03 raciocinio logico-1

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Enfermeiro
Noções básicas da lógica matemática: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica,
argumentos válidos, problemas com tabelas e argumentação. ................................................................1
Números decimais. Valor absoluto. Propriedades no conjunto dos números naturais. Decomposição
de um número natural em fatores primos. Múltiplos e divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo
comum de dois números naturais. .........................................................................................................44
Verdades e Mentiras: resolução de problemas. ................................................................................67
Sequências (com números, com figuras, de palavras). .....................................................................72
Análise combinatória e probabilidade. .............................................................................................102
Problemas envolvendo raciocínio lógico. Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas,
lugares, objetos ou eventos fictícios, orientação espacial e temporal, formação de conceitos,
discriminação de elementos. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses,
conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. .........................................................................123
Estatística: Conceitos fundamentais de estatística descritiva (população, amostra e amostragem).
Organização de dados (tabelas e gráficos) e medidas de tendência central (média, modal e
mediana). .............................................................................................................................................162
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Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la.
Bons estudos!
1342178 E-book gerado especialmente para ALOISIO AMARAL DE SOUZA JUNIOR

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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores @maxieduca.com.br
ESTRUTURAS LÓGICAS
A lógica a qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência
autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração)
do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material.
Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da lógica aristotélica. Apesar dos enormes
avanços da lógica, sobretudo a partir do século XIX, a matriz aristotélica persiste até aos nossos dias. A
lógica de Aristóteles tinha objetivo metodológico, a qual tratava de mostrar o caminho correto para a
investigação, o conhecimento e a demonstração científicas. O método científico que ele preconizava
assentava nos seguintes fases:
1. Observação de fenômenos particulares;
2. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos obedeciam;
3. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particulares.
Por este e outros motivos Aristóteles é considerado o pai da Lógica Formal.
A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. A lógica
matemática consiste em um sistema dedutivo de enunciados que tem como objetivo criar um grupo de
leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é
possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras.
Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionado a maneira específica de
raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que
envolvem questões matemáticas, os sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver
essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio.
O estudo das estruturas lógicas, consiste em aprendemos a associar determinada preposição ao
conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o
aprendizado.
Conceito de proposição
Chama-se proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou
uma ideia de sentido completo. Assim, as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam,
declaram fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes.
Elas devem possuir além disso:
- um sujeito e um predicado;
- e por último, deve sempre ser possível atribuir um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).
Preenchendo esses requisitos estamos diante de uma proposição.
Vejamos alguns exemplos:
A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar
Analisando temos:
- Quem é o maior planeta do sistema Solar? Júpiter, logo tem um sujeito e um predicado;
- É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa) e;
- Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si.
Noções básicas da lógica matemática: proposições, conectivos,
equivalência e implicação lógica, argumentos válidos, problemas com
tabelas e argumentação.

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B) Salvador é a capital do Brasil.
C) Todos os músicos são românticos.
A todas as frases podemos atribuir um valor lógico (V ou F).
TOME NOTA!!!
Uma forma de identificarmos se uma frase simples é ou não considerada frase lógica, ou sentença,
ou ainda proposição, é pela presença de:
- sujeito simples: "Carlos é médico";
- sujeito composto: "Rui e Nathan são irmãos";
- sujeito inexistente: "Choveu"
- verbo, que representa a ação praticada por esse sujeito, e estar sujeita à apreciação de julgamento
de ser verdadeira (V) ou falsa (F), caso contrário, não será considerada proposição.
Atenção: orações que não tem sujeito, NÃO são consideradas proposições lógicas.
Princípios fundamentais da lógica
A Lógica matemática adota como regra fundamental três princípios1
(ou axiomas):
I – PRÍNCIPIO DA IDENTIDADE: uma proposição verdadeira é verdadeira;
uma proposição falsa é falsa.
II – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser
verdadeira E falsa ao mesmo tempo.
III – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é
verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um desses casos, NUNCA existindo
um terceiro caso.
Se esses princípios acimas não puderem ser aplicados, NÃO podemos classificar uma frase como
proposição.
Valores lógicos das proposições
Chamamos de valor lógico de uma proposição a verdade, se a proposição é verdadeira (V), e a
falsidade, se a proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos
verdade e falsidade respectivamente.
Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos:
a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. (V)
b) A densidade da madeira é maior que a da água. (F)
A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem do contexto para sua
análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a proposição simples:
“Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira (do ponto de vista da religião espírita) ou falsa
(do ponto de vista da religião católica); mesmo assim, em ambos os casos, seu valor lógico é único — ou
verdadeiro ou falso.
Classificação das proposições
As proposições podem ser classificadas em:
1 Algumas bibliografias consideram apenas dois axiomas o II e o III.

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1) Proposições simples (ou atômicas): são formadas por um única oração, sem conectivos, ou seja,
elementos de ligação. Representamos por letras minusculas: p, q, r,... .
Exemplos:
O céu é azul.
Hoje é sábado.
2) Proposições compostas (ou moleculares): possuem elementos de ligação (conectivos) que ligam
as orações, podendo ser duas, três, e assim por diante. Representamos por letras maiusculas: P, Q, R,
... .
Exemplos:
O ceu é azul ou cinza.
Se hoje é sábado, então vou a praia.
Observação: os termos em destaque são alguns dos conectivos (termos de ligação) que utilizamos
em lógica matemática.
3) Proposição (ou sentença) aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso
para ela (ou valorar a proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças
abertas:
a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é verdadeira”
(expressão paradoxal) – O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 3 + 7
4) Proposição (sentença) fechada: quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele
verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica.
Observe os exemplos:
Frase Sujeito Verbo Conclusão
Maria é baiana Maria (simples) É (ser) É uma frase lógica
Lia e Maria têm dois irmãos Lia e Maria (composto) Têm (ter) É uma frase lógica
Ventou hoje Inexistente Ventou (ventar) É uma frase lógica
Um lindo livro de literatura Um lindo livro Frase sem verbo NÂO é uma frase lógica
Manobrar esse carro Frase sem sujeito Manobrar NÂO é uma frase lógica
Existe vida em Marte Vida Existir É uma frase lógica
Sentenças representadas por variáveis
a) x + 4 > 5;
b) Se x > 1, então x + 5 < 7;
c) x = 3 se, e somente se, x + y = 15.
Observação: Os termos “atômicos” e “moleculares” referem-se à quantidade de verbos presentes na
frase. Consideremos uma frase com apenas um verbo, então ela será dita atômica, pois se refere a
apenas um único átomo (1 verbo = 1 átomo); consideremos, agora, uma frase com mais de um verbo,
então ela será dita molecular, pois se refere a mais de um átomo (mais de um átomo = uma molécula).
Conceito de Tabela Verdade
É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada
proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do
Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade)
ou F (falsidade).
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das
proposições simples que a compõe.

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O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos
das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.
Questões
01. (Pref. Tanguá/RJ- Fiscal de Tributos – MS CONCURSOS/2017) Qual das seguintes sentenças
é classificada como uma proposição simples?
(A) Será que vou ser aprovado no concurso?
(B) Ele é goleiro do Bangu.
(C) João fez 18 anos e não tirou carta de motorista.
(D) Bashar al-Assad é presidente dos Estados Unidos.
02. (IF/PA- Auxiliar de Assuntos Educacionais – IF/PA/2016) Qual sentença a seguir é considerada
uma proposição?
(A) O copo de plástico.
(B) Feliz Natal!
(C) Pegue suas coisas.
(D) Onde está o livro?
(E) Francisco não tomou o remédio.
03. (Cespe/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
• “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
• A expressão x + y é positiva.
• O valor de √4 + 3 = 7.
• Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
• O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Respostas
01. Resposta: D.
Analisando as alternativas temos:
(A) Frases interrogativas não são consideradas proposições.
(B) O sujeito aqui é indeterminado, logo não podemos definir quem é ele.
(C) Trata-se de uma proposição composta
(D) É uma frase declarativa onde podemos identificar o sujeito da frase e atribuir a mesma um valor
lógico.
02. Resposta: E.
Analisando as alternativas temos:
(A) Não é uma oração composta de sujeito e predicado.
(B) É uma frase imperativa/exclamativa, logo não é proposição.
(C) É uma frase que expressa ordem, logo não é proposição.
(D) É uma frase interrogativa.
(E) Composta de sujeito e predicado, é uma frase declarativa e podemos atribuir a ela valores lógicos.

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03. Resposta: B.
Analisemos cada alternativa:
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não
é uma sentença lógica.
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica.
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente
do resultado que tenhamos
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não
estamos considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a
sentença).
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase
interrogativa.
ESTUDO DAS PROPOSIÇÕES E DOS CONECTIVOS
Definições
- Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte
integrante de si mesma. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s...,
chamadas letras proposicionais.
Exemplos
r: Carlos é careca.
s: Pedro é estudante.
a: O céu é verde.
- Proposições compostas (ou moleculares): aquela formada pela combinação de duas ou mais
proposições simples. Elas também são chamadas de estruturas lógicas. As proposições compostas são
designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
Exemplos
P: Carlos é careca e Pedro é estudante.
Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante.
R: Se Carlos é careca, então é triste.
Observamos que todas as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
No campo gramatical conseguimos identificar uma porposição simples ou composta pela quantidade
de verbos existentes na frase. Então uma frase que contenha um verbo é uma proposição simples, que
contenha mais de um verbo é uma proposição composta. Este conceito não foge ao aplicado aos do
princípios lógicos.
Operadores Lógicos
Temos dois tipos
- os modificadores: têm por finalidade modificar (alterar) o valor lógico de uma proposição, seja ela
qual for.
Exemplo:
Não vou trabalhar neste sábado. (o não modificou o valor lógico).
- os conectivos (concectores lógicos): palavras usadas para formar novas proposições a partir de
outras, ou seja, unindo-se ou conectando-se duas ou mais proposições simples.
Exemplos:
1) O número 2 é par E o número 16 é um quadrado perfeito. (conectivo “e”)
2) OU Carlos viaja OU Pedro trabalha. (conectivo “ou”)
3) SE o Brasil jogar com seriedade, ENTÂO Portugual não será campeã.(concectivo “ se ... então”)
4) Luciana casa SE, E SOMENTE SE, Pedro arranjar um emprego (conectivo “se, e somente se..”)
Em Lógica são considerados operadores lógicos as seguintes palavras:

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Também podemos representar a negação utilizando o símbolo “¬” (cantoneira).
Estudo dos Operadores e Operações Lógicas
Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos
cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores
das proposições.
1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico
é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico
oposto daquele de p.
Pela tabela verdade temos:
Simbolicamente temos:
~V = F ; ~F = V
V(~p) = ~V(p)
Exemplos
Proposição (afirmações): p Negação: ~p
Carlos é médico Carlos NÂO é médico
Juliana é carioca Juliana NÂO é carioca
Nicolas está de férias Nicolas NÂO está de férias
Norberto foi trabalhar NÃO É VERDADE QUE Norberto foi trabalhar
A primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos temos passam a
ter como valor lógico a falsidade.
- Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:”
Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”, vamos obter a
seguinte proposição ~p: “Netuno NÂO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a
proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planta mais distante do Sol”,
sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua
proposição primitiva.
p ≡ ~(~p)
Observação: O termo “equivalente” está associado aos “valores lógicos” de duas fórmulas lógicas,
sendo iguais pela natureza de seus valores lógicos.
Exemplo:
1. Saturno é um planeta do sistema solar.
2. Sete é um número real maior que cinco.

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Sabendo-se da realidade dos valores lógicos das proposições “Saturno é um planeta do sistema solar”
e “Sete é um número rela maior que cinco”, que são ambos verdadeiros (V), conclui-se que essas
proposições são equivalentes, em termos de valores lógicos, entre si.
2) Conjunção – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições, p e q, são ambas
verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos.
Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”).
Exemplos
(a)
p: A neve é branca. (V)
q: 3 < 5. (V)
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V
(b)
p: A neve é azul. (F)
q: 6 < 5. (F)
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ F = F
(c)
p: Pelé é jogador de futebol. (V)
q: A seleção brasileira é octacampeã. (F)
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F
(d)
q: 7 é número impar. (V)
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F
- O valor lógico de uma proposição simples “p” é indicado por V(p). Assim, exprime-se que “p” é
verdadeira (V), escrevendo:
V(p) = V
- Analogamente, exprime-se que “p” é falsa (F), escrevendo:
V(p) = F
- As proposições compostas, representadas, por exemplo, pelas letras maiúsculas “P”, “Q”, “R”, “S” e
“T”, terão seus respectivos valores lógicos representados por:
V(P), V(Q), V(R), V(S) e V(T).
3) Disjunção inclusiva – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de
duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando
pelo menos umas proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas.
Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”).

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Exemplos
(a)
q: 3 < 5. (V)
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v V = V
(b)
q: 6 < 5. (F)
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v F = F
(c)
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V
(d)
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V
4) Disjução exclusiva ( v ): chama-se dijunção exclusica de duas proposições p e q, cujo valor lógico
é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas
veradeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas veradeiras ou ambas falsas.
Simbolicamente: “p v q” (lê-se; “OU p OU q”; “OU p OU q, MAS NÃO AMBOS”).
Para entender melhor vamos analisar o exemplo.
p: Nathan é médico ou professor. (ambas podem ser verdeiras, ele pode ser as duas coisas ao mesmo
tempo, uma condição não exclui a outra – disjunção inclusiva).
Podemos escrever:
Nathan é médico ^ Nathan é professor
q: Mario é carioca ou paulista (aqui temos que se Mario é carioca implica que ele não pode ser paulista,
as duas coisas não podem acontecer ao mesmo tempo – disjunção exlcusiva).
Reescrevendo:
Mario é carioca v Mario é paulista.
Exemplos
a) Plínio pula ou Lucas corre, mas não ambos.
b) Ou Plínio pula ou Lucas corre.
5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional
representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa
e a verdade (V) nos demais casos.
Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p).
p é o antecendente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação.

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Exemplos
(a)
q: 3 < 5. (V)
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V
(b)
q: 6 < 5. (F)
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V
(c)
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F
(d)
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V
6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas
bicondicional representada por “p se e soemnete se q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são
ambas verdadeiras ou falsas e a falsidade (F) nos demais casos.
Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q; q é condição ncessária e
suficiente para p).
Exemplos
(a)
q: 3 < 5. (V)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V
(b)
q: 6 < 5. (F)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V
(c)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F

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(d)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F
Transformação da linguaguem corrente para a simbólica
Este é um dos tópicos mais vistos em diversas provas e por isso vamos aqui detalhar de forma a
sermos capazes de resolver questões deste tipo.
Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por:
p: Luciana estuda.
q: João bebe.
r: Carlos dança.
Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P ”, “Q ”, “R ”, “S ”, “T ”, “U ”, “V ”
e “X ” representadas por:
P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança.
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda.
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe.
O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições.
Depois reescrevermos de forma simbólica, vajamos:
Juntando as informações temos que, P: (p ^ q) → ~r
Continuando:
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana estuda.
Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p).
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe.
(p v r) ↔ ~q
Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”,
quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes.
- O uso de parêntesis
A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de
ambiguidade, assim na proposição, por exemplo, p ^ q v r, nos dá a seguinte proposições:
(I) (p ^ q) v r - Conectivo principal é da disjunção.
(II) p ^ (q v r) - Conectivo principal é da conjunção.
As quais apresentam significados diferentes, pois os conectivos principais de cada proposição
composta dá valores lógicos diferentes como conclusão.
Agora observe a expressão: p ^ q → r v s, dá lugar, colocando parêntesis as seguintes proposições:
a) ((p ^ q) → r) v s
b) p ^ ((q → r) v s)

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c) (p ^ (q → r)) v s
d) p ^ (q → (r v s))
e) (p ^ q) → (r v s)
Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os
parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente,
ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a
algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes:
1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é:
(I) ~ (negação)
(II) ^, v (conjunção ou disjunção têm a mesma precedência, operando-se o que ocorrer primeiro, da
esquerda para direita).
(III) → (condicional)
(IV) ↔ (bicondicional)
Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”.
Logo: Os símbolos → e ↔ têm preferência sobre ^ e v.
Exemplo
p → q ↔ s ^ r , é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la
numa condicional há que se usar parêntesis:
p →( q ↔ s ^ r )
E para convertê-la em uma conjunção:
(p → q ↔ s) ^ r
2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os
parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda.
Segundo estas duas convenções, as duas seguintes proposições se escrevem:
Proposição Nova forma de escrever a proposição
((~(~(p ^ q))) v (~p)) ~~ (p ^ q) v ~p
((~p) → (q → (~(p v r)))) ~p→ (q → ~(p v r))
- Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos):
“¬” (cantoneira) para negação (~).
“●” e “&” para conjunção (^).
“‫”ﬤ‬ (ferradura) para a condicional (→).
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões
(Fonte: http://www laifi.com.)
ESTUDO DA TABELA VERDADE
Sabemos que tabela verdade é toda tabela que atribui, previamente, os possíveis valores lógicos que
as proposições simples podem assumir, como sendo verdadeiras (V) ou falsas (F), e, por consequência,
permite definir a solução de uma determinada fórmula (proposição composta).

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De acordo com o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples “p” é verdadeira ou falsa, ou
seja, possui o valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade).
Em se tratando de uma proposição composta, a determinação de seu valor lógico, conhecidos os
valores lógicos das proposições simples componentes, se faz com base no seguinte princípio, vamos
relembrar:
O valor lógico de qualquer proposição composta depende
UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples
componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.
Para determinarmos esses valores recorremos a um dispositivo prático que é o objeto do nosso estudo:
A tabela verdade. Em que figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (sua
solução) correspondente a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples
componentes.
Número de linhas de uma Tabela Verdade
O número de linhas de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a
integram, sendo dado pelo seguinte teorema:
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simpleste componentes
contém 2n
linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”)
Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um
para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada
linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise
Combinatória.
Construção da tabela verdade de uma proposição composta
Para sua construção começamos contando o número de proposições simples que a integram. Se há
n proposições simples componentes, então temos 2n
linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples
“p1” 2n
/ 2 = 2n -1
valores V , seguidos de 2n – 1
valores F, e assim por diante.
Exemplos:
1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n
=22
= 4 linhas e 2n – 1
= 22 - 1
= 2, temos para a 1ª proposição
2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam
de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). Observe a ilustração, a primeira parte dela
corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita.
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html)
2) Neste caso temos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2n
=23
= 8 linhas e 2n – 1
= 23
- 1
= 4, temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição
temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos
valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição).

. 13
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html)
Exemplo
Vamos construir a tabela verdade da proposição:
P(p,q) = ~ (p ^ ~q)
1º Resolução) Vamos formar os par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q.
Em seguida a coluna para ~q , depois a coluna para p ^ ~q e a útima contento toda a proposição ~ (p ^
~q), atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos.
p q ~q p ^~q ~ (p ^ ~q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
2º Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q ,
depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem
a proposição composta.
p q ~ (p ^ ~ q)
V V
V F
F V
F F
Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os
valores lógicos.
p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q)
V V V V V V V F V V V V F F V
V F V F V F V V F V F V V V F
F V F V F V F F V F V F F F V
F F F F F F F V F F F F F V F
1 1 1 2 1 1 3 2 1
p q ~ (p ^ ~ q)
V V V V F F V
V F F V V V F
F V V F F F V
F F V F F V F
4 1 3 2 1
Observe que vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os
operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que
correspondem a todas possíveis atribuições de p e q de modo que:

. 14
P(V V) = V, P(V F) = F, P(F V) = V, P(F F) = V
A proposição P(p,q) associa a cada um dos elementos do conjunto U – {VV, VF, FV, FF} com um
ÚNICO elemento do conjunto {V,F}, isto é, P(p,q) outra coisa não é que uma função de U em {V,F}
P(p,q): U → {V,F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:
3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas
às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada:
~ (p ^ ~ q)
V V F F V
F V V V F
V F F F V
V F F V F
4 1 3 2 1
Vejamos mais alguns exemplos:
(FCC) Com relação à proposição: “Se ando e bebo, então caio, mas não durmo ou não bebo”. O
número de linhas da tabela-verdade da proposição composta anterior é igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Vamos contar o número de verbos para termos a quantidade de proposições simples e distintas
contidas na proposição composta. Temos os verbos “andar’, “beber”, “cair” e “dormir”. Aplicando a fórmula
do número de linhas temos:
Número de linhas = 2n
= 24
= 16 linhas.
Resposta D.
(Cespe/UnB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas
da tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, então teremos:
Número de linhas = 2n
= 24
= 16 linhas.
Resposta D.
Conceitos de Tautologia , Contradição e Contigência
Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), V (verdades).
Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), F (falsidades).
Contigência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade (última coluna).

. 15
Questão
01. (MEC – Conhecimentos básicos para os Postos 9,10,11 e 16 – CESPE/2015)
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam
proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo.
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na
posição horizontal é igual a
( ) Certo ( ) Errado
Resposta
01. Resposta: Certo.
P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos:
R Q P [ P v (Q ↔ R) ]
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V V V F F V
V F F F F F F V
F V V V V V F F
F V F F F V F F
F F V V V F V F
F F F F V F V F
IMPLICAÇÃO LÓGICA
Uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...) se
Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V), ou seja, a proposição P implica
a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia.
Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
A não ocorrência de VF na tabela verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P →
Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia.

. 16
Observação: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a
condicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou
não existir entre duas proposições.
Exemplo:
A tabela verdade da condicional (p ^ q) → (p ↔ q) será:
p q p ^ q p ↔ q (p ^ q) → (p ↔ q)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
Portanto, (p ^ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p ^ q) ⇒ (p ↔q).
Em particular:
- Toda proposição implica uma Tautologia: p ⇒ p v ~p
p p v ~p
V V
F V
- Somente uma contradição implica uma contradição: p ^ ~p ⇒ p v ~p → p ^ ~p
p ~p p ^ ~p p v ~p → p ^ ~p
V F F F
F V F F
Propriedades da Implicação Lógica
A implicação lógica goza das propriedades reflexiva e transitiva:
Reflexiva: P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
Uma proposição complexa implica ela mesma
Transitiva: Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
Exemplificação e Regras de Inferência
Inferência é o ato de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamente
verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras
já existentes. Vejamos as regras de inferência obtidas da implicação lógica:
1 – A tabela verdade das proposições p ^ q, p v q , p ↔ q é:
A proposição “p ^ q” é verdadeira (V) somente na 1ª linha, e também nesta linha as proposições “p v
q” e “p → q” também são. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições.
Então:
p ^ q ⇒ p v q
p ^ q ⇒ p → q

. 17
A tabela acima também demonstram as importantes Regras de Inferência:
Adição – p ⇒ p v q e q ⇒ p v q
Simplificação – p ^ q ⇒ p e p ^ q ⇒ q
2 – A tabela verdade das proposições p ↔ q, p → q e q → p, é:
L p q p ↔ q p → q q → p
1ª V V V V V
2ª V F F F V
3ª F V F V F
4ª F F V V V
A proposição “p ↔ q” é verdadeira (V) na 1ª e 4ª linha e as proposições “p → q” e “q → p” também são
verdadeiras. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. Então:
p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p
3 - Dada a proposição: (p v q) ^ ~p sua tabela verdade é:
p q p v q ~p (p v q) ^ ~p
V V V F F
V F V F F
F V V V V
F F F V F
Esta proposição é verdadeira somente na 3ª linha e nesta linha a proposição “q” também verdadeira,
logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada Regra do Silogismo disjuntivo.
(p v q) ^ ~p ⇒ q
É válido também: (p v q) ^ ~q ⇒ p
4 – A tabela verdade da proposição (p → q) ^ p é:
A proposição é verdadeira somente na 1ª linha, e nesta linha a proposição “q” também é verdadeira,
logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, também denominada Regra de Modus ponens.
(p → q) ^ p ⇒ q
5 – A tabela verdade das proposições (p → q) ^ ~q e ~p é:

. 18
A proposição (p → q) ^ ~q é verdadeira somente na 4º linha e nesta a proposição “~p” também é
verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada de Regra Modus tollens.
(p → q) ^ ~q ⇒ ~p
Observe que “~p” implica “p → q”, isto é: ~p ⇒ p → q
Recapitulando as Regras de Inferência aplicadas a Implicação Lógica:
Adição p ⇒ p v q
q ⇒ p v q
Simplificação p ^ q ⇒ p
p ^ q ⇒ q
Silogismo disjuntivo (p v q) ^ ~p ⇒ q
(p v q) ^ ~q ⇒ p
Modus ponens (p → q) ^ p ⇒ q
Modus tollens (p → q) ^ ~q ⇒ ~p
Questão
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Renato falou a verdade quando
disse:
• Corro ou faço ginástica.
• Acordo cedo ou não corro.
• Como pouco ou não faço ginástica.
Certo dia, Renato comeu muito.
É correto concluir que, nesse dia, Renato:
(A) correu e fez ginástica;
(B) não fez ginástica e não correu;
(C) correu e não acordou cedo;
(D) acordou cedo e correu;
(E) não fez ginástica e não acordou cedo.
Resposta
01. Resposta: D.
Na disjunção, para evitarmos que elas fiquem falsas, basta por uma das proposições simples como
verdadeira, logo:
"Renato comeu muito"
Como pouco ou não faço ginástica
F V
Corro ou faço ginástica
V F
Acordo cedo ou não corro
V F
Portanto ele:
Comeu muito
Não fez ginástica
Corrreu, e;
Acordou cedo
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS
Diz-se que duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo
estruturas lógicas diferentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são
CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES.

. 19
Exemplo:
Dada as proposições “~p → q” e “p v q” verificar se elas são equivalentes.
Vamos montar a tabela verdade para sabermos se elas são equivalentes.
p q ~p → q p v q
V V F V V V V V
V F F V F V V F
F V V V V F V V
F F V F F F F F
Observamos que as proposições compostas “~p → q” e “p ∨ q” são equivalentes.
~p → q ≡ p ∨ q ou ~p → q ⇔ p ∨ q, onde “≡” e “⇔” são os símbolos que representam a equivalência
entre proposições.
Equivalência fundamentais (Propriedades Fundamentais): a equivalência lógica entre as
proposições goza das propriedades simétrica, reflexiva e transitiva.
1 – Simetria (equivalência por simetria)
a) p ^ q ⇔ q ^ p
p q p ^ q q ^ p
V V V V V V V V
V F V F F F F V
F V F F V V F F
F F F F F F F F
b) p v q ⇔ q v p
p q p v q q v p
V V V V V V V V
V F V V F F V V
F V F V V V V F
F F F F F F F F
c) p ∨ q ⇔ q ∨ p
p q p v q q v p
V V V F V V F V
V F V V F F V V
F V F V V V V F
F F F F F F F F
d) p ↔ q ⇔ q ↔ p
p q p ↔ q q ↔ p
V V V V V V V V
V F V F F F F V
F V F F V V F F
F F F V F F V F
2 - Reflexiva (equivalência por reflexão)
p → p ⇔ p → p
p p p → p p → p
V V V V V V V V
F F F V F F V F
3 – Transitiva
Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) E
Q(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) ENTÃO
P(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) .

. 20
Equivalências notáveis:
1 - Distribuição (equivalência pela distributiva)
a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p q r p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r)
V V V V V V V V V V V V V V V
V V F V V V V F V V V V V F F
V F V V V F V V V F F V V V V
V F F V F F F F V F F F V F F
F V V F F V V V F F V F F F V
F V F F F V V F F F V F F F F
F F V F F F V V F F F F F F V
F F F F F F F F F F F F F F F
b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p q r p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r)
V V F V V V F F V V V V V V F
V F V V V F F V V V F V V V V
V F F V V F F F V V F V V V F
F V V F V V V V F V V V F V V
F V F F F V F F F V V F F F F
F F V F F F F V F F F F F V V
2 - Associação (equivalência pela associativa)
a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)
p q r p ^ (q ^ r) (p ^ q) ^ (p ^ r)
V V F V F V F F V V V F V F F
V F V V F F F V V F F F V V V
V F F V F F F F V F F F V F F
F V V F F V V V F F V F F F V
F V F F F V F F F F V F F F F
F F V F F F F V F F F F F F V
b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r)
p q r p v (q v r) (p v q) v (p v r)
V V F V V V V F V V V V V V F
V F V V V F V V V V F V V V V
V F F V V F F F V V F V V V F
F V V F V V V V F V V V F V V
F V F F V V V F F V V V F F F
F F V F V F V V F F F V F V V
3 – Idempotência
a) p ⇔ (p ∧ p)
p p p ^ p
V V V V V
F F F F F

. 21
b) p ⇔ (p ∨ p)
p p p v p
V V V V V
F F F F F
4 - Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira, apenas
invertendo-se e negando-se as proposições simples que as compõem.
1º caso – (p → q) ⇔ (~q → ~p)
p q p → q ~q → ~p
V V V V V F V F
V F V F F V F F
F V F V V F V V
F F F V F V V V
Exemplo:
p → q: Se André é professor, então é pobre.
~q → ~p: Se André não é pobre, então não é professor.
2º caso: (~p → q) ⇔ (~q → p)
p q ~p → q ~q → p
V V F V V F V V
V F F V F V V V
F V V V V F V F
F F V F F V F F
Exemplo:
~p → q: Se André não é professor, então é pobre.
~q → p: Se André não é pobre, então é professor.
3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p)
p q p → ~q q → ~p
V V V F F V F F
V F V V V F V F
F V F V F V V V
F F F V V F V V
Exemplo:
p → ~q: Se André é professor, então não é pobre.
q → ~p: Se André é pobre, então não é professor.
4 º Caso: (p → q) ⇔ ~p v q
p q p → q ~p v q
V V V V V F V V
V F V F F F F F
F V F V V V V V
F F F V F V V F
Exemplo:
p → q: Se estudo então passo no concurso.
~p v q: Não estudo ou passo no concurso.
5 - Pela bicondicional
a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p), por definição

. 22
p q p ↔ q (p → q) ^ (q → p)
V V V V V V V V V V V V
V F V F F V F F F F V V
F V F F V F V V F V F F
F F F V F F V F V F V F
b) (p ↔ q) ⇔ (~q → ~p) ∧ (~p → ~q), aplicando-se a contrapositiva às partes
p q p ↔ q (~q → ~p) ^ (~p → ~q)
V V V V V F V F V F V F
V F V F F V F F F F V V
F V F F V F V V F V F F
F F F V F V V V V V V V
c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
p q p ↔ q (p ^ q) v (~p ^ ~q)
V V V V V V V V V F F F
V F V F F V F F F F F V
F V F F V F F V F V F F
F F F V F F F F V V V V
6 - Pela exportação-importação
[(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)]
p q r [(p ^ q) → r] [p → (q → r)]
V V V V V V V V V V V V V
V V F V V V F F V F V F F
V F V V F F V V V V F V V
V F F V F F V F V V F V F
F V V F F V V V F V V V V
F V F F F V V F F V V F F
F F V F F F V V F V F V V
F F F F F F V F F V F V F
Proposições Associadas a uma Condicional (se, então)
Chama-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionadas que contêm p e q:
– Proposições recíprocas: p → q: q → p
– Proposição contrária: p → q: ~p → ~q
– Proposição contrapositiva: p → q: ~q → ~p
Observe a tabela verdade dessas quatro proposições:
Note que:

. 23
Observamos ainda que a condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua contrária ~p → ~q NÃO
SÃO EQUIVALENTES.
Exemplos:
p → q: Se T é equilátero, então T é isósceles. (V)
q → p: Se T é isósceles, então T é equilátero. (F)
Exemplo:
Vamos determinar:
a) A contrapositiva de p → q
b) A contrapositiva da recíproca de p → q
c) A contrapositiva da contrária de p → q
Resolução:
a) A contrapositiva de p → q é ~q → ~p
A contrapositiva de ~q → ~p é ~~p → ~~q ⇔ p → q
b) A recíproca de p → q é q → p
A contrapositiva q → q é ~p → ~q
c) A contrária de p → q é ~p → ~q
A contrapositiva de ~p → ~q é q → p
Equivalência “NENHUM” e “TODO”
1 – NENHUM A é B ⇔ TODO A é não B.
Exemplo:
Nenhum médico é tenista ⇔ Todo médico é não tenista (= Todo médico não é tenista)
2 – TODO A é B ⇔ NENHUM A é não B.
Exemplo:
Toda música é bela ⇔ Nenhuma música é não bela (= Nenhuma música é bela)
Questões
01. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV/2016) Considere a sentença:
“Corro e não fico cansado".
Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é:
(A) Se corro então fico cansado.
(B) Se não corro então não fico cansado.
(C) Não corro e fico cansado.
(D) Corro e fico cansado.
(E) Não corro ou não fico cansado.
02. (TCE/RN – Conhecimentos Gerais para o cargo 4 – CESPE/2015) Em campanha de incentivo à
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres:
“O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel".
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura
o imóvel, então ele não o registra" seja verdadeira, julgue o item seguinte.
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador escritura o imóvel, ou não o
registra".
Respostas
01. Resposta: A.
A negação de P→Q é P ^ ~ Q
A equivalência de P-->Q é ~P v Q ou pode ser: ~Q-->~P

. 24
Relembrando temos que: Se p então q = Não p ou q. (p → q = ~p v q)
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – LEIS DE MORGAN
As Leis de Morgan ensinam
- Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que pelo
menos uma é falsa
- Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são
falsas.
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÂO transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO e
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
Vejamos:
– Negação de uma conjunção (Leis de Morgan)
Para negar uma conjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo CONJUNÇÃO pelo conectivo
DISJUNÇÃO.
~ (p ^ q) ⇔ (~p v ~q)
p q ~ (p ^ q) ~p v ~q
V V F V V V F F F
V F V V F F F V V
F V V F F V V V F
F F V F F F V V V
- Negação de uma disjunção (Lei de Morgan)
Para negar uma disjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo DISJUNÇÃO pelo conectivo-
CONJUNÇÃO.
~ (p v q) ⇔ (~p ^ ~q)
p q ~ (p v q) ~p ^ ~q
V V F V V V F F F
V F F V V F F F V
F V F F V V V F F
F F V F F F V V V
Exemplo:
Vamos negar a proposição “É inteligente e estuda”, vemos que se trata de uma CONJUNÇÂO, pela
Lei de Morgan temos que uma CONJUNÇÃO se transforma em uma DISJUNÇÃO, negando-se as partes,
então teremos:
“Não é inteligente ou não estuda”
Questões
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Considere a afirmação:
“Mato a cobra e mostro o pau"
A negação lógica dessa afirmação é:
(A) não mato a cobra ou não mostro o pau;
(B) não mato a cobra e não mostro o pau;
(C) não mato a cobra e mostro o pau;
(D) mato a cobra e não mostro o pau;
(E) mato a cobra ou não mostro o pau.

