way to develop their own computer programs, since this is an
essential ingredient for learning computer methods.
Most of the material covered in this book has been employed by the author for
courses at the sophomore and junior levels. Since the background of students at the
sophomore level may not be sufficient for some of the topics covered, such as partial
differential equations, this particular topic and a few sections marked with an asterisk
may be avoided by sophomore students. The book can also be used at the senior level,
if such a course is included in the curriculum at this level. The material included is

Preface to the First Edition xix
quite adequate for a one-semester course. However, the best time to teach this course
is probably at the junior level, so that the students can fully understand the material
and then use it in courses taught at higher levels. The book is also appropriate for
professional engineers in various disciplines and as a reference for courses that
employ computational methods as an important element in the presentation. The
book considers problems from diverse engineering applications, and the treatment is
at a level appropriate for engineering students of all disciplines.
I owe tremendous gratitude to several colleagues and students who have contrib-
uted to my understanding and enjoyment of computational methods for engineering
applications. First, I would like to thank Dr. Frank Kreith, who suggested that I write
this book and contributed several very valuable suggestions on the presentation.
I would also like to acknowledge several stimulating and interesting discussions on
the subject with Professors Dave Briggs and Abdel Zebib. Professor Samuel Temkin
provided me with tremendous support and encouragement. Dr. M. V. Karwe helped
with the numerical solution of some problems. Also of considerable value was the
support provided by the staff of Allyn and Bacon, Inc., particularly by Ray Short.
The manuscript and its several versions were typed with great patience and compe-
tence by Diane Belford and Lynn Ruggiero.
I would like to dedicate this book to my parents, who have always encouraged,
supported, and inspired me to strive for the best I could achieve. The greatest contri-
butions to this effort have been the encouragement and support of my wife, Anuradha,
and of our children, Pratik, Aseem, and Ankur, who had to bear long hours that kept
me away, working on this book, with patience and understanding.
The author extends special thanks to the following reviewers whose contributions
have enriched the text: Professor Clayton Crowe, Washington State University;
Professor Rodney W. Douglass, University of Nebraska; Professor S. V. Patankar,
University of Minnesota; Dr. James F. Welty, U.S. Department of Energy.

xxi
Author
Yogesh Jaluria is currently a board of governors professor at Rutgers, the State
University of New Jersey, New Brunswick, New Jersey, and the chairman of the
Mechanical and Aerospace Engineering Department. He received his BS from the
Indian Institute of Technology (IIT), Delhi, India, and his MS and PhD in mechani-
cal engineering from Cornell University. He worked at Bell Labs and at IIT, Kanpur,
before joining Rutgers University in 1980.
Professor Jaluria has contributed more than 450 technical articles, including over
170 in archival journals and 16 chapters in books. He has two patents in materials
processing and is the author/coauthor of seven books. He is also editor/coeditor of 13
conference proceedings, two books, and three special issues of archival journals.
Professor Jaluria received the prestigious 2007 Kern Award from the American
Society of Chemical Engineers (AIChE), the 2003 Robert Henry Thurston Lecture
Award from the American Society of Mechanical Engineers (ASME), and the 2002
Max Jakob Memorial Award, the highest international recognition for eminent
achievement in the field of heat transfer, from ASME and the AIChE.
In 2001, he was named a board of governors professor of mechanical and aero-
space engineering at Rutgers University. He received the 2000 Freeman Scholar
Award for work on fluid flow in materials processing, the 1999 Worcester Reed
Warner Medal for extensive contributions to the engineering literature, and the 1995
Heat Transfer Memorial Award for significant research contributions to the science
of heat transfer, all from ASME. He served as the chair of the Heat Transfer Division
of ASME during 2002–2003. He was the editor of the ASME Journal of Heat
Transfer, the preeminent publication in this field, during 2005–2010, and is on the
editorial boards of several international journals.

1
1 Introduction
1.1
INTRODUCTORY REMARKS
Over the past three decades, there has been a tremendous increase in the use of

computers for engineering problems. This increase has been mainly due to the

growing need to optimize systems and processes in order to raise productivity and
reduce costs. With increasing worldwide competition, it has become necessary to
modernize existing engineering facilities and develop new ones through analysis and
design. Consequently, we have seen a considerable improvement in engineering

systems, particularly those related to electronic circuitry, materials processing,

biotechnology, transportation, and energy generation. The concern with safety,
including homeland security, and with our environment has also led to detailed
investigations of existing engineering processes and to substantial improvements in
many of these to reduce the impact on our environment and to make their use safer.
Because of the complexities involved in most engineering applications, analytical
methods based on mathematical techniques are usually unable to provide a solution
to the equations that characterize their behavior, and computational methods are
needed to obtain quantitative information on physical quantities of interest. Even
though analytical solutions are obtained in a few simple cases, the form of the

solution itself may be quite involved, since the results are frequently expressed as a
series or in terms of integrals and complex functions. In such cases, the computer is
needed to extract the desired information from the analytical solution. Also, the
problem may have to be solved several times with different sets of data, making it
advantageous to use the computer rather than analytical methods.
There has also been a phenomenal increase in the availability of computers over
the recent years. With the advent of microcomputers, such as personal computers
(PCs), computational facilities have become widely available. The computational
power available has also increased dramatically in individual, single-processor,
machines, or serial computers, as well as in linked multiple machines or processors
that result in a parallel computing cluster. There is every indication that these trends
will continue, making computers even more accessible and powerful. Although most
practical engineering problems still require larger and faster computers (such as
supercomputers, minicomputers, or parallel computing systems), microcomputers
do allow the solution of many common problems and are also useful in testing
numerical procedures that may subsequently be employed on larger or parallel
machines. The availability of a wide variety of microprocessors has also
substantially
affected the control and operation of systems through automation and expanded the
reach of computational software.
Along with the revolution in computer hardware, there has inevitably been one in the
available software as well, making the use of computers for scientific and
engineering

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peut-être, si l'héritier, par un coup de vigueur, n'eût fait appel au
peuple même, et, revenant à main armée, n'eut pris possession de
son père et de ses États.
M. de Chièvres, petit-fils d'Antoine de Croy, n'entra pas dans une
voie tellement excentrique et dangereuse. Au lieu de frustrer
l'héritier de telle ou telle possession, il prit l'héritier même, c'est-à-
dire qu'il prit tout. Il ne combattit pas Charles le Téméraire, mais le
refit. Charles Quint, son élève, fut laborieusement, sagement élevé
par lui dans la folie de l'autre. Les visions de monarchie universelle,
étranges et romanesques pour un duc de Bourgogne, semblaient
l'être bien moins pour celui en qui la fortune unissait les Espagnes,
les Pays-Bas, les États autrichiens. Le rêve de Pyrrhus et de
Picrochole, ce n'était plus un rêve; il se trouvait déjà plus qu'à demi
réalisé par ce caprice du sort. L'Empire ne pouvait guère manquer à
un petit-fils de Maximilien, maître de tant d'États. Charlemagne,
agrandi, revenait pour l'Europe. Le monde allait reprendre l'unité et
la paix du grand empire romain. Que fallait-il pour cela? Rien que
briser la France, la démembrer si l'on pouvait, briser l'une par l'autre
l'Espagne et l'Allemagne. Mais le succès était certain, écrit déjà la
devise prophétique du sage fondateur de la maison d'Autriche,
l'empereur Frédéric III: A. E. I. O. U. (Austriæ est imperare orbi
universo).
Pour cela, il fallait de grands travaux, de la suite, de l'application.
De Chièvres plia son élève, qui aurait tenu de Maximilien pour les
exercices du corps, à une vie de scribe et d'homme d'affaires, que
les princes n'avaient guère alors. Il lui inculqua surtout cette haute
qualité du politique, la froideur d'un cœur sec, étranger aux
sentiments d'homme. La grandeur des Croy s'était faite par
l'ingratitude. L'ingratitude encore fut un moyen. Le jeune prince,
tenu par de Chièvres dans une taciturnité sournoise pour une tante
qui lui servait de mère, la mit de côté un matin.
Ce qui fut le plus fort, c'est que la gouvernante déchue fut tout à
coup négligée au point qu'on remit de jour en jour à régler sa

