1ª lista (1)
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1. O documento apresenta 20 questões de cálculo envolvendo limites, continuidade e derivadas. As questões abordam cálculo de limites, existência de limites laterais, interpretação de resultados, propriedades de funções contínuas e deriváveis. 2. Nas questões iniciais são apresentados cálculos de limites simples e limites envolvendo raízes e frações. As questões subsequentes abordam continuidade, existência de limites, interpretação física de resultados e propriedades de funções trigonométricas e expon
![UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DMA - Departamento de Matem´atica
Disciplina: C´alculo I
Lista - Limites e continuidades; Derivada - 2014.1
Prof. Alex Victor
Quest˜ao 1. Calcule os limites:
(a) limx→1
3
√
x−1√
x−1
(b) limx→3
3
√
x− 3
√
3
x−3 (c)limx→8
√
2+ 3
√
x−2
x−8
(d)limx→1
4
√
x−1
5
√
x−1
(e)limx→1
x3
−4x+3
x5−2x+1 (f)limx→−2
x4
+2x3
−5x2
−12x−4
2x4+7x3+2x2−12x−8
Quest˜ao 2. Calcule os limites:
(a) limx→1
xm
−1
xn−1 , onde n, m s˜ao n´umeros inteiros.
(b) limx→a
xm
−am
xn−an , onde n, m s˜ao n´umeros inteiros.
(c) limx→a
x
√
x−a
√
a√
x−
√
a
, onde a > 0.
(d) limx→a
m
√
x− m
√
a
n
√
x− n
√
a
, onde m, n s˜ao n´umeros inteiros e se m ou n ´e par ent˜ao
a > 0.
Quest˜ao 3. Existe um n´umero a tal que
limx→−2
3x2
+ ax + a + 3
x2 + ax − 2
exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Quest˜ao 4. Seja a fun¸c˜ao f(x) = [[x]] = (o maior n´umero inteiro que ´e
menor ou igual a x).
Considere agora a fun¸c˜ao g(x) = f(x) + f(−x) = [[x]] + [[−x]], mostre que
limx→2g(x) existe mas ´e diferente de g(2).
Quest˜ao 5. Calcule os limites laterais se existir:
(a) limh→0+
√
h2+4h+5−
√
5
h .
(b) limx→−2+
(x+3)|x+2|
x+2 .
(c) limx→−2−
(x+3)|x+2|
x+2 .](https://image.slidesharecdn.com/1lista1-140505154913-phpapp01/85/1-lista-1-1-320.jpg)
1ª lista (1)
- 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE DMA - Departamento de Matem´atica Disciplina: C´alculo I Lista - Limites e continuidades; Derivada - 2014.1 Prof. Alex Victor Quest˜ao 1. Calcule os limites: (a) limx→1 3 √ x−1√ x−1 (b) limx→3 3 √ x− 3 √ 3 x−3 (c)limx→8 √ 2+ 3 √ x−2 x−8 (d)limx→1 4 √ x−1 5 √ x−1 (e)limx→1 x3 −4x+3 x5−2x+1 (f)limx→−2 x4 +2x3 −5x2 −12x−4 2x4+7x3+2x2−12x−8 Quest˜ao 2. Calcule os limites: (a) limx→1 xm −1 xn−1 , onde n, m s˜ao n´umeros inteiros. (b) limx→a xm −am xn−an , onde n, m s˜ao n´umeros inteiros. (c) limx→a x √ x−a √ a√ x− √ a , onde a > 0. (d) limx→a m √ x− m √ a n √ x− n √ a , onde m, n s˜ao n´umeros inteiros e se m ou n ´e par ent˜ao a > 0. Quest˜ao 3. Existe um n´umero a tal que limx→−2 3x2 + ax + a + 3 x2 + ax − 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite. Quest˜ao 4. Seja a fun¸c˜ao f(x) = [[x]] = (o maior n´umero inteiro que ´e menor ou igual a x). Considere agora a fun¸c˜ao g(x) = f(x) + f(−x) = [[x]] + [[−x]], mostre que limx→2g(x) existe mas ´e diferente de g(2). Quest˜ao 5. Calcule os limites laterais se existir: (a) limh→0+ √ h2+4h+5− √ 5 h . (b) limx→−2+ (x+3)|x+2| x+2 . (c) limx→−2− (x+3)|x+2| x+2 .
