10052014
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A ceramista Bia planeja fazer uma placa retangular de 50 cm x 45 cm após o cozimento. Sabe que durante o processo a argila sofre uma contração média de 12% em comprimento e largura. Para obter essas medidas finais, as dimensões iniciais da placa de argila devem ser de 56,81 cm x 51,13 cm. A área foi reduzida em aproximadamente 22% com o cozimento.
![Gabarito 10/05
Turma 1
1)Numa PG crescente, com 5 termos, a5 = 810 e a3 = 90. Escreva essa PG:
Em uma PG:
a5 = 810
a3 = 90
a1 . q^4 = 810(II)
a1 . q² = 90 (II)
a1 . q^4/a1 . q² = 810/90
q² = 9, mas a PG é crescente logo q = 3
como q = 3, temos:
a1 . q² = 90
a1 . 3² = 90
a1 . q = 90
a1 = 10
PG (10, 30, 90, 270, 810), pois a1 = 10 e q = 3
R: PG (10, 30, 90, 270, 810)
2)Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.
Primeiro temos que saber qual o primeiro termo e o último que são :
51 e 297 , porque tem que ser maior que 50 e menos que 300
E depois a quantidade de termos :
An=a1+(n-1)r
297=3+(n-1)3
297-3=3n-3
294+3=3n
297=3n
n=297/3
n=83
Agora podemos calcular a soma de todos
Sn=[n(a1+an)]/2
Sn=[83(51+297]/2
Sn=[83(348)]/2](https://image.slidesharecdn.com/10052014-140726102113-phpapp02/85/10052014-1-320.jpg)
![a4 = a¹ . q^(4 - 1)
a4 = a¹ . q³
54 = 2 . q³ ==> apenas invertendo a igualdade
2 q³ = 54
q³ = 54/2
q³ = 27
q = raiz cúbica de 27 ==> fatorando o 27 acharemos 27 = 3³
q = raiz cubica de 3³
q = 3
achamos a razão que é 3
agora aplicaremos a mesma formula para achar a5
an = a¹ . q^(n - 1)
a5 = 2 . 3^(5 - 1)
a5 = 2 . 3^4 ==> OBS.: 3^4 = 3 . 3 . 3 . 3 . = 81
a5 = 2 . 81
a5 = 162
R: 5º termo é 162
5. Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira
adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor
de cada parcela deve ser acrescida de R$60,00 ou R$125,00, respectivamente.
Com base nessas informações, conclui-se que n é igual á:
(X) a- 13
( ) b- 14
( ) c- 15
( ) d- 16
( ) e- 17
Chamando de x o valor da geladeira, podemos representar cada parcela como a
divisão de x pela quantidade de parcelas. Assim, se n é quantidade de parcelas, o
valor de cada parcela será x/n.
Segundo o enunciado, se pagarmos 3 parcelas á menos, ou seja, n-3 parcelas, o
valor de cada parcela será acrescido de R$60,00, ou seja, x/n + 60. Com isso
podemos chegar a seguinte igualdade:
x/(n-3)= x/n + 60
O mesmo podemos dizer sobre quando paga-se 5 parcelas á menos: pagando n-5
parcelas, o valor de cada parcela será acrescido de R$125,00, ou seja, x/n + 125. O
que nos leva á uma segunda igualdade.