pension. Elle s'en plaint dans une belle et longue lettre adressée au
conseil, où elle rend compte de son administration. Pièce fort
honorable pour sa mémoire, qui touchera la postérité et ces Français
qu'elle hait tant, plus que ce fils d'adoption pour qui elle a tant
travaillé.
Les premiers actes du jeune prince sont de même caractère. On y
sent un esprit très-libre de tous les sentiments de la nature. Ce sont
deux traités avec la France contre ses deux grands-pères. Dans le
premier (1515), se défiant de Ferdinand, il l'abandonne et s'engage
à ne pas le secourir si, dans six mois, il n'a pas rendu la Navarre.
Dans le second traité (1516), il trouve bon que François Ier
, pour
défendre Venise, fasse la guerre à Maximilien.
CHAPITRE XIV
FRANÇOIS Ier
1512-1514
C'est luy que ciel, et terre, et mer contemple...
La terre a joie, le voyant revestu
D'une beauté qui n'a point de semblable.
La mer, devant son pouvoir redoutable,
Douce se rend, connoissant sa bonté.
Le ciel s'abaisse, et, par amour dompté,
Vient admirer et voir le personnage
Dont on luy a tant de vertus conté.
C'est luy qui a grâce et parler de maître,
Digne d'avoir sur tous droit et puissance,
Qui, sans nommer, se peut assez connoître.
C'est luy qui a de tout la connoissance...
De sa beauté il est blanc et vermeil,

Les cheveux bruns, de grande et belle taille
En terre il est comme au ciel le soleil.
Hardi, vaillant, sage et preux en bataille,
Il est benin, doux, humble en sa grandeur.
Fort et puissant, et plein de patience,
Soit en prison, en tristesse et malheur...
Il a de Dieu la parfaite science...
Bref, luy tout seul est digne d'être roy.
Racine, dans l'élégance incomparable de sa Bérénice, semble avoir
imité ces vers pour les appliquer à Louis XIV. Mais sa noble poésie
nous touche moins, nous l'avouons, que l'effusion passionnée qu'on
vient de lire. Le pauvre cœur de femme (l'auteur est Marguerite),
dans l'impuissance de son gaulois naïf, appelle la terre, la mer, le ciel
à son secours, prie toute la nature de parler à sa place et de l'aider à
proclamer la divinité de l'objet aimé.
Ce portrait si ému du prisonnier de Pavie paraît avoir été rimé par
Marguerite dans le triste voyage qu'elle fit pour délivrer son frère. La
pièce est intitulée le Coche, et, en effet, la reine était dans sa
voiture, cheminant lentement vers les Pyrénées; elle voulait tromper
son impatience; les pensées d'un autre âge et tous les souvenirs
d'enfance se réveillèrent, et elle écrivit ces vers touchants. Le sujet
est un débat d'amour sur cette thèse: Quelle femme aime le mieux?
Marguerite prend son frère pour juge.
Dans la réalité, ce bien-aimé de la nature reçut d'elle tout ce que
Louis XIV acquit et se donna par une attention persévérante. Louis
XIV devint majestueux; mais François Ier
, tout naturellement,
imposait par sa stature superbe, qui dépassait à peu près de la tête
celle du grand roi. L'armure de Marignan et de Pavie, toute faussée
qu'elle est de coups de feu et de coups de piques, témoigne de
l'effet que dut produire ce magnifique homme d'armes.
Contraste parfait avec Charles-Quint, tellement dénué de ces
avantages physiques. Pâle figure d'études et de labeur, instruit,

disert, mais mauvais écrivain, harangueur calculé, sans grâce.
L'autre fut la grâce même, parleur charmant, facile, trop facile, pour
qui la parole fut chose légère. Même les bouts-rimés (sur Laure,
Agnès ou Marguerite), que son diamant fantasque laissa aux vitres
de Chambord, ne sont pas trop indignes d'un petit-fils de Charles
d'Orléans. Les beaux vers de ses successeurs, Henri II, Charles IX,
sentent bien les faiseurs de cour qui les auront aidés. Ce sont des
vers d'hommes de lettres. Ceux de François Ier
, légers caprices du
roi qui se joua de tout, sont la pensée naïve, l'épigraphe de la
Renaissance:
Gentille Agnès, plus d'honneur tu mérites
(La cause étant de France recouvrer)
Que ce que peut dedans un cloître ouvrer
Close nonnain ou bien dévot hermite.
Ces vers-là contiennent toute son éducation, toute sa politique.
Les femmes, la guerre,—la guerre pour plaire aux femmes. Il
procéda d'elles entièrement. Les femmes le firent tout ce qu'il fut, et
le défirent aussi.
La tradition d'Agnès et de la cour de Charles VII, fort arrangée
alors par la légende romanesque, enveloppait François Ier
. Son
gouverneur, Artus Gouffier, était fils du gouverneur de Charles VIII,
qui, dans sa première jeunesse, avait été valet de chambre de
Charles VII, de sorte que l'enfant fut bercé de ces souvenirs et de la
Dame de beauté et de la cour du roi René, de la vie molle et
voyageuse où les rois vivaient, en ces temps, de château en
château. Ajoutez-y le récit éternel des affaires d'Italie, où Gouffier
avait suivi Charles VIII et Louis XII, Fornoue, Agnadel et Ravenne,
les belles femmes venant au-devant des vainqueurs, les voluptés de
Naples. Ce paradis était au roi s'il savait le reprendre. Le tout orné
du Boiardo, de Roland, d'Angélique.
Les dames, les combats, les nobles cavaliers...

