Ap extra exercicios_n. complexos

NÚMEROS COMPLEXOS
C

R

z = a + bi

z = ρ (cosθ + isenθ )

2 3
−b −b b a
3
x + ax + b = 0 ⇒ x=3 + E +3 − E em que E =   +  
2 2 2 3

Apostila de Exercícios

Professor Gerson Henrique
Sejafera – o site do vestibular
meualuno.com

1- Efetue: 1 π π
A) (4 - i) + 1 - (6 + 3i)i d) z =  cos + isen 
5 2 2
B) (7 + 4i)(2 - 3i) + (6 - i)(2 + 5i)
 5π 5π 
3−i (2 − i ) 2 e) z = 4 cos + isen 
C) D)  3 3 
4 + 5i (3 − i ) 2
f) z = cos 0 + isen0
 3π 3π 
2- Efetue: i 1981 + i 1983 + i 1982 g) z = 2  cos + isen 
 2 2 
1 − 2i  7π 7π 
3- (STA. CASA) Se = a + bi, obtenha a e b. h) z = 2  cos + isen 
3 + i3  4 4 
π π
4- (CESCEM) Seja o número complexo z tal que 12- Sendo z = cos + isen , calcule:
6 6
zi = 3i − 2 z . Obtenha o módulo de z.
a) z4 b) z
8
c) z 18
5- (MACK) O número complexo z = x + yi é tal que
13- Calcule:
z − 3 = 2. Dê os intervalos de variação de x e y, 100
 1 3 
respectivamente a) ( 2 −i 2 )
6
b)  − +
 2 2 i

 
6- (U.E.LONDRINA) Sejam os números complexos 14 - Determine o menor inteiro positivo n, para que o
w = ( x − 1) + 2i e w = ( x − 1) + 2i , onde x, y E IR. Se
número (1 + 3i) n seja real.
w = v, então:
a) x + y = 4 b) x . y = 5
c) x – y = -4 d) x = 2y 15- Calcule as raízes quadradas de:
1 3
a) - 9 b) i c) - 2i d) + i
7- Calcule z em cada um dos seguintes casos: 2 2
a) z = -3 + 4i d)z = - 8 16- Calcule as raízes cúbicas de:
2 a) 27 b) 64i c) - i d) – 8
b) z = 1 + i z = (2 + i)
e)
1+ i 17- Calcule as raízes quartas de:
c) z = 2 + 2i f) z = 3
i
Nos exercícios de 8 a 10 escreva cada complexo z na forma a) 1 b) – 256 c) – 8 + 8 3i
trigonométrica.
18- Resolva as seguintes equações em C.
8- a) z = 2 +i 2 d) z = 2 − 2 3i a) x2 + 25 = 0 b) x – 8 = 0 c) x4 + 16 = 0
6
d) x + 1 = 0
1 3
b) z = − 3 +i e) z= + i
2 2
19 - (Cefet – 2007/2) Os pontos A, B e C são,
c) z = −1 − i 3 f) z = −1 + i respectivamente, os afixos dos números complexos z1 = 2 +
i , z2 = – 4 + i e z3 = bi , com b < 0, no plano de Argand-
9- a) z = 5 Gauss. Se a área do triângulo ABC é 12, então, b vale
b) z = i a) – 2 b) – 5/2
c) z = - 2 c) – 3 d) – 7/2
d) z = - 7i e) – 4

2 3 −i 20 - (Cefet – 2007/1) Se z é um número complexo e z seu
10- a) z = (1 + i ) b) z= conjugado, a solução da equação
3 +i
é:
11- Escreva z na forma algébrica. a) {1 + i, 2 + i} b) {1 – i, 2 + i}
c) {1 – i, 2 – i} d) {–1 + i, 2 + i}
 π π
a) z = 3  cos + isen  e) {1 + i, –2 + i}
 6 6
21 - (Cefet – 2006/1) Sejam z e w dois números complexos,
 3π 3π 
b) z = 6 cos + isen  tais que z tem parte real 8 e parte imaginária – 4, e w tem
 4 4  forma trigonométrica com módulo igual a 2 e ângulo 3π/4.
c) z = 2(cos π + isenπ ) O resultado da divisão de z por w é
a) 2 (3 + i ) b) 2 (1 3 i)

c) 2 (3 + i) d) 2 (3 + 3 i)
e) - 2 (1 − 3i )