x/(n-5)= x/n + 125
Dessa forma, seguimos simplificando a primeira igualdade:
x/(n-3)= x/n + 60
[x/(n-3)]. (n² - 3.n)= x/n. (n² - 3.n) + 60. (n² - 3.n)](https://image.slidesharecdn.com/10052014-140726102113-phpapp02/85/10052014-3-320.jpg)
10052014
- 1. Gabarito 10/05 Turma 1 1)Numa PG crescente, com 5 termos, a5 = 810 e a3 = 90. Escreva essa PG: Em uma PG: a5 = 810 a3 = 90 a1 . q^4 = 810(II) a1 . q² = 90 (II) a1 . q^4/a1 . q² = 810/90 q² = 9, mas a PG é crescente logo q = 3 como q = 3, temos: a1 . q² = 90 a1 . 3² = 90 a1 . q = 90 a1 = 10 PG (10, 30, 90, 270, 810), pois a1 = 10 e q = 3 R: PG (10, 30, 90, 270, 810) 2)Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300. Primeiro temos que saber qual o primeiro termo e o último que são : 51 e 297 , porque tem que ser maior que 50 e menos que 300 E depois a quantidade de termos : An=a1+(n-1)r 297=3+(n-1)3 297-3=3n-3 294+3=3n 297=3n n=297/3 n=83 Agora podemos calcular a soma de todos Sn=[n(a1+an)]/2 Sn=[83(51+297]/2 Sn=[83(348)]/2
- 2. Sn=28884/2 Sn=14442 Resposta:A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300 é 14442 Exercício 3 Numa progressão geométrica a diferença entre o 2° e o 1° termos é 9, e a diferença entre o 5° e o 4° é 576. O 1° termo da progressão é : a)3 b)4 c)6 O primeiro termo da progressão é 3 (alternativa A) d)8 e)9 a2 - a1 = 9 (os dados que temos) a5 - a4 = 576 a1q - a1 = 9 -> a1(q-1) = 9 a4q - a4 = 576 -> a4(q-1) = 576 9/a1 = 576/a4 9 a1q³ = 576 a1 q³ = 576/9 = 64 q = 4 a2 - a1 = 9 4a1 - a1 = 9 3a1 = 9 a1=9/3 a1 = 3 4)Em uma PG, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54. O quinto termo dessa PG é: a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486 Primeiramente devemos achar a razão da PG Formula da razão da PG an = a¹ . q^(n - 1) OBS => O simbolo "^" significa elevado Então se:
- 3. a4 = a¹ . q^(4 - 1) a4 = a¹ . q³ 54 = 2 . q³ ==> apenas invertendo a igualdade 2 q³ = 54 q³ = 54/2 q³ = 27 q = raiz cúbica de 27 ==> fatorando o 27 acharemos 27 = 3³ q = raiz cubica de 3³ q = 3 achamos a razão que é 3 agora aplicaremos a mesma formula para achar a5 an = a¹ . q^(n - 1) a5 = 2 . 3^(5 - 1) a5 = 2 . 3^4 ==> OBS.: 3^4 = 3 . 3 . 3 . 3 . = 81 a5 = 2 . 81 a5 = 162 R: 5º termo é 162 5. Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescida de R$60,00 ou R$125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que n é igual á: (X) a- 13 ( ) b- 14 ( ) c- 15 ( ) d- 16 ( ) e- 17 Chamando de x o valor da geladeira, podemos representar cada parcela como a divisão de x pela quantidade de parcelas. Assim, se n é quantidade de parcelas, o valor de cada parcela será x/n. Segundo o enunciado, se pagarmos 3 parcelas á menos, ou seja, n-3 parcelas, o valor de cada parcela será acrescido de R$60,00, ou seja, x/n + 60. Com isso podemos chegar a seguinte igualdade: x/(n-3)= x/n + 60 O mesmo podemos dizer sobre quando paga-se 5 parcelas á menos: pagando n-5 parcelas, o valor de cada parcela será acrescido de R$125,00, ou seja, x/n + 125. O que nos leva á uma segunda igualdade. x/(n-5)= x/n + 125 Dessa forma, seguimos simplificando a primeira igualdade: x/(n-3)= x/n + 60 [x/(n-3)]. (n² - 3.n)= x/n. (n² - 3.n) + 60. (n² - 3.n)
- 4. x.n= x.(n - 3) + 60.(n² - 3.n) x.n= x.n - 3.x + 60.n² - 180.n 3.x= 60.n² - 180.n x= (60.n² - 180.n)/3 x= 20.n² - 60.n Encontramos o valor da geladeira em função do número de parcelas. Agora, podemos pegar a segunda igualdade que encontramos no início da resolução e substituir o valor de x que acabamos de encontrar. Fazendo isso, chegaremos á uma igualdade com apenas uma incógnita, o que nos possibilita encontrar o valor numérico dessa incógnita. x/(n-5)= x/n + 125 (20.n² - 60.n)/(n-5)= (20.n² - 60.n)/n + 125 Vamos simplificando: (20.n² - 60.n)/(n-5)= (20.n² - 60.n)/n + 125 (20.n² - 60.n)/(n-5)= 20.n - 60 + 125 (20.n² - 60.n)/(n-5)= 20.n + 65 20.n² - 60.n= (20.n + 65).(n-5) 20.n² - 60.n= 20.n² + 65.n -100.n -325 20.n² - 60.n= 20.n² -35.n -325 -60.n= -35.n -325 -60.n + 35.n= -325 -25.n= -325 n= -325/-25 n= 13 Dessa maneira, conseguimos chegar ao valor numérico de n. Sendo n a representação do número de parcelas, encontramos a informação que o enunciado pediu. Concluímos que a resposta é 13, alternativa a. turma 2 1)Resolva: ((2x+1)(5x+2))/2=5x²-11 x=-24 9 Resolução: ((2x+1)(5x+2))/2=5x²-11
- 5. (10x²+4x+5x+2) = 5x²-11 (multiplica em cruz pois tem uma igualdade) 2 1 10x²+9x+2=10x²-22 10x²-10x²+9x=-22-2 9x=-24 x= -24 9 2)Complete as expressões para que sejam trinômios quadrados perfeitos:a) y² - 14y + □ b) 9x² + 6x + □ c) □ + 6y + 1 d) 36y² + □ + 1 e) x² + □ + 81 f) a²x² + abx + □ a) y² -14y+ □= ↓ ↓ ↓ √y² -14:2 □= (y-7)²= y²-14y+49 b) 9x² + 6x + □= ↓ ↓ ↓ √9x² 6x:2 □= (3x+1)²= 9x²+6x+1 c) □ + 6y + 1= ↓ ↓ ↓ □ 6y:2 1 = (3y+1)²= 9y²+6y+1 d)36y² + □ + 1 = ↓ ↓ ↓ √36y² □ +1= (6y+1)² = 36y²+12y+1 e)x² + □ + 81= ↓ ↓ ↓ √x² □ √81= (x+9)²= x²+18x+81 f)a²x² + abx + □ = ↓ ↓ ↓ √a²x² abx:ax □= (ax+ b)²= a²x²+abx+ b² 2 4
- 6. 3)Uma área de 0,2 km² é igual à área de um retângulo com lados de: * a) 20 m e 100 m b) 20 m e 1 000 m c) 200 m e 100 m d) 2000 m e 1000 m e) 200 m e 1 000 m Primeiramente devemos transformar todas as alternativas em quilômetro (km) a) 20 m e 100 m=(20 e 100)/1000=0,02 e 0,1 b) 20 m e 1 000 m=(20 e 1000)/1000=0,02 e 1 c) 200 m e 100 m=(200 e 100)/1000=0,2 e 0,1 d) 2000 m e 1000 m=(2000 e 1000)/1000=2 e 1 e) 200 m e 1 000 m(200 e 1000)/1000=0,2 e 1 Depois de transforma-los em km devemos multiplica-los para chegar ao resultado de 0,2 km²(h.b=0,2 km²) a) 20 m e 100 m=(20 e 100)/1000=0,02 e 0,1 = 0,02 . 