Voilà ce que le complaisant gouverneur contait à son disciple dans
ces chevauchées nonchalantes aux interminables circuits de la
Charente, ou suivant le cours fortuit de la trompeuse Loire, qui vous
égare en s'égarant. Les portraits du jeune homme (point hâbleurs,
point ridés de mensonge et de ruse, comme celui du Titien) sont
d'un grand garçon pâle, un peu fluet et fade, mais qui bientôt va
prendre une suprême fleur de force et de beauté. Dans l'émail
italien, elle est atteinte, et véritablement incomparable, l'achèvement
de la forme humaine, majestueuse et pure, avec un caractère de
douceur, de bonté royale, qui disparut bientôt.
Ce dangereux objet, qui devait tromper tout le monde, naquit, on
peut le dire, entre deux femmes prosternées, sa mère, sa sœur, et
telles elles restèrent dans cette extase de culte et de dévotion.
Louise de Savoie, veuve dès dix-huit ans, l'aimait comme un fils de
l'amour, et plusieurs croyaient, en effet, que la galante dame, âpre,
violente, audacieuse dans ses passades, ne s'en fia pas à son
insignifiant époux pour concevoir un dieu. Elle mit sur cette tête
toute l'ambition de sa vie, ambition condamnée au silence, à
l'attente, aux vœux meurtriers, tant que vécut Anne de Bretagne.
Celle-ci la sentait qui, à chaque couche, faisait l'office de la mauvaise
fée, les doigts serrés, et la reine accouchait d'un mort. Anne l'eût
voulue hors du royaume. Elle se tenait comme cachée avec ses
enfants à Amboise, bien près de Blois, où était Anne; ou, quand
Anne était trop furieuse, à Cognac, dans une simple maison
d'Angoulême que je vois encore.
Quel était l'intérieur des châteaux de Cognac, d'Amboise, où se
faisait l'éducation? Ce qu'on en sait, c'est que Louise avait des
dames, aussi bien qu'Anne, mais beaucoup moins sévères. La petite
cour, entourant un enfant, ne put qu'avoir sur lui la plus détestable
influence. Le livre favori du temps, le petit Jehan de Saintré, fut très-
probablement le guide de Louise. Tendre et peu scrupuleuse, elle
ferma les yeux.

Une chose pouvait neutraliser ce libertinage d'enfant, c'était un
véritable amour. On ne peut nommer autrement la passion éperdue
de Marguerite pour son frère. Elle avait deux ans de plus, et dix ans
en réalité; la jeune sœur, pour celui qu'elle vit naître, qu'elle
enveloppa tout d'abord de son instinct précoce, fut la mère, la
maîtresse, la petite femme, dans les jeux enfantins; à grand'peine
fut-elle avertie qu'après tout elle était sa sœur. Cette passion fut,
n'en doutons pas, l'événement décisif, capital, de François Ier
; il lui
dut ce qu'il eut de grâce et ce qui séduit encore la postérité.
Marguerite, la vraie Marguerite, la perle des Valois (née d'une perle
qu'avala sa mère, c'est la légende), esprit charmant et pur, si le
temps grossier l'eût permis, était née pour l'amour céleste, comme
l'a dit Rabelais dans ses vers.
Elle avait été élevée par une dame accomplie, madame de
Châtillon, remariée secrètement au cardinal Jean du Bellay, ami du
grand Pantagruel et le meilleur conseiller qu'ait eu François Ier
.
Marguerite, par cette influence, fut préparée à un beau rôle, celui de
protectrice de tous les esprits libres. Elle l'a rempli, autant qu'il fut
en elle, comme une femme craintive, sans doute, dépendante d'un
frère qui fut fort dur pour elle. Femme de plus très-peu protestante,
plutôt philosophe ou mystique, flottant de l'audace à la peur, de
l'amour à l'amour de Dieu. N'importe, souvenons-nous toujours de
cette douce reine de Navarre, près de laquelle les nôtres, fuyant les
cachots et les flammes, trouvèrent sûreté, honneur et amitié. Notre
éternelle reconnaissance vous restera, mère aimable de la
Renaissance, dont le foyer fut celui de nos saints, dont le giron
charmant fut le nid de la Liberté.
Cette passion, née au berceau, fut son malheur, la fatalité de sa
vie, et ses vers ne le révèlent que trop. L'idole, en ce luxurieux
berceau des grosses vignes de la Charente (qui ne sont qu'ivresse,
alcool), sous cette molle éducation des femmes poitevines
(stigmatisée dans les nourrices impudiques de Gargantua), eut l'âme
matérielle en naissant. Sous l'homme et l'enfant même, il y eut le
faune et le satyre. Sa sœur put influer sur lui, mais en restant de

moins en moins sa sœur. Et nous verrons à quelle extrémité il
poussa la faiblesse de ce trop tendre cœur.
Ce qui, sans nul doute, exaltait la passion inquiète de la mère et
de la sœur, c'étaient les frayeurs continuelles que leur donnait son
caractère fougueux, les jeux violents et dangereux qu'il partageait
avec ses camarades, spécialement avec l'étourdi Bonnivet, fils de
son gouverneur. À six ans, nous le voyons en danger de mort,
emporté par un cheval qu'on ne pouvait arrêter, plus tard blessé,
une autre fois malade d'excès précoces, plus tard encore (alors il
était roi), violemment frappé à la tête dans un assaut d'espiègles. Il
eut le bon sens généreux de ne jamais dire qui l'avait frappé.
Ses chasses étaient audacieuses, et il se jouait de la mort. Une
fois, un cerf lui mit son bois dessous et l'enleva de selle, sans qu'il
parût ému. Une autre fois, il trouva amusant de lâcher dans la cour
d'Amboise un sanglier furieux qu'il venait de prendre. L'animal heurte
aux portes, en enfonce une, et monte dans les appartements. On
s'enfuit; lui, très-froidement, il lui va au-devant, lui plonge l'épée
jusqu'à la garde; le monstre roule, et, par les degrés, retombe
expirant dans la cour.
Ces actes de vigueur, joints à sa grâce, à sa facilité, cette faculté
française qu'a l'ignorant de savoir toute chose, faisaient croire (bien
à la légère) qu'on allait avoir un grand roi. La nation n'en savait pas
plus. Elle aimait son image. Brave, hâbleur, libertin, il lui manquait
fort peu pour remplir l'idéal d'alors.
On fut ravi de son mariage. Le lendemain de la mort du tyran (je
veux dire d'Anne de Bretagne), Louis XII, enfin libre, donne sa fille à
un Français, ferme la porte à l'étranger. Charles-Quint n'aura pas la
France. Sa joie fut vraie, sincère. La liberté qu'elle pouvait
comprendre, c'était d'avoir un roi français.
Et il fut salué de l'Italie, comme de la France. L'Italie haletait; elle
n'en pouvait plus; l'horreur indéfinie du pillage éternel des bandes

suisses, des armées espagnoles, ce jeu atroce de diables et de
damnés, se relayant pour les tortures, avait poussé le peuple au
dernier désespoir. Maximilien Sforza, maître des pays les plus riches
de la riche Lombardie, pleure dans ses dépêches, et porte envie aux
mendiants. La peur des Espagnols et des Français l'a fait valet des
Suisses. Mais comment satisfaire ce sauvage torrent qui court
incessamment des Alpes, amenant chaque jour au banquet de
nouveaux affamés? Comment soûler ces ours, réveillés au printemps
par un jeûne de six mois d'hiver? Les Suisses, ivres, cruels, sont
regrettés encore par les infortunés sur qui tombent les Espagnols,
bourreaux sobres, qui gardent dans leur férocité un calme
diabolique, une froide et implacable présence d'esprit.
François Ier
, n'ayant changé qu'un seul des ministres de Louis XII,
continuant sa politique, gagnant le gouvernement du jeune Charles
et profitant de ses embarras prochains pour la succession d'Espagne,
contentant Henri VIII par l'appât d'un traité d'argent, est libre d'agir
contre les Suisses, contre Maximilien et les restes de l'armée
d'Espagne, qui végètent en Italie. Venise, ruinée par la France,
n'espère cependant qu'en la France. Florence, sous les Médicis, ne
peut parler; mais son silence parle.
«J'irai, soyez-en sûrs, dit le jeune roi aux Italiens, je veux vaincre
ou périr!»
CHAPITRE XV
MARIGNAN
1515
Les réveils et les renouvellements subits, imprévus, de la France,
sont des miracles inconnus à toutes les nations du monde. Le temps