22 - (Cefet – 2006/2) Numa progressão geométrica, em que
o primeiro termo é 1 – i e a razão é i , o décimo termo será
a) 2i b) 1 + i
c) 1 – i d) –1+ i
e) –1 – i

23 - (Cefet – 2005/2) O número complexo z , tal que
(5z + z ) ⋅ (2 + i ) = 60 , é

24 - (Cefet – 2004/1) Para que seja válida, entre números

complexos, a igualdade , o valor de
b deve ser igual a 2. DETERMINE o ponto de S mais próximo da origem.
a) –9 b) –6
c) 9 d) 6 ou –6
e) 9 ou –9 7 19 i
(2 − i )2 1) A = 7 – 6i B = 43 + 15i C = − i D= −
25 - (Cefet – 2003/2) O número complexo é 41 41 2
4 + 3i 1 1
igual a 2) −1 3) a = e b = −
a) –i b) -1 2 2
24 24 4) z= 5 5) 1 ≤ x ≤ 5 e − 2 ≤ y ≤ 2
c) +i d) i e) i
25 7

26 - (UFU – 2006/2) A representação geométrica do 6) a 7) a) 5 b) 2 c) 2 d) i

 π π
conjugado do número complexo em que i é a 8) a)z = 2 cos + isen 
unidade imaginária, encontra-se no  4 4
A) primeiro quadrante. B) segundo quadrante.
 5π 5π 
C) terceiro quadrante. D) quarto quadrante. b) z = 2 cos + isen 
 6 6 
27 - (Efoa) Seja i a unidade imaginária, i = − 1 . O valor  4π 4π 
c) z = 2 cos + isen 
da expressão
(1 + i )5 é:
 3 3 
(1 − i )3  5π 5π 
d) z = 4 cos + isen 
a) 1 b) − 2  3 3 
c) 2 i d) − 2 i  π π
e) z =  cos + isen 
e) 2  3 3
 π π
28 - (UFMG - 2008) f) z = 2  cos + isen 
1. ESCREVA na forma trigonométrica os números  3 3
9) a) z = 5(cos 0 + isen0 )
complexos em que i2 = – 1 .
 π π
b) z =  cos + isen 
2. CALCULE os menores inteiros positivos m e n tais  2 2
que c) z = 2(cos π + isenπ )
 3π 3π 
29 - (UFMG – 2007) (Constituída de dois itens.) d) z = 7 cos + isen 
Seja S o conjunto de números complexos z tais que  2 2 
| z – (2 + 4i) | = 2 .  π π
1. No plano complexo abaixo, FAÇA o esboço de S, sendo 10) a) z = 2 cos + isen 
z = x + iy, com x e y números reais.  2 2

5π 5π  4 5 − 4 8 5 −8
b) z = 2 cos + isen  2 . Z ( próximo ) = + i
 3 3  5 5
3 3
11) a) z = + i
2 2
b) z = −3 2 + 3 2i

1
c) z = −2 d) z = i
5
e) z = 2 − 2 3i f) z = 1

g) z = − 2i h) z = 1 − i

12) a) − 2 + 2 3i b) − 8 − 8 3i c) 512
1 3
13) a) 64i b) − + i
2 2
14) n = 3

2 2 2 2
15) a) 3i e -3i + b) ie − − i
2 2 2 2
3 1
c) − 2 + 2i e − − i
2 2
3 1 3 1
d) + ie− − i
2 2 2 2

3 3 3 3 3 3
− +
16) a) 3 ; i; − − i
2 2 2 2
b) 2 3 + 2i ; − 2 3 + 2i ; 4i
3 1 3 1
c) i ; − − i; + i
2 2 2 2
d) 1 + 3i ; − 2 ; 1− 3i

17) a) 1, i, -1, i
b)2 2 + 2 2i ; − 2 2 + 2 2i ; − 2 2 − 2 2i ;
2 2 − 2 2i

18) a) S = {− 5i,5i}
{
b) S = 2;−1 + 3i;−1 − 3i }
c) S = { 2 + 2i;− 2 + 2i;− 2 − 2i; 2 − 2i }
 3 1 3 1 3 1 3 1 
d) S =  + i; i;− + i;− − i; − i
 2 2 2 2 2 2 2 2 

19) c 20) d 21) e 22) b 23) a 24) a 25) a
26) b 27) e 28) 1 - 2(cos 30 + isen 30 ) e
0 0

4(cos 45 + isen45 ) 2 – m = 48 e n = 24
0 0

29) 1 . Esboço de uma circunferência de centro (2,4) e raio
2.

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