. 25
02. (CODEMIG – Advogado Societário – FGV/2015) Em uma empresa, o diretor de um departamento
percebeu que Pedro, um dos funcionários, tinha cometido alguns erros em seu trabalho e comentou:
“Pedro está cansado ou desatento."
A negação lógica dessa afirmação é:
(A) Pedro está descansado ou desatento.
(B) Pedro está descansado ou atento.
(C) Pedro está cansado e desatento.
(D) Pedro está descansado e atento.
(E) Se Pedro está descansado então está desatento.
Respostas
01. Resposta: A
02. Resposta: D.
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Quando se nega uma proposição composta primitiva, gera-se outra proposição também composta e
equivalente à negação de sua primitiva.
De modo geral temos que:
~ (p ♦ q) ⇔ (p ♪ q), onde “♦” e “♪” representam conectivos lógicos quaisquer.
Obs.: O símbolo “⇔” representa equivalência entre as proposições.
Tem-se que: “p ♪ q” é equivalente à negação de “p ♦ q” e ainda “p ♦ q” é uma proposição oposta à “p
♪ q”.
Vejamos:
– Negação de uma disjunção exclusiva
Por definição, ao negar-se uma DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, gera-se uma BICONDICIONAL.
~ (p v q) ⇔ (p ↔ q) ⇔ (p → q) ^ (q → p)
p q ~ (p v q) p ↔ q (p → q) ^ (q → p)
V V V V F V V V V V V V V V V V
V F F V V F V F F V F F F F V V
F V F F V V F F V F V V F V F F
F F V F F F F V F F V F V F V F
- Negação de uma condicional
Ao negar-se uma condicional, conserva-se o valor lógico de sua 1ª parte, troca-se o conectivo
CONDICIONAL pelo conectivo CONJUNÇÃO e nega-se sua 2ª parte.
~ (p → q) ⇔ (p ^ ~q) ⇔ ~~ p ^ ~q
p q ~ (p → q) p ^ ~q
V V F V V V V F F
V F V V F F V V V
F V F F V V F F F
F F F F V F F F V

. 26
- Negação de uma bicondicional
Ao negarmos uma bicondicional do tipo “p ↔ q” estaremos negando a sua formula equivalente dada
por “(p → q) ∧ (q → p)”, assim, negaremos uma conjunção cujas partes são duas condicionais: “(p → q)”
e “(q → p)”. Aplicando-se a negação de uma conjunção a essa bicondicional, teremos:
~ (p ↔ q) ⇔ ~ [(p → q) ∧ (q → p)] ⇔ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)]
p q ~ (p ↔ q) ~ [(p → q) ^ (q → p)] (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
V V F V V V F V V V V V V V V F F F V F F
V F V V F F V V F F F F V V V V V V F F F
F V V F F V V F V V F V F F F F F V V V V
F F F F V F F F V F V F V F F F V F F F V
DUPLA NEGAÇÃO (TEORIA DA INVOLUÇÃO)
– De uma proposição simples: p ⇔ ~ (~p)
p ~ (~ p)
V V F V
F F V F
- De uma condicional: p → q ⇔ ~p v q
A dupla negação de uma condicional dá-se por negar a 1ª parte da condicional, troca-se o conectivo
CONDICIONAL pela DISJUNÇÃO e mantém-se a 2ª parte. Ao negarmos uma proposição primitiva duas
vezes consecutivas, a proposição resultante será equivalente à sua proposição primitiva.
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES MATEMÁTICAS
Considere os seguintes símbolos matemáticos: igual (“=”); diferente (“≠”); maior que (“>”); menor que
(“<”); maior ou igual a (“≥”) e menor ou igual (“≤”). Estes símbolos, associados a números ou variáveis,
formam as chamadas expressões aritméticas ou algébricas.
Exemplo:
a) 5 + 6 = 11
b) 5 – 3 ≠ 4
c) 5 > 1
d) 7< 10
e) 3 + 5 ≥ 8
f) y + 5 ≤ 7
Para negarmos uma sentença matemática basta negarmos os símbolos matemáticos, assim
estaremos negando toda sentença, vejamos:
Sentença Matemática ou algébrica Negação Sentença obtida
5 + 6 = 11 ~ (5 + 6 = 11) 5 + 6 ≠ 11
5 – 3 ≠ 4 ~ (5 – 3 ≠ 4) 5 – 3 = 4
5 > 1 ~ (5 > 1) 5 ≤ 1
7< 10 ~ (7< 10) 7≥ 10
3 + 5 ≥ 8 ~ (3 + 5 ≥ 8) 3 + 5 < 8
y + 5 ≤ 7 ~ (y + 5 ≤ 7) y + 5 > 7
É comum a banca, através de uma assertiva, “induzir” os candidatos a cometerem um erro
muito comum, que é a negação dessa assertiva pelo resultado, utilizando-se da operação
matemática em questão para a obtenção desse resultado, e não, como deve ser, pela
negação dos símbolos matemáticos.
Exemplo:
Negar a expressão “4 + 7 = 16” não é dada pela expressão “4 + 7 = 11”, e sim por “4 + 7 ≠
16”

. 27
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Uma proposição categórica é aquela formada por um quantificador associado a um sujeito (primeira
classe de atributos) que se liga a um predicado (segunda classe de atributos) por meio de um elo (cópula).
De um modo geral, são todas as proposições formadas ou iniciadas com o seguintes termos: “todo”,
“algum” e “nenhum”.
Exemplo:
Numa proposição categórica, é importante que o sujeito se relacionar com o predicado de forma
coerente e que a proposição faça sentido, não importando se é verdadeira ou falsa.
Vejamos algumas formas:
1) Todo A é B.
2) Nenhum A é B.
3) Algum A é B.
4) Algum A não é B.
Onde temos que A e B são os termos ou características dessas proposições categóricas.
Exemplos:
Proposição categórica Termos ou características
TODO lutador é forte. lutador e forte
NENHUM atleta é ocioso atleta e ocioso
ALGUM estudante é canhoto estudante e canhoto
ALGUMA ilha não é habitável ilha e habitável
Classificação de uma proposição categórica de acordo com o tipo e a relação
As proposições categóricas também podem ser classificadas de acordo com dois critérios
fundamentais: qualidade e extensão ou quantidade.
Qualidade: O critério de qualidade classifica uma proposição categórica em afirmativa ou negativa.
Extensão: O critério de extensão ou quantidade classifica uma proposição categórica em universal ou
particular. A classificação dependerá do quantificador que é utilizado na proposição.
Universais {
universal afirmativa: TODO A é B.
universal negativa:NENHUM A é B.
Particulares {
particular afirmativa: ALGUM A é B.
partiular negativa:ALGUM A NÂO é B.
Entre as proposições existem tipos e relações, estas vem desde a época de Aristóteles, que de acordo
com a qualidade e a extensão, classificam-se em quatro tipos, representados pelas letras A, E, I e O.
Vejamos cada uma delas:

. 28
Universal afirmativa (Tipo A) – “TODO A é B”.
Tais proposições afirmam que o conjunto “A” está contido no conjunto “B”, ou seja, que todo e
qualquer elemento de “A” é também elemento de “B”. Observe que “Toda A é B” é diferente de “Todo
B é A”.
Exemplo:
“Todo sacerdote é altruísta” não significa o mesmo que “Toda pessoa altruísta é sacerdote”.
São equivalentes as seguintes expressões categóricas:
a) Todo animal é irracional.
b) Qualquer animal é irracional.
c) Cada animal é irracional.
d) Se é animal, é irracional.
Podemos representar esta universal afirmativa pelo seguinte diagrama (A C B):
Universal negativa (Tipo E) – “NENHUM A é B”.
Tais proposições afirmam que não há elementos em comum entre os conjuntos “A” e “B”. Observe que
“nenhum A é B” é o mesmo que dizer “nenhum B é A”.
Exemplo:
“Nenhum político é corrupto” possui o mesmo significado que “nenhuma pessoa corrupta é político”.
a) Nenhum político é honesto.
b) Todo político não é honesto.
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ∩ B = ø):
Particular afirmativa (Tipo I) - “ALGUM A é B”
Essas proposições Algum A é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um elemento em
comum com o conjunto “B”. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo A é
B. Observe “Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”.
Exemplo:
“Algum médico é estudioso” é o mesmo que “Alguma pessoa estudiosa é médico”.
a) Algum médico é estudioso.
b) Pelo menos um médico é estudioso.
c) Ao menos um médico é estudioso.
d) Existem médicos que são estudiosos.
e) Existe pelo menos um médico que é estudioso.
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ∩ B ≠ ø):

. 29
Particular negativa (Tipo O) - “ALGUM A não é B”
Proposições nessa foram Algum A não é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um
elemento que não pertence ao conjunto “B”. Observe que: Algum A não é B não significa o mesmo que
Algum B não é A.
Exemplo:
“Algum animal não é réptil” não é o mesmo que dizer que “Algum réptil não é animal”.
Serão consideradas equivalentes as seguintes expressões categóricas:
a) Algum químico não é matemático.
b) Algum químico é não matemático.
c) Algum não matemático é químico.
d) Nem todo químico é matemático.
e) Existe um químico que não é matemático.
f) Pelo menos um químico não é matemático.
g) Ao menos um químico não é matemático.
h) Existe pelo menos um químico que não é matemático.
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ¢ B):
Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais
dos verbos “ser” e “estar”, tais como “é”, “são”, “está”, “foi”, “eram”, ...,
como “elo” entre A e B.
Através dessas classificações, pôde-se construir um quadro, denominado Quadrado Geral de
Oposição, que apresenta as relações existentes entre as proposições. Tal quadro é atribuído a
Aristóteles. As letras S e P indicam, respectivamente, sujeito e predicado. A letra do meio identifica o tipo
de proposição categórica.

. 30
Representa-se SAP para descrever a ideia de que a sentença possui sujeito (S) relacionado ao
predicado (P) por meio de uma proposição categórica do tipo A (universal afirmativa). Da mesma forma,
ocorre com SEP, SIP ou SOP.
Essas regras que relacionam as proposições são denominadas regras de contrariedade,
contraditoriedade, subcontrariedade e subalternação.
Vejamos as regras:
Regra de contrariedade (contrárias): Duas proposições são contrárias quando ambas não podem
ser verdadeiras ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser falsas ao mesmo tempo. Elas
são universais e se opõem entre si.
Exemplo:
Todo homem é racional. (A) - verdadeira
Nenhum homem é racional. (E) – falsa
As duas não são verdadeiras ao mesmo tempo.
Regra de contraditoriedade (contraditórias): Duas proposições são contraditórias quando ambas
não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo. Elas se opõem
tanto em qualidade quanto em extensão. Enquanto uma é universal, a outra é particular; enquanto uma
é afirmativa, a outra é negativa.
Exemplo:
Todo homem é racional (A) – verdade
Algum homem não é racional (O) – falsa.
Neste caso ocorre se uma é verdadeira, a outra, obrigatoriamente é falsa e vice versa. Logo uma é a
negação da outra.
Regra da subcontrariedade (subcontrárias): Duas proposições são subcontrárias quando ambas
não podem ser falsas ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser verdadeiras ao mesmo
tempo.
Exemplo:
Algum homem é racional (I) – verdadeira
Algum homem não é racional (O) - falsa

. 31
Neste caso não ocorre de ambas serem falsas ao mesmo tempo.
Regra de subalternação (subalternação e superalternação): As proposições são ditas subalternas
ou superalternas quando são iguais em qualidade e se opõem entre si apenas em extensão. Ou seja
enquanto uma é universal, a outra é particular.
A → I (válida): da verdade do todo podemos inferir pela verdade das partes, mas da verdade das
partes não podemos inferir pela verdade do todo.
Exemplo:
Todos os alunos estão presentes.
Algum aluno está presente.
Observe que não podemos inferir a verdade partindo da parte (Algum aluno está presente), mas o
contrário podemos fazer.
I→ A (indeterminada): quando alguém diz que “algum aluno está presente” e conclui que “todos os
alunos estão presentes”, está fazendo uso da subalternação. Observe que o raciocínio não é válido, pois
não podemos afirmar, partindo do pressuposto que alguns alunos estão presentes, que todos os alunos
estão presentes.
E → O (válida): se dizermos que “nenhum aluno está presente”, concluímos que “algum aluno não
está presente”, estamos fazendo uso da superalternação entre as proposições. Se não tem nenhum aluno
presente isto significa que algum aluno NÃO está presente.
O → E (indeterminada): se alguém diz “algum aluno não está presente” e conclui que “nenhum aluno
está presente”, está utilizando uma subalternação entre as proposições. Este tipo de raciocínio não é
valido, pois não se pode afirmar que nenhum aluno está presente apenas porque algum aluno não está
presente.
Negação das Proposições Categóricas
Ao negarmos uma proposição categórica, devemos observar as seguintes convenções de
equivalência:
1) Ao negarmos uma proposição categórica universal geramos uma proposição categórica particular.
2) Pela recíproca de uma negação, ao negarmos uma proposição categórica particular geramos uma
proposição categórica universal.
3) Negando uma proposição de natureza afirmativa geramos, sempre, uma proposição de natureza
negativa; e, pela recíproca, negando uma proposição de natureza negativa geramos, sempre, uma
proposição de natureza afirmativa.

. 32
Exemplos:
Vamos negar as proposições que se seguem, segundo a tabela da negação:
1) Todo jogador é esportista. – Algum jogador não é esportista.
2) Nenhum carnívoro come vegetais – Algum carnívoro come vegetais.
3) Algum executivo não é empreendedor – Todo executivo é empreendedor.
4) Algum músico é romântico – Nenhum músico é romântico.
Questão
01. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV/2016) João olhou as dez bolas que havia em um saco e
afirmou:
“Todas as bolas desse saco são pretas".
Sabe-se que a afirmativa de João é falsa.
É correto concluir que:
(A) nenhuma bola desse saco é preta;
(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas;
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta;
(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta;
(E) nenhuma bola desse saco é branca.
Resposta
01. Resposta: D.
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. A
argumentação faz uso de vários tipos de raciocínio que são baseados em normas sólidas e argumentos
aceitáveis.
A lógica de argumentação é também conhecida como dedução formal e é a principal ferramenta
para o raciocínio válido de um argumento. Ela avalia conclusões que a argumentação pode tomar e
avalia quais dessas conclusões são válidas e quais são inválidas (falaciosas). O estudo das formas
válidas de inferências de uma linguagem proposicional também faz parte da Teoria da argumentação.
Conceitos
Premissas (proposições): são afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Com base nelas que
os argumentos são compostos, ou melhor, elas possibilitam que o argumento seja aceito.
Inferência: é o processo a partir de uma ou mais premissas se chegar a novas proposições. Quando
a inferência é dada como válida, significa que a nova proposição foi aceita, podendo ela ser utilizada em
outras inferências.

. 33
Conclusão: é a proposição que contém o resultado final da inferência e que esta alicerçada nas
premissas. Para separa as premissas das conclusões utilizam-se expressões como “logo, ...”, “portanto,
...”, “por isso, ...”, entre outras.
Sofisma: é um raciocínio falso com aspecto de verdadeiro.
Falácia: é um argumento válido, sem fundamento ou tecnicamente falho na capacidade de provar
aquilo que enuncia.
Silogismo: é um raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a conclusão
é verdadeira e deriva logicamente das duas primeiras premissas, ou seja, a conclusão é a terceira
premissa.
Argumento: é um conjunto finito de premissas – proposições –, sendo uma delas a consequência das
demais. O argumento pode ser dedutivo (aquele que confere validade lógica à conclusão com base nas
premissas que o antecedem) ou indutivo (aquele quando as premissas de um argumento se baseiam na
conclusão, mas não implicam nela)
O argumento é uma fórmula constituída de premissas e conclusões (dois elementos fundamentais da
argumentação).
Alguns exemplos de argumentos:
1)
Todo homem é mortal
Premissas
João é homem
Logo, João é mortal Conclusão
2)
Todo brasileiro é mortal
Premissas
Todo paulista é brasileiro
Logo, todo paulista é mortal Conclusão
3)
Se eu passar no concurso, então irei viajar
Premissas
Passei no concurso
Logo, irei viajar Conclusão
Todas as PREMISSAS tem uma CONCLUSÃO. Os exemplos acima são considerados silogismos.
Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q, indica-se por:
P1, P2, ..., Pn |----- Q
Argumentos Válidos
Um argumento é VÁLIDO (ou bem construído ou legítimo) quando a conclusão é VERDADEIRA (V),
sempre que as premissas forem todas verdadeiras (V). Dizemos, também, que um argumento é válido
quando a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades de suas premissas.Ou seja:
A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

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Um argumento válido é denominado tautologia quando assumir, somente, valorações verdadeiras,
independentemente dos valores assumidos por suas estruturas lógicas.
Argumentos Inválidos
Um argumento é dito INVÁLIDO (ou falácia, ou ilegítimo ou mal construído), quando as verdades das
premissas são insuficientes para sustentar a verdade da conclusão.
Caso a conclusão seja falsa, decorrente das insuficiências geradas pelas verdades de suas premissas,
tem-se como conclusão uma contradição (F).
Um argurmento não válido diz-se um SOFISMA.
- A verdade e a falsidade são propriedades das proposições.
- Já a validade e a invalidade são propriedades inerentes aos argumentos.
- Uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas nunca válida e inválida.
- Não é possível ter uma conclusão falsa se as premissas são verdadeiras.
- A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e
conclusões.
Critérios de Validade de um argumento
Pelo teorema temos:
Um argumento P1, P2, ..., Pn |---- Q é VÁLIDO se e somente se a condicional:
(P1 ^ P2 ^ ...^ Pn) → Q é tautológica.
Métodos para testar a validade dos argumentos
Estes métodos nos permitem, por dedução (ou inferência), atribuirmos valores lógicos as premissas
de um argumento para determinarmos uma conclusão verdadeira.
Também podemos utilizar diagramas lógicos caso sejam estruturas categóricas (frases formadas pelas
palavras ou quantificadores: todo, algum e nenhum).
Os métodos constistem em:
1) Atribuição de valores lógicos: o método consiste na dedução dos valores lógicos das premissas
de um argumento, a partir de um “ponto de referência inicial” que, geralmente, será representado pelo
valor lógico de uma premissa formada por uma proposição simples. Lembramos que, para que um
argumento seja válido, partiremos do pressuposto que todas as premissas que compõem esse
argumento são, na totalidade, verdadeiras.
Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos conectivos.
Exemplo
Sejam as seguintes premissas:
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo.
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo.
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada.
P4: Ora, a rainha fica na masmorra.
Se todos os argumentos (P1,P2,P3 e P4) forem válidos, então todas premissas que compõem o
argumento são necessariamente verdadeiras (V). E portanto pela premissa simples P4: “a rainha fica
na masmorra”; por ser uma proposição simples e verdadeira, servirá de “referencial inicial” para a
dedução dos valores lógicos das demais proposições que, também, compõem esse argumento. Teremos
com isso então:
(1º) V

. 35
Já sabemos que a premissa simples “a rainha fica na masmorra” é verdadeira, portanto, tal valor lógico
confirmará como verdade a 1a
parte da condicional da premissa P3 (1º passo).
(2º) V
(1º) V
Lembramos que, se a 1ª parte de uma condicional for verdadeira, implicará que a 2ª parte também
deverá ser verdadeira (2º passo), já que a verdade implica outra verdade (vide a tabela-verdade da
condicional). Assim teremos como valor lógico da premissa uma verdade (V).
(2º) V (3º) V
(1º) V
Confirmando-se a proposição simples “o bárbaro usa a espada” como verdadeira (3º passo), logo, a
1ª parte da disjunção simples da premissa P1, “o bárbaro não usa a espada”, será falsa (4º passo).
(4º) F
(2º) V (3º) V
(1º) V
Como a premissa P1 é formada por uma disjunção simples, lembramos que ela será verdadeira, se
pelo menos uma de suas partes for verdadeira. Sabendo-se que sua 1ª parte é falsa, logo, a 2ª parte
deverá ser, necessariamente, verdadeira (5º passo).
(4º) F (5º) V
(2º) V (3º) V
(1º) V
Ao confirmarmos como verdadeira a proposição simples “o príncipe não foge a cavalo”, então,
devemos confirmar como falsa a 2a
parte da condicional “o príncipe foge a cavalo” da premissa P2 (6o
passo).
(4º) F (5º) V
(6º) F
(2º) V (3º) V
(1º) V

. 36
E, por último, ao confirmar a 2a
parte de uma condicional como falsa, devemos confirmar, também, sua
1a
parte como falsa (7o
passo).
(4º) F (5º) V
(7º) F (6º) F
(2º) V (3º) V
(1º) V
Através da analise das premissas e atribuindo os seus valores lógicos chegamos as seguintes
conclusões:
- A rainha fica na masmorra;
- O bárbaro usa a espada;
- O rei não fica nervoso;
- o príncipe não foge a cavalo.
Observe que onde as proposições são falsas (F) utilizamos o não para ter o seu correspondente como
válido, expressando uma conclusão verdadeira.
Caso o argumento não possua uma proposição simples “ponto de referência inicial”, devem-se iniciar
as deduções pela conjunção, e, caso não exista tal conjunção, pela disjunção exclusiva ou pela
bicondicional, caso existam.
2) Método da Tabela – Verdade: para resolvermos temos que levar em considerações dois casos.
1º caso: quando o argumento é representado por uma fómula argumentativa.
Exemplo:
A → B ~A = ~B
Para resolver vamos montar uma tabela dispondo todas as proposições, as premissas e as conclusões
afim de chegarmos a validade do argumento.
(Fonte: http://www.marilia.unesp.br)
O caso onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa esta sinalizada na tabela acima
pelo asterisco.Observe também, na linha 4, que as premissas são verdadeiras e a conclusão é verdadeira.
Chegamos através dessa análise que o argumento não é valido.
2o
caso: quando o argumento é representado por uma sequência lógica de premissas, sendo a última
sua conclusão, e é questionada a sua validade.
Exemplo:
“Se leio, então entendo. Se entendo, então não compreendo. Logo, compreendo.”
P1: Se leio, então entendo.
P2: Se entendo, então não compreendo.
C: Compreendo.

. 37
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa
desse argumento:
P1 ∧ P2 → C
Representando inicialmente as proposições primitivas “leio”, “entendo” e “compreendo”,
respectivamente, por “p”, “q” e “r”, teremos a seguinte fórmula argumentativa:
P1: p → q
P2: q → ~r
C: r
[(p → q) ∧ (q → ~r)] → r ou
𝑝 → 𝑞
𝑞 → ~𝑟
𝑟
Montando a tabela verdade temos (vamos montar o passo a passo):
p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r
V V V V V V V F V
V V F V V V V V F
V F V V F F F F V
V F F V F F F V F
F V V F V V V F V
F V F F V V V V F
F F V F V F F F V
F F F F V F F V F
1º 2º 1º 1º 1º 1º
p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r
V V V V V V V F F V
V V F V V V V V V F
V F V V F F F V F V
V F F V F F F V V F
F V V F V V V F F V
F V F F V V V V V F
F F V F V F F V F V
F F F F V F F V V F
1º 2º 1º 1º 3º 1º 1º
p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r
V V V V V V F V F F V
V V F V V V V V V V F
V F V V F F F F V F V
V F F V F F F F V V F
F V V F V V F V F F V
F V F F V V V V V V F
F F V F V F V F V F V
F F F F V F V F V V F
1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 1º
p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r
V V V V V V F V F F V V
V V F V V V V V V V F F
V F V V F F F F V F V V
V F F V F F F F V V V F
F V V F V V F V F F V V
F V F F V V V V V V F F

. 38
F F V F V F V F V F V V
F F F F V F V F V V F F
1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 5º 1º
Sendo a solução (observado na 5a
resolução) uma contingência (possui valores verdadeiros e falsos),
logo, esse argumento não é válido. Podemos chamar esse argumento de sofisma embora tenha
premissas e conclusões verdadeiras.
Implicações tautológicas: a utilização da tabela verdade em alguns casos torna-se muito trabalhoso,
principlamente quando o número de proposições simples que compõe o argumento é muito grande, então
vamos aqui ver outros métodos que vão ajudar a provar a validade dos argumentos.
3.1 - Método da adição (AD)
p
p ∨ q
ou p → (p ∨ q)
3.2 - Método da adição (SIMP)
1º caso:
p ∧ q
p
ou (p ∧ q) → p
2º caso:
p ∧ q
p
ou (p ∧ q) → q
3.3 - Método da conjunção (CONJ)
1º caso:
p
q
p ∧ q
ou (p ∧ q) → (p ∧ q)
2º caso:
p
q
q ∧ p
ou (p ∧ q) → (q ∧ p)
3.4 - Método da absorção (ABS)
p → q
p → (p ∧ q)
ou (p → q) → [p → p ∧ q)]
3.5 – Modus Ponens (MP)
p→q
p
q
ou [(p → q) ∧ p] → q
3.6 – Modus Tollens (MT)
p→q
~q
~p
ou [(p → q) ∧ ~q] → p
3.7 – Dilema construtivo (DC)
p → q
r → s
p ∨ r
q ∨ s
ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ] → (q ∨ s)

. 39
3.8 – Dilema destrutivo (DD)
p → q
r → s
~q ∨ ~s
~p ∨ ~r
ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) ] → (~p ∨ ~r)
3.9 – Silogismo disjuntivo (SD)
1º caso:
p ∨ q
~p
q
ou [(p ∨ q) ∧ ~p] → q
2º caso:
p ∨ q
~q
p
ou [(p ∨ q) ∧ ~q] → p
3.10 – Silogismo hipotético (SH)
p → q
q → r
p → r
ou [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
3.11 – Exportação e importação.
1º caso: Exportação
(p ∧ q) → r
p → (q → r)
ou [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)]
2º caso: Importação
p → (q → r)
(p ∧ q) → r
ou [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r]
Produto lógico de condicionais: este produto consiste na dedução de uma condicional conclusiva
– que será a conclusão do argumento –, decorrente ou resultante de várias outras premissas formadas
por, apenas, condicionais.
Ao efetuar o produto lógico, eliminam-se as proposições simples iguais que se localizam em partes
opostas das condicionais que formam a premissa do argumento, resultando em uma condicional
denominada condicional conclusiva. Vejamos o exemplo:
Nós podemos aplicar a soma lógica em três casos:
1º caso - quando a condicional conclusiva é formada pelas proposições simples que aparecem apenas
uma vez no conjunto das premissas do argumento.

. 40
Exemplo
Dado o argumento: Se chove, então faz frio. Se neva, então chove. Se faz frio, então há nuvens no
céu. Se há nuvens no céu, então o dia está claro.
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas:
P1: Se chove, então faz frio.
P2: Se neva, então chove.
P3: Se faz frio, então há nuvens no céu.
P4: Se há nuvens no céu, então o dia está claro.
Vamos denotar as proposições simples:
p: chover
q: fazer frio
r: nevar
s: existir nuvens no céu
t: o dia esta claro
Montando o produto lógico teremos:
𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
⇒ 𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
⇒ 𝑟 → 𝑡
Conclusão: “Se neva, então o dia esta claro”.
Observe que: As proposições simples “nevar” e “o dia está claro” só apareceram uma vez no conjunto
de premissas do argumento anterior.
2º caso - quando a condicional conclusiva é formada por, apenas, uma proposição simples que
aparece em ambas as partes da condicional conclusiva, sendo uma a negação da outra. As demais
proposições simples são eliminadas pelo processo natural do produto lógico.
Neste caso, na condicional conclusiva, a 1ª parte deverá necessariamente ser FALSA, e a 2ª parte,
necessariamente VERDADEIRA.
Tome Nota:
Nos dois casos anteriores, pode-se utilizar o recurso de equivalência da contrapositiva
(contraposição) de uma condicional, para que ocorram os devidos reajustes entre as proposições
simples de uma determinada condicional que resulte no produto lógico desejado.
(p → q) ⇔ ~q → ~p
Exemplo:
Seja o argumento: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. Se Carlos não viaja, então Beto não
estuda. Se Carlos viaja, Ana trabalha.
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas:
P1: Se Ana trabalha, então Beto não estuda.
P2: Se Carlos não viaja, então Beto não estuda.
P3: Se Carlos viaja, Ana trabalha.
Denotando as proposições simples teremos:
p: Ana trabalha
q: Beto estuda
r: Carlos viaja
Montando o produto lógico teremos:
{
𝑝 → ~𝑞
~𝑟 → ~𝑞
𝑟 → 𝑝
(𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) ⇒ 𝑥 {
𝑝 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟
𝑟 → 𝑝
⇒ 𝑥 {
𝑟 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟 ⇒ 𝑞⏟
𝐹
→ ~𝑞⏟
𝑉
Conclusão: “Beto não estuda”.

. 41
3º caso - aplicam-se os procedimentos do 2o
caso em, apenas, uma parte das premissas do
argumento.
Exemplo:
Se Nivaldo não é corintiano, então Márcio é palmeirense. Se Márcio não é palmeirense, então Pedro
não é são-paulino. Se Nivaldo é corintiano, Pedro é são-paulino. Se Nivaldo é corintiano, então Márcio
não é palmeirense.
Então as presmissas que formam esse argumento são:
P1: Se Nivaldo não é corintiano, então Márcio é palmeirense.
P2: Se Márcio não é palmeirense, então Pedro não é são-paulino.
P3: Se Nivaldo é corintiano, Pedro é são-paulino.
P4: Se Nivaldo é corintiano, então Márcio não é palmeirense.
Denotando as proposições temos:
p: Nivaldo é corintiano
q: Márcio é palmerense
r: Pedro é são paulino
Efetuando a soma lógica:
{
𝑃1: ~𝑝 → 𝑞
𝑃2: ~𝑞 → ~𝑟
𝑃3: 𝑝 → 𝑟 (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)
𝑃4: 𝑝 → ~𝑞
⇒ {
𝑃1: ~𝑝 → 𝑞
𝑃2: ~𝑞 → ~𝑟
𝑃3: ~𝑟 → ~𝑝
𝑃4: 𝑝 → ~𝑞
Vamos aplicar o produto lógico nas 3 primeiras premissas (P1,P2,P3) teremos:
{
~𝑝 → 𝑞
~𝑞 → ~𝑟
~𝑟 → ~𝑝
⇒ {
~𝑟 → 𝑞
~𝑞 → ~𝑟 ⇒ ~𝑞⏟
𝐹
→ 𝑞⏟
𝑉
Conclusão: “ Márcio é palmeirense”.
Questões
01. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Considere que as seguintes proposições sejam
verdadeiras.
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
• Quando Fernando está estudando, não chove.
• Durante a noite, faz frio.
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo.
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando.
02. (STJ – Conhecimentos Gerais para o cargo 17 – CESPE/2015) Mariana é uma estudante que
tem grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo
suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste
semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No entanto,
ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina.
A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue o item a seguir, acerca das
estruturas lógicas.
Considerando-se as seguintes proposições: p: “Se Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1, então
ela aprende o conteúdo de Química Geral"; q: “Se Mariana aprende o conteúdo de Química Geral, então
ela é aprovada em Química Geral"; c: “Mariana foi aprovada em Química Geral", é correto afirmar que o
argumento formado pelas premissas p e q e pela conclusão c é um argumento válido.
03. (Petrobras – Técnico (a) de Exploração de Petróleo Júnior – Informática – CESGRANRIO) Se
Esmeralda é uma fada, então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca é um centauro.
Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma bruxa.

. 42
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo.
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro.
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo.
04. (Petrobras – Técnico(a) de Informática Júnior – CESGRANRIO) Suponha que as seguintes
afirmações são simultaneamente verdadeiras:
• Se Antígona toma leite e o leite está estragado, então ela fica doente.
• Se Antígona fica doente, então ela passa mal e volta para o palácio.
• Antígona vai ao encontro de Marco Antônio ou volta para o palácio.
Qual afirmação também será verdadeira?
(A) Se Antígona toma leite e o leite está estragado, então ela não vai ao encontro de Marco Antônio.
(B) Se Antígona fica doente e volta para o palácio, então ela vai ao encontro de Marco Antônio.
(C) Se o leite está estragado, então Antígona não o toma ou ela fica doente.
(D) Se o leite está estragado ou Antígona fica doente, então ela passa mal.
(E)Se Antígona toma leite e volta para o palácio, então o leite está estragado e ela não passa mal.
Respostas
01. Resposta: Errado.
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as premissas chegamos a uma conclusão.
Enumerando as premissas:
A = Chove
B = Maria vai ao cinema
C = Cláudio fica em casa
D = Faz frio
E = Fernando está estudando
F = É noite
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V)
Lembramos a tabela verdade da condicional:
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, utilizando isso temos:
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. // B → ~E
Iniciando temos:
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B = V – para que o argumento seja válido
temos que Quando chove tem que ser F.
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). // C → B = V - para que o argumento
seja válido temos que Maria vai ao cinema tem que ser V.
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D = V - para que o argumento seja válido
temos que Quando Cláudio sai de casa tem que ser F.
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). // E → ~A = V. – neste caso Quando
Fernando está estudando pode ser V ou F.
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao cinema (V), então Fernando estava
estudando (V ou F); pois temos dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F).
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa
desse argumento:

. 43
P1 ∧ P2 → C
Organizando e resolvendo, temos:
A: Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1
B: Mariana aprende o conteúdo de Química Geral
C: Mariana é aprovada em Química Geral
Argumento: [(A → B) ∧ (B → C)] ⇒ C
Vamos ver se há a possibilidade de a conclusão ser falsa e as premissas serem verdadeiras, para
sabermos se o argumento é válido:
Testando C para falso:
(A → B) ∧ (B →C)
(A →B) ∧ (B → F)
Para obtermos um resultado V da 2º premissa, logo B têm que ser F:
(A → B) ∧ (B → F)
(A → F) ∧ (F → F)
(F → F) ∧ (V)
Para que a primeira premissa seja verdadeira, é preciso que o “A” seja falso:
(A → F) ∧ (V)
(F → F) ∧ (V)
(V) ∧ (V)
(V)
Então, é possível que o conjunto de premissas seja verdadeiro e a conclusão seja falsa ao mesmo
tempo, o que nos leva a concluir que esse argumento não é válido.
03. Resposta: B.
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Trizteza não é bruxa, considerando ela como (V),
precisamos ter como conclusão o valor lógico (V), então:
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V
(1) Tristeza não é uma bruxa (V)
Logo:
Temos que:
Esmeralda não é fada(V)
Bongrado não é elfo (V)
Monarca não é um centauro (V)
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem
verdadeiras, logo, a única que contém esse valor lógico é:
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
04. Resposta: C.
Temos as seguintes proposições:
p: Antígona toma leite.
q: O leite está estragado.
r: Antígona fica doente.
s: Antígona passa mal.
t: Antígona volta para o palácio.
u: Antígona vai ao encontro de Marco Antônio.
Todas as afirmações do enunciado são verdadeiras, então teremos:
Para a 1ª temos:
(p ^ q) --> r VERDADE
(V ^ V ) --> V
Para 2ª temos:
r --> ( s ^ t ) VERDADE
V ---> (V ^ V )
De acordo com a hipótese da 1ª proposição composta, r possui valor verdadeiro. Para que a 2ª
proposição seja verdadeira, (s ^ t) devem também possuir valor verdadeiro.
Para a 3ª temos:
(u v t) VERDADE
( V ou F v V)

. 44
De acordo com a análise da 2ª proposição composta, t possui valor verdadeiro. Entretanto, nada pode-
se afirmar sobre u, pois ambos valores (V ou F) atendem o valor VERDADE da 3ª proposição composta.
Analisando todas as proposições, temos que a alternativa C será verdadeira:
Se o leite está estragado, então Antígona não o toma ou ela fica doente.
q --> (~p v r)
V --> (F v V)
V --> V
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as
mesmas propriedades algébricas que estes números.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este
conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos
números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Subconjuntos notáveis em N:
1 – Números Naturais não nulos
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0}
2 – Números Naturais pares
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N
3 - Números Naturais ímpares
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N
4 - Números primos
P={2,3,5,7,11,13...}
A construção dos Números Naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando
também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
a) O sucessor de m é m+1.
Números decimais. Valor absoluto. Propriedades no conjunto dos
números naturais. Decomposição de um número natural em fatores
primos. Múltiplos e divisores, máximo divisor comum e mínimo
múltiplo comum de dois números naturais.

. 45
b) O sucessor de 0 é 1.
c) O sucessor de 3 é 4.
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números
consecutivos.
Exemplos:
a) 1 e 2 são números consecutivos.
b) 7 e 8 são números consecutivos.
c) 50 e 51 são números consecutivos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
b) 7, 8 e 9 são consecutivos.
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número
dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0,
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também
chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais.
Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
- Adição de Números Naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as
unidades de dois ou mais números.
Exemplo:
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total
-Subtração de Números Naturais
É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação
de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b
tal que a≥ 𝑏.
Exemplo:
254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 061 a diferença.
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo.
- Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela,
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador.
Exemplo:
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto.
- 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x”
(vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação).

. 46
- Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no
primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o
divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente
obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um
número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais:
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
35 : 7 = 5
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7
- A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto!
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais
Para todo a, b e c ∈ 𝑁
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c)
2) Comutativa da adição: a + b = b + a
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural,
continua como resultado um número natural.
Questões
01. (SABESP – APRENDIZ – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema
de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito
e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina
e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e
os pagamentos na seguinte tabela:
No final do mês, Enzo observou que tinha
(A) crédito de R$ 7,00.
(B) débito de R$ 7,00.
(C) crédito de R$ 5,00.

. 47
(D) débito de R$ 5,00.
(E) empatado suas despesas e seus créditos.
02. (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI) José, funcionário
público, recebe salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00
de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José?
(A) R$ 1800,00
(B) R$ 1765,00
(C) R$ 1675,00
(D) R$ 1665,00
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será:
(A) 2
(B) 5
(C) 25
(D) 50
(E) 100
04. (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS)
Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar
uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de:
(A) R$ 150,00.
(B) R$ 175,00.
(C) R$ 200,00.
(D) R$ 225,00.
05. PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Ontem, eu tinha
345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e
perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora,
depois de participar do campeonato?
(A) 368
(B) 270
(C) 365
(D) 290
(E) 376
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é:
1ª Zona
Eleitoral
2ª Zona
Eleitoral
João 1750 2245
Maria 850 2320
Nulos 150 217
Brancos 18 25
Abstenções 183 175
(A) 3995
(B) 7165
(C) 7532
(D) 7575
(E) 7933
07. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Durante um
mutirão para promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre
as cinco regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a:
(A) 2500
(B) 3200

. 48
(C) 1500
(D) 3000
(E) 2000
08. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado
número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor
que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa,
quantos bombons ao todo Joana possui?
(A) 24.
(B) 25.
(C) 26.
(D) 27.
(E) 28
09. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP) O sucessor do dobro de determinado número é 23.
Esse mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a
(A) 24.
(B) 22.
(C) 20.
(D) 18.
(E) 16.
10. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em uma
gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5
calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema.
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi
(A) 3 642.
(B) 3 828.
(C) 4 093.
(D) 4 167.
(E) 4 256.
Respostas
01. Resposta: B.
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127
120 – 127 = - 7
Ele tem um débito de R$ 7,00.
02. Resposta: B.
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765
O salário líquido de José é R$ 1.765,00.
03. Resposta: E.
D= dividendo
d= divisor
Q = quociente = 10
R= resto = 0 (divisão exata)
Equacionando:
D = d.Q + R
D = d.10 + 0  D = 10d
Pela nova divisão temos:
5𝐷 =
𝑑
2
. 𝑄 → 5. (10𝑑) =
𝑑
2
. 𝑄 , isolando Q temos:

. 49
𝑄 =
50𝑑
𝑑
2
→ 𝑄 = 50𝑑.
2
𝑑
→ 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100
04. Resposta: B.
2100
12
= 175
Cada prestação será de R$175,00
05. Resposta: A.
345 – 67 = 278
Depois ganhou 90
278 + 90 = 368
06. Resposta: E.
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933
07. Resposta: D.
15000
5
= 3000
Cada região terá 3000 voluntários.
08. Resposta: E.
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28.
09. Resposta: A.
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11.
(11 + 1)2 = 24
10. Resposta: D.
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6):
5000 / 6 = 833 + resto 2.
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram
na conta de divisão.
Assim, são 4167 calendários perfeitos.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.
Podemos dizer então que:
“30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.”
Um número natural a é divisível por um número natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal
que c . b = a.
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela
sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números
da sucessão dos naturais:
7 x 0 = 0
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14

. 50
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
⋮
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7,
14, 21, 28,...}.
Observações:
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2k
(kN). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2k + 1 (k
N).
O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k Z.
Critérios de divisibilidade
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem
efetuarmos a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando
ele é par.
Exemplos:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6, e é par.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1, e não é par.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus
algarismos é divisível por 3.
Exemplos:
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um
número divisível por 4.
Exemplos:
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplos:
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplos:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número, multiplicado
por 2, subtraído do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Neste, o processo será
repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7.
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9.2 = 18 ; 4190 – 18 = 4172 → 2.2 = 4 ;
417 – 4 = 413 → 3.2 = 6 ; 41 – 6 = 35 ; 35 é multiplo de 7.