et la tradition, ces deux chaînes de l'humanité, la France les brise à
chaque instant. L'art que souhaitait Thémistocle, l'art d'oublier, c'est
sa nature à elle. Mais rarement c'est somnolence; bien plus souvent
c'est au contraire un élan d'activité nouvelle qui l'éloigne violemment
du passé.
Plus qu'aucun autre, ce peuple très-chrétien a fait l'Église; mais
c'est lui qui, plus qu'aucun autre, l'a défaite, par les Albigeois, par
Calvin, par la Renaissance, par la Révolution française. C'est lui qui
fait la croisade, et lui qui a dressé le bûcher où périt la croisade,
avec l'ordre des Templiers. C'est lui qui donna le type des institutions
féodales, lui qui fonda en face leur destructeur, la bourgeoisie.
Au point où nous arrivons, la France encore va détruire une de ses
vieilles œuvres. Chevalerie, gendarmerie, vieille organisation
militaire, tout cela s'en va ensemble; le peuple, dans l'infanterie, a
fait son apparition sur le champ de Ravenne. Et c'est lui qui opère,
en 1515, le grand passage des Alpes.
Révolution européenne, et qui appartient à la France. L'Angleterre
eut ses fantassins, à Poitiers, à Azincourt, et pourtant elle ne créa
pas une tradition d'infanterie. L'Espagne eut ses fantassins, sous
Charles-Quint, Philippe II, et jusqu'à Rocroi; cette tradition
commencée s'arrête au XVIIe
siècle. Mais la France, dès Charles VIII,
par ses Gascons et ses Bretons, dès Louis XII, par ses Picards et
autres Français du Nord, sous François Ier
, par l'institution des
légions provinciales, commença une tradition durable qui se
perpétue jusqu'à nous.
Dans la courte et foudroyante campagne de Gaston de Foix, on
entrevit le Français comme premier marcheur du monde; c'est dire,
éminemment soldat. Au premier passage des Alpes, sous François
Ier
, on le vit comme le grand, l'admirable ouvrier de guerre (qu'a
décrit le général Foy dans les guerres de la Péninsule), improvisant
de ses mains, de sa brûlante activité, mille moyens subits, inconnus,
sachant tout à coup, au jour du péril, les arts qu'il n'apprit jamais,

frayante des voies inattendues par les abîmes où le chasseur ne se
hasardait qu'en tremblant, légitime conquérant des Alpes, roi des
monts qu'il sait seul franchir.
Jamais les autres nations, Allemands, Suisses, Italiens, Espagnols,
n'ont deviné par où les Français allaient passer: toujours, ils ont été
surpris.
Les Piémontais et Autrichiens gardaient les Alpes et la Corniche;
Bonaparte passe à Albenga, au défaut des montagnes entre les
Alpes et l'Apennin. Chemin trop facile, a-t-on dit; mais s'il était le
plus facile, c'est celui qu'il fallait garder.
De même au passage du grand Saint-Bernard, on s'écria que,
cette fois, on ne pouvait s'y attendre. La voie était trop difficile; un
fort pouvait arrêter tout. Le fort de Bard faillit faire manquer toute
l'entreprise. L'armée passa furtivement, par un tour de force inouï,
que pouvait faire seul le bras de la France, cinquante mille hommes
se trouvèrent passés en bonne fortune de l'autre côté des monts.
Mais ce miraculeux passage l'est moins que celui de 1515, exécuté
avec les moyens tellement inférieurs de l'époque, et par une voie,
après tout, moins frayée encore. L'artillerie était beaucoup plus
pesante alors, et le génie n'était pas né. Le passage fut si rapide, si
brusque et si inattendu, que le général ennemi, Prosper Colonna, fut
trouvé à table par le chevalier Bayard, et demanda si les Français
étaient descendus du ciel. Les Suisses, qui gardaient les routes
ordinaires du mont Cenis et du mont Genèvre, se croyaient sûrs de
barrer le pas de Suse où les deux routes aboutissent, et comptaient
que la gendarmerie viendrait à ce lieu étroit où cinquante cavaliers
peuvent à peine charger de front, heurter contre leur mur de fer, se
briser sur leurs lances. L'expérience de Novare et de Guinegate
montrait que cette brillante cavalerie, les premières charges
repoussées, était sujette à d'étranges paniques. On avait chansonné
en France la journée des éperons, et l'on disait hardiment que les
gendarmes étaient des lièvres armés.
À

À ce moment notre jeune infanterie se formait sous un maître
habile, Pietro Navarro, passé au service de France. L'ingrate et
sordide avarice de Ferdinand l'eût laissé mourir sans rançon dans sa
captivité de Ravenne. Cet homme de génie, qui connaissait si bien
les bandes espagnoles, trouva pour leur opposer des montagnards
fermes et vifs, nos Basques et la verte race des hommes de
Dauphiné. En tout, un corps de dix mille hommes. On y joignit huit
mille Français, Picards, Bretons, Gascons. Ajoutez trois mille
pionniers et sapeurs, Français de même. Ce sont ces vingt et un
mille hommes qui, de leurs bras, de leur audace, de leur industrieuse
agilité, exécutèrent en cinq jours le miracle du passage, domptant et
perçant le rocher, enlevant et faisant passer sur la triple échine des
Alpes soixante-douze énormes canons, cinq cents petites pièces à
dos de mulets, un nombre immense de charrettes, deux mille cinq
cents lances (chacune de huit hommes), et vingt mille lansquenets
allemands.
On était arrivé à Lyon avec l'imprévoyance ordinaire. On sut que
tout était fermé. Le vieux Trivulce se mit à courir les Alpes, et trouva
cet affreux passage entre les glaces et les abîmes. Sauvages gorges
où nul marchand, nul colporteur, nul contrebandier, n'avait imprimé
ses pas. La virginité de leurs neiges n'était effleurée, depuis la
création, que par l'enfant de la montagne, le craintif et rusé
chamois, et parfois aussi, peut-être, par l'intrépide folie du chasseur
que la passion entraîne aux corniches étroites des gouffres.
La Durance une fois passée, on monta jusqu'au rocher de Saint-
Paul, qui arrêta court. On le perça avec le fer, travail énorme qui se
fit en un jour. On n'était encore qu'à Barcelonnette, c'est-à-dire au
pied des Alpes.
La chaîne centrale des monts se dressait ici, le dos monstrueux qui
sépare les eaux qui vont au Rhône de celles que recevra le Pô.
Pietro, qui était l'inventeur des mines, fit sa route à force de poudre,
faisant sauter des blocs énormes. C'était encore le plus facile. Le
plus hasardeux était, sur les rapides glissades, au-dessus des