0,1=0,002 km² b) 20 m e 1 000 m=(20 e 1000)/1000=0,02 e 1=0,02 . 1=0,02 km² c) 200 m e 100 m=(200 e 100)/1000=0,2 e 0,1=0,2 . 0,1=0,02 km² d) 2000 m e 1000 m=(2000 e 1000)/1000=2 e 1=2 . 1 =2 km² e) 200 m e 1 000 m(200 e 1000)/1000=0,2 e 1= 0,2 . 1=0,2 km² A alternativa E é a única que esta correta,pois com a a multiplicação da base e da altura (no caso os dados da alternativa E) obtivemos a área determinada pelo exercício que foi de 0,2 km² 4)Na figura, a área do quadrado externo mede 49 cm². A medida x é: Observe a imagem acima. a) 0,5 cm b) 1,0 cm
- 7. c) 1,2 cm d) 1,5 cm e) 2,5 cm Resolução: Resolução 1: Sabemos que a área do quadrado externo mede 49cm². Se é um quadrado, seus lados possuem medidas iguais, logo, devemos calcular a raíz quadrada de 49, resultando em 7. A medida do lado do quadrado externo é: 2x+4=7 2x=7-4 2x=3 x= 3 2 x=1,5cm Resolução 2: Podemos também resolver por equação de 2º grau: O lado do quadrado é 2x+4, se é área, a fórmula é l.l=l²=> (2x+4).(2x+4)=49 4x²+8x+8x+16=49 4x²+16x+16-49=0 4x²+16x -33=0 a=4 b=16 c=-33 Δ=b²-4.a.c Δ=16²-4.4.(-33) Δ=256+528 Δ=784 x=-b±√Δ 2.a x=-16±√784 2.4 x=-16±28 8 xI=-16+28= 12 =1,5 8 8 x2=-16-28= -44= -5,5 8 8 (não nos serve pois como é medida, não existe negativo)
- 8. Logo, a medida de x é 1,5cm 5)Cinco atletas resolveram realizar uma corrida. Sabe-se que Ricardo chegou depois de Cléber. Filipe e Nélson chegaram juntos. Paschoal chegou antes de Cléber. O atleta que ganhou chegou sozinho. Quem ganhou a corrida foi: a) Filipe b) Cléber c) Nélson d) Ricardo e) Paschoal O enunciado diz que o atleta que ganhou chegou sozinho, então só pode ser Ricado, Cléber e Paschoal. Se Ricardo chegou depois que Cléber, ele já foi eliminado. E Paschoal chegou antes de Cléber, ou seja, ele ganhou. Turma 3 1) Bia é ceramista e sabe que , no processo de cozimento a argila sofre contração. Ela planeja fazer uma placa retangular que , após o cozimento , tenha 50 cm x 45 cm e sabe que , na contração , em média , o comprimento e a largura da placa reduzem 12%. a)Quais devem ser as dimensões das placas de argila antes do cozimento ? b)Compare as áreas da placa , antes e depois do cozimento. De quanto por cento a área foi reduzida? a) Dividimos 50 por 88(pois 50 é 88% do comprimento da argila , porque os 12% já foram encolhidos) para saber quanto vale 1% do comprimento da argila , depois multiplicamos por 100 para descobrir o tamanho do comprimento da argila antes do cozimento. 50 : 88 = ,568181... 0,568181 . 100 = 56,81... cm Para encontrarmos a largura da argila antes do cozimento dividimos 45 por 88 e multiplicar por 100. 45 : 88 = 0,5113636... 0,5113636 . 100 = 51,13... b) Primeiro calculamos a área que é comprimento vezes largura.