- 2. Quest˜ao 6. Na Teoria da Relatividade a F´ormula de Contra¸c˜ao de Lo- rentz, L = L0 1 − v2 c2 expressa o comprimento L de um objeto como uma fun¸c˜ao de sua veloci- dade v em rela¸c˜ao de um observador, onde L0 ´e o comprimento do objeto no repouso e c ´e a velocidade da luz. Encontre limv→c−L e interprete o resultado. Porque ´e necess´ario o limite a esquerda? Quest˜ao 7. Prove que limx→0+ √ xesen(π x ) = 0. Quest˜ao 8. Demonstre que a fun¸c˜ao f(x) = x4 sen(1 x), se x = 0, 0, se x = 0. ´e cont´ınua em (−∞, ∞) Quest˜ao 9. Encontre os valores de a e b que tornam f cont´ınua em (−∞, ∞) f(x) = x2 −4 x−2 , se x < 2, ax2 − bx + 3, se 2 ≤ x < 3 2x − a + b, sex ≥ 3 Quest˜ao 10. A acelera¸c˜ao devida a gravidade G varia com a altitude em rela¸c˜ao `a superf´ıcie terrestre. G ´e fun¸c˜ao de r (a distˆancia at´e ao centro da terra) e, ´e dada por: G(r) = gMr R3 , se r < R, gM r2 , se r ≥ R. , onde R ´e o raio da Terra, M a massa da Terra e g a constante gravitaci- onal. Verifique se G ´e cont´ınua. Quest˜ao 11. Encontre as ass´ıntotas verticais e horizontais das fun¸c˜oes abaixo: (a) y = 1 x−1 (b) y = 2x2 +x−1 x2−1 (c) y = x+4 x+3 (d) y = x x2−1 2
- 3. Quest˜ao 12. Calcule os seguintes limites: (a) limx→−∞(1 3)x (b) limx→13 4x5−2x3+2x 2x3−x+1 (c) limx→π 6 2senx (d) limx→0+ ln 2x Quest˜ao 13. Mostre que: (a) limx→0(1 + 3x) 4 x = e12 (b) limx→0(1 + 2x) 1 x = e2 (c) limx→0(1 + 4x 7 ) 1 x = e 4 7 (d) limx→0(1 + x π ) 1 x = e 1 π (e) limx→0(1 − x) 1 x = e−1 Quest˜ao 14. Calcule os seguintes limites: (a) limn→∞(1 + 1 n)n+2 (b) limn→∞(1 + 3 n)n (c) limx→∞( x 1+x)x (d) limx→∞(1 + 5 x)x+1 (e) limx→π(1 + senx) 1 senx Quest˜ao 15. Determine o limite das fun¸c˜oes trigonom´etricas, se existirem: (a) limθ→0( θ cos θ) (b) limx→π 2 cos x x−π 2 (c) limx→π(senx−senπ x−π ) (d) limt→0 sen(3t) 2t (e) limx→0 sen(2x) sen(3x) (f) limx→0 tan2 (x) x (g) limx→π− sen(t) t−π Quest˜ao 16. Prove que a equa¸c˜ao tem pelo menos uma raiz real √ x − 5 = 1 x + 3 . 3
- 4. Quest˜ao 17. Existe um n´umero que ´e exatamente um a mais que seu cubo? Quest˜ao 18. Encontre limx→∞f(x) se 4x − 1 x < f(x) < 4x2 + 3x x2 para todo x > 5. Quest˜ao 19. Seja f(x) = 3 √ x. (a) Se a = 0, encontre f (a) (b) Mostre que f (0) n˜ao existe. Quest˜ao 20. Encontre uma fun¸c˜ao f e um n´umero a tais que limh→0 (2 + h)6 − 64 h = f (a). Quest˜ao 21. Uma fun¸c˜ao f ´e dita par se f(−x) = f(x) para todo x e dita ´ımpar se f(−x) = −f(x) para todo x. Use a defini¸c˜ao de derivada para Mostrar que; (a) A derivada de uma fun¸c˜ao par ´e um fun¸c˜ao ´ımpar. (b) A derivada de uma fun¸c˜ao ´ımpar ´e uma fun¸c˜ao par. Respostas e algumas sugest˜oes: Quest˜ao 1 (a) 2 3 (b) 1 3 3 √ 9 (c) 1 48 (d) 5 4 (e) − 1 3 (f) 7 8 Quest˜ao 2 (a) m n (b) m n am−n (c) 3a (d) n· mn √ an−m m Quest˜ao 3 a = 15 e o limite ´e igual a −1. 4
- 5. Quest˜ao 4 Lembre-se que o limite existe se, e somente se, os limites laterais existem e s˜ao iguais. Quest˜ao 5 (a) 2√ 5 (b) 1 (c) − 1 Quest˜ao 6 L = 0. Quest˜ao 7 Lembre-se que −1 ≤ senx ≤ 1, para todo x, e use o Teorema do Confronto. Quest˜ao 8 Note que a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua para todo x = 0 (porque?). Depois analise a continudade em x = 0. Quest˜ao 9 a = b = 1 2 Quest˜ao 10 G ´e cont´ınua. Quest˜ao 11 (a) horizontal: y = 0 vertical: x = 1 (b) horizontal: y = 2 vertical: x = 1 (c) horizontal: y = 1 vertical: x = −3 Quest˜ao 12 (a) + ∞ (b) 6 (c) √ 2 (d) − ∞ Quest˜ao 14 (a) e (b) e3 (c) e−1 5
- 6. (d) e5 (e) e Quest˜ao 15 (a) 0 (b) 1 (c) − 1 (d) 3 2 (e) 2 3 (f) 0 (g) − 1 Quest˜ao 16 Use o Teorema do Valor Intermedi´ario. Quest˜ao 17 Comece chamando o n´umero desconhecido de x, e tente interpretar a quest˜ao como uma equa¸c˜ao envolvendo x. Quest˜ao 18 Use o Teorema do Confronto. Quest˜ao 19 f (a) = 1 3a 2 3 , a = 0. Quest˜ao 20 Compare com a defini¸c˜ao de derivada. 6