précipices, de s'accrocher et d'enfoncer les premiers pieux sur
lesquels on devait jeter des ponts, d'établir le long des abîmes des
galeries en bois où les chevaux osassent passer, et sur ces frêles
improvisations de charpentes tremblantes, gémissantes et criantes,
de rouler 72 gros canons de bronze. Souvent, on n'osait le faire. Et
alors, avec des câbles, on descendait les canons au fond de l'abîme,
pour les remonter de l'autre côté avec un effort infini.
On trouva enfin la pente italienne et la vallée de la Stura. Mais là,
le mont Pic-di-Porco se mettait encore en travers, dernière défense
que les Alpes vaincues opposaient à cette titanique entreprise. On la
franchit le quatrième jour, et le cinquième, on était dans les plaines
de Saluces, à l'entrée de la Lombardie.
Il était temps. L'armée n'avait emporté que trois jours de vivres. Si
les Suisses, mieux avertis, lui avaient fermé la porte, ce qui n'était
pas difficile, elle restait clouée dans ces gorges pour mourir de faim.
L'entreprise si audacieuse, si heureuse, de ce chemin inouï,
bouleversa l'imagination italienne. C'était par les sources mêmes du
Pô que les Français entraient en Italie. On les voyait descendre avec
l'invincible fleuve, le conquérant des eaux lombardes, qui les
emporte toutes à la mer. Pour premier coup, ils avaient enlevé
Colonna, le vaillant Romain. Les Suisses étonnés reculèrent. Le rival
de Colonna, le vieux bâtard des Orsini, le bouillant Alviano, se mit
avec ses Vénitiens, nos alliés, devant les Espagnols, les empêcha
d'aider les Suisses. L'armée papale et florentine, conduite par les
Médicis, dans sa neutralité douteuse, comptait bien, au cas probable
de la défaite des Français, leur porter aussi quelques coups. Et voilà
qu'ils sont tout près d'elle; elle perd à l'instant le goût d'avancer.
Les Suisses avaient parmi eux de grands amis de la France, les
Bernois Diesbach et la Pierre et le Valaisan Super-Sax. Ils
soutenaient que la Suisse ne gagnait rien à se saigner pour exalter
l'Allemagne, sa principale ennemie, sur les ruines de la France. En
réalité, sang et vie, morale, honneur, tout enfin, la Suisse entière

fondait en Italie, elle s'échappait à elle-même, s'écoulait, se perdait.
Un argument plus sensible peut-être, c'est que ni le pape, ni
l'Espagne n'avait un sol à leur donner, que leur Maximilien Sforza,
rançonné, épuisé, tordu jusqu'à la dernière goutte, était fini, ne
rendait plus. La France, au contraire, arrivait les mains pleines de
belles pièces neuves, d'argent non pas futur, fictif, mais d'écus
comptants et sonnants. Elle les payait pour ne rien faire; et les
autres, pour les faire agir, ne les payaient pas. Le roi les aimait
tellement qu'il ne comptait pas avec eux. Au lieu des quatre cent
mille écus promis à Dijon, il leur en donnait six cent mille, et trois
cent mille encore pour les bailliages italiens (Bellinzona et Lugano)
qu'ils avaient au pied des Alpes. Ils ne trahissaient point Sforza, au
contraire; d'un duc ruiné, le roi allait faire un prince, le marier dans
la famille royale.
Tout cela prenait assez bien. Mais voilà que du Saint-Gothard,
roule une avalanche de vingt mille Suisses, tout neufs, avides, qui
viennent gagner en Italie. Ceux-ci voient leurs compagnons gras et
tout chargés de pillage, la poche enflée, qui parlent, à l'arrivée, de
revenir. Les nouveaux venus frémissent pour l'honneur de la Suisse
de la honteuse cession des passages du Tésin; ce serait donner
l'Italie sans retour et s'en exclure pour jamais. Les Français ont là de
l'argent?... Eh bien! pourquoi ne pas le prendre?... Ils y couraient en
effet. Les nôtres eurent à peine le temps de sauver la caisse.
Cependant, l'homme du pape, le fameux Mathieu Shiner, cardinal
de Sion, le prêcheur endiablé des Suisses, pendant que Léon X, son
maître, parlait de la neutralité, chevauchait de tous côtés, pour faire
écraser les Français. Les Espagnols, qui voyaient Alviano les menacer
avec le drapeau de Saint-Marc, n'écoutèrent point le cardinal et
restèrent en observation, comme l'armée pontificale. Les Suisses,
concentrés à Milan, étaient fortement balancés; les uns leur disaient:
«Retournons, recevons le premier payement.» Les autres disaient:
«Combattons, et, vainqueurs, nous aurons le tout.» Mathieu arrive,
se fait dresser sur la place du château une chaire assez haute pour
dominer toute l'armée. Là, devant ces trente mille hommes,

l'aboyeur se faisant entendre par des cris et des yeux roulants, par
un geste frénétique, prêchait pêle-mêle la défense de l'Église, le
drapeau des clefs de saint Pierre, la vengeance de l'ours de Berne, la
fureur du taureau d'Uri, le sang partout, le sang: «Je veux, dit-il, me
laver les mains, m'abreuver dans le sang des Français.»
Ce sermon évangélique n'ayant pas beaucoup d'action, le drôle,
qui connaissait parfaitement ce peuple, fait faire une fausse alarme.
«Voilà les Français qui avancent!»
Cela finit tout. Les partisans de la paix prirent les armes, comme
les autres, ne pouvant abandonner leurs frères au moment du
danger.
Le roi n'avait pas bougé. Il croyait toujours négocier. Sa situation
était assez dangereuse. Il s'était placé à Marignan, à dix milles de
Milan, ayant derrière lui les armées espagnoles et pontificales, qu'il
séparait ainsi des Suisses. Les Vénitiens, il est vrai, veillaient pour lui
sur ces armées. Mais seraient-ils assez forts, surtout ayant en tête
les redoutés fantassins espagnols?
Qui commandait l'armée française? Tout le monde et personne. Le
roi, tout novice, de vingt et un ans, était censé commander, et sous
lui, Charles de Bourbon, de vingt-cinq, qu'il venait de faire
connétable. Les généraux de Louis XII, La Trémouille et Trivulce,
étaient près du roi, mais comme de vieux meubles hors de mise. On
avait fait l'insigne faute de laisser partir l'homme essentiel, le
commandant des Bandes noires et en général des troupes
allemandes, le fameux duc de Gueldre, qui seul avait la confiance
des lansquenets. L'ami et l'allié du roi, son futur gendre (Charles-
Quint), avait pris ce moment pour attaquer la Gueldre, forcer le duc
de revenir, démoraliser l'armée du roi. En quoi, il imitait fidèlement
son grand-père Maximilien, qui fit parvenir à nos Allemands l'ordre
de revenir, précisément la veille de la bataille de Ravenne.

Le duc de Gueldre crut à la paix prochaine, partit et laissa le
commandement en chef des Allemands à un Français, son neveu,
Claude de Guise, que pas un d'eux ne connaissait.
Ces gens, sans communication avec les nôtres, séparés par la
langue, et ne sachant rien de la situation que les allées et venues,
les pourparlers du roi avec les Suisses, leurs mortels ennemis,
écoutèrent les avis charitables qu'on semait parmi eux. Le roi de
France (disait-on), qui leur devait beaucoup d'argent, avait trouvé un
moyen de payer la solde arriérée, en les mettant au premier feu et
les livrant aux Suisses pour être exterminés. Et pourquoi, disait-on,
votre chef serait-il parti, si ce n'est qu'il a eu horreur de tremper
dans la trahison?
Ce roman insensé du roi se détruisant lui-même, se désarmant et
se faisant battre, parut tout naturel au bon sens de ces Allemands.
Leurs préjugés nationaux sur la foi des Welches (Français et Italiens)
les hébétèrent de défiance et de peur.
C'était la grosse moitié de notre infanterie, et la seule fortement
armée, qui était frappée de cette panique; les autres fantassins,
Basques et Gascons, Français formés par Pietro Navarro, étaient des
troupes légères qui ne pouvaient porter seules le poids des bataillons
des Suisses.
Le roi avait, il est vrai, une très-forte gendarmerie, et tous les
grands seigneurs de France avec leur suite personnelle; mais il eût
fallu une plaine pour faire agir cette magnifique cavalerie, et
justement il était sur une étroite chaussée qui permettait à peine à
vingt hommes de charger de front: à droite, à gauche des fossés,
des marais devaient couvrir la colonne assaillante, empêcher la
cavalerie de la tourner ou de la prendre de flanc.
Dans cette situation si peu favorable, le grand maître de l'artillerie
ne put profiter de la supériorité des forces qu'il avait; seulement il
posta à notre droite une forte batterie, et dans les retranchements