. 51
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou
formarem um número divisível por 8.
Exemplos:
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por
8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é
divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus
algarismos formam um número divisível por 9.
Exemplos:
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em
zero.
Exemplos:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos
de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 ou
quando essas somas forem iguais.
Exemplos:
- 43813:
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 =
15.)
4 3 8 1 3
2º 4º  Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4)
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11.
-83415721:
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)
8 3 4 1 5 7 2 1
2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11.
Exemplos:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
Exemplos:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
Fatoração numérica
Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores primos. Para decompormos um número
natural em fatores primos, dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo, após pegamos o quociente
e dividimos o pelo seu menor divisor, e assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. O produto de
todos os fatores primos representa o número fatorado.
Exemplo:

. 52
Divisores de um número natural
Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma fatorada:
12 = 22
. 31
O número de divisores naturais é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1.
Logo o número de divisores de 12 são:
22
⏟
(2+1)
. 31
⏟
(1+1)
→ (2 + 1) .(1 + 1) = 3.2 = 6 divisores naturais
Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada fator da decomposição e seu
respectivo expoente natural que varia de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na
decomposição do número natural.
Exemplo:
12 = 22
. 31
→ 22
= 20
,21
e 22
; 31
= 30
e 31
, teremos:
20
. 30
=1
20
. 31
=3
21
. 30
=2
21
. 31
=2.3=6
22
. 31
=4.3=12
22
. 30
=4
O conjunto de divisores de 12 são: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
A soma dos divisores é dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
Observação
Para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12, basta multiplicarmos o resultado por 2 (dois
divisores, um negativo e o outro positivo).
Assim teremos que D(12) = 6.2 = 12 divisores inteiros.
Questões
01. (Fuvest-SP) O número de divisores positivos do número 40 é:
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
(E) 20
02. (Professor/Pref.Itaboraí) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 4 e o produto
dos mesmos 96. O número de divisores positivos do mínimo múltiplo comum desses números é:
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
03. (Pedagogia/DEPEN) Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos e
pertencentes ao conjunto A={3,4,5,6,7}.A quantidade de números que podem ser formados sob tais
condições é:
(A) 6
(B) 7
(C) 9
(D) 8

. 53
(E) 10
04. (Pref.de Niterói) No número a=3x4, x representa um algarismo de a. Sabendo-se que a é divisível
por 6, a soma dos valores possíveis para o algarismo x vale:
(A) 2
(B) 5
(C) 8
(D) 12
(E) 15
05. (BANCO DO BRASIL/CESGRANRIO) Em uma caixa há cartões. Em cada um dos cartões está
escrito um múltiplo de 4 compreendido entre 22 e 82. Não há dois cartões com o mesmo número escrito,
e a quantidade de cartões é a maior possível. Se forem retirados dessa caixa todos os cartões nos quais
está escrito um múltiplo de 6 menor que 60, quantos cartões restarão na caixa?
(A)12
(B)11
(C)3
(D)5
(E) 10
06. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – Motorista – ZAMBINI/2016) Na sequência matemática a
seguir, os dois próximos números são
65 536 ; 16 384 ; 4 096 ; 1 024 ; _________ ; ________
(A) 256 e 64
(B) 256 e 128
(C) 128 e 64
(D) 64 e 32
07. (BRDE-RS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural positivo.
I) 10n
+ 2
II) 2 . 10n
+ 1
III) 10n+3
– 10n
Quais são divisíveis por 6?
(A) apenas II
(B) apenas III
(C) apenas I e III
(D) apenas II e III
(E) I, II e III
Respostas
01. Resposta: A.
Vamos decompor o número 40 em fatores primos.
40 = 23
. 51
; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente:
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 ; então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores
de 40.
02. Resposta: D.
Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é:
MDC (A, B). MMC (A, B) = A.B, temos que MDC (A, B) = 4 e o produto entre eles 96, logo:
4 . MMC (A, B) = 96 → MMC (A, B) = 96/4 → MMC (A, B) = 24, fatorando o número 24 temos:
24 = 23
.3 , para determinarmos o número de divisores, pela regra, somamos 1 a cada expoente e
multiplicamos o resultado:
(3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8
03. Resposta: D.
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par
também, e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3.

. 54
Logo os finais devem ser 4 e 6:
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números.
04. Resposta: E.
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3
quando a sua soma for múltiplo de 3.
3 + x + 4 = .... os valores possíveis de x são 2, 5 e 8, logo 2 + 5 + 8 = 15
05. Resposta: A.
Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por
4.
Vamos enumerar todos os múltiplos de 4: 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80 (15
ao todo).
Retirando os múltiplos de 6 menores que 60 temos: 24, 36 e 48 (3 ao todo)
Logo: 15 – 3 = 12
06. Resposta: A.
Se dividimos 4096 por 1024, obtemos como resultado 4. Com isso percebemos que 4096 é o produto
de 1024 x 4, e 4096 x 4 = 16384. Então fica evidente que todos os números são múltiplos de 4. Logo para
sabermos a sequência basta dividirmos 1024/4 = 256 e 256/4 = 64.
Com isso completamos a sequência: 256; 64.
07. Resposta: C.
n ∈ N divisíveis por 6:
I) II) III)
N 10n
+ 2 2 x 10n
+1 10n+3
– 10n
1 10 + 2 = 12 20 + 1 = 21 10.000 -10 = 9.990
2 100 + 2 = 102 200 + 1 = 201 100.000 - 100 = 99.900
3 1.000 + 2 = 1.002 2.000 + 1 = 2.001 1.000.000 – 1.000 = 999.000
4 10.000 + 2 = 10.002 20.000 + 1 = 20.001 10.000.000 - 10.000 = 9.990.000
I) É divisível por 2 e por 3, logo é por 6. (Verdadeira)
II) Os resultados são ímpares, logo não são por 2. (Falsa)
III) É Verdadeira, pela mesma razão que a I
MDC
O máximo divisor comum(MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de
todos os números dados. Consideremos:
- o número 18 e os seus divisores naturais:
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
- o número 24 e os seus divisores naturais:
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24:
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}.
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24,
ou seja: MDC (18, 24) = 6.
Outra técnica para o cálculo do MDC:
Decomposição em fatores primos
Para obtermos o MDC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira:

. 55
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor expoente.
Exemplo:
MMC
O mínimo múltiplo comum(MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo
comum de todos os números dados. Consideremos:
- O número 6 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...}
- O número 8 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...}
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns:
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8,
ou seja: MMC (6, 8) = 24
Outra técnica para o cálculo do MMC:
Decomposição isolada em fatores primos
Para obter o MMC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior
expoente.
Exemplo:
O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo:
MDC(A, B).MMC(A,B)= A.B
Questões
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e
Assessoria/2016) Um professor quer guardar 60 provas amarelas, 72 provas verdes e 48 provas roxas,
entre vários envelopes, de modo que cada envelope receba a mesma quantidade e o menor número

. 56
possível de cada prova. Qual a quantidade de envelopes, que o professor precisará, para guardar as
provas?
(A) 4;
(B) 6;
(C) 12;
(D) 15.
02. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) O policiamento em uma praça da cidade é realizado por
um grupo de policiais, divididos da seguinte maneira:
Grupo Intervalo de passagem
Policiais a pé 40 em 40 minutos
Policiais de moto 60 em 60 minutos
Policiais em viaturas 80 em 80 minutos
Toda vez que o grupo completo se encontra, troca informações sobre as ocorrências. O tempo mínimo
em minutos, entre dois encontros desse grupo completo será:
(A) 160
(B) 200
(C) 240
(D) 150
(E) 180
03. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens
partem 2,4 em 2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens partem de 1,8 em 1,8 minutos. Se
dois trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário desse dia em que
partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas,
(A) 10 minutos e 48 segundos.
(B) 7 minutos e 12 segundos.
(C) 6 minutos e 30 segundos.
(D) 7 minutos e 20 segundos.
(E) 6 minutos e 48 segundos.
04. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Fernanda divide as despesas de um
apartamento com suas amigas. À Fernanda coube pagar a conta de água a cada três meses, a conta de
luz a cada dois meses e o aluguel a cada quatro meses. Sabendo-se que ela pagou as três contas juntas
em março deste ano, esses três pagamentos irão coincidir, novamente, no ano que vem, em
(A) fevereiro.
(B) março.
(C) abril.
(D) maio.
(E) junho.
05. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Marcelo é encarregado de dividir as entregas
da empresa em que trabalha. No início do seu turno, ele observou que todas as entregas do dia poderão
ser divididas igualmente entre 4, 6, 8, 10 ou 12 entregadores, sem deixar sobras.
Assinale a alternativa que representa o menor número de entregas que deverão ser divididas por ele
nesse turno.
(A) 48
(B) 60
(C) 80
(D) 120
(E) 180
06. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em janeiro
de 2010, três entidades filantrópicas (sem fins lucrativos) A, B e C, realizaram bazares beneficentes para
arrecadação de fundos para obras assistenciais. Sabendo-se que a entidade A realiza bazares a cada 4
meses (isto é, faz o bazar em janeiro, o próximo em maio e assim sucessivamente), a entidade B realiza

. 57
bazares a cada 5 meses e C, a cada 6 meses, então a próxima vez que os bazares dessas três entidades
irão coincidir no mesmo mês será no ano de
(A) 2019.
(B) 2018.
(C) 2017.
(D) 2016.
(E) 2015.
07. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Osvaldo é responsável pela manutenção das
motocicletas, dos automóveis e dos caminhões de sua empresa. Esses veículos são revisados
periodicamente, com a seguinte frequência:
Todas as motocicletas a cada 3 meses;
Todos os automóveis a cada 6 meses;
Todos os caminhões a cada 8 meses.
Se todos os veículos foram revisados, ao mesmo tempo, no dia 19 de maio de 2014, o número mínimo
de meses para que todos eles sejam revisados juntos novamente é:
(A) 48
(B) 32
(C) 24
(D) 16
(E) 12
08. (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP) Dois produtos líquidos A
e B estão armazenados em galões separados. Em um dos galões há 18 litros do produto A e no outro,
há 42 litros do produto B. Carlos precisa distribuir esses líquidos, sem desperdiçá-los e sem misturá-los,
em galões menores, de forma que cada galão menor tenha a mesma quantidade e o maior volume
possível de cada produto. Após essa distribuição, o número total de galões menores será
(A) 6.
(B) 8.
(C) 10.
(D) 12.
(E) 14.
09. (UNIFESP – Mestre em Edificações - Infraestrutura – VUNESP) Uma pessoa comprou um
pedaço de tecido de 3 m de comprimento por 1,40 m de largura para confeccionar lenços. Para isso,
decide cortar esse tecido em pedaços quadrados, todos de mesmo tamanho e de maior lado possível.
Sabendo que não ocorreu nenhuma sobra de tecido e que o tecido todo custou R$ 31,50, então o preço
de custo, em tecido, de cada lenço foi de
(A) R$ 0,30.
(B) R$ 0,25.
(C) R$ 0,20.
(D) R$ 0,15.
(E) R$ 0,10.
10. (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP) Iniciando seu treinamento, dois ciclistas partem
simultaneamente de um mesmo ponto de uma pista. Mantendo velocidades constantes, Lucas demora
18 minutos para completar cada volta, enquanto Daniel completa cada volta em 15 minutos. Sabe-se que
às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira vez, desde o início do treinamento.
Desse modo, é correto afirmar que às 8 h 25 min, Daniel já havia completado um número de voltas igual
a
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5
(E) 7.

. 58
Respostas
01. Resposta: D.
Fazendo o mdc entre os números teremos:
60 = 2².3.5
72 = 2³.3³
48 = 24
.3
Mdc(60,72,48) = 2².3 = 12
60/12 = 5
72/12 = 6
48/12 = 4
Somando a quantidade de envelopes por provas teremos: 5 + 6 + 4 = 15 envelopes ao todo.
02. Resposta: C.
Devemos achar o mmc (40,60,80)
𝑚𝑚𝑐(40,60,80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240
03. Resposta: B.
Como os trens passam de 2,4 e 1,8 minutos, vamos achar o mmc(18,24) e dividir por 10, assim
acharemos os minutos
Mmc(18,24)=72
Portanto, será 7,2 minutos
1 minuto---60s
0,2--------x
x = 12 segundos
Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos
04. Resposta: B.
Devemos fazer o m.m.c. (3, 2, 4) = 12 meses
Como ela pagou as três contas juntas em MARÇO, após 12 meses, pagará as três contas juntas
novamente em MARÇO.
05. Resposta: D.
m.m.c. (4, 6, 8, 10, 12) = 120
06. Resposta: E.
m.m.c. (4, 5, 6) = 60 meses
60 meses / 12 = 5 anos
Portanto, 2010 + 5 = 2015
07. Resposta: C.
m.m.c. (3, 6, 8) = 24 meses

. 59
08. Resposta: C.
m.d.c. (18, 42) = 6
Assim:
* Produto A: 18 / 6 = 3 galões
* Produto B: 42 / 6 = 7 galões
Total = 3 + 7 = 10 galões
09. Resposta: A.
m.d.c. (140, 300) = 20 cm
* Área de cada lenço: 20 . 20 = 400 cm²
* Área Total: 300 . 140 = 42000 cm²
42000 / 400 = 105 lenços
31,50 / 105 = R$ 0,30 (preço de 1 lenço)
10. Resposta: B.
m.m.c. (15, 18) = 90 min = 1h30
Portanto, às 9h10, Daniel completou: 90 / 15 = 6 voltas.
Como 9h10 – 8h25 = 45 min, equivale à metade do que Daniel percorreu, temos que:
6 / 2 = 3 voltas.
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Quando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de
várias formam o que chamamos de uma fração do todo. Para se representar uma fração são, portanto,
necessários dois números inteiros:
a) O primeiro, para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a
cada parte e, por essa razão, chama-se denominador da fração;
b) O segundo, que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e, por isso,
chama-se numerador da fração. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos
da fração.
Observe a figura abaixo:
A primeira nota dó é 14/14 ou 1 inteiro, pois representa a fração cheia; a ré é 12/14 e assim
sucessivamente.
Nomenclaturas das Frações
Numerador → Indica quantas partes
tomamos do total que foi dividida a
unidade.
Denominador → Indica quantas
partes iguais foi dividida a unidade.

. 60
No figura acima lê-se: três oitavos.
-Frações com denominadores de 1 a 10: meios, terços, quartos, quintos, sextos, sétimos, oitavos,
nonos e décimos.
-Frações com denominadores potências de 10: décimos, centésimos, milésimos, décimos de
milésimos, centésimos de milésimos etc.
- Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e, em seguida, o
denominador seguido da palavra “avos”.
Exemplos:
8
25
𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑜𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑎𝑣𝑜𝑠;
2
100
𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠;
Tipos de Frações
- Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador.
Exemplos:
1
6
;
5
8
;
3
4
; …
- Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denominador.
Exemplos:
6
5
;
8
5
;
4
3
; …
- Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. As mesmas pertencem também ao
grupo das frações impróprias.
Exemplos:
6
1
;
8
4
;
4
2
; …
- Frações particulares: Para formamos uma fração de uma grandeza, dividimos esta pelo
denominador e multiplicamos pelo numerador.
Exemplos:
1 – Se o numerador é igual a zero, a fração é igual a zero: 0/7 = 0; 0/5=0
2- Se o denominador é 1, a fração é igual ao denominador: 25/1 = 25; 325/1 = 325
- Quando o denominador é zero, a fração não tem sentido, pois a divisão por zero é impossível.
- Quando o numerador e denominador são iguais, o resultado da divisão é sempre 1.
- Números mistos: Números compostos de uma parte inteira e outra fracionária. Podemos
transformar uma fração imprópria na forma mista e vice e versa.
Exemplos:
𝑨)
25
7
= 3
4
7
⇒
𝑩) 3
4
7
=
25
7
⇒
- Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam a mesma parte da unidade.
Exemplo:
4: 4
8: 4
=
1
2
; 𝑜𝑢
4: 2
8: 2
=
2
4
; 𝑜𝑢
2: 2
4: 2
=
1
2
As frações
4
8
,
2
4
e
1
2
são equivalentes.

. 61
-Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denominador são primos entre si.
Exemplo: 5/11 ; 17/29; 5/3
Comparação e simplificação de frações
Comparação:
- Quando duas frações tem o mesmo denominador, a maior será aquela que possuir o maior
numerador.
Exemplo: 5/7 >3/7
- Quando os denominadores são diferentes, devemos reduzi-lo ao mesmo denominador.
Exemplo: 7/6 e 3/7
1º - Fazer o mmc dos denominadores → mmc(6,7) = 42
7.7
42
𝑒
3.6
42
→
49
42
𝑒
18
42
2º - Compararmos as frações:
49/42 > 18/42.
Simplificação: É dividir os termos por um mesmo número até obtermos termos menores que os
iniciais. Com isso formamos frações equivalentes a primeira.
Exemplo:
4: 4
8: 4
=
1
2
Operações com frações
- Adição e Subtração
Com mesmo denominador: Conserva-se o denominador e soma-se ou subtrai-se os numeradores.
Com denominadores diferentes: Reduz-se ao mesmo denominador através do mmc entre os
denominadores.
O processo é valido tanto para adição quanto para subtração.

. 62
Multiplicação e Divisão
- Multiplicação: É produto dos numerados dados e dos denominadores dados.
Exemplo:
Podemos ainda simplificar a fração resultante:
288:2
10: 2
=
144
5
- Divisão: O quociente de uma fração é igual a primeira fração multiplicados pelo inverso da segunda
fração.
Exemplo:
Simplificando a fração resultante:
168: 8
24: 8
=
21
3
NÚMEROS DECIMAIS
O sistema de numeração decimal apresenta ordem posicional: unidades, dezenas, centenas, etc.
Leitura e escrita dos números decimais
Exemplos:
Lê-se: Quinhentos e setenta e nove mil, trezentos e sessenta e oito inteiros e quatrocentos e treze
milésimos.
0,9 → nove décimos.
5,6 → cinco inteiros e seis décimos.
472,1256 → quatrocentos e setenta e dois inteiros e mil, duzentos, cinquenta e seis décimos-
milésimos.
Transformação de frações ordinárias em decimais e vice-versa

. 63
A quantidade de
zeros corresponde
ao números de
casas decimais após
a vírgula e vice-
versa (transformar
para fração).
Operações com números decimais
- Adição e Subtração
Na prática, a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra:
- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros.
- Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula embaixo de vírgula.
- Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais.
- Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados.
Exemplos:
- Multiplicação
Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras:
- Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais.
- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às dos
outros fatores.
Exemplos:
1) 652,2 x 2,03
Disposição prática:
2) 3,49 x 2,5
- Divisão
Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras:
- Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor.

. 64
- Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais.
Exemplos:
1) 24 : 0,5
Nesse caso, o resto da divisão é igual a zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão exata e o
quociente é exato.
2) 31,775 : 15,5
Acrescentamos ao divisor a quantidade de zeros para que ele fique igual ao dividendo, e assim
sucessivamente até chegarmos ao resto zero.
3) 0,14 : 28
4) 2 : 16
Questões
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e
Assessoria/2016) João gastou R$ 23,00, equivalente a terça parte de 3/5 de sua mesada. Desse modo,
a metade do valor da mesada de João é igual a:
(A) R$ 57,50;
(B) R$ 115,00;
(C) R$ 172,50;
(D) R$ 68,50;
02. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Uma revista
perdeu
1
5
dos seus 200.000 leitores.
Quantos leitores essa revista perdeu?
(A) 40.000.
(B) 50.000.
(C) 75.000.
(D) 95.000.
(E) 100.000.

. 65
03. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Dona Amélia e seus quatro filhos foram a
uma doceria comer tortas. Dona Amélia comeu 2 / 3 de uma torta. O 1º filho comeu 3 / 2 do que sua mãe
havia comido. O 2º filho comeu 3 / 2 do que o 1º filho havia comido. O 3º filho comeu 3 / 2 do que o 2º
filho havia comido e o 4º filho comeu 3 / 2 do que o 3º filho havia comido. Eles compraram a menor
quantidade de tortas inteiras necessárias para atender a todos. Assim, é possível calcular corretamente
que a fração de uma torta que sobrou foi
(A) 5 / 6.
(B) 5 / 9.
(C) 7 / 8.
(D) 2 / 3.
(E) 5 / 24.
04. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma pessoa está montando um quebra-cabeça que
possui, no total, 512 peças. No 1.º dia foram montados
5
16
do número total de peças e, no 2.º dia foram
montados
3
8
do número de peças restantes. O número de peças que ainda precisam ser montadas para
finalizar o quebra-cabeça é:
(A) 190.
(B) 200.
(C) 210.
(D) 220.
(E) 230.
05. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) A mãe do Vitor fez um bolo e repartiu em 24 pedaços,
todos de mesmo tamanho. A mãe e o pai comeram juntos, ¼ do bolo. O Vitor e a sua irmã comeram,
cada um deles, 1/4do bolo. Quantos pedaços de bolo sobraram?
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10
(E) 12
06. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada
uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela
recebeu de troco?
(A) R$ 40,00
(B) R$ 42,00
(C) R$ 44,00
(D) R$ 46,00
(E) R$ 48,00
07. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Certa praça tem 720 m2
de área.
Nessa praça será construído um chafariz que ocupará 600 dm2
.
Que fração da área da praça será ocupada pelo chafariz?
(A)
1
600
(B)
1
120
(C)
1
90
(D)
1
60
(E)
1
12
08. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Se 1 kg de
um determinado tipo de carne custa R$ 45,00, quanto custará
7
5
desta mesma carne?

. 66
(A) R$ 90,00.
(B) R$ 73,00.
(C) R$ 68,00.
(D) R$ 63,00.
(E) R$ 55,00.
09. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Paulo recebeu R$1.000,00 de salário. Ele gastou ¼ do
salário com aluguel da casa e 3/5 do salário com outras despesas. Do salário que Paulo recebeu, quantos
reais ainda restam?
(A) R$ 120,00
(B) R$ 150,00
(C) R$ 180,00
(D) R$ 210,00
(E) R$ 240,00
Respostas
01. Resposta: A.
Vamos chamar de x a mesada.
Como ele gastou a terça parte 1/3 de 3/5 da mesada que equivale a 23,00. Podemos escrever da
seguinte maneira:
1
3
.
3
5
𝑥 =
𝑥
5
= 23 → 𝑥 = 23.5 → 𝑥 = 115
Logo a metade de 115 = 115/2 = 57,50
02. Resposta: A.
1
5
. 200000 = 40000
03. Resposta: E.
Vamos chamar a quantidade de tortas de (x). Assim:
* Dona Amélia:
𝟐
𝟑
. 𝟏 =
𝟐
𝟑
* 1º filho:
𝟑
𝟐
.
𝟐
𝟑
= 𝟏
* 2º filho:
𝟑
𝟐
. 𝟏 =
𝟑
𝟐
* 3º filho:
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐
=
𝟗
𝟒
* 4º filho:
𝟑
𝟐
.
𝟗
𝟒
=
𝟐𝟕
𝟖
𝟐
𝟑
+ 𝟏 +
𝟑
𝟐
+
𝟗
𝟒
+
𝟐𝟕
𝟖
𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 + 𝟑𝟔 + 𝟓𝟒 + 𝟖𝟏
𝟐𝟒
=
𝟐𝟏𝟏
𝟐𝟒
= 𝟖 .
𝟐𝟒
𝟐𝟒
+
𝟏𝟗
𝟐𝟒
= 𝟖 +
𝟏𝟗
𝟐𝟒
Ou seja, eles comeram 8 tortas, mais 19/24 de uma torta.
Por fim, a fração de uma torta que sobrou foi:
𝟐𝟒
𝟐𝟒
−
𝟏𝟗
𝟐𝟒
=
𝟓
𝟐𝟒
04. Resposta: D.
* 1º dia:
5
16
. 512 =
2560
16
= 160 𝑝𝑒ç𝑎𝑠
* Restante = 512 – 160 = 352 peças

. 67
* 2º dia:
3
8
. 352 =
1056
8
= 132 𝑝𝑒ç𝑎𝑠
* Ainda restam = 352 – 132 = 220 peças
05. Resposta: B.
1
4
+
1
4
+
1
4
=
3
4
Sobrou 1/4 do bolo.
24 ∙
1
4
= 6 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠
06. Resposta: B.
8,3 ∙ 7 = 58,1
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais
Troco:100 – 58 = 42 reais
07. Resposta: B.
600 dm² = 6 m²
6
720
∶
6
6
=
1
120
08. Resposta: D.
7
5
. 45 = 7 . 9 = 63
09. Resposta: B.
Aluguel:1000 ∙
1
4
= 250
Outras despesas: 1000 ∙
3
5
= 600
250 + 600 = 850
Restam :1000 – 850 = R$ 150,00
Raciocínio Analítico, na verdade, é outra denominação para Raciocínio Crítico, na qual trata-se de
uma mistura de lógica com interpretação de textos.
Vejamos:
“Beber café causa câncer. Afinal, todas as pessoas com câncer que eu conheço bebiam café. Além
disso, uma médica bastante conhecida parou de ingerir este alimento para evitar a doença. É bom lembrar
também que o número de casos de câncer tem aumentado, assim como o consumo de café”.
Aqui temos as premissas e as conclusões na qual podemos montar a estrutura deste argumento, para
assim analisa-lo.
Premissa 1: todas as pessoas com câncer que eu conheço bebiam café
Premissa 2: uma médica bastante conhecida parou de ingerir este alimento para evitar a doença
Premissa 3: o número de casos de câncer tem aumentado, assim como o consumo de café
Conclusão: Beber café causa câncer
A conclusão deste argumento está logo no início do texto.
Ao estudar Raciocínio Analítico, estamos no campo da “lógica informal”, que é menos rigorosa /
extremista. De qualquer forma, a uma primeira vista podemos fazer um julgamento preliminar desse
argumento. O seu senso crítico não deve ter deixado que você fique inteiramente convencido da ideia
que estava sendo defendida pelo texto. Isto porque, de fato, essa fala apresenta alguns erros de
argumentação que são as falácias.
Verdades e Mentiras: resolução de problemas.

. 68
Observe que:
Premissa 1: todas as pessoas com câncer que eu conheço bebiam café
Quantas pessoas de fato a pessoa que faz tal afirmação conhecia? 100? 200? O fato que isto não
significa generalizar é afirmar que TODO mundo que bebe café vai morrer de câncer.
Premissa 2: uma médica bastante conhecida parou de ingerir este alimento para evitar a doença
Será essa médica especialista em oncologia (especialidade médica que se dedica ao estudo e
tratamento da neoplasia, incluindo sua etiologia e desenvolvimento)? Ou será ela pediatra? Aqui a pessoa
que escreve este texto baseou suas informações prestadas por uma médica que ele conhecia, nem
sabemos de fato a especialidade desta médica.
Premissa 3: o número de casos de câncer tem aumentado, assim como o consumo de café
Uma informação não pode afirmar a correlação entre as mesmas. Há estudos que comprovem isso?
Este fato é isolado a uma região?
Logo a conclusão não pode ser aceita como válida ou como uma verdade, pois nossos
questionamentos nos levam a crer que este argumento não é dito como válido. Pois podem existir pessoas
com câncer que não bebem café e pessoas que bebem café e não tem câncer.
Se na prova perguntasse: "Qual das informações abaixo, se for verdadeira, mais enfraquece o
argumento apresentado?"
(A) O autor do texto conhece 100 pessoas com câncer.
(B) a médica referida pelo autor é pediatra, só tendo estudado oncologia brevemente durante a
faculdade há 20 anos.
(C) as regiões do país onde o aumento do consumo de café tem sido maior nos últimos anos também
são as regiões que têm registrado os maiores aumentos na incidência de câncer.
(D) todos os conhecidos do autor bebem café.
Resolução: (“enfraquecer” o argumento é aquela afirmação que deixa a conclusão mais longe da sua
validade) repare que duas das alternativas de resposta não enfraquecem o argumento, mas sim o
reforçam: A e C. As outras duas alternativas enfraquecem o argumento, como vimos acima. Mas preste
atenção na pergunta feita no enunciado: nós devemos marcar aquela informação que MAIS enfraquece
o argumento. Com base na análise que fizemos acima, creio que você não tenha dificuldade de marcar a
alternativa D. Afinal, na alternativa B, o mero fato de a médica ter estudado oncologia por um curto período
e há muito tempo atrás não invalida totalmente a opinião dela, embora realmente enfraqueça um pouco
a argumentação do autor do texto.
Mais alguns exemplos:
1) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do
pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei que era um pouco surdo não ouviu o que
ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebelim: Cebelim é inocente, Cebelim: Dedelim é
inocente, Dedelim: Ebelim é culpado, Ebelim: Abelim é culpado.
O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então
ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado e ele disse a verdade; os outros quatro são
inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo
concluiu corretamente que o culpado era:
(A) Abelim
(B) Bebelim
(C) Cebelim
(D) Dedelim
(E) Ebelim
Resolução: se quatro dos inocentes mentiram e somente um culpado disse a verdade temos no
quadro abaixo duas informações conflitantes: as duas primeiras pois se ambas mentem não poderia haver
dois culpados!!!. Então somente um dos dois que disseram que são inocentes está correto. Desta forma
se acha o culpado! Como consequência os outros últimos estão mentindo pois há 4 inocentes que
mentem. Testemos quem é o culpado:

. 69
Dica: Não poderá ter dois inocentes que mentem pois só pode ter um culpado.
Para hipótese 1 temos: Supondo que quem diz a verdade é B e disse que Cebelim é inocente (e que
pela questão todo inocente mente) conclui-se que Dedelim é culpado (Cebelim mente). Na terceira linha
vemos que Dedelim mente (veja a coluna da hipótese 1). Isto não pode acontecer (dizer que D é culpado
e a tabela na hipótese dizer que mente).
Para a hipótese 2 temos: Bebelim mente e C é culpado (que diz a verdade sempre), desta forma pela
segunda linha da tabela D é inocente. Se D é inocente e mente então E é inocente e se E é inocente e
mete então A é inocente. Sendo assim, o culpado é C (Cebelim).
Acusados Disseram Hipótese 1 Hipótese 2
Bebelim (B) C é inocente Verdade Mentira
Cebelim (C) D é inocente Mentira Verdade
Dedelim (D) E é culpado Mentira Mentira
Ebelim (E) A é culpado Mentira Mentira
Resposta C.
2) Nos últimos cinco anos, em um determinado país, verificou-se uma queda significante nas vendas
de cigarros. Essa queda coincidiu com a intensificação das campanhas públicas de conscientização
acerca dos malefícios à saúde provocados pelo fumo. Portanto, a queda nas vendas de cigarro deve ter
sido causada pelo receio das
pessoas em relação aos graves prejuízos que o fumo traz para a saúde. Qual dos fatos a seguir, se for
verdadeiro, enfraquecerá consideravelmente o argumento apresentado?
(A) Nos últimos anos, a indústria tabagista tem oferecido mais opções de cigarros aos consumidores,
como os com sabores especiais e teores reduzidos de nicotina.
(B) O preço dos cigarros subiu consideravelmente nos últimos cinco anos, devido a uma praga que
afetou as plantações de tabaco ao redor do mundo.
(C) A procura por produtos ligados a tratamentos antifumo, como os chicletes e adesivos de nicotina,
cresceu muito neste país nos últimos cinco anos.
(D) O consumo de outros tipos de fumo, como o charuto e o cachimbo, caiu 30% nos últimos cinco
anos.
(E) De acordo com dados do Ministério da Saúde do país, o número de fumantes caiu
40% nos últimos cinco anos.
Resolução: devemos buscar a afirmação que enfraquece a ideia de que a redução nas vendas de
cigarro foi devida ao aumento das campanhas de conscientização.
(A) ERRADO. Esse aumento de opções (inclusive opções mais saudáveis, com menos nicotina) não
explica a redução do consumo de cigarros, mas ajudaria a explicar um eventual aumento neste consumo.
(B) CORRETO. Se houve uma forte alta no preço dos cigarros, talvez este fator tenha sido mais
importante para a redução do consumo de cigarro que as campanhas de conscientização. Isto certamente
enfraquece o argumento.
(C) ERRADO. A maior busca por tratamento não garante que esses tratamentos estejam sendo
eficazes, isto é, o consumo de cigarro por viciados esteja diminuindo.
(D) ERRADO. A queda no consumo de outros tipos de fumo não fornece uma explicação alternativa
para a queda no consumo de cigarro. Continuamos podendo acreditar que as responsáveis pela queda
no consumo sejam as campanhas de conscientização.
(E) ERRADO. A queda do número de fumantes pode ter ocorrido justamente devido à intensificação
das campanhas de conscientização nos últimos 5 anos, e assim propiciado também a queda nas vendas
de cigarro.
Resposta: B.
3) Há 2 anos, a Universidade Delta implantou um processo em que os alunos da graduação realizam
uma avaliação da qualidade didática de todos os seus professores ao final do semestre letivo. Os
professores mal avaliados pelos alunos em três semestres consecutivos são demitidos da instituição.
Desde então, as notas dos alunos têm aumentado: a média das notas atuais é 70% maior do que a média
de 2 anos atrás. A causa mais provável para o aumento de 70% nas notas é:
(A) a melhoria da qualidade dos alunos que entraram na Universidade Delta nos últimos 2 anos,
atraídos pelo processo de avaliação dos docentes.

. 70
(B) a demissão dos professores mal avaliados, que são substituídos por professores mais jovens, com
mais energia para motivar os alunos para o estudo.
(C) o aumento da cola durante as avaliações, fenômeno que tem sido observado, nos
últimos anos, nas principais instituições educacionais brasileiras.
(D) uma diminuição no nível de dificuldade das avaliações elaboradas pelos professores, receosos de
serem mal avaliados pelos alunos caso sejam exigentes.
(E) a melhoria da qualidade das aulas em geral, o que garante que os alunos aprendam os conteúdos
de maneira mais profunda, elevando a média das avaliações.
Resolução: antes de avaliar as alternativas, repare que um aumento de 70% significa que, se a nota
média dos alunos anteriormente era 6 (em 10 pontos), após o aumento a nota média passou a ser 10
(nota máxima!). Isto é, estamos diante de um aumento muito expressivo das notas.
(A) ERRADO. Pode até ser que alunos melhores tenham sido atraídos pelo processo mais rigoroso
de avaliação dos docentes, mas é improvável que isto justifique um aumento tão grande nas notas. Seriam
necessários alunos MUITO melhores.
(B) ERRADO. Note que a medida foi implementada há apenas 4 semestres (2 anos), e são necessários
pelo menos 3 semestres completos para que os professores mal avaliados começassem a ser demitidos.
Isto é, é improvável acreditar que os efeitos da substituição de professores estivessem sendo sentidos de
maneira tão intensa em tão pouco tempo.
(C) ERRADO. Se de fato houve aumento da cola, é provável que isso tenha influenciado um aumento
das notas, mas um aumento tão expressivo como o citado no item A (de 6 para 10 pontos) exigiria um
aumento massivo da cola.
(D) CORRETO. É possível acreditar que uma redução na dificuldade das provas seja capaz de gerar
um aumento expressivo nas notas dos alunos. Basta cobrar os tópicos mais básicos e/ou mais intuitivos
de cada disciplina. Esta tese é mais crível que as demais.
(E) ERRADO. Ainda que os professores, com medo da demissão, tenham melhorado a qualidade de
suas aulas, é improvável que está melhoria de qualidade seja responsável por uma variação tão
expressiva nas notas.
Resposta: D.
Questões
01. (DPE/SP – Oficial de Defensoria Pública – FCC/2015) Ana, Bete e Ciça conversam sobre suas
idades dizendo:
Ana: − Tenho 22 anos, dois a menos do que Bete, e um ano a mais do que Ciça.
Ciça: − Tenho 27 anos, Ana tem 22 anos, e Bete tem 28 anos.
Bete: − Ciça tem 7/8 da minha idade, a mais velha de nós tem 4 anos a mais do que a mais nova; Ciça
disse apenas uma mentira.
Sabendo que Ana sempre diz a verdade, é correto afirmar que
(A) Ciça disse apenas uma mentira.
(B) Ciça disse três mentiras.
(C) Bete disse três mentiras.
(D) Bete disse apenas verdades.
(E) Bete disse apenas uma verdade.
02. (TCE/CE – Técnico de Controle Externo – Administração – FCC/2015) Em uma família de 6
pessoas, um bolo foi dividido no jantar. Cada pessoa ficou com 2 pedaços do bolo. Na manhã seguinte,
a avó percebeu que tinham roubado um dos seus dois pedaços de bolo. Indignada, fez uma reunião de
família para descobrir quem tinha roubado o seu pedaço de bolo e perguntou para as outras 5 pessoas
da família: “Quem pegou meu pedaço de bolo?"
As respostas foram:
Guilherme: “Não foi eu"
Telma: “O Alexandre que pegou o bolo".
Alexandre: “A Caroline que pegou o bolo".
Henrique: “A Telma mentiu"
Caroline: “O Guilherme disse a verdade".

