Ap matematica modulo 03 exercicios
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1) O documento apresenta resumos de questões de vestibulares sobre matemática, incluindo cálculos de velocidade, porcentagem e modelagem exponencial de população. 2) As questões abordam tópicos como tempo percorrido por um ônibus em velocidade constante, índice de produtividade no transporte público e estimativas populacionais baseadas em modelo exponencial. 3) As soluções explicam passo a passo os cálculos matemáticos para chegar às respostas corretas de cada
Ap matematica modulo 03 exercicios
- 1. Soluções Comentadas Matemática Curso Mentor Exame Nacional do Ensino Médio ENEM L. S. Barbosa leonardosantos.inf@gmail.com 16 de outubro de 2011
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- 3. Vestibular 2009/2010 Questão 136 t = 0, 025 · 60 ⇒ t = 1, 5 min O mapa ao lado representa um bairro de determi- nada cidade, no qual as flechas indicam o sentido Opção D das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na Questão 137 Dados da Associação Nacional de Empresas de figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o metros. número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. O gráfico a seguir mostra um índice de produtivi- dade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos. Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y ? a) 25 min b) 15 min c) 2,5 min d) 1,5 min e) 0,15 min Solução: Para ir de X até Y o ônibus percorrerá 1000 metros. Como a velocidade é de 40 km/h: Supondo que as frotas totais de veículos naquelas 40 km — 1h regiões metropolitanas em abril de 2001 e em 1 km — t outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os Então: dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a 1·1 1 t= ⇒t= ⇒ t = 0, 025 h a) 355 milhões 40 40 b) 400 milhões Passando para minutos: c) 426 milhões 3
- 4. d) 441 milhões Os números da coluna da direita representam as e) 477 milhões faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos Solução: países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da Seja v o número de veículos no mês analisado e p população total nos países desenvolvidos. o total de passageiros neste mesmo mês. A informação dada no gráfico para o mês analisado Questão 138 é dada por: Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoria- p mente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, R= na população dos países desenvolvidos, será um v número mais próximo de Então, em abril de 2001, segundo o gráfico, temos 1 para o valor de R: a) 2 p 321, 9 7 R = ⇒ 400 = b) v v 20 8 O número de veículos, em milhões, será portanto: c) 25 321, 9 1 v= d) 400 5 Como quase não houve mudança desde abril de 3 e) 2001 até outubro de 2008, podemos recalcular R 25 usando o mesmo total para v: Solução: p p Em 2050, de acordo com o gráfico apresentado, a R = ⇒ 441 = v 321, 9 porcentagem de pessoas com 50 anos ou mais é um 400 1 número entre 30% e 35%. Sabemos que: = 0, 5; E teremos: 2 7 8 1 3 = 0, 35; = 0, 32; = 0, 2 e = 0, 12. 441 × 321, 9 20 25 5 25 p= ⇒ p ≈ 355 milhões 400 Ou seja, a única entre 0,3 e 0,35 é a opção Opção A C. Texto para as questões 138 e 139 Opção C A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa Questão 139 de vida aumentou. No gráfico seguinte, são Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x , apresentados dados obtidos por pesquisa realizada em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 pela Organização das Nações Unidas (ONU), a corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou e que y é a população em milhões de habitantes mais em todo o mundo. no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1, 35, estima-se que a popula- ção com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre a) 490 e 510 milhões b) 550 e 620 milhões c) 780 e 800 milhões d) 810 e 860 milhões e) 870 e 910 milhões 4
- 5. Solução: Como: Basta fazer, na expressão dada para y, x = 30: BC AB = y = 363e 0,03x ⇒ y = 363e 0,03·30 2 Teremos: Podemos reescrever a expressão anterior: 6 BC 2 BC 2 y = 363 e0,3 3 ⇒ y = 363 · (1, 35)3 S= · ⇒S =3· 100 2 100 Daı’: AB Seja S0 a área do terreno com lado AE = . 5 y = 363 · 2, 46 ⇒ y ≈ 893 Como: Opção E BC AB = 2 Questão 140 Teremos: O governo cedeu terrenos para que famílias cons- 2 2 truíssem suas residências com a condição de que AB BC S0 = ⇒ S0 = no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida 5 10 como área de preservação ambiental. Ao receber BC Logo: o terreno retangular ABCD, em que AB = 2 BC 2 Antônio demarcou uma área quadrada no vértice S0 = A, para a construção de sua residência, de acordo 100 AB S com o desenho, no qual AE = é lado do Calculando temos: 5 S0 quadrado. BC 2 S 3· = 100 ⇒ S = 3 S0 BC 2 S0 100 O que significa que a nova área deve ser o triplo da anterior. Opção C Questão 141 Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria Uma resolução do Conselho Nacional de Política exatamente o limite determinado pela condição se Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade ele de adição de biodiesel ao óleo diesel comercializado a) duplicasse a medida do lado do quadrado. nos postos. A exigência é que, a partir de 1o de. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja c) triplicasse a área do quadrado. formada por biodiesel. Até junho de 2009, esse d) ampliasse a medida do lado do quadrado em percentual era de 3%. Essa medida estimula a de- 4%. manda de biodiesel, bem como possibilita a redução e) ampliasse a área do quadrado em 4%. da importação de diesel de petróleo. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Solução: Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado). Seja S a área que o terreno de Antônio deve ter para atender às especificações do governo. Ela Estimativas indicam que, com a adição de 4% de deve ser 6% da área do retângulo, ou seja: biodiesel ao diesel, serão consumidos 925 milhões 6 de litros de biodiesel no segundo semestre de 2009. S= · AB × BC Considerando-se essa estimativa, para o mesmo 100 5
- 6. volume da mistura final diesel/biodiesel consumida d) 23.940.800 no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo e) 32.228.000 de biodiesel com a adição de 3%? a) 27,75 milhões de litros. Solução: b) 37,00 milhões de litros. Queremos que haja uma aumento de 4% em c) 231,25 milhões de litros. relação à 05/09, então a população p em 06/09 d) 693,75 milhões de litros. será dada por: e) 888,00 milhões de litros. p = 1, 04 × 23020 × 1000 Solução: É necessário multiplicar por 1000 porque a escala De acordo com o enunciado temos a seguinte do gráfico está em milhares de pessoas. Então: proporcionalidade: p = 23940800 Consumo ( ) Porcentagem 925 milhões — 4% Opção D c — 3% Teremos então a seguinte relação: Questão 143 A suspeita de que haveria uma relação causal entre 3 tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela c = 925 × 4 primeira vez a partir de observações clínicas. Para Portanto: testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, c = 693, 75 milhões houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, Opção D cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. Questão 142 O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economi- camente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas. De acordo com as informações do gráfico, a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não Considerando que a taxa de crescimento da se relacionam. população economicamente ativa, entre 05/09 e c) o consumo diário de cigarros e o número de casos 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas de câncer de pulmão são grandezas diretamente economicamente ativas em 06/09 será igual a proporcionais a) 23.940 d) uma pessoa não fumante certamente nunca será b) 32.228 diagnosticada com câncer de pulmão. c) 920.800 e) o consumo diário de cigarros e o número de 6
- 7. casos de câncer de pulmão são grandezas que estão c) 8 semínimas. relacionadas, mas sem proporcionalidade. d) 24 colcheias e 12 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias. Solução: Nota-se, pelo gráfico, que há uma relação entre os Solução: casos de câncer e o consumo diário de cigarros, A ideia da questão é descobrir qual das opções mas não há proporcionalidade (nem direta nem 3 equivale a 8 × = 6. Então, analisando cada uma: inversa) evidente, pois o mesmo fica constante 4 entre 1 e 14 cigarros e entre 14 e 24 cigarros. a) 24 fusas: A opção D merece alguma atenção. Quando não 1 24 3 há consumo de cigarros, a ordenada não está em 24 · = = 32 32 4 zero, logo esta afirmativa é falsa. b) 3 semínimas: Opção E 1 3 3· = Questão 144 4 4 A música e a matemática se encontram na repre- c) 8 semínimas: sentação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte. 1 8· =2 4 d) 24 colcheias e 12 semínimas: 1 1 24 12 24 · + 12 · = + =3+3=6 8 4 8 4 e) 16 semínimas e 8 semicolcheias. 1 1 8 1 9 16 · +8· =4+ =4+ = 4 16 16 2 2 Portanto: Opção D Questão 145 Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias conforme o gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias. Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por 1 exemplo, se a fórmula de compasso for 2 , poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou 2 uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3 , 4 poderia ser preenchido com a) 24 fusas. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, b) 3 semínimas. nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, 7