qui la couvraient, Pietro Navarro jeta une masse de notre infanterie
nationale: Basques, Gascons, Picards.
Ceux qui connaissaient bien les Suisses, Fleuranges, par exemple,
qui avait reçu d'eux quarante blessures à Novare, Fleuranges, fils du
fameux Sanglier des Ardennes, Robert de la Mark, et l'un des chefs
des Bandes noires, ne doutaient point qu'il y eût bataille. Ce n'était
pas tant une guerre politique qu'une rivalité de métier entre deux
armées mercenaires, entre les Suisses, si longtemps les seuls
fantassins de l'Europe, et cette nouvelle infanterie allemande que
l'empereur et les princes avaient formée surtout contre eux. Le
drapeau des montagnes, le drapeau suisse à la croix blanche avait
horreur du drapeau noir de la basse Allemagne. Ils partirent de Milan
en criant: «C'est leur deuil qu'ils portent.» Ils avaient ôté leurs
souliers pour qu'on n'entendît pas de loin la masse de l'armée en
marche, et pour mieux sauter les canaux, traverser les marais et se
trouver plus vite devant leurs ennemis. Unique occasion! les
lansquenets étaient vingt mille; on pouvait, cette fois, les égorger en
un monceau.
Nulle bataille n'a été plus diversement racontée. Du Bellay est fort
sec, le chroniqueur de Bayard si ignorant, qu'il croit que le
connétable fut tué. Les historiens suisses disent que les leurs
n'avaient pas d'artillerie, ce qui est faux; ils avaient avec eux celle du
duc de Milan. La fameuse lettre de François Ier
à sa mère est
étonnamment inexacte, légère, pleine de vanterie, plus qu'on ne
l'attendrait d'un prince si brave; mais c'est un garçon de vingt ans
qui ne se contient pas dans sa joie et croit avoir tout fait. Avec deux
cents cavaliers il a défait quatre mille Suisses, leur faisant jeter leurs
piques et crier France!—Nous sommes restés vingt-huit heures à
cheval (il dormit sur une charrette).—Il se vante d'avoir fait le guet.
—De vingt-huit mille Suisses il n'en réchappa que trois mille! Ils
s'enfuirent! etc.—Autant de mots, autant de faussetés démenties par
les autres acteurs et témoins oculaires.

Il convient que l'artillerie a bien fait. Le grand maître ose bien dire
«qu'il a été cause en partie du gain de la bataille.» Cependant le roi
croit que c'est la gendarmerie qui a fait toute l'exécution. Il fait
honneur de tout à la noblesse, à la cavalerie et aux grands coups de
lance.
Ce récit, si léger, constate pourtant par trois fois que l'infanterie
française eut une grande part à la bataille, chose dont plus d'une
chronique s'est bien gardée de dire un mot. Fleuranges en parle à
peine une fois. Bouchet, qui écrit sous la dictée de La Trémouille, est
seul juste pour l'infanterie.
Mais venons au récit.
L'armée fut presque surprise, quoiqu'on fût averti trois fois,
d'abord par un Lombard, puis par un gentilhomme, enfin par
Fleuranges lui-même. Le connétable allait se mettre à table. Le roi
essayait une armure d'Allemagne, propre à combattre à pied, armure
si industrieusement faite, dit Fleuranges, qu'on ne l'eût pu blesser
d'une épingle. Le roi l'embrassa pour la bonne nouvelle, mais n'y
voulait pas croire encore. Fleuranges prit sur lui de faire sonner
l'alarme. Le roi, voyant alors que c'était tout de bon, s'adressa au
général de Venise, l'Alviano, qui était là, lui prit la main et le pria
d'amener ses troupes en toute hâte; Alviano sauta à cheval, croyant
ce jour suprême et décisif pour l'Italie autant que pour la France.
Fidèle aux vieilles traditions, le roi employa les dernières minutes,
si précieuses, à se faire armer chevalier. Avec sa bonne grâce
ordinaire, laissant là tous les princes et grands seigneurs, il s'adressa
à l'homme le plus aimé de l'armée, fit avancer Bayard et reçut l'ordre
de sa main.
Cependant Fleuranges observait les Suisses. Ils étaient à deux
milles et paraissaient vouloir camper. Ils y pensaient peut-être, car la
journée était fort avancée. Tout à coup les voilà qui se remettent en
marche et ne s'arrêtent qu'à deux traits d'arc du camp français, où

ils soufflèrent un peu, déployèrent la bannière des clefs de saint
Pierre et reçurent la bénédiction.
Le roi et La Trémouille, ici d'accord, disent que la gendarmerie
chargea d'abord, et que, malgré sa valeur, elle fut reboutée par les
gens de pied. Ce qui est bien croyable; elle ne pouvait charger que
par vingt ou trente à la fois, et les Suisses avançaient en piquant les
chevaux ou démontant les cavaliers du croc ou de la hallebarde.
Ils arrivèrent ainsi aux lansquenets, furieux de la vue seule du
drapeau noir, ayant soif de leur sang. Ces Allemands étaient troublés
de cette furie, et l'écart des gens d'armes, rejetés de côté, les
confirmait dans l'idée folle que nous les livrions. Ils reculèrent. Mais
au moment, les fantassins français, défendus par eux à Ravenne, se
jetèrent à leur tour devant les Allemands, s'élancèrent sur les
Suisses au nombre de deux mille, et du premier coup dispersèrent
un corps double de nombre. Le roi qui, avec deux cents cavaliers,
soutenait ces deux mille piétons, les supprime dans son récit. Mais
La Trémouille les rétablit avec une impartiale équité.
Ce qui rend la bataille obscure ici et pleine de contradictions, c'est
que la nuit venait, et que déjà il y avait une nuée de poussière
effroyable. De plus, de nombreux corps des Suisses avançaient, dit
le roi, par le pays couvert, c'est-à-dire, sans doute, sous les arbres
fruitiers ou à travers les grandes vignes qui coupent la campagne
italienne. La scène était immensément confuse.
Deux épisodes s'y dessinaient pourtant. D'une part, les
lansquenets, qui voyaient le roi en avant et la vaillance de nos
piétons, troupe légère qui avait protégé leur grosse infanterie,
rougirent de cette étrange situation et voulurent se relever. Mille
d'entre eux, par la gauche, tournèrent dans le marais pour prendre
en flanc les Suisses. Mais, arrivés aux bords profonds de la
chaussée, ils ne purent s'en tirer ni se soulever de là; les piques les y
enfoncèrent et ils n'en sortirent pas.
À