. 71
A avó, sabendo que uma pessoa estava mentindo e que as outras estavam falando a verdade, pôde
concluir que quem tinha pegado seu pedaço de bolo foi
(A) Guilherme.
(B) Telma.
(C) Alexandre.
(D) Henrique.
(E) Caroline.
03. (METRÔ/SP – Agente de Segurança Metroviária I – FCC/2015) Três amigos fazem as seguintes
afirmações:
André: − Beto é mentiroso.
Beto: − Carlos diz a verdade.
Carlos: − André e Beto são mentirosos.
Do ponto de vista lógico, é possível que
(A) André e Beto estejam dizendo a verdade.
(B) André esteja mentindo.
(C) Carlos esteja mentindo.
(D) André e Carlos estejam mentindo.
(E) Beto esteja dizendo a verdade.
Respostas
01. Resposta: E.
Como a Ana fala a verdade:
Ana: 22 anos
Bete: 24 anos
Ciça: 21 anos
Portanto Ciça diz 2 mentiras ( que ela tem 27 anos e que Bete tem 28 anos)
Bete diz que Ciça tem 7/8 da sua idade:
24.7
8
= 21 𝑎𝑛𝑜𝑠
Portanto, verdade.
A mais velha é Bete que tem 24 anos e a mais Nova é Ciça com 21 anos, portanto são 3 anos de
diferença e não 4.
E Ciça disse 2 mentiras.
Ou seja, Bete também disse 2 mentiras (a diferença de idade e que Ciça disse apenas uma mentira).
Ana: 3 verdades
Ciça: 2 mentiras e 1 verdade
Bete: 2 mentiras e 1 verdade
02. Resposta: E.
Vamos fazer a tabela de hipóteses para ficar mais fácil
As hipóteses serão trabalhadas como se cada um tivesse comido o bolo.
Hipótese 1: Guilherme comeu
Hipótese 2: Telma comeu
Hipótese 3: Alexandre comeu
Hipótese 4: Henrique comeu
Hipótese 5: Caroline comeu
Nomes O que disse Hipótese
1
Hipótese
2
Hipótese
3
Hipótese
4
Hipótese
5
Guilherme Não fui eu F V V V V
Telma O Alexandre que pegou o
bolo
F F V F F
Alexandre A Carolina que pegou o
bolo
F F F F V
Henrique A Telma mentiu V V F V V
Caroline O Guilherme disse a
Verdade
F V V V V

. 72
A hipótese 5 é a única que tem 1 falsa. Portanto, é a que está correta. Caroline comeu o bolo.
03. Resposta: E.
SEQUÊNCIAS
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de
aniversário dos alunos de uma determinada escola.
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos
atenção ao estudo das sequências numéricas.
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final.
Exemplos:
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10
= 9.
1. Igualdade
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada.
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões
diferentes.
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos
termos, na mesma ordem.
Exemplo
A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x =
5; y = 8; z = 15; e t = 17.
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente.
2. Formula Termo Geral
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada de termo an
em função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor
do termo an é chamada formula do termo geral da sucessão.
Exemplos:
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a:
an = n2
– 2n,com n ∈ N*.
Teremos:
- se n = 1 ⇒ a1 = 12
– 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1
- se n = 2 ⇒ a2 = 22
– 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0
- se n = 3 ⇒ a3 = 32
– 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3
- se n = 4 ⇒ a4 = 42
– 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8
- se n = 5 ⇒ a5 = 52
– 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15
Sequências (com números, com figuras, de palavras).

. 73
- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a:
an = 3n + 2, com n ∈ N*.
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a:
an = 45 – 4n, com n ∈ N*.
Teremos:
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47
3. Lei de Recorrências
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências.
Exemplos:
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que:
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4 , em que n ∈ N*.
Teremos: o primeiro termo já foi dado.
- a1 = 3
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que:
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*.
- a1 = 12
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4
Observação 1
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências.
Observação 2
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas
nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma
formula geral para seus termos.
Observação 3
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*
, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um
número natural.
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo
anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r).

. 74
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,....
Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo
imediatamente anterior a ele.
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1
Exemplos:
- (5, 9, 13, 17, 21, 25,......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4
- (2, 9, 16, 23, 30,.....) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7
- (23, 21, 19, 17, 15,....) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2.
Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão.
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente.
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente.
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante.
Fórmula do Termo Geral
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos:
1° termo: a1
2° termo: a2 = a1 + r
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
n° termo é:
Fórmula da soma dos n primeiros termos
Propriedades:
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11,......)
Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38,......)
𝐚 𝐧 = 𝐚 𝟏 + (𝐧 − 𝟏). 𝐫
𝐒 𝐧 =
(𝐚 𝟏 + 𝐚 𝐧). 𝐧
𝟐

. 75
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém,
só existe termos médio se houver um número ímpar de termos.
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3,...) <==> a2 =
a3
a1
.
Exemplo:
P.G. – PROGRESSÃO GEOMETRICA
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo
anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q).
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,....
Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo
imediatamente anterior a ele.
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯ … … … =
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
Exemplos:
- (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2
- (-36, -18, -9,
−9
2
,
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q =
1
2
- (15, 5,
5
3
,
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q =
1
3
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3
- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1
- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0
- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada
Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão.
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando
a1 < 0 e 0 < q < 1.
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou
quando a1 < 0 e q > 1.
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria.
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.
Fórmula do termo geral
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos:
1° termo: a1
2° termo: a2 = a1.q
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2
.q = a1.q3
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3
.q = a1.q4
. . . . .
. . . . .
. . . . .
n° termo é:
an = a1.qn – 1

. 76
Soma dos n primeiros termos
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma)
Vamos ver um exemplo:
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32,.....) de a1 = 2 e q =
1
2
se colocarmos na forma decimal, temos
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125;.....) se efetuarmos a somas destes termos:
2 + 1 = 3
3 + 0,5 = 3,5
3,5 + 0,25 = 3,75
3,75 + 0,125 = 3,875
3,875 + 0,0625 = 3,9375
3,9375 + 0,03125 = 3,96875
.
.
.
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo
limite. Então temos a seguinte fórmula:
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a
4.
Produto da soma de n termos
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo:
1- O produto de n números positivos é sempre positivo.
2- No produto de n números negativos:
a) se n é par: o produto é positivo.
b) se n é ímpar: o produto é negativo.
Propriedades
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto
destes extremos.
Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,....)
Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,....)
𝐒 𝐧 =
𝐚 𝟏. (𝐪 𝐧
− 𝟏)
𝐪 − 𝟏
𝐒 =
𝐚 𝟏
𝟏 − 𝐪
→ −𝟏 < 𝐪 < 𝟏
|𝐏𝐧| = √(𝐚 𝟏. 𝐚 𝐧) 𝐧

. 77
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um
termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos.
Porém, só existe termos médio se houver um número ímpar de termos.
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3,...) <==> a2 = √a3. a1.
Exemplo:
Questões
01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51,...)
(A) 339
(B) 337
(C) 333
(D) 331
02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o
número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07.
Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é
(A) –6,7.
(B) 0,23.
(C) –3,1.
(D) –0,03.
(E) –0,23.
03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em
que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a:
(A) 58
(B) 59
(C) 60
(D) 61
(E) 62
04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
(A) 3,1
(B) 3,9
(C) 3,99
(D) 3, 999
(E) 4
05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Observe a
sequência:
1; 2; 4; 8;...
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo?
(A) 192
(B) 184

. 78
(C) 160
(D) 128
(E) 64
06. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN)
O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100.
A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a
(A) 210.
(B) 250.
(C) 360.
(D) 480.
(E) 520.
07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64
grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser
colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a
(A) 264
.
(B) 2126
.
(C) 266
.
(D) 2128
.
(E) 2256
.
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado
na figura.
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a
(A) 36.
(B) 38.
(C) 39.
(D) 40.
(E) 42.
09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir:
11; 15; 19; 23;...
Qual é o sétimo termo desta sequência?
(A) 27.
(B) 31.
(C) 35.
(D) 37.
(E) 39
10. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um

. 79
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo
completo de numeração das peças é igual a
(A) 20.
(B) 10.
(C) 19.
(D) 18.
(E) 9.
11. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO- ADMINISTRATIVO – FCC) Considere a sequência numérica
formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são
dados a seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...)
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8
Respostas
01. Resposta: A.
r = 48 – 45 = 3
𝑎1 = 45
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339
02. Resposta: D.
𝑎 𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟
𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09
𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03
03. Resposta: B.
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 -
(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 -
(8; 9; 10; 11; …).
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está
intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
- Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37
E, portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59.
04. Resposta: E.
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de
razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4

. 80
05. Resposta: C.
Esta sequência é do tipo 𝑎 𝑛 = 2 𝑛−1
.
Assim:
𝑎6 = 26−1
= 25
= 32
𝑎8 = 28−1
= 27
= 128
A soma fica: 32 + 128 = 160.
06. Resposta: E.
𝑎 𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2
100 = 4 ∙ 𝑞2
𝑞2
= 25
𝑞 = 5
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20
𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520
07. Resposta: B.
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4
A64 = ?
a1 = 1
q = 4
n = 64
𝑎 𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1
𝑎 𝑛 = 1 ∙ 463
= (22)63
= 2126
08. Resposta: D.
Se estão em Progressão Geométrica, então:
𝑟1
𝑟
=
𝑟2
𝑟1
, ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2.
Assim: 𝑟1
2
= 144
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim:
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52
𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12
𝑟 + 𝑟2 = 40
09. Resposta: C.
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟
𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35
10. Resposta: A.
99 = 9 + (𝑛 − 1)10
10𝑛 − 10 + 9 = 99
𝑛 = 10
Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9
99 = 90 + (𝑛 − 1)
𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2
19+1=20
11. Resposta: D.
r = 4
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936
Portanto, o último algarismo é 6.

. 81
LÓGICA SEQUENCIAL
O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou
mais proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os
dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Foi pelo processo do raciocínio que
ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e
dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado
também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de
conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.
Sequências Lógicas
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas
de se estabelecer uma sequência, o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize
a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua
lógica. Algumas sequências são bastante conhecidas e toda pessoa que estuda lógica deve conhecê-las,
tais como as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os
quadrados perfeitos.
Sequência de Números
Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número.
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número.
Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão.
Série de Fibonacci: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores.
1 1 2 3 5 8 13
Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais.
2 3 5 7 11 13 17
Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais.
1 4 9 16 25 36 49
Sequência de Letras
As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos
escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para
entender a lógica proposta.
A C F J O U
Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

. 82
B1 2F H4 8L N16 32R T64
Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3,
1, 3, 1, 3 e 1 posições.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
Sequência de Pessoas
Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão
em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna,
ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete
a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição.
Sequência de Figuras
Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente
sofrer rotações, como nos exemplos a seguir.
Sequência de Fibonacci
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica:
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento,
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento
de modelos explicativos de fenômenos naturais.
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam
a sequência de Fibonacci.
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado,
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da
sequência de Fibonacci.

. 83
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada
retângulo áureo ou retângulo de ouro.
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos:
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
(1).
Como: b = y – a (2).
Substituindo (2) em (1) temos: y2
– ay – a2
= 0.
Resolvendo a equação:
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
em que (
1−√5
2
< 0) não convém.
Logo:
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:
𝜃 =
1 + √5
2
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo
como o caso da fachada do Partenon.
As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos:
Exemplo 1
A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4.
6 x 4 = 24
24 x 4 = 96

. 84
96 x 4 = 384
384 x 4 = 1536
Exemplo 2
A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade.
13 – 10 = 3
17 – 13 = 4
22 – 17 = 5
28 – 22 = 6
35 – 28 = 7
Exemplo 3
Multiplicar os números sempre por 3.
1 x 3 = 3
3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81
81 x 3 = 243
243 x 3 = 729
729 x 3 = 2187
Exemplo 4
A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades.
24 – 22 = 2
28 – 24 = 4
34 – 28 = 6

. 85
42 – 34 = 8
52 – 42 = 10
64 – 52 = 12
78 – 64 = 14
Questões
01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte:
A carta que está oculta é:
(A) (B) (C)
(D) (E)
02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério.
Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número
15 deverá ser:
(A) 69
(B) 67
(C) 65
(D) 63
(E) 61

. 86
03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ...
(A) 800
(B) 790
(C) 780
(D) 770
04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a
ausência de um deles que pode ser:
(A) 76
(B) 10
(C) 20
(D) 78
05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados
conforme indicado abaixo:
.............
1° 2° 3°
Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura?
(A) 20 palitos
(B) 25 palitos
(C) 28 palitos
(D) 22 palitos
06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar
o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja
figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo.

. 87
Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na:
(A) 36ª figura
(B) 48ª figura
(C) 72ª figura
(D) 80ª figura
(E) 96ª figura
08. Analise a sequência a seguir:
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar
que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é:
(A) (B) (C)
(D) (E)
09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número?
(A) 20
(B) 21
(C) 100
(D) 200
10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número?
(A) 4
(B) 20
(C) 31
(D) 21
11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério.
LACRAÇÃO  cal
AMOSTRA  soma
LAVRAR  ?
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é:
(A) alar
(B) rala
(C) ralar
(D) larva
(E) arval
12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão.

. 88
Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é:
(A) (B) (C) (D) (E)
13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de
formação.
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a:
(A) 40
(B) 42
(C) 44
(D) 46
(E) 48
14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado
critério.
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui
corretamente o ponto de interrogação é:
(A) P
(B) O
(C) N
(D) M
(E) L
15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e
positivos, sem que os algarismos sejam separados.
1234567891011121314151617181920...
O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é:
(A) 9
(B) 8
(C) 6
(D) 3
(E) 1

. 89
16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão.
Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros
triângulos obedecem a um mesmo critério.
Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto
de interrogação é:
(A) 32
(B) 36
(C) 38
(D) 42
(E) 46
18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que
preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é:
(A) 36,
(B) 40,
(C) 42,
(D) 44,
(E) 48
19. Observando a sequência (1,
1
2
,
1
6
,
1
12
,
1
20
, ...) o próximo numero será:
(A)
1
24
(B)
1
30
(C)
1
36

. 90
(D)
1
40
20. Considere a sequência abaixo:
BBB BXB XXB
XBX XBX XBX
BBB BXB BXX
O padrão que completa a sequência é:
(A) (B) (C)
XXX XXB XXX
XXX XBX XXX
XXX BXX XXB
(D) (E)
XXX XXX
XBX XBX
XXX BXX
21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos
precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série
é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte
modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o
“B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim
por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li:
(A) FAZ AS DUAS;
(B) DIA DO LOBO;
(C) RIO ME QUER;
(D) VIM DA LOJA;
(E) VOU DE AZUL.
23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por:
(A) 326187;
(B) 876132;
(C) 286731;
(D) 827361;
(E) 218763.
24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo
seguinte número:
(A) 53452;
(B) 23455;
(C) 34552;
(D) 43525;
(E) 53542.
25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números
de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um
número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns
números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse
número tem em comum com o número procurado.

. 91
Número dado Quantidade de números de 2 algarismos em comum
48.765 1
86.547 0
87.465 2
48.675 1
O número procurado é:
(A) 87456
(B) 68745
(C) 56874
(D) 58746
(E) 46875
26. Considere que os símbolos  e  que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações
que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra
na coluna da extrema direita.
36  4  5 = 14
48  6  9 = 17
54  9  7 = ?
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído
pelo número:
(A) 16
(B) 15
(C) 14
(D) 13
(E) 12
27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto
de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto
usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá
anteceder o número 12 é:
(A) J
(B) L
(C) M
(D) N
(E) O
28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da
tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal
sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.
Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente
aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que
correspondem às letras que compõem o nome do animal é:
(A) 37
(B) 39
(C) 45
(D) 49
(E) 51

. 92
Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A
mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas,
ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética
adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.
29. CASA: LATA: LOBO: ?
(A) SOCO
(B) TOCO
(C) TOMO
(D) VOLO
(E) VOTO
30. ABCA: DEFD: HIJH: ?
(A) IJLI
(B) JLMJ
(C) LMNL
(D) FGHF
(E) EFGE
31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12,
13, ...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número:
(A) Menor que 200.
(B) Compreendido entre 200 e 400.
(C) Compreendido entre 500 e 700.
(D) Compreendido entre 700 e 1.000.
(E) Maior que 1.000.
Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois
primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo
determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser
colocada no lugar do ponto de interrogação.
32. Ardoroso  rodo
Dinamizar  mina
Maratona  ?
(A) mana
(B) toma
(C) tona
(D) tora
(E) rato
33. Arborizado  azar
Asteróide  dias
Articular  ?
(A) luar
(B) arar
(C) lira
(D) luta
(E) rara
34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2,
__, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __...
35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de
lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1
metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço?
36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas?

. 93
37. Quantos quadrados existem na figura abaixo?
38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.
39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo?
40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais.
41. Observe as multiplicações a seguir:
12.345.679 × 18 = 222.222.222
12.345.679 × 27 = 333.333.333
... ...
12.345.679 × 54 = 666.666.666
Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto?
42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de
frente para a estrada asfaltada.

. 94
43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados.
44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta
que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1?
45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito.
46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência
abaixo?
47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos.
48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas.
49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados.

. 95
50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos.
Respostas
01. Resposta: A.
A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor
da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser
a da opção (A).
02. Resposta: D.
Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se:
Na figura 1: 01 ponto de cada lado  02 pontos no total.
Na figura 2: 02 pontos de cada lado  04 pontos no total.
Na figura n: n pontos de cada lado  2.n pontos no total.
Em particular:
Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se:
Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo  04 pontos no total.
Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo  2.(n+1) pontos no total.
Em particular:
Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo  32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não
foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos.
03. Resposta: B.
Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o
970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60,
dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60.
04. Resposta: D.
Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e
28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é
14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14.
05. Resposta: D.
Observe a tabela:
Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
N° de Palitos 4 7 10 13 16 19 22
Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto,
basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior
acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade
de palitos da 7ª figura.

. 96
06. Resposta: A.
Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do
lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria
em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta
ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta
ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a
planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado.
07. Resposta: B.
Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por
16: 3. 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos.
08. Resposta: B.
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5
elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número
5n + 2, com n ∈ N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”.
09. Resposta: D.
A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que
inicia cada número. “Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só
pode iniciar também com “D”: Duzentos.
10. Resposta: C.
Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta,... O próximo só pode ser o
número Trinta e um, pois ele inicia com a letra “T”.
11. Resposta: E.
Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem
invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira
letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida,
obtém-se ARVAL.
12. Resposta: C.
Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já
há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado.
As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as
mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou
abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que
está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça
quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda.
13. Resposta: A.
Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na
parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo
para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X =
10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo
para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30.
Logo, X + Y = 10 + 30 = 40.
14. Resposta: A.
A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita
para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª
linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra
que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”.
15. Resposta: B.
A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém
todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os
números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o

. 97
número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75
algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores,
tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição
é o número 8, que aparece no número 128.
16. Resposta: D.
Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo
e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de
cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra,
mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em
baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não
terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª.
17. Resposta: B.
No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual
à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 -
13 = 8.
A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6.
Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo:
? ÷ 3 = 19 – 7
? ÷ 3 = 12
? = 12 x 3 = 36.
18. Resposta: E.
Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75,
108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7
= 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48.
19. Resposta: B.
Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência:
Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto
1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30
20. Resposta: D.
O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos:
BBB BXB XXB
XBX XBX XBX
BBB BXB BXX
7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X
Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem
também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma
forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é:
XXX
XBX
XXX
1B e 8X
21. Resposta: D.
Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a
alternativa “D”, pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois
termos precedentes. 2 + 3 = 5
22. Resposta: E.
A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra
que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U”
vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever
a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o

. 98
receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso,
nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores.
Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de
modo que:
VxzaB: B na verdade é V;
OpqrS: S na verdade é O;
UvxzA: A na verdade é U;
DefgH: H na verdade é D;
EfghI: I na verdade é E;
AbcdE: E na verdade é A;
ZabcD: D na verdade é Z;
UvxaA: A na verdade é U;
LmnoP: P na verdade é L;
23. Resposta: B.
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma
sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência
numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma.
Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as
letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira
palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência
numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta.
24. Resposta: A.
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma
sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de
maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas
palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete
na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás
para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida
temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta.
25. Resposta: E.
Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número
48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas.
Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas
alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado.
26. Resposta: D.
O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-
se: 36  4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48  6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á:
54  9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído
pelo número 13.
27. Resposta: A.
As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a
sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a
sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J.
28. Resposta: D.
Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte
ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela:
P E R U
M A R A
T A T U
U R S O

. 99
O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14.
Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49.
29. Resposta: B.
Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de
letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra
do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é
a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7
letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª
sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência
é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO.
30. Resposta: C.
Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª
letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF,
voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras
HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L,
continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL.
31. Resposta: E.
Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu
a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º
termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º
termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da
sequência é um número maior que 1.000.
32. Resposta: D.
Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra
“rodo”. Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra
“mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”,
criando-se a palavra “tora”.
33. Resposta: A.
Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem
invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida
da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e
“s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando
as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”.
34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois
números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
35.
Dia Subida Descida
1º 2m 1m
2º 3m 2m
3º 4m 3m
4º 5m 4m
5º 6m 5m
6º 7m 6m
7º 8m 7m
8º 9m 8m
9º 10m ----
Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço.
36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99.
Portanto, são necessários 20 algarismos.

. 100
37.
= 16
= 09
= 04
=01
Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados.
38.
39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88.
40.
41.
12.345.679 × (2×9) = 222.222.222
12.345.679 × (3×9) = 333.333.333
... ...
12.345.679 × (6×9) = 666.666.666
Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81
42.

. 101
43.
44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus
sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas.
45.
46. Observe que:
3 6 18 72 360 2160 15120
x2 x3 x4 x5 x6 x7
Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960
47.
48.
49.
50.

. 102
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com
problemas de contagem. Ela também é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância
para as ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM-PFC (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO)
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através da possibilidades
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode
se tornar trabalhosa.
Exemplos:
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã,
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco?
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu de um amigo Pedro (que mora na cidade C) João
precisa pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva
até o destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades:
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de
possibilidades:
Análise combinatória e probabilidade.

. 103
2 x 3 = 6
3) De sua casa ao trabalho, Silvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega.
De quantos modos distintos Silvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade?
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas:
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades.
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12.
No total Silvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade.
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória,
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação,
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a
unidade são chamados fatoriais.
Matematicamente:
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos:
Onde:
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”)
Por convenção temos que:
Exemplos:
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila.
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições:
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320
2) Dado
9!
5!
, qual o valor dessa fração?
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos:
9!
5!
=
9.8.7.6.5!
5!
= 3024
Podemos dizer que, um evento B pode ser feito de n maneiras,
então, existem m • n maneiras de fazer e executar o evento B.
n! = n. (n – 1 ). (n – 2). ... . 1
0! = 1
1! = 1

. 104
TIPOS DE AGRUPAMENTO
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos
simples. Dentre eles temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante.
Vamos ver detalhadamente cada um deles.
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a
ordem dos seus elementos é o que diferencia.
Exemplos:
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos
podemos formar com este conjunto?
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo.
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar
a fórmula do arranjo.
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p).
Então:
Utilizando a fórmula:
Onde n = 6 e p = 3
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos.
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha?
n = 18 (professores)
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico)
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um
caso particular do arranjo simples.
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das
letras de uma palavra).
Exemplos:
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO?
𝑨𝒏, 𝒑 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)!
Pn! = n!

. 105
Utilizando a fórmula da permutação temos:
n = 4 (letras)
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L?
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L.
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante.
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros.
Exemplos:
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis?
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo
formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes
possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes.
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ...
Com isso percebemos que a ordem não é importante!
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos:
𝑪𝒏, 𝒑 =
𝑨𝒏, 𝒑
𝒑!
→ 𝑪𝒏, 𝒑 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)! 𝒑!

. 106
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 =
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...).
Aplicando a fórmula:
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com
extremidades em dois desses pontos?
AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos.
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos:
A) arranjo com repetição;
B) permutação com repetição;
C) combinação com repetição.
Vejamos:
A) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto,
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter
elementos repetidos.
Indicamos por AR n,p
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
Exemplo:
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema
decimal) podem ser formadas?
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é:
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos:
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏 𝒑
→ 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔 𝟐
= 𝟔𝟕𝟔
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos):
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois
pontos entre os dez.
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então
sabemos que se trata de uma combinação.
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados
2 a 2.
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
=
45 cordas

. 107
→ 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎 𝟒
= 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados:
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas.
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros
teríamos:
→ 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎 𝟒
− 𝟏𝟎 𝟒
= 𝟏𝟎 𝟒
. (𝟔𝟕𝟔 − 𝟏)
B) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em
que o mesmo elemento aparece.
Com α + β + γ + ... ≤ n
Exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
n = 5
α = 3 (temos 3 vezes a letra A)
β = 2 (temos 2 vezes a letra R)
Equacionando temos:
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… )
=
𝒏!
𝜶! 𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐)
=
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da
seguinte forma:
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação.
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la?
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais:
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… )
=
𝒏!
𝜶! 𝜷! 𝜸!
…
𝑷𝒄 𝒏
= (𝒏 − 𝟏)!

. 108
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações
circulares será dado por:
𝑃𝑐5
=
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem.
Exemplo:
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos?
Ilustrando temos:
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade
de enumerar todas as possibilidades:
n = 3 e p = 2
𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔
Questões
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV/2016) Em um restaurante os clientes têm
a sua disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o
cliente quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número
de opções diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é:
(A) 19
(B) 480
(C) 420
(D) 90
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro/2016) Seja N a
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
O valor de N é:
(A) 120
(B) 240
(C) 360
(D) 480
03. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP/2015) Com 12 fiscais, deve-se fazer
um grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer
um deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é:
(A) 4
(B) 660
(C) 1 320
(D) 3 960
04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) Uma empresa de propaganda
pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto,
amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco.
𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑

. 109
De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por
uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?
(A) 13
(B) 14
(C) 16
(D) 17
(E) 18
05. (TCE/BA – Analista de Controle Externo – FGV) Um heptaminó é um jogo formado por diversas
peças com as seguintes características:
• Cada peça contém dois números do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7}.
• Todas as peças são diferentes.
• Escolhidos dois números (iguais ou diferentes) do conjunto acima, existe uma, e apenas uma, peça
formada por esses números.
A figura a seguir mostra exemplos de peças do heptaminó.
O número de peças do heptaminó é
(A) 36.
(B) 40.
(C) 45.
(D) 49.
(E) 56.
06. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB) Os números dos segredos de um determinado modelo de
cadeado são compostos por quatro algarismos do conjunto C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
O número máximo de segredos distintos, desse modelo de cadeado, que começam com um algarismo
ímpar e terminam com um algarismo par, é:
(A) 1.120
(B) 1.750
(C) 2.255
(D) 2.475
(E) 2.500
07. (PM/SP – CABO – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de
placas diferentes será igual a
(A) 175.760.000.
(B) 183.617.280.
(C) 331.776.000.
(D) 358.800.000.
08. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO - ÁREA JUDICIÁRIA E ADMINISTRATIVA – FAURGS) O
Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura de barras composto por 5 barras para identificar
os pertences de uma determinada seção de trabalho. As barras podem ser pretas ou brancas. Se não
pode haver código com todas as barras da mesma cor, o número de códigos diferentes que se pode obter
é de
(A) 10.
(B) 30.
(C) 50.
(D) 150.
(E) 250.
09. (SEED/SP – AGENTE DE ORGANIZAÇÃO ESCOLAR – VUNESP) Um restaurante possui pratos
principais e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas
com vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais

. 110
individuais, um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e
Carolina só não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as
restrições alimentares dos três é igual a
(A) 384.
(B) 392.
(C) 396.
(D) 416.
(E)432.
10. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um
campeonato municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do
campeonato estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro
desses nove competidores?
(A) 126
(B)120
(C) 224
(D) 212
(E) 156
11. (PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – ORIENTADOR SOCIAL – IDECAN) Renato é mais velho
que Jorge de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença
entre suas idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é
(A) 24.
(B) 25.
(C) 26.
(D) 27.
(E) 28.
12. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN)
Numa sala há 3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas
maneiras é possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3
lâmpadas acesas?
(A) 12.
(B) 18.
(C) 20.
(D) 24.
(E) 36.
13. (CREA/PR – AGENTE ADMINISTRATIVO – FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra de um estádio
de futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas,
sendo um engenheiro e 3 técnicos.
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos,
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes.
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima.
(A) 252
(B) 250
(C) 243
(D) 127
(E) 81
14. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – MÚSICA – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se
em ordem alfabética os anagramas da palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF.
(A) 103
(B) 104
(C) 105
(D) 106
(E) 107

. 111
15. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos
de mão serão trocados?
(A) 22.
(B) 25.
(C) 27.
(D) 28.
Respostas
01. Resposta: B.
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as
possibilidades de fazermos o pedido:
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras.
02. Resposta: C.
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 =
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo,
teremos 4 possibilidades, montando temos:
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360.
Logo N é 360.
03. Resposta: B.
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos:
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
Onde n = 12 e p = 3
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660.
04. Resposta: C.
_ _
6.3=18
Tirando as possibilidades de papel e texto iguais:
P P e V V=2 possibilidades
18-2=16 possiblidades
05. Resposta: A.
Teremos 8 peças com números iguais.
Depois, cada número com um diferente
7+6+5+4+3+2+1
8+7+6+5+4+3+2+1=36

. 112
06. Resposta: E.
O primeiro algarismo tem 5 possibilidades: 1,3,5,7,9
Os dois do meio tem 10 possibilidades, pois pode repetir os números
E o último tem 5: 0,2,4,6,8
_ _ _ _
5.10.10.5=2500
07. Resposta: C.
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos
_ _ _ _ _ _ _
101010  242424 24=331.776.000
08. Resposta: B.
_ _ _ _ _
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco.
32-2=30
09. Resposta: E.
Para Alberto:5+4=9
Para Bianca:4
Para Carolina: 12
_ _ _
9.4.12=432
10. Resposta: A.
1001.
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126
11. Resposta: C.
Anagramas de RENATO
_ _ _ _ _ _
6.5.4.3.2.1=720
Anagramas de JORGE
_ _ _ _ _
5.4.3.2.1=120
Razão dos anagramas:
720
120
= 6
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos
12. Resposta: C.
1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas
𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3
𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4
𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12
𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3
𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1
𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3

. 113
𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1
𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4
𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4
𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1
𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1
𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20
13. Resposta: A.
Engenheiros
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3
Técnicos
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84
3 . 84 = 252 maneiras
14. Resposta: D.
F _ _ _ _ P4 = 4!
I _ _ _ _ P4 = 4!
L _ _ _ _p4 = 4!
U_ _ _ _P4 = 4!
ZF_ _ _P3 = 3!
ZIF_ _P2 = 2!
ZILFU-1
ZILUF
4 . 4! + 3! + 2! + 1 = 105
Portanto, ZILUF está na 106 posição.
15. Resposta: D.
A primeira pessoa apertará a mão de 7
A Segunda, de 6, e assim por diante.
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28
PROBABILIDADE
A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como jogos de
cartas e roleta. Atualmente ela está intimamente relacionada com a Estatística e com diversos ramos do
conhecimento.
Definições:
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para
estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos
probabilísticos.
- Experimentos aleatórios: fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos,
mesmo que as condições sejam semelhantes.
Exemplos:
a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima
b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces

. 114
c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número da suas faces.
- Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado
experimento aleatório. Indicamos esse conjunto por uma letra maiúscula: U, S , A, Ω ... variando de acordo
com a bibliografia estudada.
Exemplo:
a) quando lançamos 3 moedas e observamos suas faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda
cara (c) e coroa (k), o espaço amostral deste experimento é:
S = {(c,c,c); (c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}, onde o número de elementos do
espaço amostral n(A) = 8
- Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser
caracterizado por um fato. Indicamos pela letra E.
Exemplo:
a) no lançamento de 3 moedas:
E1→ aparecer faces iguais
E1 = {(c,c,c);(k,k,k)}
O número de elementos deste evento E1 é n(E1) = 2
E2→ aparecer coroa em pelo menos 1 face
E2 = {(c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}
Logo n(E2) = 7
Veremos agora alguns eventos particulares:
- Evento certo: que possui os mesmos elementos do espaço amostral (todo conjunto é subconjunto
de si mesmo); E = S.
E: a soma dos resultados nos 2 dados ser menor ou igual a 12.
- Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio.
E: o número de uma das faces de um dado ser 7.
E: Ø
- Evento simples: evento que possui um único elemento.
E: a soma do resultado de dois dados ser igual a 12.
E: {(6,6)}
- Evento complementar: se E é um evento do espaço amostral S, o evento complementar de E
indicado por C tal que C = S – E. Ou seja, o evento complementar é quando E não ocorre.
E1: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser menor ou igual a 2.
E2: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser maior que 2.
S: espaço amostral é dado na tabela abaixo:

. 115
E: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3) (2,4), (2,5), (2,6)}
Como, C = S – E
C = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4),
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
- Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a
ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos,
então: A ∩ B = Ø.
Sejam os eventos:
A: quando lançamos um dado, o número na face voltada para cima é par.
A = {2,4,6}
B: quando lançamos um dado, o número da face voltada para cima é divisível por 5.
B = {5}
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = Ø.
Probabilidade em espaços equiprováveis
Considerando um espaço amostral S, não vazio, e um evento E, sendo E ⊂ S, a probabilidade de
ocorrer o evento E é o número real P (E), tal que:
𝐏(𝐄) =
𝐧(𝐄)
𝐧(𝐒)
Sendo 0 ≤ P(E) ≤ 1 e S um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma
“chance de acontecer.
Onde:
n(E) = número de elementos do evento E.
n(S) = número de elementos do espaço amostral S.
Exemplo:
Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida
da seguinte forma:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6
E = {1, 3, 5} n(E) = 3
P(E) =
n(E)
n(S)
=
3
6
=
1
2
= 0,5 𝑜𝑢 50%
Probabilidade da união de dois eventos
Vamos considerar A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral A, o número de
elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de
elementos do evento B, subtraindo o número de elementos da intersecção de A com B.
Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação
por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A U B).
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
−
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)

. 116
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
Para eventos mutuamente exclusivos, onde A ∩ B = Ø, a equação será:
P (A U B) = P(A) + P(B)
Exemplo:
A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A
probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões.
Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A) = 95% = 0,95
Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B) = 8% = 0,08
P (A ∩ B) = a probabilidade de ser 110 milhões: P (A ∩ B) = ?
P (A U B) = 100% = 1
Utilizando a regra da união de dois eventos, temos:
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
1 = 0,95 + 0,08 - P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = 0,95 + 0,08 - 1
P (A ∩ B) = 0,03 = 3%
Probabilidade condicional
Vamos considerar os eventos A e B de um espaço amostral S, definimos como probabilidade
condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por P(A | B) ou 𝑃 (
𝐴
𝐵
), a razão:
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒏(𝑩)
=
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
Lemos P (A | B) como: a probabilidade de A “dado que” ou “sabendo que” a probabilidade de B.
Exemplo:
No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o
número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7.
Montando temos:
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4),
(3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4),
(6,5), (6,6)}
Evento A: o número 5 no primeiro dado.
A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7.
B = {(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
A ∩ B = {(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
P (A ∩ B) = 4/36
P(B) = 15/36
Logo:

. 117
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
4
36
15
36
=
4
36
.
36
15
=
4
15
Probabilidade de dois eventos simultâneos (ou sucessivos)
A probabilidade de ocorrer P (A ∩ B) é igual ao produto de um deles pela probabilidade do outro em
relação ao primeiro. Isto significa que, para se avaliar a probabilidade de ocorrem dois eventos
simultâneos (ou sucessivos), que é P (A ∩ B), é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles
P(B) pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu P (A | B).
Sendo:
𝐏(𝐀|𝐁) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
𝐨𝐮 𝐏(𝐁|𝐀) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐀)
- Eventos independentes: dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando
P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Sendo os eventos A e B independentes, temos:
P (A ∩ B) = P(A). P(B)
Exemplo:
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5
na dado e cara na moeda.
Sendo, c = coroa e k = cara.
S = {(1,c), (1,k), (2,c), (2,k), (3,c), (3,k), (4,c), (4,k), (5,c), (5,k), (6,c), (6,k)}
Evento A: 3 ou 5 no dado
A = {(3,c), (3,k), (5,c), (5,k)}
𝑃(𝐴) =
4
12
=
1
3
Evento B: cara na moeda
B = {(1,k), (2,k), (3,k), (4,k), (5,k), (6,k)}
𝑃(𝐵) =
6
12
=
1
2
Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer o evento A não modifica a probabilidade de
ocorrer o evento B. Com isso temos:
P (A ∩ B) = P(A). P(B)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
3
.
1
2
=
1
6
Observamos que A ∩ B = {(3,k), (5,k)} e a P (A ∩ B) poder ser calculada também por:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
2
12
=
1
6
No entanto nem sempre chegar ao n(A ∩ B) nem sempre é fácil dependendo do nosso espaço
amostral.
Lei Binomial de probabilidade
Vamos considerar um experimento que se repete n número de vezes. Em cada um deles temos:
P(E) = p , que chamamos de probabilidade de ocorrer o evento E com sucesso.
P(𝐸̅) = 1 – p , probabilidade de ocorrer o evento E com insucesso (fracasso).
A probabilidade do evento E ocorrer k vezes, das n que o experimento se repete é dado por uma lei
binomial.