- 8. preço da diária fora da promoção. Nos três dias Estas 6 maneiras correspondem à uma permutação seguintes, seria aplicada uma redução no valor da de 4 elementos com duas repetições de 2 elementos: diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, 4! 2,2 seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria P4 = 2! · 2! mantido o preço do sexto dia. De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que Sendo 0,2% a chance de ser defeituoso, a de não um casal pagaria pela hospedagem por sete dias ser vale 0,98%, pois são complementares: Teremos fora da promoção, um casal que adquirir o pacote então pra cada uma das 6 maneiras anteriores: promocional por oito dias fará uma economia de (0, 2%) × (0, 2%) × (0, 98%) × (0, 98%) a) R$ 90,00 b) R$ 110,00 No total: c) R$ 130,00 P = 6 × (0, 2%)2 × (0, 98%)2 d) R$ 150,00 e) R$ 170,00 Opção C Solução: Questão 147 Um casal que fique sete dias sem o pacote As figuras a seguir exibem um trecho de um que- promocional gasta o total (Ts ): bracabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro Ts = 150 · 7 = 1050 da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colo- Com o pacote promocional o total (T ) será: cadas no tabuleiro da figura A na posição correta, T = 150 · 3 + 130 + 110 + 90 · 3 = 960 isto é, de modo a completar os desenhos. A diferença: Ts − T = 1050 − 960 = 90 Opção A Questão 146 O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja Disponível em: http://pt.eternityiLcom. acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um Acesso em: 14 jul. 2009. cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? É possével preencher corretamente o espaço indi- 4 a) 2 × (0, 2%) cado pela seta no tabuleiro da figura A colocando 2 b) 4 × (0, 2%) a peça 2 c) 6 × (0, 2%) × (99, 8%) 2 a) 1 após girá-la 90◦ no sentido horário. d) 4 × (0, 2%) b) 1 após girá-la 180◦ no sentido anti-horário. e) 6 × (0, 2%) × (99, 8%) c) 2 após girá-la 90◦ no sentido anti-horário. d) 2 após girá-la 180◦ no sentido horário. Solução: e) 2 após girá-la 270◦ no sentido anti-horário. Há seis maneiras de 4 aparelhos serem vendidos. Sejam D os defeituosos e N os com funcionamento Solução: normal: A única que completa corretamente o espaço indicado pela seta é a peça 2 após girá-la 90◦ no NNDD, NDND, NDDN, DNDN, DNND e DDNN sentido anti-horário. 8
- 9. Opção C Opção D Questão 148 Questão 149 A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é de carbono de uma fábrica, em função do número possével encontrar um portão em que aparecem os de toneladas produzidas. anéis de Borromeo. Alguns historiadores acredi- tavam que os cérculos representavam as três artes: Produção Emissão de dióxido de carbono escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão (em ton) (em partes por milhão ppm) próximas quanto inseparáveis. 1,1 2,14 1,2 2,30 1,3 2,46 1,4 2,64 1,5 2,83 1,6 3,03 1,7 3,25 1,8 3,48 1,9 3,73 2,0 4,00 Qual dos esboços a seguir melhor representa os Cadernos do Gestar 11, Matemátéca TP3. Disponível em: anéis de Borromeo? www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009. a) b) c) d) e) Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é a) inferior a 0,18. b) superior a 0,18 e inferior a 0,50. c) superior a 0,50 e inferior a 1,50. Solução: d) superior a 1,50 e inferior a 2,80. Basta observar as figuras e suas representações e e) superior a 2,80. veremos que a opção correta é a letra E. Solução: Opção E Como a variação de toneladas é de 0,1 em 0,1 basta analisarmos a varaiação em ppm. Fazendo Questão 150 a diferença linha a linha e calculando o total de Brasil e França têm relações comerciais há mais de varições na emissão E. 200 anos. Enquanto a França é a 5a nação mais . a rica do planeta, o Brasil é a 10 . , e ambas se desta- E = 0, 16 + 0, 16 + 0, 18 + 0, 19 + 0, 20 + 0, 22 + cam na economia mundial. No entanto, devido a 0, 23 + 0, 25 + 0, 27 uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como Então: mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003- 2007. E = 1, 86 Investimentos Bilaterais (milhões de dólares) Calculando a média m: Ano Brasil na França França no Brasil E 1, 86 2003 367 825 m= ⇒m= ⇒ m = 0, 206 9 9 2004 357 485 Isto quer dizer que para cada 0,1 tonelada varia em 2005 354 1458 0,206 a emissão. E para cada tonelada varia em 2006 539 744 2,06. 2007 280 1214 9