À notre droite, les Suisses souffraient d'une batterie de Pietro
Navarro. Ils y lancèrent ce qu'on appelait les enfants perdus de la
Suisse, corps de jeunes gens à plumes blanches, payés double, qui
firent double ouvrage effectivement; avec un sacrifice énorme
d'hommes, ils comblèrent les fossés des Basques et Gascons de
Pietro, éteignirent la batterie.
La lune éclairait la bataille. Et cependant il y eut d'étranges
méprises. Le roi alla donner dans un gros corps de huit mille
hommes qu'il croyait sien: c'étaient des Suisses. «Ils me jetèrent,
dit-il, six cents piques au nez, pour me faire voir qui ils étaient. Le
roi eut cependant le temps de réunir trois cents chevaux, quelques
milliers de lansquenets, et se retira sur ses canons. «Et cependant,
dit-il, mon frère le connétable rallia tous les piétons français et
quelque nombre de gendarmerie, leur fit une charge si rude qu'il en
tailla cinq ou six mille en pièces et jeta cette bande dehors. Nous,
par l'autre côté, fîmes jeter une volée d'artillerie à l'autre bande,
nous les chargeâmes, les emportâmes et leur fîmes repasser un gué
qu'ils avaient passé sur nous.»
Ce passage indique assez clairement que l'infanterie ferma pour ce
jour la bataille, et que les Suisses s'étaient rendus maîtres d'une
partie du camp de François Ier
. Ils furent chassés, mais non partout;
ils restèrent sur plusieurs points établis entre les Français. La lune
ayant retiré sa lumière, ceux-ci ne pouvaient aisément se rapprocher
les uns des autres. Il y avait des Suisses qui voulaient profiter de
cette division, tenter un grand et dernier coup. Ils voyaient le roi à
deux pas, à son feu, parmi les canons, mais mal accompagné. Il
fallait de l'ensemble, et c'eût été déjà, peut-être, la captivité de
Pavie. Ils hésitèrent, perdirent l'irréparable occasion. Mathieu Shiner
lui-même semble en avoir été la cause. Il avait fait venir des vivres
et des tonneaux de vin. Les Suisses étaient trop bien, adossés à la
grande ville, qui leur fournissait tout. Les Français, au contraire,
n'eurent pas tous à manger.

Le roi buvait de l'eau sanglante qui lui fit vomir son repas. Il avait
prudemment fait éteindre son feu; non vu, il voyait tout, et pouvait
assister à la bombance des Suisses.
Le cardinal croyait la bataille gagnée, il l'écrivit à Rome et partout.
Toute la nuit donnèrent les cors sinistres d'Unterwald et d'Uri pour
rallier les Suisses; les Français sonnèrent leurs trompettes. Le roi,
qui par moment se trouva presque seul, comme Charles VIII à
Fornoue, avait un Italien avec lui, qui sonna constamment comme
Roland Furieux sonnait à Roncevaux. On pensa bien que cette
puissante trompette, qui faisait taire les autres, sonnait où était le
roi, et l'on s'en rapprochait.
Nul ne doute que les vieux et expérimentés capitaines La
Trémouille, La Palice, Trivulce, n'aient bien mis la nuit à profit. Galeo
et Pietro en profitèrent surtout pour changer les positions de
l'artillerie. Le roi avait soixante-douze grosses pièces, un nombre
infini de petites. C'est le spectacle qu'eurent les Suisses au matin.
Derrière ce confus rideau de troupes éparses, une armée entière
s'était reformée; de tous côtés, entre les corps, canons,
fauconneaux, serpentines, montraient la gueule et attendaient.
L'homme des Bandes noires, Fleuranges, avoue magnanimement,
à la gloire de ses ennemis, que si les Suisses n'attaquèrent pas la
nuit, c'est que vraiment ils n'étaient pas en nombre suffisant.—Et,
s'ils avaient bien fait la veille, dit-il, ils firent encore mieux le matin.—
Mais l'artillerie les reçut rudement, et ils virent vingt mille
lansquenets qui, parfaitement remis et ralliés, présentaient vingt
mille piques. Cette grande attitude leur imposa; «ils glissèrent
outre,» et n'essayèrent pas de les enfoncer. Il y eut même des
Suisses qui se souvinrent que ces braves, après tout, étaient aussi
des Allemands. «Un gros capitaine sortit des rangs, alla aux
lansquenets et se mit à les haranguer; on tira sur lui au plus vite, de
peur qu'ils n'entendissent trop bien; il fut tué.»

Cependant, d'autres s'avisèrent de marcher sur l'artillerie, de
l'enlever; déjà, la veille, ils avaient pris plusieurs canons. «Je vis, dit
du Bellay, un Suisse qui, passant toutes les batailles, vint toucher de
la main sur l'artillerie du roi, où il fut tué. Et, sans la gendarmerie,
qui soutint le faix, on était en hasard.» Les Suisses furent plus
écrasés que vaincus; hommes et chevaux, couverts de fer, fondant
sur eux de tout leur poids, il fallait à des fantassins, non-seulement
le plus ferme courage, mais une grande dextérité pour choisir juste
les rares défauts de la cuirasse où pouvait pénétrer le fer. Les
parfaites armures étaient celles des très-grands seigneurs et de leurs
chevaux de bataille. Ce furent eux, cette fois, qui chargèrent
définitivement, mais non sans grand dommage. Bon nombre
mesurèrent la plaine; plusieurs même restèrent et périrent. Chose
toutefois rare et difficile: il fallut que les Suisses frappassent
soixante-deux coups sur le fils de La Trémouille pour le blesser
mortellement. Le frère du connétable périt aussi. Claude de Guise, à
la tête des lansquenets, fut porté par terre, et des bataillons entiers
passèrent sur lui; il eût péri sans un écuyer allemand qui se jeta
devant lui, reçut les coups à sa place, jusqu'à ce qu'une nouvelle
charge écartât les Suisses. Il en fut à peu près de même de
Fleuranges; lui et ses gens d'armes furent accrochés des
hallebardes, tirés de leurs chevaux blessés; «et sans monsieur de
Bayart, qui tint bonne mine et ne l'abandonna pas, sans point de
faute, il étoit demeuré.»
Remonté à cheval, Fleuranges vit que les Suisses étaient
décidément rompus. Ils avaient tâté l'arrière-garde et avaient été
repoussés. Un de leurs corps s'était jeté dans une grande cassine où
l'on avait logé force tonneaux de vin de Beaune; ils lui livrèrent
bataille, s'y noyèrent, si bien que Fleuranges y mit le feu sans qu'ils
s'en occupassent; ils furent brûlés plus de huit cents.
Ce qui avait achevé de les décourager, c'est que, vers dix heures
du matin, ils entendirent crier: Marco! Marco! et virent les drapeaux
de Venise. C'était Alviano qui avait marché toute la nuit avec sa
cavalerie. Son armée le suivait de loin; les Suisses crurent l'avoir sur