. 118
A probabilidade de ocorrer k vezes o evento E e (n - k) vezes o evento 𝐸̅ é o produto: pk
. (1 – p)n - k
As k vezes do evento E e as (n – k) vezes do evento 𝐸̅ podem ocupar qualquer ordem. Então,
precisamos considerar uma permutação de n elementos dos quais há repetição de k elementos e de (n –
k) elementos, em outras palavras isso significa:
𝑃𝑛
[𝑘,(𝑛−𝑘)]
=
𝑛!
𝑘.(𝑛−𝑘)!
= ( 𝑛
𝑘
), logo a probabilidade de ocorrer k vezes o evento E no n experimentos é
dada:
𝒑 = (
𝒏
𝒌
) . 𝒑 𝒌
. 𝒒 𝒏−𝒌
A lei binomial deve ser aplicada nas seguintes condições:
- O experimento deve ser repetido nas mesmas condições as n vezes.
- Em cada experimento devem ocorrer os eventos E e 𝐸̅.
- A probabilidade do E deve ser constante em todas as n vezes.
- Cada experimento é independente dos demais.
Exemplo:
Lançando-se uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrência 3 caras?
Está implícito que ocorrerem 3 caras deve ocorrer uma coroa. Umas das possíveis situações, que
satisfaz o problema, pode ser:
Temos que:
n = 4
k = 3
𝑃(𝐸) =
1
2
, 𝑃(𝐸)̅̅̅ = 1 −
1
2
Logo a probabilidade de que essa situação ocorra é dada por:
(
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, como essa não é a única situação de ocorre 3 caras e 1 coroa. Vejamos:
𝑃4
3!.1!
=
4!
3! .1!
= (
4
3
) = 4
Podemos também resolver da seguinte forma: (4
3
) maneiras de ocorrer o produto (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
,
portanto:
𝑃(𝐸) = (
4
3
) . (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
= 4.
1
8
.
1
2
=
1
4
Questões
01. (ENEM - CESGRANRIO/2015) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar
inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam,
em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador

. 119
entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos
alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é
(A) 23,7%
(B) 30,0%
(C) 44,1%
(D) 65,7%
(E) 90,0%
02. (ENEM - CESGRANRIO/2015) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas
cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida.
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos
diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III)
sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o
exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
(A) P(I) < P(III) < P(II)
(B) P(II) < P(I) < P(III)
(C) P(I) < P(II) = P(III)
(D) P(I) = P(II) < P(III)
(E) P(I) = P(II) = P(III)
03. (ENEM - CESGRANRIO/2015) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas
numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?
(A) 1/100
(B) 19/100
(C) 20/100
(D) 21/100
(E) 80/100
04. (Pref. Niterói – Agente Fazendário – FGV/2015) O quadro a seguir mostra a distribuição das
idades dos funcionários de certa repartição pública:
Faixa de idades (anos) Número de funcionários
20 ou menos 2
De 21 a 30 8
De 31 a 40 12
De 41 a 50 14
Mais de 50 4
Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é:
(A) 30%;
(B) 35%;
(C) 40%;
(D) 45%;
(E) 55%.
05. (Pref. Niterói – Fiscal de Posturas – FGV/2015) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas
pretas. São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca
é 1/5.
Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição.
A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é:
(A) 16/25;
(B) 16/19;

. 120
(C) 12/19;
(D) 4/5;
(E) 3/5.
06. (TJ/RO – Técnico Judiciário – FGV/2015) Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e
32 quadradinhos brancos.
Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso.
A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro é:
(A) ½;
(B) ¼;
(C) 1/8;
(D) 9/16;
(E) 7/32.
07. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS) Fernanda organizou
um sorteio de amigo secreto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de
cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro
de um saco. Fernanda, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A
probabilidade de Fernanda retirar seu próprio nome é:
(A) 3/5.
(B) 2/10.
(C) 1/10.
(D) ½.
(E) 2/3.
08. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Uma loja
de eletrodoméstico tem uma venda mensal de sessenta ventiladores. Sabe-se que, desse total, seis
apresentam algum tipo de problema nos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto
em um serviço autorizado.
Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambos não apresentem problemas nos
seis primeiros meses é de aproximadamente:
(A) 90%
(B) 81%
(C) 54%
(D) 11%
(E) 89%
09. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Em uma
caixa estão acondicionados uma dúzia e meia de ovos. Sabe-se, porém, que três deles estão impróprios
para o consumo.
Se forem escolhidos dois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados?
(A) 2/153
(B) 1/9
(C) 1/51
(D) 1/3
(E) 4/3
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) O jogo da
memória é um clássico jogo formado por peças que apresentam uma figura em um dos lados. Cada figura
se repete em duas peças diferentes. Para começar o jogo, as peças são postas com a figura voltada para
baixo, para que não possam ser vistas. Cada participante deve, na sua vez, virar duas peças e deixar que
todos as vejam. Caso as figuras sejam iguais, o participante deve recolher consigo esse par e jogar

. 121
novamente. Se forem peças diferentes, estas devem ser viradas novamente e a vez deve ser passada ao
participante seguinte. Ganha o jogo quem tiver descoberto mais pares, quando todos eles tiverem sido
recolhidos.
Fonte:<http:// www.wikipedia.org/wiki/Jogo_de_memoria>. Acesso em: 13.mar.2014.
Suponha que o jogo possua 2n cartas, sendo n pares distintos. Qual é a probabilidade de, na primeira
tentativa, o jogador virar corretamente um par igual?
(A)
1
2𝑛−1
(B)
1
𝑛
(C)
1
2𝑛
(D)
1
𝑛−1
(E)
1
𝑛+1
Respostas
01. Resposta: D.
A probabilidade de nenhum dos três alunos responder à pergunta feita pelo entrevistador é
0,70 . 0,70 . 0,70 = 0,343 = 34,3%
Portanto, a possibilidade dele ser entendido é de: 100% – 34 ,3% = 65,7%
02. Resposta: E.
Em 20 equipes com 10 atletas, temos um total de 200 atletas, dos quais apenas um havia utilizado
substância proibida.
A probabilidade desse atleta ser um dos escolhidos pelo:
Modo I é
𝑃(𝐼) = 3 ∙
1
200
∙
199
199
∙
198
198
=
3
200
Modo II é
𝑃(𝐼𝐼) =
1
20
∙ 3 ∙
1
10
∙
9
9
∙
8
8
=
3
200
Modo III é
𝑃(𝐼𝐼𝐼) = 3 ∙
1
20
∙
19
19
∙
18
18
∙
1
10
∙
10
10
∙
10
10
=
3
200
A equipe dele pode ser a primeira, a segunda ou a terceira a ser sorteada e a probabilidade dele ser o
sorteado na equipe é 1/10
P(I)=P(II)=P(III)
03. Resposta: C.
A probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 é 20/100, pois são 20 números entre
100.
04. Resposta: D.
O espaço amostral é a soma de todos os funcionário:
2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40
O número de funcionário que tem mais de 40 anos é: 14 + 4 = 18
Logo a probabilidade é:
𝑃(𝐸) =
18
40
= 0,45 = 45%

. 122
05. Resposta: C.
B = bolas brancas
T = bolas pretas
Total 20 bolas = S (espaço amostral)
P(B) = 1/5
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
→
1
5
=
𝑛(𝐵)
20
→ 𝑛(𝐵) =
20
5
= 4
Logo 20 – 4 = 16 bolas pretas
𝑃(𝑇1) =
𝑛(𝑇)
𝑛(𝑆)
=
16
20
=
4
5
Como não há reposição a probabilidade da 2º bola ser preta é:
𝑃(𝑇2) =
𝑛(𝑇)
𝑛(𝑆)
=
15
19
Como os eventos são independentes multiplicamos as probabilidades:
4
5
.
15
19
=
60
95
=
12
19
06. Resposta: E.
Como são 14 quadrinhos pretos na borda e 32 quadradinhos pertos, logo a probabilidade será de:
𝑃(𝐸) =
14
64
=
7
32
07. Resposta: C.
A probabilidade é calculada por 𝑃 =
𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Assim, 𝑃 =
1
10
08. Resposta: B.
6 / 60 = 0,1 = 10% de ter problema
Assim, se 10% tem problemas, então 90% não apresentam problemas.
𝑃 =
90
100
.
90
100
=
8100
10000
= 81%
09. Resposta: C.
𝑃 =
3
18
.
2
17
=
6
306
=
1
51
(: 6 / 6)
10. Resposta: A.
Como a primeira carta pode ser qualquer uma, as chances são certas ( 1 ). Após, a segunda carta
precisa ser igual à primeira, e só há 1 igual. Assim:
𝑃 =
1
1
.
1
2𝑛−1
=
1
2𝑛−1

. 123
CORRELAÇÃO DE ELEMENTOS / ASSOCIAÇÃO LÓGICA
Esses são problemas aos quais prestam informações de diferentes tipos, relacionado a pessoas,
coisas, objetos fictícios. O objetivo é descobrir o correlacionamento entre os dados dessas informações,
ou seja, a relação que existe entre eles.
Explicaremos abaixo um método que facilitará muito a resolução de problemas desse tipo. Para essa
explicação, usaremos como exemplo com um nível de complexidade fácil.
01. Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos
quem ê casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não
sabemos quem faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada marido, a profissão
de cada um e o nome de suas esposas.
a) O médico é casado com Maria.
b) Paulo é advogado.
c) Patrícia não é casada com Paulo.
d) Carlos não é médico.
Vamos montar o passo a passo para que você possa compreender como chegar a conclusão da
questão.
1º passo – vamos montar uma tabela para facilitar a visualização da resolução, a mesma deve conter
as informações prestadas no enunciado, nas quais podem ser divididas em três grupos: homens, esposas
e profissões.
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia
Patrícia
Maria
Também criamos abaixo do nome dos homens, o nome das esposas.
Observação: a montagem dessa tabela vale para qualquer número de grupos do problema. Ou seja,
se forem, por exemplo, cinco grupos, um deles será a referência para as linhas iniciais e os outros quatro
serão distribuídos nas colunas. Depois disso, da direita para a esquerda, os grupos serão “levados para
baixo” na forma de linhas, exceto o primeiro.
Veja um exemplo com quatro grupos: imagine que tenha sido afirmado que cada um dos homens tem
uma cor de cabelo: loiro, ruivo ou castanho.
Neste caso, teríamos um quarto grupo e a tabela resultante seria:
Medicina Engenharia Advocacia Lúcia Patrícia Maria Loiro Ruivo Castanho
Carlos
Luís
Paulo
Loiro
Ruivo
Castanho
Problemas envolvendo raciocínio lógico. Estrutura lógica de relações
arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios,
orientação espacial e temporal, formação de conceitos,
discriminação de elementos. Compreensão do processo lógico que, a
partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a
conclusões determinadas.

. 124
Lúcia
Patrícia
Maria
A ordem em que você copia as colunas para as linhas é importante para criar esses “degraus” na
tabela, ou seja, primeiro os elementos do grupo mais à direita passam para as linhas (ou o último grupo
de informações), depois o “segundo mais à direita” e assim por diante, até que fique apenas o primeiro
grupo (mais à esquerda) sem ter sido copiado como linha. Esses espaços em branco na tabela,
representam regiões onde as informações seriam cruzadas com elas mesmas, o que é desnecessário.
2º passo – construir a tabela gabarito.
Essa tabela não servirá apenas como gabarito, mas em alguns casos ela é fundamental para que
você enxergue informações que ficam meio escondidas na tabela principal.
Haverá também ocasiões em que ela lhe permitirá conclusões sobre um determinado elemento. Tendo
por exemplo quatro grupo de elementos, se você preencheu três, logo perceberá que só restará uma
alternativa, que será esta célula.
Um outro ponto que deve ser ressaltado é que as duas tabelas se complementam para visualização
das informações. Por isso, a tabela gabarito deve ser usada durante o preenchimento da tabela principal,
e não depois.
A primeira linha de cabeçalho será preenchida com os nomes dos grupos. Nas outras linhas, serão
colocados os elementos do grupo de referência inicial na tabela principal (no nosso exemplo, o grupo dos
homens).
Homens Profissões Esposas
Carlos
Luís
Paulo
3º passo - vamos dá início ao preenchimento de nossa tabela, com as informações mais óbvias do
problema, aquelas que não deixam margem a nenhuma dúvida.
Em nosso exemplo:
a) O médico é casado com Maria — marque um “S” na tabela principal na célula comum a “Médico”
e “Maria”, e um “N" nas demais células referentes a esse “S”
Carlos
Luís
Paulo
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Observe ainda que: se o médico é casado com Maria, ele NÃO PODE ser casado com Lúcia e
Patrícia, então colocamos “N” no cruzamento de Medicina e elas. E se Maria é casada com o médico,
logo ela NÃO PODE ser casada com o engenheiro e nem com o advogado (logo colocamos “N” no
cruzamento do nome de Maria com essas profissões). Não conseguimos nenhuma informação referente
a Carlos, Luís e Paulo.
b) Paulo é advogado. – Vamos preencher as duas tabelas (tabela gabarito e tabela principal) agora.
Carlos
Luís
Paulo Advogado

. 125
Carlos N
Luís N
Paulo N N S
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
c) Patrícia não é casada com Paulo. – Vamos preencher com “N” na tabela principal.
Carlos N
Luís N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
d) Carlos não é médico. - preenchemos com um “N” na tabela principal a célula comum a Carlos e
“médico”.
Carlos N N
Luís N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Notamos aqui que Luís então é o médico, pois foi a célula que ficou em branco.
Carlos N N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N
Podemos também completar a tabela gabarito.
Carlos
Luís Médico
Paulo Advogado
Novamente observamos uma célula vazia no cruzamento de Carlos com Engenharia. Marcamos um
“S” nesta célula. E preenchemos sua tabela gabarito.
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N
Maria S N N

. 126
Carlos Engenheiro
Luís Médico
Paulo Advogado
4º passo – após as anotações feitas na tabela principal e na tabela gabarito, vamos procurar
informações que levem a novas conclusões, que serão marcadas nessas tabelas.
Observe, na tabela principal, que Maria é esposa do médico, que se descobriu ser Luís, fato que
poderia ser registrado na tabela-gabarito. Mas não vamos fazer agora, pois essa conclusão só foi
facilmente encontrada porque o problema que está sendo analisado é muito simples. Vamos continuar o
raciocínio e fazer as marcações mais tarde.
Além disso, sabemos que Patrícia não é casada com Paulo. Como Paulo é o advogado, podemos
concluir que Patrícia não é casada com o advogado.
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N
Patrícia N N
Maria S N N
Verificamos, na tabela acima, que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro, e Lúcia tem de ser
casada com o advogado.
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N N S
Patrícia N S N
Maria S N N
Concluímos, então, que Lúcia é casada com o advogado (que é Paulo), Patrícia é casada com o
engenheiro (que é Carlos) e Maria é casada com o médico (que é Luís).
Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema está resolvido:
Carlos Engenheiro Patrícia
Luís Médico Maria
Paulo Advogado Lúcia
Vejamos mais um exemplo:
02. Célia e outros três parceiros fazem parte de um quarteto musical. Cada componente do grupo tem
uma função diferente. Com base nas dicas a seguir, tente descobrir o nome de cada componente do
quarteto, sua idade e função e o item que estava usando na última apresentação.
1) Décio usou óculos escuros na apresentação.
2) Célia é a vocalista.
3) O que usou gravata tem 25 anos.
4) O guitarrista» que não é Benício, tem 26 anos.
5) O tecladista usou gola de pele.
6) Roberto tem 28 anos e não toca bateria.
7) Benício e mais velho que Célia.
8) Um deles tem 23 anos.
9) Um deles usou botas altas.

. 127
1º passo – identificar os grupos.
Nome: Benício, Célia, Décio, Roberto;
Função: baterista, guitarrista, vocalista e tecladista;
Idade: 23,25,26 e 28;
Item: óculos, botas, golas e gravata.
2º passo – Montarmos a tabela principal e a tabela gabarito.
Função Idade Item usado
BAT GUIT VOC TEC 23 25 26 28 OCUL BOT GOL GRAV
Nome
Benicio
Célia
Décio
Roberto
ItemUsado
OCUL
BOT
GOL
GRAV
Idade
23
25
26
28
Nome Função Idade Item usado
Benício
Célia
Décio
Roberto
3º passo – vamos ao preenchimento da tabela principal e da tabela gabarito, com as informações mais
óbvias, que não deixam margem a nenhuma dúvida, aquelas que constam no enunciado da questão.
Nome
Benicio N N N N N
Célia N N S N N N
Décio N N S N N N
Roberto N N N N N S N
ItemUsado
OCUL N N N
BOT N N
GOL N N N S N
GRAV N N S N N
Idade
23 N
25 N
26 N S N N
28 N

. 128
Benício
Célia Vocalista
Décio Óculos
Roberto 28
Observe que como Benício é mais velho que Célia, logo ele não pode ter 23 anos (idade do mais novo).
Benício não é guitarrista; Guitarrista tem 26 anos; Benício não tem 26 anos (porque não é guitarrista e
quem tem 26 anos é o guitarrista).
4º passo - feitas as anotações das informações do problema, analise a tabela principal, procurando
informações que levem a novas conclusões.
Vamos analisar linha a linha (ou coluna a coluna) para não tirar nenhuma conclusão errada.
Vejamos, linha da Célia:
Célia (vocalista) → não tem 28 anos; não usa óculos, logo a vocalista não tem 28 anos.
Nome
Benicio N N N N N
Célia N N S N N N
Décio N N S N N N
ItemUsado
OCUL N N N N
BOT N N
GOL N N N S N
GRAV N N S N N
Idade
23 N
25 N
26 N S N N
28 N N
- Linha do Décio: (óculos) → não é vocalista e não tem 28 anos, logo quem usa óculos não tem 28
anos (informação já marcada).
- Linha do Roberto: (28 anos) → não baterista, não vocalista e não óculos, logo quem tem 28 anos não
é baterista.
Nome
Benicio N N N N N
Célia N N S N N N
Décio N N S N N N
ItemUsado
OCUL N N N N
BOT N N
GOL N N N S N
GRAV N N S N N
Idade
23 N
25 N
26 N S N N
28 N N N

. 129
Observe que Na idade 28 anos sobrou apenas um espaço, sendo correspondente ao do Tecladista.
Então o Tecladista tem 28 anos e Roberto tem 28 anos logo, Roberto é o Tecladista.
Nome
Benicio N N N N N
Célia N N S N N N
Décio N N S N N N
Roberto N N N S N N N S N
ItemUsado
OCUL N N N N
BOT N N
GOL N N N S N
GRAV N N S N N
Idade
23 N N
25 N N
26 N S N N
28 N N N S
Benício
Célia Vocalista
Décio Óculos
Roberto Tecladista 28
Veja que agora temos que Décio é o Guitarrista, o que implica Benício ser o Baterista (a única função
que estava faltando)
Nome
Benicio S N N N N N N
Célia N N S N N N
Décio N S N N N S N N N
ItemUsado
OCUL N N N N
BOT N N
GOL N N N S N
GRAV N N S N N
Idade
23 N N
25 N N
26 N S N N
28 N N N S
Benício Baterista
Célia Vocalista
Décio Guitarrista Óculos

. 130
Sabemos ainda pela tabela que o Guitarrista tem 26 anos, logo Décio tem 26 anos. Teremos ainda
Célia com 23 anos e Benício com 25 anos.
Nome
Benicio S N N N N S N N N
Célia N N S N S N N N N
Décio N S N N N N S N S N N N
ItemUsado
OCUL N N N N
BOT N N
GOL N N N S N
GRAV N N S N N
Idade
23 N N
25 N N
26 N S N N
28 N N N S
Benício Baterista 25
Célia Vocalista 23
Décio Guitarrista 26 Óculos
Na dica 3, o que usou gravata tem 25 anos, e olhando na tabela gabarito acima, podemos concluir que
Benício usou gravata.
Na dica 5, o tecladista usou gola de pele, descobrimos que Roberto usou gola de pele.
Como já sabemos também que Décio usou óculos, podemos concluir que só ficou
“Botas” para Célia.
Benício Baterista 25 Gravata
Célia Vocalista 23 Botas
Décio Guitarrista 26 Óculos
Roberto Tecladista 28 Gola
1º) Não se preocupe em terminar a tabela principal, uma vez que você tenha
preenchido toda tabela gabarito. Ganhe tempo e parta para a próxima questão.
2º) Nunca se esqueça de que essa técnica é composta por duas tabelas que devem
ser utilizadas em paralelo, ou seja, quando uma conclusão for tirada pelo uso de
alguma delas, as outras devem ser atualizadas. A prática de resolução de questões
de variados níveis de complexidade vai ajudá-lo a ficar mais seguro.
Questões
01. (TRT-9ª REGIÃO/PR – Técnico Judiciário – Área Administrativa – FCC/2015) Luiz, Arnaldo,
Mariana e Paulo viajaram em janeiro, todos para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia,
Curitiba e Salvador. Com relação às cidades para onde eles viajaram, sabe-se que:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
− Mariana viajou para Curitiba;

. 131
− Paulo não viajou para Goiânia;
− Luiz não viajou para Fortaleza.
É correto concluir que, em janeiro,
(A) Paulo viajou para Fortaleza.
(B) Luiz viajou para Goiânia.
(C) Arnaldo viajou para Goiânia.
(D) Mariana viajou para Salvador.
(E) Luiz viajou para Curitiba.
02. (COLÉGIO PEDRO II – Engenheiro Civil – ACESSO PÚBLICO/2015) Antônio, Eduardo e Luciano
são advogado, engenheiro e médico, não necessariamente nessa ordem. Eles são casado, divorciado e
solteiro, mas não se sabe qual o estado civil de quem. Porém, sabe-se que o casado é engenheiro,
Eduardo é advogado e não é solteiro, e o divorciado não é médico. Portanto, com certeza:
(A) Eduardo é divorciado.
(B) Luciano é médico.
(C) Luciano é engenheiro.
(D) Antônio é engenheiro.
(E) Antônio é casado.
03. (PREF. DE BELO HORIZONTE/MG – Assistente Administrativo – FUMARC/2015) Três bolas
A, B e C foram pintadas cada uma de uma única cor: branco, vermelho e azul, não necessariamente
nessa ordem. Se a bola A não é branca nem azul, a bola B não é vermelha e a bola C não é azul, então
é CORRETO afirmar que as cores das bolas A, B e C são, respectivamente:
(A) azul, branco e vermelho.
(B) branco, vermelho e azul.
(C) vermelho, branco e azul.
(D) vermelho, azul e branco.
04. (MDS – Atividades Técnicas de Complexidade Intelectual – Nível IV – CETRO/2015) Na loja
de João, há 3 caixas com canetas, sendo uma com 20 canetas, outra com 30 canetas e a outra com 50.
Em cada caixa as canetas são de uma só cor. Essas caixas foram colocadas uma em cada prateleira.
Diante do exposto, considere as seguintes informações:
I. a caixa com canetas vermelhas ficou em uma prateleira mais baixa que a caixa com canetas azuis.
II. a caixa com 30 canetas não é a que tem canetas azuis, e a caixa com 20 canetas ficou na prateleira
mais alta.
III. na prateleira mais baixa, encontra-se a caixa com mais canetas.
IV. a caixa com canetas azuis não foi colocada na prateleira do meio, e a caixa com mais canetas não
é a de canetas pretas.
É correto afirmar que a quantidade de canetas das cores vermelhas, pretas e azuis é,
respectivamente,
(A) 50, 30 e 20.
(B) 50, 20 e 30.
(C) 30, 50 e 20.
(D) 30, 20 e 50.
(E) 20, 30 e 50.
(POLICIA FEDERAL – Agente de Polícia Federal – CESPE)
Em um restaurante, João, Pedro e Rodrigo pediram pratos de carne, frango e peixe, não
necessariamente nessa ordem, mas cada um pediu um único prato. As cores de suas camisas eram azul,
branco e verde; Pedro usava camisa azul; a pessoa de camisa verde pediu carne e Rodrigo não pediu
frango. Essas informações podem ser visualizadas na tabela abaixo, em que, no cruzamento de uma
linha com uma coluna, V corresponde a fato verdadeiro e F, a fato falso.

. 132
Carne Frango Peixe João Pedro Rodrigo
Azul V
Branca
Verde V
João
Pedro
Rodrigo F
Considerando a situação apresentada e, no que couber, o preenchimento da tabela acima, julgue o
item seguinte.
05. Das informações apresentadas, é possível inferir que Pedro pediu frango.
( ) certo ( ) errado
Respostas
01. Resposta: B.
Vamos preencher a tabela:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador
Luiz N
Arnaldo N
Mariana
Paulo
− Mariana viajou para Curitiba;
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N
− Paulo não viajou para Goiânia;
Luiz N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
− Luiz não viajou para Fortaleza.
Luiz N N N
Arnaldo N N
Mariana N N S N
Paulo N N
Agora, completando o restante:
Paulo viajou para Salvador, pois a nenhum dos três viajou. Então, Arnaldo viajou para Fortaleza e Luiz
para Goiânia
Luiz N S N N
Arnaldo S N N N
Mariana N N S N
Paulo N N N S

. 133
02. Resposta: A.
Sabemos que o casado é engenheiro
Advogado Engenheiro Médico
Antônio
Eduardo
Luciano
Casado N S N
Divorciado N
Solteiro N
Eduardo é advogado e não é solteiro
Antônio N
Eduardo S N N
Luciano N
Casado N S N
Divorciado N
Solteiro N
Se sabemos que o casado é engenheiro e Eduardo é advogado e não solteiro, ele só pode ser
divorciado, assim nem precisamos usar a última frase e sabemos que o solteiro é médico.
Antônio N
Eduardo S N N
Luciano N
Casado N S N
Divorciado S N N
Solteiro N N S
A única coisa que podemos afirmar com certeza é que Eduardo é advogado e divorciado
03. Resposta: D.
O enunciado diz: a bola A não é branca nem azul, isso quer dizer que ela é vermelha.
A B C
Branca N
Vermelha S N N
Azul N
A bola B não é vermelha e a bola C não é azul
A B C
Branca N N S
Vermelha S N N
Azul N S N
A bola A é vermelha, a bola B é azul e a bola C é branca.
04. Resposta: A.
I. a caixa com canetas vermelhas ficou em uma prateleira mais baixa que a caixa com canetas
azuis.
Isso quer dizer que a caixa com canetas azuis não está na mais baixa.
PA=prateleira alta
PM=prateleira do meio

. 134
PB=prateleira mais baixa
PA PM PB
Azul N
Vermelha
Preta
II. a caixa com 30 canetas não é a que tem canetas azuis, e a caixa com 20 canetas ficou na
prateleira mais alta.
Azul Vermelha Preta PA PM PB
20 N S N N
30 N N
50 N
III. na prateleira mais baixa, encontra-se a caixa com mais canetas.
Azul Vermelha Preta PA PM PB
20 N S N N
30 N N S N
50 N N S
IV. a caixa com canetas azuis não foi colocada na prateleira do meio, e a caixa com mais canetas
não é a de canetas pretas.
PA PM PB
Azul S N N
Vermelha N
Preta N
Podemos concluir que a azul está no prateleira mais alta e é a caixa com 20 canetas.
Portanto, a caixa de canetas pretas está na prateleira do meio e tem 30 canetas (IV. a caixa com
canetas azuis não foi colocada na prateleira do meio, e a caixa com mais canetas não é a de
canetas pretas).
E a a caixa de canetas vermelhas está na prateleira do meio e tem 50 canetas (III. na prateleira mais
baixa, encontra-se a caixa com mais canetas).
Vermelhas-50
Pretas-30
Azuis-20
Carne Frango Peixe João Pedro Rodrigo
Azul F F V F
Branca F F
Verde V F F F
João
Pedro
Rodrigo F
Ele pode ter pedido frango ou peixe.
CALENDÁRIOS
Calendário é um sistema para contagem e agrupamento de dias que visa atender, principalmente,
às necessidades civis e religiosas de uma cultura. As unidades principais de agrupamento são o mês e o
ano.

. 135
A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que corresponde ao período de tempo entre
dois eventos equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo entre duas ocorrências do
nascer do Sol, que corresponde, em média (dia solar médio), a 24 horas.
O ano solar é o período de tempo decorrido para completar um ciclo de estações
(primavera, verão, outono e inverno). O ano solar médio tem a duração de aproximadamente 365 dias, 5
horas, 48 minutos e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido como ano trópico. A cada quatro
anos, as horas extra acumuladas são reunidas no dia 29 de Fevereiro, formando o ano bissexto, ou seja,
o ano com 366 dias.
Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares (calendários lunares) ou no ano solar
(calendário solar) para contagem do tempo.
Calendários podem definir outras unidades de tempo, como a semana, para o propósito de planejar
atividades regulares que não se encaixam facilmente com meses ou anos. Calendários podem ser
completos ou incompletos. Calendários completos oferecem um modo de nomear cada dia consecutivo,
enquanto calendários incompletos não.
Tipos de Calendário
- Lunar: é aquele em que os dias são numerados dentro de cada ciclo das fases da lua. Como o
comprimento do mês lunar não é nem mesmo uma fração do comprimento do ano trópico, um calendário
puramente lunar rapidamente desalinha-se das estações do ano, que não variam muito perto da linha do
Equador.
- Fiscal: Um calendário fiscal (como um calendário 4-4-5) fixa para cada mês um determinado número
de semanas, para facilitar as comparações de mês para mês e de ano para ano. Janeiro sempre tem
exatamente 4 semanas (de domingo a sábado), fevereiro tem quatro semanas, março tem cinco semanas
etc. Calendários fiscais também são usados pelas empresas. Neste caso o ano fiscal é apenas um
conjunto qualquer de 12 meses. Este conjunto de 12 meses pode começar e terminar em qualquer ponto
do calendário gregoriano. É o uso mais comum dos calendários fiscais.
- Lunissolar: Baseados no movimento da Lua e do Sol. Neste tipo de calendário, procura-se
harmonizar a duração do ano solar com os ciclos mensais da lua através de ajustamentos periódicos.
Assim os doze meses têm ao todo 354 dias e os dias que faltam para corresponder ao ciclo solar obtêm-
se através da introdução periódica de um mês extra, o chamado 13o
mês lunar.
Nosso calendário atual está baseado no antigo calendário romano, que era lunar. Como o período
sinódico da Lua é de 29,5 dias, um mês tinha 29 dias e o outro 30 dias, o que totalizava 354 dias. Então
a cada três anos era introduzido um mês a mais para completar os 365,25 dias por ano em média. Os
anos no calendário romano eram chamados de a.u.c. (ab urbe condita), "a partir da fundação da cidade
de Roma". Neste sistema, o dia 11 de janeiro de 2000 marcou o ano novo do 2753 a.u.c. A maneira de
introduzir o 13o
mês se tornou muito irregular, de forma que no ano 46 a.C. Júlio César, orientado pelo
astrônomo alexandrino Sosígenes (90-? a.C.), reformou o calendário, introduzindo o Calendário Juliano,
de doze meses, no qual a cada três anos de 365 dias seguia outro de 366 dias (ano bissexto). Assim, o
ano juliano tem em média 365,25 dias. Para acertar o calendário com a primavera, foram adicionados 67
dias àquele ano e o primeiro dia do mês de março de 45 a.C., no calendário romano, foi chamado de 1
de janeiro no calendário Juliano. Este ano é chamado de Ano da Confusão. O ano juliano vigorou por
1600 anos.
Concluindo:
- 1 ano tem 365 a 366(bissexto) dias;
- 1 ano está dividido em 12 meses;
- 1 mês tem de 30 a 31 dias;
- 1 dia tem 24 horas

. 136
Fica as DICAS:
- O calendário SEMPRE se repete em sua integralidade de 11 em 11 anos;
- Se o ano analisado não for bissexto, o primeiro e o último dia desse referido ano cairá no mesmo dia
da semana (Ex: se 01/jan/2011 for segunda-feira, então dia 31/dez/2011 também será segunda-feira);
- Se o ano analisado for bissexto, o último dia desse ano cairá no dia da semana subsequente ao do
dia primeiro do ano (Ex: se 01/jan/2012 for terça-feira, então o dia 31/dez/2012 será quarta-feira);
- Os anos bissextos são números múltiplos de 4. (Ex: 2008,2012, 2016, são múltiplos de 4, pois da
sua divisão por 4, obtemos um número exato: 2008/4 = 502)
Questões
01 . (IBGE - CESGRANRIO) Depois de amanhã é segunda-feira, então, ontem foi
(A) terça-feira.
(B) quarta-feira.
(C) quinta-feira.
(D) sexta-feira.
(E) sábado
02. (TRT 18 – Técnico Judiciário – Área Administrativa - FCC) A audiência do Sr. José estava
marcada para uma segunda-feira. Como ele deixou de apresentar ao tribunal uma série de documentos,
o juiz determinou que ela fosse remarcada para exatos 100 dias após a data original. A nova data da
audiência do Sr. José cairá em uma
(A) quinta-feira.
(B) terça-feira.
(C) sexta-feira.
(D) quarta-feira.
(E) segunda-feira.
03. (IF/RO – Administrador – Makiyama) A Terra leva, aproximadamente, 365 dias, 5 horas, 48
minutos e 46 segundos para dar uma volta completa em torno do Sol. Por isso, nosso calendário, o
gregoriano, tem 365 dias divididos em 12 meses. Assim, a cada 4 anos, um dia é acrescentado ao mês
de fevereiro para compensar as horas que “sobram” e, então, tem-se um ano bissexto. Em um ano não
bissexto, três meses consecutivos possuem exatamente 4 domingos cada um. Logo, podemos afirmar
que:
(A) Um desses meses é fevereiro.
(B) Dois desses devem ter 30 dias.
(C) Um desses meses deve ser julho ou agosto.
(D) Um desses meses deve ser novembro ou dezembro.
(E) Dois desses meses devem ter 31 dias.
04. (TRT/2ª Região – Técnico Judiciário – Área Administrativa - FCC) Um jogo eletrônico fornece,
uma vez por dia, uma arma secreta que pode ser usada pelo jogador para aumentar suas chances de
vitória. A arma é recebida mesmo nos dias em que o jogo não é acionado, podendo ficar acumulada. A
tabela mostra a arma que é fornecida em cada dia da semana.
Dia da semana Arma secreta
fornecida pelo
jogo
2ªs
, 4ªs
e 6ªs
feiras Bomba colorida
3ªs
feiras Doce listrado
5ªs
feiras Bala de goma
Domingos Rosquinha gigante
Considerando que o dia 1º de janeiro de 2014 foi uma 4ª feira e que tanto 2014 quanto 2015 são anos
de 365 dias, o total de bombas coloridas que um jogador terá recebido no biênio formado pelos anos de
2014 e 2015 é igual a

. 137
(A) 312.
(B) 313.
(C) 156.
(D) 157.
(E) 43.
05. (ALEPE – Analista Legislativo Especialidade Biblioteconomia - FCC) Ano bissexto é aquele
em que acrescentamos 1 dia no mês de fevereiro, perfazendo no ano um total de 366 dias. São anos
bissextos os múltiplos de 4, exceto os que também são múltiplos de 100 e simultaneamente não são
múltiplos de 400. De acordo com essa definição, de 2014 até o ano 3000 teremos um total de anos
bissextos igual a
(A) 245.
(B) 239.
(C) 244.
(D) 238.
(E) 249.
06. (AGU - Administrador - IDECAN) Se o ano de 2012 começou em um domingo, então o dia 30 de
dezembro de 2017 acontecerá em qual dia da semana?
(A) Sábado.
(B) Domingo.
(C) Terça-Feira.
(D) Quarta-Feira.
(E) Segunda-Feira.
07. (AGU - Técnico em Contabilidade - IDECAN) Se o dia 3 de fevereiro de 2012 foi uma sexta-feira,
então o dia 17 de setembro do referido ano aconteceu em qual dia da semana?
(A) Terça-feira.
(B) Sexta-feira.
(C) Quarta-feira.
(D) Quinta-feira.
(E) Segunda-feira.
08. (PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI) Se 01/01/2013 foi uma terça-feira, qual dia da semana
foi 19/09/2013?
(A) Quarta-feira.
(B) Quinta-feira.
(C) Sexta-feira.
(D) Sábado.
(E) Domingo.
Respostas
01. Resposta: D.
Vamos enumerar os dias para que possamos ter a verdadeira noção do dia que estamos e do dia que
queremos. Temos a informação que Depois de amanhã é segunda e que precisamos saber o dia de
ontem, no esquema abaixo temos uma maneira de visualizar melhor o que queremos:
Ontem Hoje Amanhã Depois de Amanhã
Segunda
Seguindo a sequência dos dias da semana, temos que enumera-los agora para trás:
Ontem Hoje Amanhã Depois de Amanhã
Sexta Sábado Domingo Segunda
Com isso concluímos que ontem é sexta-feira.

. 138
02. Resposta: D.
Vamos dividir os 100 dias pela quantidade de dias da semana(7)→ 100 dias /7 = 14 semanas + 2
dias. Obtemos 14 semanas e 2 dias (resto da divisão). Como após uma semana é segunda de novo,
então após 14 semanas cairá em uma segunda, só que como tenho +2 dias, logo:
Segunda-feira + 2 dias = quarta-feira.
03. Resposta: A.
Se nos basearmos no calendário fiscal(4-4-5) chegamos à conclusão que a única alternativa certa é
a que contém Fevereiro. Pois os meses de Janeiro e Fevereiro tem sempre 4 domingos os demais nada
podemos dizer pois variam de acordo com o ano.
04. Resposta: B.
Sabe-se que a cada ano todos os dias da semana apresentam 52 dias iguais. O dia da semana em
que o ano se inicia aparece por 53 vezes. Logo, se 2014 iniciou numa quarta-feira em 2014 teremos 53
quartas feiras, 52 segundas feiras e 52 sextas feiras.
O ano de 2015 se iniciará numa quinta-feira. Logo, teremos 52 quartas feiras, 52 segundas feiras e 52
sextas feiras.
Resumindo, teremos: 53 + (5x52) = 53 + 260 = 313.
05. Resposta: B.
Passo 1 :quantos anos temos:
O intervalo é do ano de 2014 a 3000. Logo:
Diferença = 3000 - 2014 + 1 = 986 + 1 = 987 anos
Passo 2 :a cada 4 anos temos (teoricamente) 1 bissexto
Logo, Bissextos = 987 / 4 = quociente 246 e resto 3.
Teoricamente, teríamos 246 anos bissextos. Porém, pela própria regra colocada na questão, temos
que eliminar os anos que são múltiplos de 100 e simultaneamente não são múltiplos de 400. Dessa lista,
temos:
Eliminar = 2100 - 2200 - 2300 - 2500 - 2600 - 2700 - 2900 = 7 anos
Assim: Total = 246 - 7 = 239 anos bissextos
06. Resposta: A.
Questão fácil de resolver mas que se deve tomar muito cuidado.
Sabemos que se 2012 começou num domingo Porém, este é um ano bissexto, pois, 12 é múltiplo de
4. Logo, 2013 começará dois dias a mais, e será numa terça. Seguindo: 2014 começará numa quarta;
2015 começará numa quinta; 2016 começará numa sexta. Aqui, nova pausa: 2016 é bissexto. Então,
2017 começara num domingo. E vamos até 2018, que começará numa segunda.
Mas não queremos 2018 e sim dia 30 de dezembro de 2017. Basta, então, voltar 2 dias: sábado.
07. Resposta: E.
Se o dia 3 de fevereiro caiu numa sexta-feira calcularemos os dias que faltam para chegar até o dia17
de setembro e determinar o que se pede.
Quantos dias faltam até chegar à data solicitada?
Fevereiro: 26 dias (porque é bissexto)
Março 31 dias
Abril 30 dias
Maio 31 dias
Junho 30 dias
Julho 31 dias
Agosto 31 dias
Setembro 17 dias
Logo, faltam 227 dias.
Vamos dividir este valor por 7 (número de dias da semana). Daria 226/7 = 32 semanas (que repetirão
este dia da semana). Mas, quantos dias ainda faltam?
Simples: 32*7 = 224 dias. Logo faltam mais três dias.
Devemos avançar três dias da semana. Logo, cairá na segunda feira.
08. Resposta: B.
Se 01/01/2013 foi uma terça feira, podemos determinar o dia da semana em que cairá 19/09/2013.