- 9. antes : 56,81 . 51,13 = 2904,6953 cm² depois: 50 . 45 = 2250 cm² Dividimos a segunda área pela primeira área. 2250 : 2904,6953 = 0,77... A área reduzida foi 23%. 2)Qual é a medida de cada ângulo interno de um polígono regular de 20 lados ? Para descobrir a medida,utilizamos uma fórmula : 180.(20-2) = 3240:20 = 162 A medida de cada ângulo é de 162°. 3)CONSIDERE AS SEGUINTES AFIRMAÇÕES:I)OS PARALELOGRAMAS TÊM UM CENTRO DE SIMETRIA.II)OS QUADRADOS TÊM UM CENTRO DE SIMETRIA.III)QUALQUER QUADRILÁTERO TEM UM CENTRO DE SIMETRIA.DESSAS AFIRMAÇÕES,SÃO VERDADEIRAS: A)APENAS A I B)AS TRÊS C)APENAS A I E A II D)APENAS A I E A III E)APENAS A II RESOLUÇÃO: A LETRA CERTA É C,I E A II POIS SABEMOS QUE OS PARALELOGRAMAS TÊM MESMO UM CENTRO DE SIMETRIA E OS QUADRADOS TÊM MESMO UM CENTRO DE SIMETRIA.E NÃO SERIA A III POIS NÃO SÃO QUALQUER QUADRILÁTERO QUE TEM UM CENTRO DE SIMETRIA. 4-Escrevendo-se 2,5.10 ⁴ por extenso,obtêm-se : A)Dois mil e quinhentos B) Vinte e cinco mil C)Dois milhões e meio D)Vinte e cinco milhões E)Duzentos e cinquenta milhões Alternativa B,pois a base é 10 e o expoente é positivo,então basta adicionar três 0 depois da virgula,formando 25.000.
- 10. 5)Dos números abaixo, aquele que mais se aproxima de valor de √30 é: * o a) 4,8 o b) 5,3 o c) 5,4 o d) 5,6 o e) 5,7 fatoramos o 30 temos 30| 2 15| 3 5 |5 1 | o que nos dá 2 x 3 x 5 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ o
- 11. Turma 5 1)Diga qual é o mmc de: a)3, 4 e 5 b)2, 5 e 10 c)2, 5 e 8. a) 3,4,5 2 b) 2,5,10 2 c) 2,5,8 2 3,2,5 2 1,5,5 5 1,5,4 2 3,1,5 3 1,1,1 1,5,2 2 1,1,5 5 1,5,1 5 1,1,1 1,1,1 2.2.3.5=60 2.5=10 2x2x2x5=40 Resp. a) mmc 3,4,5=60 b) mmc 2,5,10=10 c) mmc 2,5,8=40 2)a)Pensei num número. Ele é múltiplo de 7 e de 11. Só com essas informações, você consegue descobrir em que número pensei? Explique a resposta. b) E se eu lhe disser, ainda, que ele tem apenas dois algarismos? Você descobre qual é o número? Explique. * R: A) não porque pode ser qualquer numero. B) Sim. O número é 77 pois o menor múltiplo comum de 11 e 7 é 77 os outros números mesmo podendo ser múltiplo comum de 11 e 7 será com mais de 2 algarismos. 3)Observe como, de um número para o seguinte, essa aumenta.Continuando assim , qual deve ser o oitavo número da sequência ? B)72 Fiz assim:Para passar de um número para o outro, ex:2+?=6, os resultados para somar são múltiplos de 2.Fui fazendo testes até chegar ao resultado certo. (resultados que são da soma :4,6,8,10,12,14,16. Sequência: 2 , 6 , 12 , 20,30,42,56,72 4)Uma torta de morangos dividida em pedaços iguais, foi colocada a venda em uma confeitaria.Em meia hora ,3/4 da torta já haviam sido vendidos,restando apenas 6 pedaços.Em quantos pedaços a torta foi dividida? C)24
- 12. pensei que 3/4=12 e 1/4 é=4 pois 3.4=12 , 4.1=4 .Assim fui dividindo os valores pelo tanto de pedaços que sobram da torta (6 pedaços).Dividi 24/6 que deu resto 0 e quociente 4. Como 3/4 da torta já haviam sido vendidos , encontrei o outro 1/4 que ainda sobrava da torta 5)Qual é a sentença verdadeira? A)2,01=2 inteiros e 1/100 Fiz assim:Contei a quantidade de 0 .Deram 2 , então sabia que o tanto de casas depois da vírgula seria 2.Assim fiz 0,01 depois acrescentei o inteiro o 2 .