les bras, et se décidèrent à la retraite. Nos chroniques assurent qu'ils
étaient réduits de moitié, ayant laissé quinze mille hommes dans
cette terrible bataille. Et cependant les autres s'en allaient vers
Milan, si froids, si fiers (à pas comptés), qu'ils ne lâchaient pas
même les pièces enlevées aux Français. Faute de chevaux, ils
s'efforçaient de les tirer, de les porter à bras. Ils se lassèrent enfin et
les jetèrent dans les fossés.
Maximilien Sforza, assiégé quelques jours au château de Milan, et
forcé par les mines de Pietro Navarro, se rendit, tout joyeux d'être
quitte d'une souveraineté qui n'avait été qu'un esclavage. «Grâce à
Dieu! disait-il, me voici affranchi de la brutalité des Suisses, des vols
de l'Empereur et des perfidies espagnoles.»
Il n'y eut jamais victoire plus complète. Des deux armées que le
roi avait à dos, la papale obtint de traiter, et l'Espagnole sollicita
d'être comprise dans l'arrangement, pour retourner à Naples.
Les Suisses, si bien battus des lances et des boulets du roi, le
furent encore plus de son argent. Il les gorgea, les renvoya.
Corrompus contre eux-mêmes, ils acceptèrent, tête basse, plus
d'argent que ne valait toute la Suisse, vendant les bailliages italiens
et renonçant à l'Italie.
CHAPITRE XVI
ESPÉRANCES DE L'EUROPE.—FRANÇOIS Ier REPOUSSE L'ITALIE ET
L'ALLEMAGNE
1515
La fausse nouvelle de la victoire des Suisses avait ravi Léon X. Le
lendemain, l'ambassadeur de Venise vint tout joyeux lui dire la vérité

et observer sa mine. La grosse face rouge et rieuse ne rit plus cette
fois. Il pâlit, et, sans s'apercevoir qu'il était sous un œil curieux, il
joignit les mains, disant: «Que deviendrons-nous?»
Notre victoire le prenait en flagrant délit de duplicité. Il avait
promis la neutralité, il avait fait épouser à son frère une tante du roi;
et il avait envoyé une armée contre lui.
Nul secours à attendre; l'Europe admirait et tremblait. Il n'y avait
alors aucune force militaire au monde, que l'infanterie de Basse-
Allemagne, qui combattait pour nous, celle des Suisses par nous
battue, et les Espagnols humiliés, à la barbe desquels on avait gagné
la bataille.
Le roi pouvait ce qu'il voulait.
Il était salué de tous le triomphant César, vainqueur des
Helvétiens.
À lui de défendre la chrétienté, de résister au conquérant Sélim,
nouveau Mahomet II.
À lui de balancer le monstre hétérogène du triple empire de
Charles-Quint, qui, se formant de mort en mort et par successions,
sans bruit, tout doucement, menaçait bientôt d'engloutir l'Europe.
À lui enfin de délivrer l'Italie et de prendre Rome, de réformer
l'Église.
Le pape avait raison de craindre et de dire: «Que deviendrons-
nous?»
Cette grande force de François Ier
n'était pas seulement de
circonstance et de situation: elle était aussi personnelle. Tout réussit
à la jeunesse, tout lui sourit. La sienne véritablement faisait grande
illusion. Ce qu'on voyait de mal en lui, on l'attribuait à ses vingt ans;
mais le bien dominait, et la belle apparence. Ce magnifique jeune

homme fascinait tout le monde par la parole et par l'épée, par cette
figure aimable qui, après Marignan, apparut imposante. Elle n'était
point fine, mais forte et belle alors. L'hilarité menteuse qu'il avait
dans les yeux semblait gaieté française et noble gaillardise de
gentilhomme et de soldat. Ni Charles VIII, ni Louis XII, les sauveurs
prédits par Savonarole, n'avaient répondu aux exigences de
l'imagination populaire; l'un, petit, mal bâti, difforme par sa grosse
tête, l'autre, cacochyme, bourgeois, roi des bourgeois. Celui-ci, au
contraire, beau de race, de fleur de jeunesse, plus beau de sa
victoire, trouvant pour tous, sur sa langue facile, des mots de grâce
et d'espérance, n'était-il pas enfin, pour l'Italie et pour le monde, ce
Messie promis, attendu?
Sa famille l'encadrait, l'embellissait. On le voyait dans l'auréole
qu'a tout être aimé, noble apparition entre deux femmes et deux
amours, sa mère, ardente et belle encore, sa fine et charmante
sœur, la Marguerite des Marguerites, qui disait: «Notre trinité!...»
Son respect pour sa mère, excessif dans un roi, semblait d'un bon
cœur tout nature, qui n'était blasé ni gâté. Il ne lui parlait guère que
la toque à la main, abaissant sa grande taille et le genou plié.
Ce sentiment de la famille, ces dons aimables de jeunesse, lui
auraient aisément donné la faveur populaire s'il eût eu seulement le
bon sens de ne pas la repousser. Sa politique était toute tracée. Une
grande révolution, de vingt formes diverses, dans l'État, dans
l'Église, fermentait en Europe. Elle allait éclater partout, mais à des
moments différents, sans accord, sans entente, avec ce trait
commun toutefois que tous ces mouvements regardaient vers
l'Église. Sans les biens ecclésiastiques, l'État ne pouvait plus vivre un
seul jour. On le vit en Espagne même et autres pays catholiques, qui
ne prirent pas les biens, mais grande partie du revenu. Cette
révolution financière était partout liée à la diversité des révolutions
politiques. Des masses immenses, impatientes, fermentaient et
bientôt tourbillonnaient aveuglément, cherchant un centre hors
d'elles-mêmes.

Qu'avait à faire le jeune roi et le roi-chevalier? d'être, en effet, et
chevalier et jeune, fidèle à cette tradition de générosité qu'il se
flattait de suivre. Ce que l'armée française avait été à Pise, le roi
devait l'être en Italie, en Allemagne, en Europe. Si l'on eût cru
réellement qu'il voulut être le protecteur des faibles et le centre de la
résistance contre le pape et la maison d'Autriche, il était le maître du
monde. Cette politique, sans doute chimérique aux yeux des
procureurs qui gouvernaient la France sans rien connaître de
l'Europe, était la seule pratique. Cette folie était la sagesse.
Qui s'y serait opposé? l'Angleterre seule peut-être. Nulle autre
alors ne le pouvait. Le roi y tenait Wolsey, l'homme dirigeant, qui
croyait ne pouvoir sans lui arriver à la papauté. Il eût tenu
l'Angleterre même, par une grande guerre d'Écosse, s'il eût
fortement soutenu ce pauvre pays. Il ne suffisait pas d'y mettre un
régent français, comme on fit. Il fallait largement pensionner les
clans, encourager la trop légitime défense de cette race contre la
féodale Angleterre. Les highlander n'auraient pas disparu de la terre,
et la haute Écosse ne serait pas ce qu'elle est aujourd'hui. La France
aurait sauvé un peuple en se défendant elle-même. Seulement il
fallait pour cela de grandes ressources, qu'on ne pouvait trouver que
dans la révolution ecclésiastique.
L'Espagne, dans le progrès de son affreux cancer, venait de
s'arracher sa plus riche substance, l'agriculture et l'industrie, les
Maures, les Juifs. Elle arrivait au second acte, où elle devait périr
comme liberté et vieilles franchises. La lutte allait s'ouvrir, des nobles
et des villes, contre le roi; un roi flamand, tellement ignorant de
cette fière Espagne, qu'il sollicitait de la France une armée de vingt
mille étrangers pour s'installer; lui qui d'avance était aimé, comme
fils de Juana, petit-fils de la grande Isabelle, comme remplaçant le
vieux roi détesté d'Aragon; lui pour qui Ximénès, un grand cœur
Castillan, avait, par de fortes mesures, frayé la voie, dressé le trône.
Il n'avait qu'à s'asseoir, et il débuta par outrager l'Espagne en
disgraciant Ximénès mourant.

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