. 139
Basta fazermos as seguintes operações:
- determinar o número de dias entre estas datas:
Janeiro faltam mais 30 dias para acabar o mês.
Fevereiro 28
Março: 31
Abril 30
Maio 31
Junho 30
Julho 31
Agosto 31
Setembro 19
Logo, teremos um total de 261 dias.
- Dividiremos este número por 7 e veremos quantas semanas inteiras teríamos neste intervalo de dias:
262/7 = 37 semanas e 2 dias.
Logo, 19/09/2013 cairá numa quinta-feira.
PROBLEMAS DE RACIOCINIO LOGICO
Este é um assunto muito cobrado em concursos e exige que o candidato tenha domínio de habilidades
e conteúdos matemáticos (aritméticos, algébricos e geométricos) para sua resolução. Para que se ganhe
gradativamente essas habilidades e o domínio dos conteúdos. Vejamos algumas questões que abordam
o assunto.
Questões
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Em um prédio há três caixas d'água
chamadas de A, B e C e, em certo momento, as quantidades de água, em litros, que cada uma contém
aparecem na figura a seguir.
Abrindo as torneiras marcadas com x no desenho, as caixas foram interligadas e os níveis da água se
igualaram.
Considere as seguintes possibilidades:
1. A caixa A perdeu 300 litros.
2. A caixa B ganhou 350 litros.
3. A caixa C ganhou 50 litros.
É verdadeiro o que se afirma em:
(A) somente 1;
(B) somente 2;
(C) somente 1 e 3;
(D) somente 2 e 3;
(E) 1, 2 e 3.
02. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Cada um dos 160 funcionários da
prefeitura de certo município possui nível de escolaridade: fundamental, médio ou superior. O quadro a
seguir fornece algumas informações sobre a quantidade de funcionários em cada nível:
Fundamental Médio Superior
Homens 15 30
Mulheres 13 36
Sabe-se também que, desses funcionários, exatamente 64 têm nível médio. Desses funcionários, o
número de homens com nível superior é:
(A) 30;
(B) 32;

. 140
(C) 34;
(D) 36;
(E) 38.
03. (CODEMIG – Advogado Societário – FGV/2015) Abel, Bruno, Caio, Diogo e Elias ocupam,
respectivamente, os bancos 1, 2, 3, 4 e 5, em volta da mesa redonda representada abaixo.
São feitas então três trocas de lugares: Abel e Bruno trocam de lugar entre si, em seguida Caio e Elias
trocam de lugar entre si e, finalmente, Diogo e Abel trocam de lugar entre si.
Considere as afirmativas ao final dessas trocas:
• Diogo é o vizinho à direita de Bruno.
• Abel e Bruno permaneceram vizinhos.
• Caio é o vizinho à esquerda de Abel.
• Elias e Abel não são vizinhos.
É/são verdadeira(s):
(A) nenhuma afirmativa;
(B) apenas uma;
(C) apenas duas;
(D) apenas três;
(E) todas as afirmativas.
04. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Francisca tem um saco com
moedas de 1 real. Ela percebeu que, fazendo grupos de 4 moedas, sobrava uma moeda, e, fazendo
grupos de 3 moedas, ela conseguia 4 grupos a mais e sobravam 2 moedas.
O número de moedas no saco de Francisca é:
(A) 49;
(B) 53;
(C) 57;
(D) 61;
(E) 65.
05. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Em uma festa com 15 convidados, foram servidos
30 bombons: 10 de morango, 10 de cereja e 10 de pistache. Ao final da festa, não sobrou nenhum
bombom e
• quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache;
• quem comeu dois ou mais bombons de pistache comeu também bombom de cereja;
• quem comeu bombom de cereja não comeu de morango.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
É possível que um mesmo convidado tenha comido todos os 10 bombons de pistache.
06. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Em uma festa com 15 convidados, foram servidos
30 bombons: 10 de morango, 10 de cereja e 10 de pistache. Ao final da festa, não sobrou nenhum
bombom e
• quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache;
• quem comeu dois ou mais bombons de pistache comeu também bombom de cereja;
• quem comeu bombom de cereja não comeu de morango.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Quem comeu bombom de morango comeu somente um bombom de pistache.
07. (Pref. Cuiabá/MT – Técnico em Administração Escolar – FGV/2015) As pessoas A, B, C, D, E
e F estão sentadas em volta da mesa circular mostrada a seguir.

. 141
Sabe-se que:
• A e B estão juntos.
• E e F não estão juntos.
• D está à direita de A, mas não está em frente de F.
É correto afirmar que:
(A) F está à esquerda de C.
(B) B está em frente de E.
(C) E está à direita de B.
(D) B está à direita de A.
(E) C está em frente de D.
08. (Câmara de Aracruz/ES – Agente Administrativo e Legislativo – IDECAN/2016) Analise a lógica
envolvida nas figuras a seguir.
A letra que substitui o sinal “?” é:
(A) O.
(B) R.
(C) T.
(D) W.
09. (Pref. Barbacena/MG – Advogado – FCM/2016) Maria tem três filhos, Bianca, Celi e João, e seis
netos, Ana, André, Beth, Cláudia, Fernando e Paula. Sabe-se que:
Bianca tem três filhos(as).
Celi tem dois filhos(as).
João tem um(a) filho(a).
Cláudia não tem irmãos.
Beth é irmã de Paula.
André não tem irmãs.
Com essas informações, pode-se afirmar que Ana é
(A) filha de Celi.
(B) prima de Beth.
(C) prima de Paula.
(D) filha de Bianca.
Respostas
01. Resposta: C.
Somando os valores contidos nas 3 caixas temos: 700 + 150 + 350 = 1200, como o valor da caixa será
igualado temos: 1200/3 = 400l. Logo cada caixa deve ter 400 l.
Então de A: 700 – 400 = 300 l devem sair
De B: 400 – 150 = 250 l devem ser recebidos

. 142
De C: Somente mais 50l devem ser recebidos para ficar com 400 (400 – 350 = 50). Logo As
possibilidades corretas são: 1 e 3
02. Resposta: B.
São 160 funcionários
No nível médio temos 64, como 30 são homens, logo 64 – 30 = 34 mulheres
Somando todos os valores fornecidos temos: 15 + 13 + 30 + 34 + 36 = 128
160 – 128 = 32, que é o valor que está em branco em homens com nível superior.
03. Resposta: B.
Imagine que todos estão sentados de frente para mesa. E que isso é o círculo antes e depois: vou
substituir por letras dos respectivos nomes
Dessa forma podemos dizer que:
• Diogo é o vizinho à direita de Bruno. Certo (Verifique que D está a direita de B)
• Abel e Bruno permaneceram vizinhos. ERRADO: Abel e Bruno não são vizinhos (Observe que A não
está ao lado de B)
• Caio é o vizinho à esquerda de Abel. ERRADO: Caio é o vizinho à DIREITA de Abel. (Verifique que
C está no lado direito e não do lado esquerdo conforme a afirmação, o que comprova que a resolução
está correta e de acordo com o gabarito)
• Elias e Abel não são vizinhos. ERRADO: Elias e Abel são vizinhos (A e E estão lado a lado, conforme
observado na figura acima)
04. Resposta: B.
Fazendo m = número de moedas e g = número de grupos temos:
Primeiramente temos: m = 4g + 1
Logo após ele informa: m = 3(g +4) + 2
Igualando m, temos: 4g + 1 = 3(g + 4) + 2 → 4g + 1 = 3g + 12 + 2 → 4g – 3g = 14 -1 → g = 13
Para sabermos a quantidade de moedas temos: m = 4.13 + 1 = 52 + 1 = 53.
Vamos partir da 2ª informação, utilizando a afirmação do enunciado que ele comeu 10 bombons de
pistache:
- quem comeu dois ou mais bombons (10 bombons) de pistache comeu também bombom de cereja; -
CERTA. Sabemos que quem come pistache come morango, logo:
- quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache; - CERTA
Analisando a última temos:
- quem comeu bombom de cereja não comeu de morango. – ERRADA, pois esta contradizendo a
informação anterior.
06. Resposta: Certa.
Se a pessoa comer mais de um bombom de pistache ela obrigatoriamente comerá bombom de cereja,
e como quem come bombom de cereja NÂO come morango.
07. Resposta: A.
Interpretando o enunciado temos a seguinte disposição:

. 143
Observe que C é o lugar que sobra, dentro das afirmações.
08. Resposta: C.
Substituindo as letras pelas posições no alfabeto:
C - 3º posição do alfabeto / E - 5º posição do alfabeto / H - 8ºposição do alfabeto
L- 12º posição do alfabeto / G- 7º posição do alfabeto / S-19º posição do alfabeto
I - 9º posição do alfabeto / K - 11º posição do alfabeto / Qual será a letra ?
Após a substituição observamos que a 1ª letra é a diferença das outras duas:
C (3) E (5) H (8)
L (12) G (7) S (19)
I (9) K (11) ?
8 – 5 = 3
19 – 7 = 12
? – 11 = 9 → ? = 9 + 11 → ? = 20
09. Resposta: D.
Partindo das informações temos:
Maria
Filhos (3) Netos (6)
Bianca (3 filhos(as))
Celi (2 filhos (as))
João (1 filho (a)
Netos: André e Fernando (2)
Netas: Ana, Beth, Claudia, Paula (4)
- A resposta mais direta é a de Claudia que não tem irmãos, logo é filha única e só pode ser filha de
João.
- Depois temos que André não tem irmãs. Logo ele pode ter irmão, como só tem 2 meninos. André e
Fernando são filhos de Celi.
- Observe que sobrou Ana, Beth e Paula que só podem ser filhas de Bianca.
Analisando as alternativas a única correta é a D.
01. (TRE/MT – Técnico Judiciário – CESPE/2015) A negação da proposição: “Se o número inteiro m
> 2 é primo, então o número m é ímpar" pode ser expressa corretamente por:
(A) “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar".
(B) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar".
(C) “Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo".
(D) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar".
(E) “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar".
02. (DPE/RR Administrador – FCC/2015) Dentro de um envelope há um papel marcado com um
número. Afirma-se sobre esse número que:
I. o número é 1;
II. o número não é 2;
III. o número é 3;
IV. o número não é 4.
Sabendo que três das afirmações são verdadeiras e uma é falsa, é necessariamente correto concluir
que
(A) I é verdadeira.
Questões

. 144
(B) II é falsa.
(C) II é verdadeira.
(D) III é verdadeira.
(E) IV é falsa.
03. (TCE/SP – Auxiliar da Fiscalização Financeira II – FCC/2015) Considere a afirmação
condicional: Se Alberto é médico ou Alberto é dentista, então Rosa é engenheira.
Seja R a afirmação: 'Alberto é médico';
Seja S a afirmação: 'Alberto é dentista' e
Seja T a afirmação: 'Rosa é engenheira'.
A afirmação condicional será considerada necessariamente falsa quando
(A) R for verdadeira, S for falsa e T for verdadeira.
(B) R for falsa, S for verdadeira e T for verdadeira.
(C) R for falsa, S for falsa e T for falsa.
(D) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira.
(E) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa.
04. (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,
(A) mesmo que se esforce, você não vencerá.
(B) seu esforço é condição necessária para vencer.
(C) se você não se esforçar então não irá vencer.
(D) você vencerá só se se esforçar.
(E) seu esforço é condição suficiente para vencer.
05. (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas
como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição
“Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos,
será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de
p. (p v q, lida como “p ou q”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V.
Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que
podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal.
A: A prática do racismo é crime afiançável.
B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.
C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.
De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da
Constituição Federal, julgue o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes
valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado?
06. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal.
Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das
seguintes atitudes:
A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance;
A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências;
A3: buscou evitar situações procrastinatórias.
Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do
Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras.
Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a
atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente
ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso) caso
contrário.
A1 A2 A3
Roberta F
Rejane
Renata V
Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for a proposição “Rejane alterou texto de

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documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for a proposição” Renata
buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição p→q tem valor lógico V. Certo ou errado?
07. (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as
terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas
condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e
também mentirei amanha”?
(A) Terça e quinta-feira.
(B) Terça e sexta-feira.
(C) Quarta e quinta-feira.
(D) Quarta-feira e sábado.
(E) Quinta-feira e domingo.
08. Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das
proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e
que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”,
“negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao
trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado.
Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal,
assumindo que:
P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”;
Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”;
R= “ele sempre leva um guarda-chuva”;
S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.
(A) P (Q  R)
(B) (P  Q)  R
(C) (P  Q)  (R  S)
(D) P  (Q  (R  S))
09. Considere as proposições
p: Está frio e
q: Está chovendo.
Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:
(A) p v ~q
(B) p → q
(C) ~p ∧ ~q
(D) p ↔ ~q
(E) (p v ~q) ↔ (q ∧ ~p)
10. Considere as proposições
p: A Terra é um planeta e
q: A Terra gira em torno do Sol.
Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:
(A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.
(B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.
(C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.
(D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.
(E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.
(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)
11. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível.
(A) É falso que não está frio ou que está chovendo.
(B) Se as ações caem aumenta o desemprego.
(C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis.
(D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica.

. 146
(E) Jorge estuda física mas não estuda química.
(Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”)
12. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine:
(A) a contrapositiva
(B) a recíproca
13.
(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine V(p → r Λs).
(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine V(p), V(q) e V(r).
(C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r).
14. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições:
(A) (p v q) Λ ~p
(B) p Λ (p → q) Λ (p →~q)
(C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q
(D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q))
(E) ~p → (p v ~(p v ~q))
15. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá-las e fazer novos esquemas.
(A)
(B)
16. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade:
(A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r
(B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∧ s)
(C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r
(D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária e suficiente para inflação cair é que os
impostos sejam aumentados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir.
Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados.
17. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:
(A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0
(B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0
18. Dê a negação das seguintes proposições:
(A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever.
(B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente.
(C) Para todo número primo, a condição suficiente para ser par é ser igual a 2.
19. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis:
(A) p  q  r  (p  q)  (p  r)
(B) p  q  r  (p  q)  (p  r)

. 147
(C) p  (r  s  t)  (p  r)  (p  s)  (p  t)
(D) p  q  r  p  (q  r)
(E) ~(~p  ~q)  ~p  q
20. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas:
(A) Exemplo: Regra da simplificação: p  q  q
Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p  q  q é
tautológica, ou seja, que a condicional p  q  q  V
Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se:
p  q  q  (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional)
~(p  q)  q  (aplicando-se a Lei de Morgan)
~p  ~q  q  (aplicando-se lei complementar, ~q  q é uma tautologia)
~p  V  (pela lei da identidade ~p  V é um tautologia)
V Portanto, está provado que p  q  q é uma tautologia
(B) Regra da adição: p  p  q
(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p  q)  ~q  p
(D) Regra de Modus Ponens: (p  q)  p  q
(E) Regra de Modus Tollens: (p  q)  ~q  ~p
21. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q)
22. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês
ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol
se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching
não fala chinês. Logo,
(A) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
(B) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
(C) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
(D) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
(E) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
23. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator)
primo.Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo
p, ou seja, é da forma ps
, então 1, p, p2
, ..., ps
são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma
dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual
a:
(A) 25
(B) 87
(C) 112
(D) 121
(E) 169
24. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então
Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:
(A) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.
(B) Lógica é fácil e Geografia é difícil.
(C) Lógica é fácil e Geografia é fácil.
(D) Lógica é difícil e Geografia é difícil.
(E) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.
25. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio
professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa
preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e
às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um
sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos
suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa
branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu

. 148
roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu
corretamente que:
(A) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.
(B) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente.
(C) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.
(D) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade.
(E) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.
26. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a
duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente
para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:
(A) A duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a princesa.
(B) Se o duque não saiu do castelo, então o Conde encontrou a princesa.
(C) O rei não foi à caça e o Conde não encontrou a princesa.
(D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
(E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
27. (PC-DF - Perito Criminal – FUNIVERSA) Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de
algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já
com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma
dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa,
o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de
R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras:
Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou.
Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer.
Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00.
Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu vi quando ele pegou seus R$
60,00 de troco.
Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na
mesa.
Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos
do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O
senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o
garçom fez a pergunta a
(A) Antônio.
(B) Basílio.
(C) Carlos.
(D) Danton.
(E) Eduardo.
28. (ESAF - Auditor Fiscal da Receita Federal) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso.
Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Passárgada. Assim,
(A) não viajo e caso.
(B) viajo e caso.
(C) não vou morar em Passárgada e não viajo.
(D) compro uma bicicleta e não viajo.
(E) compro uma bicicleta e viajo.
29. (FCC - TST - Técnico Judiciário) A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos
da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa
possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Mais tarde, consultando seus arquivos, o
diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que,
necessariamente,
(A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde.
(B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.
(C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês.
(D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês.

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(E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por
mês.
30. (CESGRANRIO - Chesf - Analista de Sistemas) Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira,
Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação, Jane o leva até a
escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o
almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima
apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje
(A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço.
(B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira.
(C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço.
(D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas.
(E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço.
31. (VUNESP- TJM-SP) Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem,
então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não
sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que
(A) sonho dormindo.
(B) o instrumento afinado não soa bem.
(C) as cordas não foram afinadas.
(D) mesmo afinado o instrumento não soa bem.
(E) toco bem acordado e dormindo.
Respostas
01. Resposta: E.
P: O número inteiro m>2 é primo
Q: o número m é ímpar
Então temos: p→q
A negação de uma condicional é dada por: p^~q
Portanto:
O número inteiro m>2 é primo e o número m não é ímpar
02. Resposta: C.
Hipótese 1 Hipótese 2 Hipótese 3 Hipótese 4
I F V V V
II V F V V
III V V F V
IV V V V F
Essas duas hipóteses não se contradizem, podemos começar analisando por elas.
Veja que a hipótese 2 nos diz que o número é 1 (I-Verdadeiro) e o número é 3(III-Verdadeiro)
Na hipótese 4 a mesma situação.
Agora, comparando as hipóteses 1 e 2, percebemos que somente na afirmação II, elas são
verdadeiras.
Quer dizer que: o número não é 2.
Portanto, a afirmação II é verdadeira.
03. Resposta: E.
RvS→T
Para a condicional ser falsa, devemos ter:
V→F
Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa.
E para RvS ser verdadeira, as duas só não podem ser falsas.
Lembrando pela tabela verdade de cada uma:
Condicional

. 150
Disjunção
04. Resposta: E.
Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você se esforçar então irá vencer) formada
por duas proposições simples (você se esforçar) (irá vencer), ligadas pela presença do conectivo (→) “se
então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma:
Se p então q, ou seja:
→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como
antecedente
→ q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como
consequente
→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q
→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q
ocorrer.
→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p
também não irá ocorrer.
Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. Tabela Verdade é a forma de representar todas as
combinações possíveis de valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições, sejam elas
simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma
combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). O
número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Na
tabela verdade são duas proposições simples e ao todo 22 = 4 linhas.
p q pq
V V V
V F F
F F V
F V V
Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q
só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem”. Observe que estamos falando
da segunda linha. Observe também que todos os demais valores lógicos de p→q que não se tratam da
regra passam a ser verdadeiros (1ª, 3ª e 4ª linhas).
Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p.
Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo “não” ou “negação”,
cuja tabela verdade se verifica a seguir:
p ~p
V F
F V
O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da
proposição, vejamos, se a proposição p é verdadeira, então ~p é falsa e viceversa, se a proposição p é
falsa, ~p é verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que

. 151
p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente, observe através
da tabela verdade:
p q ~p ~q pq ~q~p
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis
valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais, o que equivale a afirmar que são expressões
logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício:
Se você se esforçar então irá vencer
→ você se esforçar é a proposição p também conhecida como antecedente.
→ irá vencer é a proposição q também conhecida como consequente.
→ você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q→
irá vencer é a proposição q também conhecida como condição necessária para que ocorra q→.
Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. Ou seja, Se você se esforçar então irá vencer é uma
equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou. Observe que p e q podem ser
quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo, por mais absurdo que
pareça basta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente
corretas. Vamos analisar as alternativas:
Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,
a) errada, a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se esforçar é a condição suficiente para
que você vença, ou seja, basta que você se esforce que você irá vencer, e a afirmação nega isto.
b) errada, na forma p→q, o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra.
c) errada, esta afirmação sempre vai cair em prova.
Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer
a única conclusão possível é de que basta que você se esforce que você irá vencer, e se você não se
esforçar, ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar, se você não se esforçar você
poderá ou não vencer. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer
p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas. Observe
que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, afirmar uma não
quer dizer afirmar a outra.
d) errada, você vencerá só se se esforçar, indica que seu esforço é condição necessária para você
vencer, o que não é verdade.
e) correta, seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença.
Analisando as proposições:
A: “A prática do racismo é crime afiançável”- é falsa
B: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” - é verdadeira;
C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado” - é
falsa.
Então, a proposição composta “B - C” pode ser traduzida em “V > F” e, pela regra do conectivo →
(implica), a proposição composta terá valor lógico F.
Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes, basta completar a tabela de
acordo com os dados do enunciado:
A1 A2 A3
Roberta F V F
Rejane V F F
Renata F F V
Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria
apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar
situações procrastinatórias” tem valor lógico V, a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e,
pela regra do conectivo → (implica), o valor lógico da proposição é V.

. 152
07. Resposta: A.
Pelo enunciado, sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras. Com o
conectivo “e”, para se ter uma verdade, ambas as sentenças devem ser verdadeiras. Assim, nesse
problema, é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição.
- Domingo, segunda, sexta, sábado: a sentença é falsa, pois nesses dias a pessoa fala a verdade.
Portanto, temos uma contradição.
- Terça e quinta: a sentença é falsa, mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta, não há
contradição.
- Quarta: a sentença é verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, há contradição. Então, a
alternativa “A” satisfaz ao enunciado.
08. Resposta: C.
A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus
ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o conectivo  é
o principal, interligando as duas partes da proposição. Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao
trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P 
Q.
Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado,
essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R  S. Reunindo então as duas partes da
proposição original, obtém-se (P  Q)  (R  S).
09.(A) “Está frio ou não está chovendo”.
(B) “Se Está frio então está chovendo”.
(C) “Não esta frio e não esta chovendo”.
(D) “Está frio se somente se não esta chovendo”.
(E) “Está frio ou não esta chovendo se e somente se esta chovendo e não esta frio”.
10.(A) ~(p v q)
(B) p → q
(C) ~(p v ~q)
(D) q ↔ ~p
(E) ~p ∧ ~q
11.(A) “Não está frio ou está chovendo”.
(B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”.
(C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem olhos azuis e não tem cabeloslouros”.
(D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático então sabe lógica” cuja negação é “É um
bom matemático e não sabe lógica”.
(E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”.
12.(A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é primo”.
(B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”.
13.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2), determine V(p → r Λ s).
Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos:
V(p) = V(q) = V, logo,
V(p → r Λ s) = F
(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2), determine V(p), V(q) e V(r).
Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F, logo V (r) = V.
(C) Supondo V(p → q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r).
Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F, o que nos
permite concluir que V(p) = V(r) = V e V(q) = F, o que contradiz V(p → q) = V. Logo, V(p v r → q v r) = V.
Analogamente, mostramos que V(p v r → q v r) = V.
14. (A) (p∨q) ∧ ~p ↔ (p∧~p) ∨ (q∧~p) ↔ F ∨ (q∧~p) ↔ (q∧~p)
(B) p ∧ (p→q) ∧ (p→~p) ↔ p ∧ (~p∨q) ∧ (~p∨~q)
↔ p ∧ ((~p ∨ (q∧~q)) ↔ p ∧ (~p ∨ F) ↔ p ∧ ~p ↔ F

. 153
(C) p ∧ (p∨q) → (p ∨q) ∧ q ↔ p→q
(D) ~(p→q) ∧ ((~p∧q)) ↔ (p∧~q) ∧ ((~p∧q) ∨ (~p∧~q))
(p∧~q) ∧ ((~p ∧ (q∨~q)) ↔ (p∧~q) ∧ (~p∧V) ↔ (p∧~q) ∧ ~p
(p∧~p) ∧ ~q ↔ F ∧ ~q ↔ F
(E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p∧q)) ↔
(p∨~p) ∧ (p∨q) ↔ V ∧ (p∨q) ↔ p∨q
15. (A) (p∧q) ∨ ((p∧q) ∨ q) ∧ p ↔ ((p∧q) ∧ p ↔ q∧p
(B) ((p∨q) ∧ r)) ∨ ((q∧r) ∨ q)) ↔
((p∨q) ∧ r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) ∧ (r∨q)
↔ (p∨q) ∧ (r∨q) ↔ q ∨ (p∧r)
16. (A) Válido
(B) Válido
(C) Sofisma. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V, todas as premissas são verdadeiras e a
conclusão é falsa.
(D) Considere
p: O déficit público não diminui;
q: A inflação cai;
r: Os impostos são aumentados.
Analise o argumento: p → (q↔r), r →p, q →~r ╞ ~r (Válido)
17. (A) R- {2}
(B) [-2, 2[
18. (A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”.
(B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”.
(C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é
19. (A) p  q  r  (p  q)  (p  r)
p  q  r 
~p  (q  r)  (reescrita da condicional)
(~p  q)  (~p  r)  (distributiva)
(p  q)  (p  r) (reescrita da condicional)
(B) p  q  r  (p  q)  (p  r)
p  q  r 
~p  (q  r)  (reescrita da condicional)
~p  q  r  (associativa)
~p  ~p  q  r  (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p  ~p  ~p)
(~p  q)  (~p  r)  (associativa)
(p  q)  (p  r) (reescrita da condicional)
(C) p  (r  s  t)  (p  r)  (p  s)  (p  t)
p  (r  s  t) 
p  (r  (s  t))  (associativa em s  t)
(p  r)  (p  (s  t))  (distributiva)
(p  r)  (p  s)  (p  t) (distributiva)
(D) p  q  r  p  (q  r)
p  q  r 
~(p  q)  r  (reescrita da condicional)
~p  ~q  r  (De Morgan)
~p  (~q  r)  (associativa)

. 154
~p  (q  r)  (reescrita da condicional)
p  (q  r) (reescrita da condicional)
(E) ~(~p  ~q)  ~p  q
~(~p  ~q) 
~(~~p  ~q)  (reescrita da condicional)
~(p  ~q)  (dupla negação)
~p  ~~q  (De Morgan)
~p  q (dupla negação)
20. (B) Regra da adição: p  p  q
p  p  q  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia)
~p  (p  q)  (condicional)
~p  p  q  (associativa)
V  q  (complementares ~p  p)
V (identidade)
(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p  q)  ~q  p
(p  q)  ~q  p  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia)
(p  ~q)  (q  ~q)  p  (distributiva)
(p  ~q)  F  p  (complementares)
(p  ~q)  p  (identidade)
~(p  ~q)  p  (condicional)
~p  ~q  p  (De Morgan)
(~p  p)  ~q  (associativa)
V  ~q  (complementares)
V (identidade)
(D) Regra de Modus Ponens: (p  q)  p  q
(p  q)  p  q  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia)
(~p  q)  q  q  (condicional)
(q  ~p)  (q  q)  q  (distributiva)
(q  ~p)  q  q  (idempotente)
~((q  ~p)  q)  q  (condicional)
(~(q  ~p)  ~q)  q  (De Morgan)
((~q  p)  ~q)  q  (De Morgan)
(~q  ~q)  (~q  p)  q  (distributiva)
~q  (~q  p)  q  (idempotente)
(~q  q)  (~q  p)  (associativa)
V  (~q  p)  (complementares)
V (identidade)
(E) Regra de Modus Tollens: (p  q)  ~q  ~p
(p  q)  ~q  ~p  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma
tautologia)
(~p  q)  ~q  ~p  (De Morgan)
(~q  ~p)  (~q  q)  ~p  (Distributiva)
(~q  ~p)  F  ~p  (Complementares)
(~q  ~p)  ~p  (Identidade)
~(~q  ~p)  ~p  (condicional)
~~q  ~~p  ~p  (De Morgan)
q  p  ~p  (Dupla Negação)
q  V  (complementares)
V
21. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato:

. 155
Ordem Proposição
1 (p → q) → r ⇔
2 ⇔(~p ∨ q) → r ⇔
3 ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔
4 ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q)
5 r ∨ (p ∧ ~q)
22. (P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.
(P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês.
(P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.
(P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês.
(P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.
Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente
se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando
todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Uma boa dica é sempre
começar pela premissa formada com o conectivo e.
Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição
composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras,
ou seja, sabemos que:
Francisco não fala francês
Ching não fala chinês
Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala
francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa
será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras
ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala,
isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala
espanhol.
Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta
formada por outras duas simples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o
então), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu
consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa
seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá
ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês.
Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês.
Vamos analisar o consequente do se então, observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês.
(temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou
ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo
F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa
seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano.
Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente,
vamos reparar no consequente... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o
segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão.
Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes
afirmações:
Francisco não fala francês
Ching não fala chinês
Elton não fala espanhol
Débora não fala dinamarquês
Iara não fala italiano
Ana fala alemão.
A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A),
resposta do problema.
23. Resposta: B.
O número que não é primo é denominado número composto. O número 4 é um número composto.
Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um
número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema
informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2
,
onde p é um número primo.

. 156
Observe os seguintes números:
1 2 22
(4)
1 3 3² (9)
1 5 5² (25)
1 7 7² (49)
1 11 11² (121)
Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números
9, 25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos
menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.
24. Resposta: B.
O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e uma proposição
final (conclusão). A validade de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a
seguir:
Todo cavalo tem 4 patas (P1)
Todo animal de 4 patas tem asas (P2)
Logo: Todo cavalo tem asas (C)
Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão
C. Veja que este argumento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica:
(P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o
conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.
(P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja,
posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem
asas.
(C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto
de cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.
Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as
premissas serem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento
válido. Observe:
Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua
vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo
tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um

. 157
argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as
premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos:
Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)
Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2)
Artur gosta de Lógica (P3)
Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissa
mais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para
ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a
presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas
sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo” abaixo:
p q p V q
V V F
V F V
F V V
F F F
Sendo as proposições:
p: Lógica é fácil
q: Artur não gosta de Lógica
p v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)
Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as
linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa,
só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja,
Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então.
Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que:
Geografia não é difícil - é o antecedente do se então.
Lógica é difícil - é o consequente do se então.
Chamando:
r: Geografia é difícil
~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil)
p: Lógica é fácil
(não p) ~p: Lógica é difícil
~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação
do consequente gera a negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é
fácil então Geografia é difícil.
De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que:
Artur gosta de Lógica
Lógica é fácil
Geografia é difícil
Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira:
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o
antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre
verdadeiro.
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as
proposições que o formarem forem verdadeiras.
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F)
d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F)
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra do “ou” é que só é falso quando as proposições
que o formarem forem falsas.
25. Resposta: A.
Com os dados fazemos a tabela:

. 158
Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às
vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre
diz a verdade e o outro sempre mente.
I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul, não teríamos resposta, pois
o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo.
II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos
resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente.
III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta,
observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a
verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está
dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está
sempre mentindo.
O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta
sempre mente (Alternativa A).
26. Resposta: C.
Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do conectivo “se então” também representado
por “→”. Vamos a um exemplo:
Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta
(Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do
castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga
duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja:
→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como
antecedente.
→ q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como
consequente.
→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q.
→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q
ocorrer.
→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p
também não irá ocorrer.
Vamos às informações do problema:
1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Chamando A (proposição rei ir
à caça) e B (proposição duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembre-
se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.
2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à
caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se
de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”.
3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Chamando D
(proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e
somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto
o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde
poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D.
4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D
(proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se
C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.
A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão
sorriu). Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E).
Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse
modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa).
Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a
duquesa não foi ao jardim).
Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A
(então o rei não foi à caça).
Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então
o duque não saiu do castelo).
Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a
alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.

. 159
27. Resposta: D.
Como todas as informações dadas são verdadeiras, então podemos concluir que:
1 - Basílio pagou;
2 - Carlos pagou;
3 - Antônio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos,
estavam os R$ 50,00 pagos por Eduardo, então...
4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00.
O único que escapa das afirmações é o Danton.
Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E.
Antônio: - Basílio pagou. Restam A, D, C e E.
Danton: - Carlos também pagou. Restam A, D, e E.
Eduardo: - Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Restam A, D, e E.
Basílio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio. Restam D, e E.
Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta
somente D (Dalton) a pagar.
28. Resposta: B.
1°: separar a informação que a questão forneceu: "não vou morar em passárgada".
2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma
proposição verdadeira.
3°: destacando-se as informações seguintes:
- caso ou compro uma bicicleta.
- viajo ou não caso.
- vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta.
Logo:
- vou morar em pasárgada (F)
- não compro uma bicicleta (V)
- caso (V)
- compro uma bicicleta (F)
- viajo (V)
- não caso (F)
Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta.
Outra forma:
c = casar
b = comprar bicicleta
v = viajar
p = morar em Passárgada
Temos as verdades:
c ou b
v ou ~c
p ou ~b
Transformando em implicações:
~c → b = ~b → c
~v → ~c = c → v
~p → ~b
Assim:
~p → ~b
~b → c
c → v
Por transitividade:
~p → c
~p → v
Não morar em passárgada implica casar. Não morar em passárgada implica viajar.
29. Resposta: C.
A declaração dizia:

. 160
“Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”.
Porém, o diretor percebeu que havia se enganado, portanto, basta que um funcionário não tenha plano
de saúde ou ganhe até R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declaração, tornando-a desse modo FALSA.
Logo, necessariamente, um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00
por mês.
Proposição composta no conectivo “e” - “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e
ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração
ser falsa.
1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde.
2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.
Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da declaração do gerente, ou seja, pode ser na
primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será
falso.
Na alternativa C a banca fez a negação da primeira proposição e fez a da segunda e as ligaram no
conectivo “ou”, pois no conectivo “ou” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira,
desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro.
Atenção: A alternativa “E” está igualzinha, só muda o conectivo que é o “e”, que obrigaria que o erro
da declaração fosse nas duas.
A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde
“e” ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.
Essa fica assim ~(p ^ q).
A negação dela ~pv~q
~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “e” vira “ou”)
A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal, para negá-lo utilizamos um quantificador
existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem...
No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ou” ganha
até R$ 3.000,00 por mês. A negação de ganha mais de 3.000,00 por mês, é ganha até 3.000,00.
30. Resposta: B.
Sendo:
Segunda = S e Quarta = Q,
Pedro tem aula de Natação = PN e
Pedro tem aula de Futebol = PF.
V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos:
S V Q → PF V PN
Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a
escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C =
Carlos não almoça em casa, temos:
PF V PN → Je
Je → ~Ja
~Ja → ~C
Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são
verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa.
~Ja → ~C
Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja também é falsa.
~Ja → ~C
Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sabemos que ~Ja é falsa. Pela mesma
regra do conectivo Se, ... então, temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição
composta seja verdadeira.
Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e
sabendo que Je é falsa, para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa.
Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra
já citada, para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V
Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira
tratamos PF V PN.
Representação lógica de todas as proposições:
S V Q → PF V PN
(f) (f) (f) (f)
F F

. 161
PF V PN → Je
F F
Je → ~Ja
F F
~Ja → ~C
F F
Conclusão: Carlos almoçou em casa hoje, Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva,
Pedro não teve aula de futebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Agora é só marcar
a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema.
31. Resposta: C.
Dê nome:
A = AFINO as cordas;
I = INSTRUMENTO soa bem;
T = TOCO bem;
S = SONHO acordado.
Montando as proposições:
1° - A → I
2° - I → T
3° - ~T V S (ou exclusivo)
Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso
“ou isso ou aquilo, escolha UM”).
~T = V
T = F
I → T
(F)
Em muitos casos, é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”, sendo assim o
F passa para trás.
Assim: I = F
Novamente: A → I
(F)
O FALSO passa para trás. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas não foram afinadas.
Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de conclusão; última frase:
Não sonho acordado será VERDADE
Admita todas as frases como VERDADE
Ficando assim de baixo para cima
Ou não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = V
Se o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = V
Se afino as cordas (F), então o instrumento soa bem (F) = V
A dica é trabalhar com as exceções: na condicional só dá falso quando a primeira V e a segunda F.
Na disjunção exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem o que dá verdade. Extraindo as conclusões
temos que:
Não toco muito bem, não sonho acordado como verdade.
Se afino as corda deu falso, então não afino as cordas.
Se o instrumento soa bem deu falso, então o instrumento não soa bem.
Joga nas alternativas:
(A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha dormindo, só temos como verdade que não
sonho acordado, pode ser que você nem sonhe).
(B) o instrumento afinado não soa bem deu que: Não afino as cordas.
(C) Verdadeira: as cordas não foram afinadas.
(D) mesmo afinado (Falso deu que não afino as cordas) o instrumento não soa bem.
(E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu não toco muito bem e não sonho acordado.