- 10. Comparando as capacidades do aquéfero Guarani e Disponível em: www.cartacapital.com.br. desse novo reservatório da SABESP, a capacidade Acesso em: 7 jul. 2009. do aquífero Guarani é Os dados da tabela mostram que, no período a) 1, 5 × 102 vezes a capacidade do reservatório considerado, os valores médios dos investimentos novo. da França no Brasil foram maiores que os investi- b) 1, 5 × 103 vezes a capacidade do reservatório mentos do Brasil na França em um valor novo. a) inferior a 300 milhões de dólares. c) 1, 5 × 106 vezes a capacidade do reservatório b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior novo. a 400 milhões de dólares. d) 1, 5 × 108 vezes a capacidade do reservatório c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior novo. a 500 milhões de dólares. e) 1, 5×109 vezes a capacidade do reservatório novo. d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. Solução: e) superior a 600 milhões de dólares. Seja G a capacidade do aquífero Guarani e S a do reservatório da SABESP. Como queremos Solução: compará-los, temos: Seja BF a soma dos investimentos do Brasil na França: G 30000 km3 = S 20000000 BF = 357 + 367 + 354 + 539 + 280 = 1897 Como 1 litro equivale a 1 dm3 : Seja FB a soma dos investimentos da França no Brasil: G 30000 × 1012 dm3 = S 20000000 FB = 825 + 485 + 1458 + 744 + 1214 = 4726 Simplificando: Calculando a diferença média em 5 anos: G 3 × 1016 G FB − BF 4726 − 1897 = ⇒ = 1, 5 × 109 = = 565, 8 S 2 × 107 S 5 5 Opção E Opção D Questão 151 Questão 152 Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial Técnicos concluem mapeamento do aquífero para organizar uma festa, que seria dividido entre Guarani elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômet- No acerto foi decidido que a despesa total seria ros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena não havia ainda contribuédo pagaria a sua parte, e cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria considerado um dos maiores do mundo. contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas Na maioria das vezes em que são feitas referên- informações, qual foi o valor da cota calculada no cias à água, são usadas as unidades metro cúbico acerto final para cada uma das 55 pessoas? e litro, e não as unidades já descritas. A Compan- a) R$ 14,00 hia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo b) R$ 17,00 (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reser- c) R$ 22,00 vatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 d) R$ 32,00 milhões de litros. e) R$ 57,00 Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado). Solução: 10
- 11. Seja p0 a quanidade que cada uma das 50 pessoas Além disso, considere que os prismas I e III são pagariam no orçamento inicial. Temos então a perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II. seguinte equação: Imagine um plano paralelo à face a do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta 50p0 = T − 510 do poliedro II, indicado na figura. A interseção Em que T é o valor da despesa total. Com a entrada desse plano imaginário com a escultura contém de 5 pessoas, cada uma das 50 teve um aumento de a) dois triângulos congruentes com lados corre- R$ 7,00 e todo mundo passou a pagar agora p0 + 7, spondentes paralelos. ou seja, temos a equação que segue: b) dois retângulos congruentes e com lados corre- spondentes paralelos. 55(p0 + 7) = T c) dois trapézios congruentes com lados correspon- dentes perpendiculares. Temos então o seguinte sistema: d) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos. 50p0 = T − 510 e) dois quadriláteros congruentes com lados corre- 55(p0 + 7) = T spondentes perpendiculares. Subtraindo a segunda equação da primeira: Solução: 55p0 + 385 − 50p0 = T − T + 510 Como os prismas II e IV são respectivamente per- pendiculares aos prismas I e III eles são “paralelos”. Daí: Assim ao traçar um plano paralelo à I passando por P teremos seções tranversais em II e IV que 5p0 = 510 − 385 ⇒ p0 = 25 são triângulos com lados respectivemnte paralelos. Como, no final, foram adicionados sete reais, a Opção A conta para cada pessoa foi de 32 reais. Questão 154 Opção D A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao Questão 153 caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou Suponha que, na escultura do artista Emanoel 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os A distância em metros que o paciente ainda deve prismas numerados em algarismos romanos são caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa retos, com bases triangulares, e que as faces laterais é do poliedro II são perpendiculares à sua própria a) 1,16 metros face superior, que, por sua vez, é um triângulo b) 3,0 metros congruente ao triângulo da base dos prismas. c) 5,4 metros d) 5,6 metros e) 7,04 metros Solução: A figura abaixo representa a situação em questão: Teremos então a seguinte proporção: 11
- 12. 0, 8 2, 2 = 3, 2 x + 3, 2 Assim: 1 2, 2 = ⇒ x + 3, 2 = 8, 8 4 x + 3, 2 x = 5, 6 Opção D 12