. 162
Panorama Histórico
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem.
Desde a Antiguidade muitos povos já faziam uso dos recursos da Estatística, através de registro de
número de óbitos, nascimentos, número de habitantes, além das estimativas das riquezas individuais e
sociais, entre muitas outras.
Na Idade Média as informações colhidas tinham como finalidade tributária e bélica.
Somente a partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sócias,
originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos.
No século XVII o estudo de tais fatos foi adquirido, aos poucos, feição verdadeiramente científica.
Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando o seu
objetivo e suas relações com as ciências.
A estatística é, hoje em dia, um instrumento útil e, em alguns casos, indispensável para tomadas de
decisão em diversos campos: científico, econômico, social, político…
Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de decisão, há que proceder a
um indispensável trabalho de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através de
recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens.
Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No nosso cotidiano,
precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas.
Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através
da análise dos dados que possuímos.
Podemos ainda dizer que a Estatística é:
É a ciência que se ocupa de coletar, organizar, analisar e interpretar dados para que se tomem
decisões.
Divisão da estatística
- Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados.
- Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e a interpretação desses dados.
Método Estatístico
Atualmente quase todo acréscimo de conhecimento resulta da observação e do estudo. A verdade é
que desenvolvemos processos científicos para seu estudo e para adquirirmos tais conhecimentos, ou
seja desenvolvemos maneiras ou métodos para tais fins.
Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja.
- Método experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e
variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam.
Muito utilizado no estudo da Física, da Química etc
- Método estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas
causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final,
que influências cabem a cada uma delas.
Fases do método estatístico
- Coleta de dados: após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características
mensuráveis do fenômeno que se quer pesquisar, damos início à coleta de dados numéricos necessários
à sua descrição.
Estatística: Conceitos fundamentais de estatística descritiva
(população, amostra e amostragem). Organização de dados (tabelas
e gráficos) e medidas de tendência central (média, modal e
mediana).

. 163
A coleta
pode ser
Direta: quando é feita sobre elementos informativos de registro obrigatório
(nascimento, casamentos e óbitos, importação e exportação de mercadorias),
dados coletados pelo próprio pesquisador através de inquéritos e
questionários, como por exemplo o censo demográfico. A coleta direta de
dados pode ser classificada em fator do tempo:
(i) contínua (registro) – quando feita continuamente.
(ii) periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo (exemplo o
censo de 10 em 10 anos, etc)
(iii) ocasional – quando feita extemporaneamente, a fim de atender uma
conjuntura ou a uma emergência (caso de epidemias)
Indireta: quando é indeferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou de
conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado.
Exemplo: pesquisas de mortalidade infantil, que é feita através de dados
colhidos por uma coleta direta (número de nascimentos versus números de
obtidos de crianças)
- Crítica dos dados: depois de obtidos os dados, os mesmos devem ser cuidadosamente criticados,
à procura de possível falhas e imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo
vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados.
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má
interpretação das perguntas que lhe foram feitas.
A crítica é interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta.
- Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios
de classificação, que pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
- Exposição ou apresentação de dados: os dados devem ser apresentados sob forma adequada
(tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico.
- Análise dos resultados: realizadas anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos
resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a indução
ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.
Mais alguns conceitos devem ser aprendidos para darmos continuidade ao nosso entendimento sobre
Estatística.
- Variáveis: conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
As variáveis podem ser:
1) Qualitativas – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino), cor
da pele, entre outros. Dizemos que estamos qualificando.
2) Quantitativas – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos
alunos, etc). Uma variável quantitativa que pode assumir qualquer valor entre dois limites recebe o nome
de variável contínua; e uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto
enumerável recebe o nome de variável discreta.
- População estatística ou universo estatístico: conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma
característica comum.
Exemplos: estudantes (os que estudam), concurseiros (os que prestam concursos), ...

. 164
Podemos ainda pesquisar uma ou mais características dos elementos de alguma população, as quais
devem ser perfeitamente definidas. É necessário existir um critério de constituição da população, válido
para qualquer pessoa, no tempo ou no espaço.
- Amostra: é um subconjunto finito de uma população.
A Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as populações, com base em resultados
verificados em amostras retiradas dessa população. É preciso garantir que a amostra possua as mesmas
características da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar.
Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população.
Principais propriedades:
- Admite erros processual zero e tem 100% de confiabilidade;
- É caro;
- É lento;
- É quase sempre desatualizado (visto que se realizam em períodos de anos 10 em 10 anos);
- Nem sempre é viável.
Dados brutos: quando observamos ou fazemos n perguntas as quais nos dão n dados ou respostas,
obtemos uma sequência de n valores numéricos. A toda sequência denominamos dados brutos.
Dados brutos é uma sequência de valores numéricos não organizados, obtidos diretamente da
observação de um fenômeno coletivo.
Rol: é uma sequência ordenada dos dados brutos.
Exemplo: Um aluno obteve as seguintes notas no ano letivo em Matemática: 5,5 ; 7 ; 6,5 ; 9
Os dados brutos é a sequência descrita acima
Rol: 5,5 – 6,5 – 7 – 9 (ordenação crescente das notas).
Questão
01. (Câmara Munic. Itatiba/SP – Analista de Recursos Humanos – VUNESP/2015) Em estatística,
a técnica que nos permite fazer inferências sobre uma população, a partir da análise de uma parte dela,
denomina-se
(A) dedução.
(B) amostragem.
(C) probabilidade.
(D) descrição.
(E) extração.
Resposta
01. Resposta: B.
SERIES ESTATÍSTICAS
A Estatística tem objetivo sintetizar os valores que uma ou mais variáveis possam assumir, para que
tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. Esses valores irão fornecer
informações rápidas e seguras.

. 165
Tabela: é um quadro que resume um conjunto de observações. Uma tabela compõe-se de:
1) Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo;
2) Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;
3) Coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;
4) Linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal;
5) Casa ou célula – espaço destinado a um só número;
6) Título – Conjunto de informações, as mais completas possíveis, que satisfazem as seguintes
perguntas: O quê? Quando? Onde? localizando-se no topo da tabela.
Elementos complementares: de preferência colocados no rodapé.
- Fonte;
- Notas;
- Chamadas.
Séries Estatísticas: toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos
em função da época, do local ou da espécie.
Observamos três elementos:
- tempo;
- espaço;
- espécie.
Conforme varie um dos elementos da série, podemos classifica-la em:
- Histórica;
- Geográfica;
- Específica.
- Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas: Os valores da variável são descritos em,
determinado local, em intervalos de tempo.

. 166
Fonte: IBGE
- Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização: valores da variável, em determinado
instante, discriminados segundo regiões.
- Séries específicas ou categóricas: aquelas que descrevem valores da variável, em determinado
tempo e local, segundo especificações ou categorias.

. 167
- Séries conjugadas – Tabela de dupla entrada: utilizamos quando temos a necessidade de
apresentar, em uma única tabela, variações de mais de uma variável. Com isso conjugamos duas séries
em uma única tabela, obtendo uma tabela de dupla entrada, na qual ficam criadas duas ordens de
classificação: uma horizontal e uma vertical.
Dados absolutos e dados relativos
Aos dados resultantes da coleta direta da fonte, sem manuseio senão contagem ou medida, são
chamados dados absolutos. Não é dado muito importância a estes dados, utilizando-se de os dados
relativos.
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões) que estabelecem entre dados
absolutos e têm por finalidade facilitar as comparações entre quantidades. Os mesmos podem ser
traduzidos por meio de percentagens, índices, coeficientes e taxas.
- Percentagens:
Considerando a série:
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA
CIDADE B - 2016
CATEGORIAS
NÚMERO DE
ALUNOS
1º grau 19.286
2º grau 1.681
3º grau 234
Total 21.201
Dados fictícios.
Calculando os percentagens dos alunos de cada grau:
1º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
19.286𝑥100
21.201
= 90,96 = 91,0
1.681𝑥100
21.201
= 7,92 = 7,9

. 168
234𝑥100
21.201
= 1,10 = 1,1
Formamos com os dados uma nova coluna na série em estudo:
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE B - 2016
CATEGORIAS
NÚMERO DE
ALUNOS
%
1º grau 19.286 91,0
2º grau 1.681 7,9
3º grau 234 1,1
Total 21.201 100,0
Dados fictícios.
Esses novos valores nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade B, 91 estão matriculados no 1º
grau, 8 (aproximadamente) no 2º grau e 1 no 3º grau.
- Índices: razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra.
Exemplos:
𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙𝑒𝑡𝑢𝑎𝑙 =
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑛𝑜𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎
𝑥100
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 =
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
Econômicos:
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 =
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜
𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 =
𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎
- Coeficientes: razões entre o número de ocorrências e o número total (ocorrências e não
ocorrências).
Exemplos:
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ó𝑏𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Educacionais:
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑎𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
- Taxas: coeficientes multiplicados por um potência de 10 (10,100, 1000, ...) para tornar o resultado
mais inteligível.
Exemplos:
Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000.

. 169
Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1000.
1) Em cada 200 celulares vendidos, 4 apresentam defeito.
Coeficiente de defeitos: 4/200 = 0,02
Taxa de defeitos = 2% (0,02 x 100)
Questão
01. O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1º ano no início de 2009 e 683.816 no final do ano.
O estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado apresentou maior
evasão escolar?
Resposta
01. Resposta: Evasão estado A: 6,8% e Evasão estado B: 5,5%.
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑨: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜:
683816
733986
= 0,931647𝑥100 = 93,16472 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 6,8%
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑩: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜:
412457
436127
= 0,945727𝑥100 = 94,57268 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 5,4%
AMOSTRAGEM
Amostragem é um técnica especial para recolher amostras, que garante, tanto quanto possível, o
acaso na escolha.
Probabilística (aleatória): A probabilidade de um elemento da população ser escolhido é conhecida.
Cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido.
Não-probabilística (não aleatória): Não se conhece a probabilidade de um elemento ser escolhido
para participar da amostra.
No quadro abaixo está descrita os métodos de amostragem:
Amostragem probabilística
Amostragem casual ou aleatória simples: este tipo de amostragem se assemelha ao sorteio lotérico.
Ela pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um
dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais serão pertentes à amostra.

. 170
Exemplo: 15% dos alunos de uma população de notas entre 8 e 10, serão sorteados para receber uma
bolsa de estudos de inglês.
Vantagens:
- Facilidade de cálculo estatístico;
- Probabilidade elevada de compatibilidade dos dados da amostra e da população.
Desvantagens:
- Requer listagem da população;
- Trabalhosa em populações elevadas;
- Custos elevados se a dispersão da amostra for elevada.
Amostragem sistemática: escolher cada elemento de ordem k. Assemelha-se à amostragem
aleatória simples, porque inicialmente enumeram-se as unidades da população. Mas difere da aleatória
porque a seleção da amostra é feita por um processo periódico pré-ordenado. Os elementos da população
já se acham ordenados, não havendo necessidade de construir um sistema de referência.
Exemplo: Amostra de 15% dos alunos com déficit de atenção diagnosticado. Sorteia-se um valor de 1
a 5. Se o sorteado for o 2, incluem-se na amostra o aluno 2, o 7, o 12 e assim por diante de cinco em
cinco.
Amostragem proporcional estratificada: muitas vezes a população se divide em subpopulações –
estratos, então classificamos a população em, ao menos dois estratos, e extraímos uma amostra de cada
um. Podemos determinar características como sexo, cor da pele, faixa etária, entre outros.
Exemplo: Supondo que dos noventa alunos de uma escola, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas
vamos obter a amostra proporcional estratificada de 10% desta população.
Temos dois estratos: sexo masculino e feminino.
Sexo População 10% Amostra
M 54
10𝑥54
100
= 5,4 5
F 36
10𝑥36
100
= 3,6 4
Total 90
10𝑥90
100
= 9,0 9
Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem aos meninos e de 55 a 90, as
meninas.
Para amostragem muito grande também fazemos o uso da Tabela de Números Aleatórios, elaborada
a fim de facilitar os cálculos, que foi construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos
ao acaso nas linhas e colunas, conforme pode ser visto abaixo:

. 171
Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, sorteamos um algarismo qualquer da
mesma, a partir do qual iremos considerar números de dois, três ou mais algarismos, conforme nossa
necessidade. Os números obtidos irão indicar os elementos da amostra.
No nosso exemplo vamos definir como critérios a primeira e a segunda colunas da esquerda, de cima
para baixo (constituídos de 2 algarismos), obtermos os seguintes números.
A leitura da tabela pode ser feita horizontalmente (da direita para esquerda ou vice versa),
verticalmente (de cima para baixo ou vice versa), diagonalmente (no sentido ascendente ou
descendente), formando desenho de alguma letra e até mesmo escolhendo uma única linha ou coluna.
O critério adotado deve ser definido antes do início do processo.
57 28 92 90 80 22 56 79 53 18 53 03 27 05 40
Eliminamos os números maiores que 90 e os números repetidos.
Assim temos:
28 22 53 18 03 – para os meninos;
57 90 80 56 – para as meninas.
Vantagens:
- Pressupõe um erro de amostragem menor;
- Assegura uma boa representatividade das variáveis estratificadas;
- Podem empregar-se metodologias diferentes para cada estrato;
- Fácil organização do trabalho de campo.
Desvantagens:
- Necessita de maior informação sobre a população;
- Cálculo estatístico mais complexo.
Amostragem por conglomerado: é uma amostra aleatória de agrupamentos naturais de indivíduos
(conglomerados) na população. Dividimos em seções a área populacional, selecionamos aleatoriamente
algumas dessas seções e tomamos todos os elementos das mesmas.
Exemplo:

. 172
O mapa mostra os conglomerados selecionados (neste caso os municípios), que apresentaram a maior
proporção de casos de dengue confirmados no Estado de São Paulo até março de 2015.
Vantagens:
- Não existem listagem de toda a população;
- Concentra os trabalhos de campo num número limitado de elementos da população.
Desvantagens:
- Maior erro de amostragem;
- Cálculo estatístico mais complexo na estimação do erro de amostragem.
Amostragem não-probabilística
Amostragem por cotas: consiste em uma amostragem por julgamento que ocorre em suas etapas.
Em um primeiro momento, são criadas categorias de controle dos elementos da população e, a seguir,
selecionam-se os elementos da amostra com base em um julgamento.
Amostragem por julgamento: quando o pesquisador seleciona os elementos mais representativos
da amostra de acordo com seu julgamento pessoal. Essa amostragem é ideal quando o tamanho da
população é pequeno e suas características, bem conhecidas.
Amostragem por conveniência: é uma amostra composta de indivíduos que atendem os critérios de
entrada e que são de fácil acesso do investigador. Para o critério de seleção arrolamos uma amostra
consecutiva.
Exemplo: Em uma pesquisa sobre dengue, arrolar os 200 pacientes que receberam diagnostico em
um hospital.
Vantagens:
- Mais econômica;
- Fácil administração;
- Não necessita de listagem da população.
Desvantagens
- Maior erro de amostragem que em amostras aleatórias;
- Não existem metodologias válidas para o cálculo do erro de amostragem;
- Limitação representativa;
- Maior dificuldade de controle de trabalho de campo
Tamanho da Amostra
O tamanho da amostra deve ser determinado antes de se iniciar a pesquisa.

. 173
Deve-se usar a maior amostra possível, pois quanto maior a amostra, maior a representatividade da
população. Amostras menores possuem resultados menos precisos.
É muito importante usarmos amostras de tamanhos adequados, para que os dados tenham maior
confiabilidade e precisão.
Consideramos:
Amostras grandes: n > 100
Amostras médias: n > 30
Amostras pequenas: n < 30
Amostras muito pequenas: n < 12
Erros de amostragem
Diferença randômica(aleatória) entre a amostra e população da qual a amostra foi retirada. O tamanho
do erro pode ser medido em amostras probabilísticas, expressa como “erro padrão” (ou precisão) de
média, proporção entre outros.
Erro padrão da média: é usado para estimar o desvio padrão da distribuição das médias amostrais,
tanto para populações finitas ou infinitas (será abordado em medidas de dispersão).
Questões
01. (TRT/MG – Analista Judiciário – FCC) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter,
relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: nível educacional e renda
familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível
educacional, e, dentre todos os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores
para informar a renda familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda
familiar foram, respectivamente,
(A) censo e amostragem por conglomerados.
(B) amostragem aleatória e amostragem sistemática.
(C) censo e amostragem casual simples.
(D) amostragem estratificada e amostragem sistemática.
(E) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios.
02. (EPE – Analista de Pesquisa Energética – CESGRANRIO) Considere um planejamento amostral
para uma população de interesse no qual é feita uma divisão dessa população em grupos idênticos à
população alvo, como uma espécie de microcosmos da população, e, em seguida, seleciona-se
aleatoriamente um dos grupos e retira-se a amostra do grupo selecionado.
A técnica de amostragem descrita acima é definida como:
(A) amostragem aleatória simples
(B) amostragem por conglomerados
(C) amostragem estratificada
(D) amostragem sistemática
(E) amostragem por cotas
03. (MTur – Estatístico – ESAF) Com relação à amostragem, pode-se afirmar que:
(A) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra não probabilística na qual divide-se a população
em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) a cada subgrupo. A seleção dos objetos
individuais obedece o critério de uma amostra sistemática.
(B) na amostragem estratificada, divide-se a população em grupos (ou classes, ou estratos), de modo
que os elementos pertencentes ao mesmo estrato sejam o mais heterogêneos possível com respeito à
característica em estudo. Para cada grupo toma-se uma subamostra pelo procedimento a.a.s., e a
amostra global é o resultado da combinação das subamostras de todos os estratos
(C) na amostragem por conglomerados, seleciona-se primeiro, ao acaso, grupos (conglomerados) de
elementos individuais da população. A seguir, toma-se ou todos os elementos ou uma subamostra de
cada conglomerado. Nos conglomerados, as diferenças entre eles devem ser tão grandes quanto
possível, enquanto as diferenças dentro devem ser tão pequenas quanto possível.
(D) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra probabilística na qual divide-se a população em
subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais
é por sorteio.

. 174
(E) na amostragem sistemática, toma-se cada k-ésima unidade da população previamente ordenada,
em que k é a razão de amostragem. O procedimento deve começar ao acaso, sorteando-se um número
entre 1 e k.
Respostas
01. Resposta: C.
02. Resposta: B.
03. Resposta: E.
TABELAS E GRÁFICOS
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas informações, sendo muito delas expressas em
formas de tabelas e gráficos, as quais constatamos através do noticiários televisivos, jornais, revistas,
entre outros. Os gráficos e tabelas fazem parte da linguagem universal da Matemática, e compreensão
desses elementos é fundamental para a leitura de informações e análise de dados.
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados numéricos e a partir deles fornecer conclusões
é chamada de Estatística.
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas e colunas, possibilitando uma melhor
leitura e interpretação. Exemplo:
Fonte: SEBRAE
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que a um título e uma fonte. O título é utilizado
para evidenciar a principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde os dados foram obtidos.
Tipos de Gráficos
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza em certo
período de tempo.
Marcamos os pontos determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligados por
segmentos de reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a
linha oferecem informações sobre o comportamento da amostra. Exemplo:

. 175
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de colunas, são utilizados, em geral, quando há
uma grande quantidade de dados. Para facilitar a leitura, em alguns casos, os dados numéricos podem
ser colocados acima das colunas correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: barras verticais e
horizontais.
- Gráfico de barras verticais: as frequências são indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos
determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligamos ao eixo das classes por meio de
barras verticais. Exemplo:
- Gráfico de barras horizontais: as frequências são indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os
pontos determinados pelo pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao eixo das classes por
meio de barras horizontais. Exemplo:

. 176
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela
representada.
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para visualizar a relação entre as partes e o todo.
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente proporcionais às frequências
de classes. A medida α, em grau, do ângulo central que corresponde a uma classe de frequência F é
dada por:
𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹
Onde:
Ft = frequência total
Exemplo:
Preferência por modalidades esportivas
Esportes
Número de
praticantes (F)
Frequência
relativa
Futebol 160 40%
Vôlei 120 30%
Basquete 60 15%
Natação 40 10%
Outros 20 5%
Total (Ft) 400 100%
Dados fictícios
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples:
400 --- 100%
160 --- x
x = 160 .100/ 400 = 40% , e assim sucessivamente.
Aplicando a fórmula teremos:
−𝐹𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 160 → 𝛼 = 144°
−𝑉ô𝑙𝑒𝑖: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 120 → 𝛼 = 108°
−𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 60 → 𝛼 = 54°
−𝑁𝑎𝑡𝑎çã𝑜: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 20 → 𝛼 = 18°
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção
da área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico
será demarcada da seguinte maneira:
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico:

. 177
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos, certos gráficos, encontrados em jornais,
revistas e outros meios de comunicação, apresentam imagens relacionadas ao contexto. Eles são
desenhos ilustrativos. Exemplo:
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com
área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada
densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da
faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o
que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes
são utilizadas nas faixas. Exemplo:

. 178
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das
classes. Exemplo:
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal
ascendente utilizando os pontos extremos.
Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o
objetivo é de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

. 179
Interpretação de tabelas e gráficos
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos devemos ter em mente algumas considerações:
- Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos eixos vertical e horizontal,
para então fazer a leitura adequada do gráfico;
- Fazer a leitura isolada dos pontos.
- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado.
Exemplos:
(Enem 2011) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as
atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural,
industrialização e comercialização dos produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA).
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do
agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de
A) 1998 e 2001.
B) 2001 e 2003.
C) 2003 e 2006.
D) 2003 e 2007.
E) 2003 e 2008.

. 180
Resolução:
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no
PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta
do gráfico: em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005,
chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar.
Resposta: C
(Enem 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de
quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados
correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o
verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo
quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar
e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global
em
A)1995.
B)1998.
C) 2000.
D)2005.
E)2007.
Resolução:
O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a
resolução da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e
consequentemente ao resfriamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor
será o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global.
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007.
Resposta: E
Mais alguns exemplos:
1) Todos os objetos estão cheios de água.

. 181
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água?
(A) A caneca
(B) A jarra
(C) O garrafão
(D) O tambor
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer unidades de medida, no
caso, o litro. Preste atenção na palavra exatamente, logo a resposta está na alternativa B.
2) No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos
federais no período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais:
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais.
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais.
(C) manteve-se constante nos quatro anos.
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos.
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais.
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D.
Questões
01. (Pref. Fortaleza/CE – Pedagogia – Pref. Fortaleza/2016) “Estar alfabetizado, neste final de
século, supõe saber ler e interpretar dados apresentados de maneira organizada e construir
representações, para formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise
de informações. Essa característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma
demanda em abordar elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde os ciclos
iniciais” (BRASIL, 1997).
Observe os gráficos e analise as informações.

. 182
A partir das informações contidas nos gráficos, é correto afirmar que:
(A) nos dias 03 e 14 choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis.
(B) a quantidade de chuva acumulada no mês de março foi maior em Fortaleza.
(C) Fortaleza teve mais dias em que choveu do que Florianópolis.
(D) choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis.
02. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE/2015)
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen,

. 183
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro,
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações)
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por
região em 2013. Nesse ano, o déficit relativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de
vagas no sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciário — registrado
em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil
habitantes.
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir.
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se encontrava na região Sudeste.
( )certo ( ) errado
03. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP/2015) A distribuição de salários de uma empresa
com 30 funcionários é dada na tabela seguinte.
Salário (em salários mínimos) Funcionários
1,8 10
2,5 8
3,0 5
5,0 4
8,0 2
15,0 1
Pode-se concluir que
(A) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários.
(B) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salários.
(C) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários.
(D) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda total.
(E) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda total.
04. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP/2015) Considere a tabela de distribuição de
frequência seguinte, em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta dos dados.
xi fi
30-35 4
35-40 12
40-45 10
45-50 8
50-55 6
TOTAL 40
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor representa a distribuição de
frequência da tabela.
(A)
(B)
(C)

. 184
(D)
(E)
05. (SEJUS/ES – Agente Penitenciário – VUNESP) Observe os gráficos e analise as afirmações
I, II e III.
I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001,
foi maior que 1000%.
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior.
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à
distância foi de 2 para 5.
É correto o que se afirma em
(A) I e II, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
06. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE/2015)

. 185
A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue o item que se segue.
Se os percentuais forem representados por barras verticais, conforme o gráfico a seguir, então
o resultado será denominado histograma.
Respostas
01. Resposta: C.
A única alternativa que contém a informação correta com ao gráficos é a C.
02. Resposta: CERTO.
555----100%
306----x
X=55,13%
03. Resposta: D.
(A) 1,8*10+2,5*8+3,0*5+5,0*4+8,0*2+15,0*1=104 salários
(B) 60% de 30, seriam 18 funcionários, portanto essa alternativa é errada, pois seriam 12.
(C)10% são 3 funcionários
(D) 40% de 104 seria 41,6
20% dos funcionários seriam 6, alternativa correta, pois5*3+8*2+15*1=46, que já é maior.
(E) 6 dos trabalhadores: 18
30% da renda: 31,20, errada pois detêm mais.
04. Resposta: A.
A menor deve ser a da primeira 30-35
Em seguida, a de 55
Depois de 45-50 na ordem 40-45 e 35-40
05. Resposta: E.
I- 69,8------100%
781,6----x

. 186
X=1119,77
II- 781,6-680,7=100,9
III-
10
25
=
2
5
06. Resposta: ERRADO.
Como foi visto na teoria, há uma faixa de valores no eixo x e não simplesmente um dado.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Usamos a distribuição de frequência para organizarmos os dados estatísticos resultantes de variáveis
quantitativas (as que usam os números para expressar-se) e fazemos a tabulação dos dados, ou seja, a
colocação dos dados de forma ordenada em uma tabela, para assim melhor interpreta-los.
Distribuição de frequência sem intervalo de classe
Quando temos variáveis discretas (possuem número finito de valores entre quaisquer dois valores) a
sua variação é relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe.
Exemplo:
Uma professora organizou as notas que seus 25 alunos obtiveram em uma de suas provas, da seguinte
forma:
Observe que ela já ordenou os dados brutos (rol) o que ajuda a fazermos a tabulação dos dados.
Tabulando teremos:
O número de vezes que um dado aparece é chamado de FREQUÊNCIA ABSOLUTA representado
por f ou fi (varia de acordo com a bibliografia estudada). Também podemos representar a frequência em
forma de porcentagem, a esta damos o nome de FREQUÊNCIA RELATIVA (fr). Ela é o quociente entre
a frequência absoluta e o número de elementos da população total.

. 187
Podemos ainda através desta tabulação encontrar a FREQUÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (fa,
Fa ou Fi), na qual é a soma da frequência absoluta com a do anterior.
Observe que a última linha da Frequência Absoluta Acumulada é SEMPRE IGUAL ao somatório total
dos dados. Temos ainda a FREQUÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (fra), que é a razão entre a
frequência absoluta acumulada e a frequência absoluta acumulada total de dados, é a forma percentual
de representarmos esses dados.
O exemplo acima mostra a distribuição de frequência para dados não agrupados. Quando trabalhamos
com uma quantidade grande de dados, a melhor forma é agrupa-los, afim de ganharmos simplicidade,
mesmo que perdemos os pormenores.
Nota:
Muitas bibliografias tendem a definir os termos de seus elementos estatísticos de formas variadas,
dando nome aos seus elementos de formas diferentes. Porém devemos levar em consideração o princípio
de cada um, o seu uso e relevância dentro do tratamento dos dados.
Colocamos aqui algumas dessas definições para o mesmo elemento para que você possa estar
contextualizado sobre o assunto.

. 188
Distribuição de frequência para dados agrupados
Para melhor entendimento vamos acompanhar um exemplo e assim destacaremos os elementos
desse tipo de distribuição e os meios de montarmos sua tabela.
Exemplo:
Uma pesquisa feita com 40 alunos de uma escola C, revelou os seguintes dados sobre a estatura de
seus alunos (estaturas dadas em cm):
Observe que os dados não estão ordenados, então devemos organiza-los para assim conseguirmos
analisarmos, montando assim o nosso Rol:
Com isso já fica evidente qual a menor (150 cm) e a maior (173 cm) estatura deste grupo de alunos, e
sua concentração está entre 160 e 165 cm.
Se montássemos uma tabela semelhante a do exemplo anterior, exigiria muito espaço, mesmo a nossa
amostra tendo uma quantidade de valores razoável (40 alunos). Então convém agruparmos esses valores
em vários intervalos. Com isso teremos a seguinte tabela de distribuição de frequência com intervalo de
classes.
ESTATURA DOS 40 ALUNOS
DA ESCOLA C
Para montarmos uma tabela com tal agrupamento, precisamos saber algumas definições:
- Classes de frequência ou classes: são intervalos de variação da variável. Elas são simbolicamente
representadas por i, sendo i = 1,2,3, ..., k (onde k é o número total de classes da distribuição).
Por exemplo o intervalo 158 ├- 162 define a 3ª classe (i = 3), de um total de 6 classes, k = 6.
Depois aplicamos a fórmula de Sturges (regra do Logaritmo) dada por:
Aplicando no nosso exemplo temos: k = 1 + 3,3 .log 40 → k = 1 + 3,3 .1,60 → k = 1 + 5,28 → k = 6,28,
arredondando temos k = 6.

. 189
Dica
Quantidade de classes x quantidade de dados
Já sabemos que vamos precisar de 6 classes para agruparmos nossos dados. Agora precisamos
descobrir quantos dados vamos agrupar juntos, ou seja, qual o tamanho ou amplitude do nosso intervalo,
para isso precisaremos de mais algumas informações.
- Amplitude amostral ou total (AA): diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra.
AA = x (máx.) – x (min.)
Sabemos que o menor valor da nossa amostra é 150 e o maior 173, aplicando teremos:
AA = 173 – 150 = 23 cm
- Amplitude das classes (h): é a divisão entre a amplitude total e o número de classes. O valor desta
divisão só poderá ser arredondado para mais.
𝒉 =
𝑨𝑨
𝒌
Para nosso exemplo temos:
ℎ =
𝐴𝐴
𝑘
→ ℎ =
23
6
= 3,83 ≅ 4
Assim agruparemos os dados de 4 em 4: 150 ao 154; 154 ao 158, ..., 170 ao 174, completando nossas
6 classes. Lembrando que como utilizamos o símbolo “├- “não estamos considerando o valor final, por
isso o repetimos no intervalo seguinte.
Com isso, conseguimos chegar a nossa tabela inicial.
Tome Nota: Podemos chamar a amplitude de classes também como Amplitude de um intervalo de
classe ou intervalo de classe (hi) que é a medida do intervalo que define a classe. Obtemos ela através
da diferença do limite superior e inferior de cada classe. Uma vez que conhecemos e temos os intervalos
podemos encontra-la facilmente.
hi = Li – li
Outras informações são importantes e relevantes ao nosso estudo, como meio de chegarmos a outras
análises. Vejamos:
- Limite de classe: são os extremos de cada classe. O menor chamamos de limite inferior da classe
(li) e o maior, o limite superior da classe (Li).
Tomando como exemplo a 3ª classe, temos:
l3 = 158 e L3 = 162

. 190
Fique por dentro!
O símbolo ├- , indica uma inclusão do valor de li (limite inferior) e exclusão do valor de Li (limite
superior).
O símbolo ├-┤, indica uma inclusão tanto do valor de li (limite inferior) como do valor de Li (limite
superior).
O símbolo -┤, , indica uma exclusão do valor de li (limite inferior) e inclusão do valor de Li (limite
superior).
- Amplitude total da distribuição (AT): é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite
inferior da última classe.
AT = L (máx.) – l (mín.)
Em nosso caso temos: AT = 174 – 150 = 24 cm
Observação: A amplitude total da distribuição (AT) JAMAIS coincide com a amplitude amostral (AA).
- Ponto médio de uma classe (xi): é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.
É o valor que a representa. Para sua obtenção calculamos a média aritmética entre os limites da classe
(superior e inferior).
𝒙𝒊 =
𝒍𝒊 + 𝑳𝒊
𝟐
Exemplo:
O ponto médio da 4ª classe é:
𝑥4 =
𝑙4 + 𝐿4
2
→ 𝑥4 =
162 + 166
2
→ 𝑥4 =
328
2
→ 𝑥4 = 164 𝑐𝑚
Questões
01. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO –
EXÉRCITO BRASILEIRO) Identifique a alternativa que apresenta a frequência absoluta (fi) de um
elemento (xi) cuja frequência relativa (fr) é igual a 25 % e cujo total de elementos (N) da amostra é igual
a 72.
(A) 18.
(B) 36.
(C) 9.
(D) 54.
(E) 45.
02. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) Em uma faculdade, uma amostra de
120 alunos foi coletada, tendo-se verificado a idade e o sexo desses alunos. Na amostra, apurou-se que
45 estão na faixa de 16 a 20 anos, 60, na faixa de 21 a 25 anos, e 15 na faixa de 26 a 30 anos. Os
resultados obtidos encontram-se na Tabela abaixo.
Quais são, respectivamente, os valores indicados pelas letras P, Q, R e S?
(A) 40 ; 28 ; 64 E 0
(B) 50 ; 28 ; 64 E 7
(C) 50 ; 40 ; 53,3 E 7

. 191
(D) 77,8 ; 28 ; 53,3 E 7
(E) 77,8 ; 40 ; 64 E 0
03. (IMESC – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Na tabela a seguir, constam informações sobre
o número de filhos dos 25 funcionários de uma pequena empresa.
Com base nas informações contidas na tabela, é correto afirmar que o número total de filhos dos
funcionários dessa pequena empresa é necessariamente
(A) menor que 41.
(B) igual a 41.
(C) maior que 41 e menor que 46.
(D) igual a 46.
(E) maior ou igual a 46.
Respostas
01. Resposta: A.
f_r=f_i/N
f_i=0,25∙72=18
02. Resposta: B.
Pela pesquisa 45 alunos estão na faixa de 16 a 20
São 10 do sexo masculino, portanto são 45-10=35 do sexo feminino.
70---100%
35----P
P=50%
70---100%
Q---40%
Q=28
35+28+S=70
S=7
Pela última coluna(% de sexo masculino):
20+R+16=100
R=64
P=50; Q=28; R=64; S=7
03. Resposta: E.
1 filho: 7 pessoas -7 filhos
2 filhos: 5 pessoas – 5.2=10 filhos
3 filhos: 3 pessoas – 3.3=9
Já são 26 filhos.
Temos mais 5 pessoas que tem mais de 3 filhos, o número mínimo são 4 filhos.
5.4=20
26+20=46 filhos no mínimo.
HISTOGRAMAS, POLÍGONOS E CURVAS DE FREQUÊNCIA
Histogramas: Conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal,
de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.

. 192
A largura dos retângulos é igual a amplitude dos intervalos de classe.
- Histograma goza de uma propriedade da qual faremos considerável uso: a área de um histograma
é proporcional à soma das frequências.
- No caso de usarmos as frequências relativas, obtemos um gráfico de área unitária.
- Quando queremos comparar duas distribuições, o ideal é fazê-lo pelo histograma de frequência
relativas.
Polígonos de frequência: gráfico em linha sendo as frequências marcadas sobre o eixo horizontal
(perpendicular), levantadas pelos ponto médios.
Retirando o histograma do fundo, obtemos o polígono de frequência.
Nota: No caso termos uma variável essencialmente positiva, cuja distribuição se inicie no valor zero,
devemos, devemos considerar o intervalo anterior localizado no semieixo negativo, mas consideramos
apenas a parte positiva do segmento que liga o ponto médio desse intervalo com frequência do 0 |- ....
Exemplo:

. 193
Polígonos de frequência acumulada: marca-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares
ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de
classe.
Cada valor da variável é marcado por um segmento de reta vertical e de comprimento proporcional à
respectiva frequência.
Também podemos representar a distribuição de frequência pelo gráfico da frequência acumulada, o
qual se apresentará com pontos de descontinuidade nos valores observado da variável.
Curvas de frequência – Curva polida
Os dados coletados pertencem a uma amostra extraída de uma população, podemos imaginar as
amostras tornando-se cada vez mais amplas e a amplitude das classes ficando cada vez menor, o que
nos permite concluir que a linha poligonal (contorno do polígono de frequência) tende a se transformar
em uma curva, mostrando de forma mais clara a verdadeira natureza da distribuição da população.
O polígono de frequência nos dá a imagem real do fenômeno e a curva de frequência nos dá a
tendência.
Após traçado o polígono de frequência é necessário que façamos muitas vezes um polimento,
acrescendo ao mesmo mais dados para que ele se torne uma curva. Tal polimento consiste na eliminação
dos vértices da linha poligonal. Conseguimos com isso o emprego de uma fórmula bastante simples, que
a partir das frequências reais, podemos obter novas frequências, também chamadas de frequências
calculadas, localizadas nos pontos médios (como o polígono de frequência).
A fórmula que nos dá a frequência calculada (fci):
Onde:
fci → frequência calculada da classe considerada;
fi → frequência simples da classe considerada;
f i -1 → é a frequência simples da classe anterior à classe considerada;
f i + 1 → é a frequência simples da classe posterior à classe considerada;
Exemplo:
Vamos pegar a tabela de distribuição de frequência das estaturas dos alunos da 6ª serie de uma
escola:

. 194
Vamos agora aplicar a fórmula, para calcularmos as novas frequências acumuladas:
Montando a tabela com os novos valores de frequência acumulada, temos:
Montando o gráfico da curva temos:

. 195
- Formas das curvas de frequência
As curvas assumem as seguintes caraterísticas:
1) Curva em forma de sino: caracterizam- se pelo fato de apresentar um valor máximo na região
central.
Alguns exemplos que utilizam forma de sino são peso de adultos, inteligência medida em testes, entre
outros. Elas podem ser:
Simétrica: apresentam valor máximo no ponto central e os pontos equidistantes desse ponto terem a
mesma frequência.
Assimétrica: na prática não encontramos distribuição perfeitamente simétrica, elas são mais ou menos
assimétricas, em relação a frequência máxima. Assim as curvas apresentam caudas de um lado ou de
outro. Sendo que se a cauda ficar mais alongada a direita a curva é chamada de assimétrica positiva
ou enviesada à direita, ou se for alongada a esquerda é chamada de assimétrica negativa ou
enviesada à esquerda, como mostra a figura abaixo.
2) Curvas em forma de jota: são relativas a distribuição extremamente assimétricas, caracterizadas
por apresentar o ponto de ordenada máxima em uma das extremidades.
Alguns exemplos são os dos fenômenos econômicos e financeiros.
3) Curvas em U: caracterizadas por apresentar ordenadas máximas em ambas as extremidades.
Um exemplo é a curva da mortalidade por idade.

. 196
4) Distribuição retangular: este tipo é muito raro, apresenta todas as classes com a mesma frequência.
Essa distribuição seria representada por um histograma em que todas as colunas teriam a mesma altura
ou por um polígono de frequência reduzido a um segmento de reta horizontal.
MEDIA ARITMÉTICA
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os
elementos de A.
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o
resultado da operação citada seja o mesmo diz – se, por definição, que x será a média dos elementos de
A relativa a essa operação.
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética.
- Cálculo da média aritmética
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por
definição:
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus
elementos, dividida pelo número de elementos n.
Exemplos:
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13.
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5
elementos, dividida por 5. Assim:
𝑥 =
3 + 4 + 6 + 9 + 13
5
↔ 𝑥 =
35
5
↔ 𝑥 = 7
A média aritmética é 7.
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguro estão indicados a seguir:
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65

. 197
Se somarmos todos os valores teremos:
𝑥 =
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65
15
=
1075
15
= 71,70
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de turistas foi de R$ 71,70.
Questões
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer
Gráfico – VUNESP) Na festa de seu aniversário em 2014, todos os sete filhos de João estavam
presentes. A idade de João nessa ocasião representava 2 vezes a média aritmética da idade de seus
filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a idade de João valia
(A) 1,5.
(B) 2,0.
(C) 2,5.
(D) 3,0.
(E) 3,5.
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os censos populacionais produzem informações
que permitem conhecer a distribuição territorial e as principais características das pessoas e dos
domicílios, acompanhar sua evolução ao longo do tempo, e planejar adequadamente o uso sustentável
dos recursos, sendo imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de
investimento. Constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos
municípios e em seus recortes internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanos – cujas
realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários para serem conhecidas.
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.shtm
(Acesso dia 29/08/2011)
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a distribuição entre homens e mulheres no território
brasileiro. A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira disponibilizada pelo IBGE.
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php
(Acesso dia 29/08/2011)
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de homens e mulheres, por faixa etária de uma
determinada cidade. (Dados aproximados)
Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e com base no quadro abaixo a
frequência relativa, dos homens, da classe [30, 34] é:
(A) 64%.
(B) 35%.
(C) 25%.
(D) 29%.
(E) 30%.

. 198
03. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as Áreas – EB) Em uma turma a média
aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos
homens é 6. Se o número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o número total
de alunos da turma é
(A) 4.
(B) 8.
(C) 12.
(D) 16.
(E) 20.
04. (SAP/SP - Oficial Administrativo – VUNESP) A altura média, em metros, dos cinco ocupantes de
um carro era y. Quando dois deles, cujas alturas somavam 3,45 m, saíram do carro, a altura média dos
que permaneceram passou a ser 1,8 m que, em relação à média original y, é
(A) 3 cm maior.
(B) 2 cm maior.
(C) igual.
(D) 2 cm menor.
(E) 3 cm menor.
05. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma empresa com 5 funcionários, a soma dos
dois menores salários é R$ 4.000,00, e a soma dos três maiores salários é R$ 12.000,00. Excluindo-se o
menor e o maior desses cinco salários, a média dos 3 restantes é R$ 3.000,00, podendo-se concluir que
a média aritmética entre o menor e o maior desses salários é igual a
(A) R$ 3.500,00.
(B) R$ 3.400,00.
(C) R$ 3.050,00.
(D) R$ 2.800,00.
(E) R$ 2.500,00.
Respostas
01. Resposta: E.
Foi dado que: J = 2.M
𝐽 =
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
7
= 2. 𝑀 ( I )
Foi pedido:
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
= ?
Na equação ( I ), temos que:
7 =
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
7
2
=
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝑀
𝑎 + 𝑏 + ⋯ + 𝑔
𝑀
= 3,5
02. Resposta: E.
[30, 34] = 600, somatória de todos os homens é: 300+400+600+500+200= 2000
600
300+400+600+500+200
=
600
2000
= 0,3 . (100) = 30%
03. Resposta: D.
Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h = homens).

. 199
A média da turma é 7,5, sendo S a soma das notas:
𝑆
𝑚+ℎ
= 7,5 → 𝑆 = 7,5(𝑚 + ℎ)
A média das mulheres é 8, sendo S1 a soma das notas:
𝑆1
𝑚
= 8 → 𝑆1 = 8𝑚
A média dos homens é 6, sendo S2 a soma das notas:
𝑆2
ℎ
= 6 → 𝑆2 = 6ℎ
Somando as notas dos homens e das mulheres:
S1 + S2 = S
8m + 6h = 7,5(m + h)
8m + 6h = 7,5m + 7,5h
8m – 7,5m = 7,5h – 6h
0,5m =1,5h
𝑚 =
1,5ℎ
0,5
𝑚 = 3ℎ
h + 8 = 3h
8 = 3h – h
8 = 2h → h = 4
m = 4 + 8 = 12
Total de alunos = 12 + 4 = 16
04. Resposta: A.
Sendo S a soma das alturas e y a média, temos:
𝑆
5
= 𝑦 → S = 5y
𝑆−3,45
3
= 1,8 → S – 3,45 = 1,8.3
S – 3,45 = 5,4
S = 5,4 + 3,45
S = 8,85, então:
5y = 8,85
y = 8,85 : 5 = 1,77
1,80 – 1,77 = 0,03 m = 3 cm a mais.
05. Resposta: A.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
x1 + x2 = 4000
x3 + x4 + x5 = 12000
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4
3
= 3000
x2 + x3 + x4 = 9000
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 4000 + 12000 = 16000
Sendo 𝑥1 𝑒 𝑥5 o menor e o maior salário, respectivamente:
𝑥1 + 9000 + 𝑥5 = 16000
𝑥1 + 𝑥5 = 16000 − 9000 = 7000
Então, a média aritmética:
𝑥1 + 𝑥2
2
=
7000
2
= 3500

. 200
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um
“determinado peso” é chamada média aritmética ponderada.
- Cálculo da média aritmética ponderada
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com
“pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição:
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então 𝑥 =
𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; …; 𝑥 𝑛
𝑛
: que é a média aritmética simples.
A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos
de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.
Exemplos:
1) Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5,
respectivamente.
Se x for a média aritmética ponderada, então:
𝑥 =
2 .35 + 3 .20 + 5 .10
2 + 3 + 5
↔ 𝑥 =
70 + 60 + 50
10
↔ 𝑥 =
180
10
↔ 𝑥 = 18
A média aritmética ponderada é 18.
2) Em um dia de pesca nos rios do pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes
capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado em Campo Grande.
Tipo de peixe Quilo de peixe pescado Preço por quilo
Peixe A 18 R$ 3,00
Peixe B 10 R$ 5,00
Peixe C 6 R$ 9,00
Vamos determinar o preço médio do quilograma do peixe vendido pelos pescadores ao supermercado.
Considerando que a variável em estudo é o preço do quilo do peixe e fazendo a leitura da tabela,
concluímos que foram pescados 18 kg de peixe ao valor unitário de R$ 3,00, 10 kg de peixe ao valor
unitário de R$ 5,00 e 6 kg de peixe ao valor de R$ 9,00.
Vamos chamar o preço médio de p:
𝑝 =
18𝑥3,00 + 10𝑥5,00 + 6𝑥9,00
18 + 10 + 6
=
54 + 50 + 54
34
=
158
34
= 4,65 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Neste caso o fator de ponderação foi a quantidade de peixes capturadas de cada espécie.
A palavra média, sem especificações (aritmética ou ponderada), deve ser entendida como média
aritmética.

. 201
Questões
01. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de densidade 800 g/l será misturado a um líquido L2
de densidade 900 g/l Tal mistura será homogênea e terá a proporção de 3 partes de L1 para cada 5 partes
de L2 A densidade da mistura final, em g/l, será
(A) 861,5.
(B) 862.
(C) 862,5.
(D) 863.
02. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o movimento diário, um atacadista, que
vende à vista e a prazo, montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia com
o respectivo prazo, em dias, para que o pagamento seja efetuado.
PORCENTUAL DO
FATURAMENTO
PRAZO PARA
PAGAMENTO (DIAS)
15% À vista
20% 30
35% 60
20% 90
10% 120
O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas nesse dia, é igual a
(A) 75.
(B) 67.
(C) 60.
(D) 57.
(E) 55.
03. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Uma loja de roupas de malha vende camisetas
com malha de três qualidades. Cada camiseta de malha comum custa R$15,00, de malha superior custa
R$24,00 e de malha especial custa R$30,00. Certo mês, a loja vendeu 180 camisetas de malha comum,
150 de malha superior e 70 de malha especial. O preço médio, em reais, da venda de uma camiseta foi
de:
(A) 20.
(B) 20,5.
(C) 21.
(D) 21,5.
(E) 11.
04. (CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP – Programador de Computador –
FIP) A média semestral de um curso é dada pela média ponderada de três provas com peso igual a 1
na primeira prova, peso 2 na segunda prova e peso 3 na terceira. Qual a média de um aluno que tirou
8,0 na primeira, 6,5 na segunda e 9,0 na terceira?
(A) 7,0
(B) 8,0
(C) 7,8
(D) 8,4
(E) 7,2
05. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática
– FUNCAB) A tabela abaixo mostra os valores mensais do Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU)
pagos pelos apartamentos de um condomínio. Determine a média aritmética desses valores.
Número de Apartamentos Valor de IPTU Pago
5 R$ 180,00
5 R$ 200,00
10 R$ 220,00
10 R$ 240,00
4 R$ 300,00
6 R$ 400,00

. 202
(A) R$ 248,50
(B) R$ 252,50
(C) R$ 255,50
(D) R$ 205,50
(E) R$ 202,50
06. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP) Em uma
seção de uma empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários mensais, segundo os cargos
que ocupam, é a seguinte:
Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1.490,00, pode-se concluir que o salário
de cada um dos dois gerentes é de
(A) R$ 2.900,00.
(B) R$ 4.200,00.
(C) R$ 2.100,00.
(D) R$ 1.900,00.
(E) R$ 3.400,00.
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Em um concurso existem provas de
Português, Matemática, Informática e Conhecimentos Específicos, com pesos respectivos 2, 3, 1 e 4. Um
candidato obteve as seguintes notas nas provas de Português, Matemática e Informática:
Disciplina Nota
Português 77
Matemática 62
Informática 72
Se a nota do candidato no concurso foi 80, qual foi a sua nota na prova de Conhecimentos Específicos?
(A) 95
(B) 96
(C) 97
(D) 98
(E) 99
08. (VUNESP – FUNDUNESP – Assistente Administrativo) Um concurso teve duas fases, e, em
cada uma delas, os candidatos foram avaliados com notas que variaram de zero a dez. Para efeito de
classificação, foram consideradas as médias ponderadas de cada candidato, uma vez que os pesos da
1.ª e da 2.ª fases foram 2 e 3, respectivamente. Se um candidato tirou 8 na 1.ª fase e 5 na 2.ª, então é
verdade que sua média ponderada foi
(A) 6,2.
(B) 6,5.
(C) 6,8.
(D) 7,1.
(E) 7,4.
09. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) A tabela mostra os valores de algumas latinhas de
bebidas vendidas em um clube e a quantidade consumida por uma família, em certo dia.
Bebidas (latinha) Valor unitário Quantidade Consumida
Refrigerante R$ 4,00 8
Suco R$ 5,00 6
Cerveja X 4

. 203
Considerando-se o número total de latinhas consumidas por essa família nesse dia, na média, o preço
de uma latinha saiu por R$ 5,00. Então, o preço de uma latinha de cerveja era
(A) R$ 5,00.
(B) R$ 5,50.
(C) R$ 6,00.
(D) R$ 6,50.
(E) R$ 7,00.
10. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP) Em um edifício residencial, 14
unidades pagam uma taxa mensal de condomínio no valor de 930 reais. Para as 28 unidades restantes,
que são menores, a taxa mensal de condomínio também é menor. Sabendo-se que o valor médio da taxa
mensal de condomínio, nesse edifício, é de 750 reais, é correto afirmar que o valor em reais que cada
unidade menor paga mensalmente de condomínio é igual a
(A) 600.
(B) 620.
(C) 660.
(D) 700.
(E) 710.
Respostas
01. Resposta: C.
3.800+5.900
3+5
=
2400+4500
8
=
6900
8
= 862,5
02. Resposta: D.
Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual pelo prazo e dividimos pela soma dos
porcentuais.
15.0+20.30+35.60+20.90+10.120
15+20+35+20+10
=
=
600+2100+1800+1200
100
=
=
5700
100
= 57
03. Resposta: C.
Também média aritmética ponderada.
180.15+150.24+70.30
180+150+70
=
=
2700+3600+2100
400
=
=
8400
400
= 21
04. Resposta: B.
Na média ponderada multiplicamos o peso da prova pela sua nota e dividimos pela soma de todos os
pesos, assim temos:
𝑀𝑃 =
8.1 + 6,5.2 + 9.3
1 + 2 + 3
=
8 + 13 + 27
6
=
48
6
= 8,0
05. Resposta: B.
𝑀 =
5.180 + 5.200 + 10.220 + 10.240 + 4.300 + 6.400
5 + 5 + 10 + 10 + 4 + 6
=
10100
40
= 252,50

. 204
06. Resposta: C.
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
1490 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
2𝑥 + 13600 + 12000 = 29800
2𝑥 = 4200
𝑥 = 2100
Cada um dos gerentes recebem R$ 2100,00
07. Resposta: C.
2.77 + 3.62 + 1.72 + 4. 𝑥
2 + 3 + 1 + 4
= 80
412 + 4. 𝑥
10
= 80
4x + 412 = 80 . 10
4x = 800 – 412
x = 388 / 4
x = 97
08. Resposta: A.
𝑀 𝑝 =
2.8 + 3.5
2 + 3
=
16 + 15
5
=
31
5
= 6,2
09. Resposta: E.
8.4 + 6.5 + 4. 𝑥
8 + 6 + 4
= 5
62 + 4. 𝑥
18
= 5
4.x = 90 – 62
x = 28 / 4
x = R$ 7,00
10. Resposta: C.
𝟏𝟒 . 𝟗𝟑𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟏𝟒 + 2𝟖
= 𝟕𝟓𝟎
𝟏𝟑𝟎𝟐𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟒𝟐
= 𝟕𝟓𝟎
13020 + 28.x = 42 . 750
28.x = 31500 – 13020
x = 18480 / 28
x = R$ 660,00

. 205
MEDIDAS DE POSIÇÃO – CENTRALIDADE
As medidas de posição visam localizar com maior facilidade onde está a maior concentração de valores
de uma dada distribuição, podendo estar ela no início, meio ou fim; e também se esta distribuição está
sendo feita de forma igual.
As medidas de posição mais importantes são as de tendência central, as quais destacamos aqui:
- Média (veremos aqui para dados agrupados)
- Moda;
- Mediana.
E temos ainda as medidas de posição denominadas separatrizes, que englobam:
- a própria mediana
- os quartis;
- os percentis.
MÉDIA ARITMÉTICA (𝒙̅)
A média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles.
Anteriormente tratamos a média para dados não agrupados, agora veremos para dados agrupados.
1) Sem intervalo de classe: considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, e
tomando como variável o número de filhos do sexo masculino, teremos a seguinte tabela:
Nº de meninos fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
∑ = 34
As frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam
como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada por:
𝒙̅ =
𝚺𝒙𝒊 𝒇𝒊
𝚺𝒇𝒊
O método mais prático de resolvermos é adicionarmos mais uma coluna para obtenção da média
ponderada:
Nº de meninos fi xi.fi
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
∑ = 34 ∑ = 78
Aplicando a fórmula temos:
𝑥̅ =
Σ𝑥𝑖 𝑓𝑖
Σ𝑓𝑖
=
78
34
= 2,29 → 𝑥̅ = 2,3 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑜𝑠
Nota: quando a variável apresenta um valor 2 meninos, 3 décimos de meninos, como devemos
interpretar o resultado? Como o valor médio 2,3 meninos sugere (para este caso) que o maior número de
famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo uma tendência geral, certa superioridade numérica em relação
ao número de meninos.

. 206
2) Com intervalos de classe: convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado
intervalo de classe coincidam com seu ponto médio. Determinamos a média ponderada através da
fórmula:
𝑥̅ =
Σ𝑥𝑖 𝑓𝑖
Σ𝑓𝑖
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑖 é 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒.
Exemplo:
i Estaturas (cm) fi
1 150 ├ 154 4
2 154 ├ 158 9
3 158 ├ 162 11
4 162 ├ 166 8
5 166 ├ 170 5
6 170 ├ 174 3
∑ = 40
Vamos abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os produtos:
i Estaturas (cm) fi xi xi.fi
1 150 ├ 154 4 152 608
2 154 ├ 158 9 156 1404
3 158 ├ 162 11 160 1760
4 162 ├ 166 8 164 1312
5 166 ├ 170 5 168 840
6 170 ├ 174 3 172 516
∑ = 40 ∑ = 6440
∑xifi = 6440, ∑fi = 40 e 𝑥̅ =
Σ𝑥 𝑖 𝑓𝑖
Σ𝑓𝑖
Aplicando:
𝑥̅ =
6440
40
= 161 → 𝑥̅ = 161 𝑐𝑚
Vantagens e desvantagens da média
1. É uma medida de tendência central que, por uniformizar os valores de um conjunto de
dados, não representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas.
2. Não necessariamente tem existência real, isto é, nem sempre é um valor que faça parte
do conjunto de dados, para bem representá-lo, embora pertença obrigatoriamente ao intervalo
entre o maior e o menor valor.
3. É facilmente calculada.
4. Serve para compararmos conjuntos semelhantes.
MODA (Mo)
A moda é o valor que aparece com maior frequência em uma série de valores. Podemos dizer é o
valor que “está na moda”.
- Para dados não agrupados: ela é facilmente reconhecida, pois observamos o valor que mais se
repete, como dito na definição.
Exemplo:
A série: 7,8,9,10,11, 11, 12, 13, 14 tem moda igual a 10.
Observações:
- Quando uma série não apresenta valor modal, ou seja, quando nenhum valor aparece com
frequência, dizemos que ela é AMODAL.

. 207
- Quando uma série tiver mais de um valor modal, dizemos que é BIMODAL (dois valores modas),
TRIMODAL, etc.
- Para dados agrupados
1) Sem intervalo de classe: para determinarmos a moda basta observamos a variável com maior
frequência. Vejamos o exemplo:
Nº de meninos fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
∑ = 34
Observamos que a maior frequência(fi) é 12, que corresponde ao valor de variável 3, logo: Mo = 3
2) Com intervalo de classe: a classe que apresenta maior frequência é denominada classe modal. A
moda é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais
simples para o cálculo é tomar o ponto médio da classe modal. A este valor damos o nome de moda
bruta.
𝑴𝒐 =
𝒍 ∗ +𝑳 ∗
𝟐
Onde:
l* → limite inferior da classe modal
L* → limite superior da classe modal
Exemplo:
i Estaturas (cm) fi
1 150 ├ 154 4
2 154 ├ 158 9
3 158 ├ 162 11
4 162 ├ 166 8
5 166 ├ 170 5
6 170 ├ 174 3
∑ = 40
Observe que a classe com maior frequência é a de i = 3, nela temos que l* = 158 e o L* = 162, aplicando
na fórmula:
𝑀𝑜 =
𝑙 ∗ +𝐿 ∗
2
=
158 + 162
2
=
320
2
= 160, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑀𝑜 = 160𝑐𝑚
Existem ainda outros métodos mais elaborados para encontramos a moda, um deles seria a fórmula
de Czuber, onde:
𝑴𝒐 = 𝒍 ∗ +
𝑫 𝟏
𝑫 𝟏 + 𝑫 𝟐
. 𝒉 ∗
Onde temos:
l*→ limite inferior da classe modal
h* → amplitude da classe modal
D1 → f* - f(ant)
D2 → f* - f(post)
f*→ frequência simples da classe modal
f(ant)→ frequência simples da classe anterior à classe modal
f(post) → frequência simples da classe posterior à classe modal.

. 208
Aplicando a fórmula ao exemplo anterior temos:
𝑀𝑜 = 𝑙 ∗ +
𝐷1
𝐷1 + 𝐷2
. ℎ ∗= 158 +
11 − 9
(11 − 9) + (11 − 8)
. (162 − 158) = 158 +
2
2 + 3
. 4
𝑀𝑜 = 158 +
8
5
= 158 + 1,6 = 159,6 ≅ 160 𝑐𝑚
Gráficos da moda
Observe que a moda é o valor correspondente, no eixo das abcissas, ao ponto de ordenada máxima.
Assim temos:
A moda é utilizada:
- Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
- Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
Vantagens e Desvantagens da Moda
1) Não depende de todos os valores da série, nem de sua ordenação, podendo mesmo não se alterar
com a modificação de alguns deles.
2) Não é influenciada por valores extremos (grandes) da série.
3) Sempre tem existência real, ou seja, sempre é representada por um elemento do conjunto de
dados, excetuando o caso de classes de frequências, quando trabalhamos com subconjuntos (dados
agrupados) e não com cada elemento isoladamente.

. 209
MEDIANA (Md)
Como o próprio nome sugere, a mediana é o valor que se encontra no centro de uma série de
números, estando estes dispostos segundo uma ordem. É o valor situado de tal forma no conjunto
que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
- Para dados não agrupados: para identificarmos a mediana, precisamos ordenar os dados
(crescente ou decrescente) dos valores, para depois identificarmos o valor central. Exemplo:
Dada a série de valores:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, vamos ordenar os valores em ordem crescente:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16,18; como temos uma sequência de 9 números precisamos identificar aquele
que divide o conjunto em 2 subconjuntos com a mesma quantidade de elementos. Neste caso o valor é
10, pois temos a mesma quantidade de elementos tanto a esquerda quanto a direita:
Md = 10
Neste caso como a série tem número ímpar de termos, ficou fácil identificarmos a mediana. Porém se
a série tiver número par, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre dois
valores centrais desta série, ao qual utilizaremos o ponto médio entre as duas. Exemplo:
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 (8 termos), vamos utilizar os valores mais centrais que neste caso são o 4º
e o 5º termo. Então a mediana será:
𝑀𝑑 =
10 + 12
2
=
22
2
= 11
Observações: estando ordenado os valores de uma série e sendo n o número de elementos desta
série, o valor mediano será:
- o termo de ordem
𝑛+1
2
, se n for ímpar;
- a média aritmética dos termos de ordem
𝑛
2
𝑒
𝑛
2
+ 1, se n for par.
Observando os exemplos dados:
- Para n = 9, temos
𝑛+1
2
=
9+1
2
=
10
2
= 5, a mediana é o 5º temo, que é Md = 10.
- Para n = 8, temos 8/2 = 4 e 8/2 + 1 = 4 + 1 = 5. Logo a mediana é a média aritmética do 4º e 5º termo:
10 + 12 / 2 = 22 / 2 = 11 → Md = 11
Notas:
- O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Se for ímpar há
coincidência, se for par já não há;
- A mediana e a média aritmética não têm necessariamente, o mesmo valor;
- A mediana depende da posição dos elementos e não dos valores dos elementos na
série ordenada. Essa é uma diferença marcante entre mediana e a média;
- A mediana também pode ser chamada de valor mediano.
- Para dados agrupados: o cálculo da mediana se processa de modo semelhante ao dos dados não
agrupados, implicando na determinação prévia das frequências acumuladas.
1) Sem intervalo de classe: neste caso basta identificarmos a frequência acumulada imediatamente
superior à metade da soma da frequências. A mediana será o valor da variável que corresponde a tal
frequência acumulada. Exemplo:
Nº de meninos fi Fa
0 2 2
1 6 8
2 10 18

. 210
3 12 30
4 4 34
∑ = 34
Logo teremos:
Σfi
2
=
34
2
= 17, a menor frequência acumulada que supera este valor é 18, que corresponder ao valor 2
da variável, sendo esta a mediana ou valor mediano. Md = 2 meninos.
Nota:
- Caso exista uma frequência acumulada (Fa ou Fi), tal que: 𝐹𝑖 =
Σfi
2
, a mediana será dada por:
𝑀𝑑 =
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
2
Ou seja, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa frequência
acumulada e a seguinte. Exemplo:
xi fi Fi
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
∑ = 8
Temos: 8/2 = 4 = F3
Então:
𝑀𝑑 =
15 + 16
2
=
31
2
= 15,5
1) Com intervalo de classe: precisamos, neste caso, determinar o ponto do intervalo em que está
compreendido a mediana. Para tal, precisamos determinar a classe mediana, que será aquela
correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a
Σfi
2
. Fazendo isso podemos interpolar
os dados (inserção de uma quantidade de valores entre dois números), admitindo-se que os valores se
distribuam uniformemente em todo o intervalo de classe. Exemplo:
i Estaturas (cm) fi Fi
1 150 ├ 154 4 4
2 154 ├ 158 9 13
3 158 ├ 162 11 24
4 162 ├ 166 8 32
5 166 ├ 170 5 37
6 170 ├ 174 3 40
∑ = 40
A classe destaca é a classe mediana. Temos que:
Σfi
2
=
40
2
= 20
Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes de distribuição e como pretendemos
determinar o valor que ocupa o 20º lugar, a partir do início da série, vemos que este deve estar localizado
na terceira classe (i = 3), supondo que as frequências dessa classe estejam uniformemente distribuídas.
Como existe 11 elementos nesta classe (fi) e o intervalo da classe (i) é 4, devemos tomar, a partir do
limite inferior, a distância:
20 − 13
11
. 4 =
7
11
. 4, 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑀𝑑 = 158 +
7
11
. 4 = 158 +
28
11
= 158 + 2,54 = 160,5 𝑐𝑚
Em resumo aplicamos os seguintes passos:
1º - Determinamos as frequências acumuladas;
2º - Calculamos ∑fi / 2;
3º - Marcamos a classe corresponde à frequência acumulada imediatamente superior a ∑fi / 2 (classe
mediana) e após isso aplicamos a fórmula:

. 211
𝑴𝒅 = 𝒍 ∗ +
[
𝚺𝒇𝒊
𝟐 − 𝑭(𝒂𝒏𝒕)] . 𝒉 ∗
𝒇 ∗
Onde:
l* → limite inferior da classe mediana;
F (ant) → frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
f* → frequência simples da classe mediana;
h* → amplitude do intervalo da classe mediana.
Baseado no exemplo anterior temos:
l* = 158 ; F(ant) = 13 ; f* = 11 e h* = 4
Empregamos a mediana quando:
- Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
- Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
- A variável em estudo é salário.
Vantagens e Desvantagens da Mediana
1) Não depende de todos os valores do conjunto de dados, podendo mesmo não se
alterar com a modificação.
2) Não é influenciada por valores extremos (grandes) do conjunto de dados.
3) Quando há valores repetidos, a interpretação do valor mediano não é tão simples.
Posição relativa da Média, Mediana e Moda
Quando a distribuição é simétrica, as 3 medidas coincidem; porém a assimetria torna elas diferentes e
essa diferença é tanto maior quanto é a assimetria. Com isso teremos um distribuição em forma de sino:
x̅ = Md = Mo → curva simétrica
Mo < Md < x̅ → curva assimétrica positiva;
x̅ < Md < Mo → curva assimétrica negativa.

. 212
Questões
01. (TRT-8ª – Analista Judiciário – CESPE/2016) Com relação à definição das medidas de tendência
central e de variabilidade dos dados em uma estatística, assinale a opção correta.
(A) A moda representa o centro da distribuição, é o valor que divide a amostra ao meio.
(B) A amplitude total, ou range, é uma medida de tendência central pouco afetada pelos valores
extremos.
(C) A mediana é o valor que ocorre mais vezes, frequentemente em grandes amostras.
(D) A variância da amostra representa uma medida de dispersão obtida pelo cálculo da raiz quadrada
positiva do valor do desvio padrão dessa amostra.
(E) A média aritmética representa o somatório de todas as observações dividido pelo número de
observações.
02. (Pref. Fortaleza/CE – Matemática – Pref. Fortaleza/CE – 2016) A medida estatística que separa
as metades superior e inferior dos dados amostrados de uma população é chamada de:
(A) mediana.
(B) média.
(C) bissetriz.
(D) moda.
03. (SSP/AM – Técnico de Nível Superior – FGV/2015) A sequência a seguir mostra o número de
gols marcados pelo funcionário Ronaldão nos nove últimos jogos disputados pelo time da empresa onde
ele trabalha:
2, 3, 1, 3, 0, 2, 0, 3, 1.
Sobre a média, a mediana e a moda desses valores é verdade que:
(A) média < mediana < moda;
(B) média < moda < mediana;
(C) moda < média < mediana;
(D) mediana < moda < média;
(E) mediana < média < moda.
04. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática
– FUNCAB) Determine a mediana do conjunto de valores (10, 11, 12, 11, 9, 8, 10, 11, 10, 12).
(A) 8,5
(B) 9
(C) 10,5
(D) 11,5
(E) 10
05. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) As massas de 5 amigos
são 63,5; 70,3; 82,2; 59 e 71,5 quilogramas. A média e a mediana das massas são, respectivamente:
(A) 69,3 e 70,3 quilogramas.
(B) 172,25 e 82,2 quilogramas.
(C) 69,3 e 82,2 quilogramas.
(D) 172, 70,3 quilogramas.
06. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) O gráfico apresenta informações sobre o
número médio de anos de estudo da população brasileira, com base na Pesquisa Nacional por Amostra
de Domicílios de 2011, publicado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

. 213
Com base nas informações do gráfico, é verdade que
(A) o número de homens com estudo é menor que o número de mulheres com estudo, nos anos de
2009 e 2011.
(B) de 2009 para 2011 houve um aumento no número de homens com estudo.
(C) em 2010, a média de anos de estudo das mulheres era de 7,4 anos.
(D) em 2009, a média de anos de estudos das mulheres era de exatos 7 anos e 3 meses.
(E) a média de anos de estudo das mulheres não ultrapassou a 5 meses a dos homens, nos anos de
2009 e 2011.
07. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Um concurso é composto por três fases,
com pesos 1, 2 e 3, respectivamente. Pedro ficou sabendo que na 1.ª fase desse concurso sua nota foi
7,0 e que na 2.ª fase sua nota foi 4,0.
Sabendo-se que para ser aprovado a média aritmética ponderada final tem que ser, no mínimo, 5, que
as notas apresentadas ainda não estão multiplicadas pelos respectivos fatores, e que em cada fase as
notas variam de zero a dez, pode-se afirmar corretamente que
(A) não há como Pedro ser aprovado no concurso.
(B) Pedro já está aprovado no concurso, independentemente da nota que tirar na 3.ª fase.
(C) se Pedro tirar 5,0 ou mais na 3.ª fase, então ele estará aprovado no concurso.
(D) Pedro precisa tirar, no mínimo, 7,0 na 3.ª fase, para ser aprovado no concurso.
(E) tirando 4,0, Pedro estará aprovado no concurso.
08. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) A tabela a seguir apresenta o índice de desenvolvimento
humano (IDH) de alguns países da América Latina referente ao ano 2012.
Países IDH
Argentina 0,811
Bolívia 0,645
Brasil 0,730
Chile 0,819
Colômbia 0,719
Cuba 0,780
México 0,775
Uruguai 0,792
Venezuela 0,758
Disponível em: <http://www.abinee.org.br/abinee/decon/decon55a.htm>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado).
Dentre os países listados, aquele cujo IDH representa a mediana dos dados apresentados é:
(A) Brasil
(B) Colômbia
(C) México
(D) Venezuela

. 214
09. (QC – Segundo Tenente – Ciências Contábeis – MB) Analise a tabela a seguir.
Classe Velocidade (em nós) Tempo(h)
1 0 |------- 5 1
2 5 |------ 10 7
3 10 |------ 15 15
4 15 |------ 20 9
5 20 |------ 25 3
6 25 |------ 30 2
Dos registros de navegação de um determinado navio, foi obtido o quadro acima.
Após análise dos registros, determine a média das velocidades do navio na série observada e assinale
a opção correta.
(A) 13,43 nós
(B) 13,92 nós
(C) 14,12 nós
(D) 14,69 nós
(E) 15,26 nós
10. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Considere o conjunto de dados abaixo,
referente ao salário médio dos funcionários de uma empresa.
O valor da Mediana é:
(A) 1240
(B) 1500
(C) 1360
(D) 1600
(E) 1420
Respostas
01.Resposta: E.
Pela definições apresentadas a única que responde de forma correta a questão é sobre a média.
02. Resposta: A.
Pela definição temos que esta medida é a Mediana.
03.Resposta: A.
Reordenando temos:
0,0,1,1,2,2,3,3,3
Fica evidente o valor da moda, Mo = 3
A mediana é o meio, como é uma sequência com 9 números temos: n+1/2 → 9 +1 / 2 → 10/2 → 5,
logo a mediana será o 5º termo, então Md = 2
A média é a somatória de todos os valores, dividido pela quantidade 1+1+2+2+3+3+3 = 15, 15/9 = 1,66
Logo: média < mediana < moda
04. Resposta: C.
Coloquemos os valores em ordem crescente:
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12

. 215
Como a Mediana é o elemento que se encontra no meio dos valores colocados em ordem crescente,
temos que:
𝑀 =
10 + 11
2
=
21
2
= 10,5
05. Resposta: A.
A média é: 𝑀 =
63,5+70,3+82,2 + 59+71,5
5
=
346,5
5
= 69,3
Para verificar a mediana, basta colocar os valores em ordem crescente e verificar o elemento que se
encontra no meio deles:
59 63,5 70,3 71,5 82,2
06. Resposta: E.
Média das mulheres:
7,3+7,5
2
=
14,8
2
= 7,4 anos = 7,4 . 12 = 88,8 meses
Média dos homens:
7+7,1
2
=
14,1
2
= 7,05 anos = 7,05 . 12 = 84,6 meses
Assim, 88,8 – 84,6 = 4,2 meses
07. Resposta: C.
Pesos 1, 2 e 3, respectivamente. Pedro ficou sabendo que na 1.ª fase desse concurso sua nota foi 7,0
e que na 2.ª fase sua nota foi 4,0.
Sabendo-se que para ser aprovado a média aritmética ponderada final tem que ser, no mínimo, 5
𝑀 =
1.7 + 2.4 + 3. 𝑥
1 + 2 + 3
= 5
15 + 3. 𝑥
6
= 5
15 + 3𝑥 = 6 . 5
3𝑥 = 30 − 15
𝑥 =
15
3
= 5
08. Resposta: C.
Vamos colocar os números em ordem crescente:
0,645 0,719 0,730 0,758 0,775 0,780 0,792 0,811 0,819
O número que se encontra no meio é 0,775 (México).
09. Resposta: C.
Vamos calcular a média de cada classe:
* Classe 1: (0 + 5) / 2 = 5 / 2 = 2,5
2,5 . 1 = 2,5
* Classe 2: (5 + 10) / 2 = 15 / 2 = 7,5
7,5 . 7 = 52,5
* Classe 3: (10 + 15) / 2 = 25 / 2 = 12,5
12,5 . 15 = 187,5
* Classe 4: (15 + 20) / 2 = 35 / 2 = 17,5
17,5 . 9 = 157,5
* Classe 5: (20 + 25) / 2 = 45 / 2 = 22,5
22,5 . 3 = 67,5
* Classe 6: (25 + 30) / 2 = 55 / 2 = 27,5
27,5 . 2 = 55
* Soma das médias = 522,5
* Total de horas = 37h. Por final: 522,5 / 37 = 14,12

. 216
10. Resposta: C.
Colocando na ordem crescente:
1100;1200;1210;1250;1300;1420;1450;1500;1600;1980
A mediana é o número que se encontra no meio. Nesse caso que tem 10 números(par) é a média do
5º e 6º números:
1300 + 1420
2
=
2720
2
= 1360
Referências
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções
CABRAL, Luiz Claudio; NUNES, Mauro César – Matemática básica explicada passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002.
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.
IESDE BRASIL S/A (imagens)
ROCHA, Enrique – Raciocínio lógico para concursos: você consegue aprender: teoria e questões – Niterói: Impetus – 2010.
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 18ª edição – São Paulo - Editora Saraiva: 2002
SILVA, Ermes Medeiros, Elio Medeiros...- Estatística para os cursos de: Economia, Administração, Ciências Contábeis - 3ª edição – São
Paulo – Editora Atlas S. A: 1999
SILVA, Ermes Medeiros, Elio Medeiros...- Estatística para os cursos de: Economia, Administração, Ciências Contábeis - 3ª edição – São
Paulo – Editora Atlas S. A: 1999.
DORA, Filho U – Introdução à Bioestatística para simples mortais – São Paulo – Elsevier: 1999.
http://www.andremachado.org
https://www.infoenem.com.br
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br

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