Remember 11
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1) O documento apresenta questões sobre matemática, incluindo geometria, álgebra e estatística. 2) As questões envolvem triângulos, relógios, porcentagens, equações e gráficos de funções. 3) A maioria das questões tem como solução uma das alternativas fornecidas, indicando tratar-se de um teste ou prova.
![a) 56 b) -56 c) 14 d) -56 e) 0 23. O raio R de uma caixa cilíndrica mede 8 cm
Sol. ( D ) e a altura H, 3. O volume V = πR²H deve
Usando a fórmula do termo Geral no aumentar de igual quantidade positiva quando R
desenvolvimento do Binômio de Newton temos: aumenta de x cm e quando H aumenta de x cm.
Binômio: (x + a)n Esta condição é satisfeita:
n− p p n a) por nenhum valor de x b) um valor inteiro
Fórmula Termo Geral: T p+1 = x a .
p de x c) um valor racional, mas não inteiro de x
d) um valor irracional de x e) dois valores
onde: n = 8; 1ºtermo= x = 2-1.x2; a = -2.x-1. reais de x
Usando a F.T.Geral:
8
(
T p+1 = (2 −1.x 2 )8− p . − 2.x −1
p ) p
=> Sol. ( C )
Usando a fórmula do volume com os dados do
8 problema que volume V = πR²H deve aumentar
T p +1 = (2) −8+ p .(−2) p .x16−3 p
p de igual quantidade positiva quando R aumenta
de x cm e quando H aumenta de x cm, temos:
π (R + x)² H = π R² ( H + x) =>
Para cálculo de p fazemos x7 = x16-3p => p = 3. R²H + 2RHx + H x² = R²H + R² x (como x ≠ 0 )
8 1
Então: T3+1 = .2 −5.( −8).x 7 = 56. .( −8).x 7
R ² − 2 RH
3 32 2RH + H x = R² => x = =>
H
=> T 4 = -14 x7
Para R = 8 e H = 3 temos:
21. A diagonal de um quadrado I é a + b. O 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 3 64 − 48 16
x= = = .
perímetro do quadrado II cuja área é o dobro da 3 3 3
área de I é: 24. Se log 2x 216 = x, onde x é um valor real,
a) (a + b)² b) a 2 (a + b)² c) 2 (a + b) então x é:
d) d 8 (a + b) e) 4 (a + b) a) um número inteiro, não quadrado nem cubo de
outro inteiro b) um número racional, não
Sol. ( E ) quadrado, não cubo, não inteiro c) um número
i) Cálculo do quadrado de L I (lado quadr. I): irracional d) um quadrado perfeito e) um
Temos que sua diagonal = LI 2 = a + b cubo perfeito.
(quadrando a igualdade) => ( LI ) ² = (a + b)²/2.
Sol. ( A )
ii) Cálculo de LII (lado quadr. II): Aplicaremos a definição de logaritmos na
Temos que Área II = 2. Área II =>. equação dada e em seguida as equações
( LII) ² = 2.( LI) ² = 2. [(a + b)²/2] = (a + b)² exponenciais, vejamos:
=> LII = a + b. log 2x 216 = x => (2x) x = 216 = 2³.3³ = (2.3)³
=> x = 3.
iii) Daí então o perímetro do quadrado II = 4. L II
= 4. (a+b). 25. Sejam m e n dois números ímpares
quaisquer, com n < m. O maior inteiro que
22. A igualdade (x + m)² - (x + n)² = (m – n)², divide todos os números possíveis da forma m² -
onde m e n são constantes não nulas distintas, é n² é:
satisfeita por x = am + bn onde: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16
a) a = 0, b tem um único valor não nulo.
b) a = 0, b tem dois valores não nulos. Sol. ( D )
c) b = 0, a tem um único valor não nulo. {m, n} { Números ímpares, onde n < m.
d) b = 0, a tem dois valores não nulos. Fazendo m = 2r + 1 e n = 2s + 1 onde {r e s} =
e) a e b tem cada um, valores não nulos e 1; 2; . . . temos:
distintos. m ² - n² = (m + n) (m – n) = (2r + 1 +v2s + 1)(2r
+ 1 – 2r – 1) = 2.( r + s + 1).2.(r – s) =
Sol ( A ) = 4 (r - s) ( r + s + 1), que é um número divisível
Operando os quadrados e eliminando os por 4. Vamos ainda analisar que:
parênteses, temos: i) Sendo r e s ambos pares ou ímpares
x² + 2mx + m² - x² - 2nx – n² = m² - 2mn + n² a) r – s é divisível por 2
que operando os termos semelhantes: x = - n. b) r + s + 1 não é divisível por 2.
Como x = am + bn => a = o e b = - 1.
ii) Se r e s é um par e outro ímpar:
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- 1. Temos então um eqüilátero de lado 4 cm, pois REMEMBER XI se dois ângulos medem 60º o terceiro também Cod_960 (27/04/07) mede 60º. Daí então: Trabalho de pesquisa Prof. Edir Reis Bessa. i) tg 60º = h / 2 => 3 = h / 2 => h = 2 3 ii) Área = (base x altura) / 2 = (4 x 2 3)/2= 4 3 1. Se 2 é uma solução (raiz) de x³ + hx + 10 = 5. O número de pontos distintos comuns aos 0 então o valor de g é igual a: gráficos de x² + y² = 9 e y² = 9 é: a) 10 b) 9 c) 2 d) -2 e) -9 a) infinitos b) 4 c) 2 d) 1 e) 0 Sol. ( E ) Sol. ( C ) Como 2 é raiz => 2³ + 2h + 10 = 0 => h = -9. Trata-se de um problema sobre interseção entre curvas e para determinar possíveis pontos(s) de 2. Um relógio demora 5 segundos para interseção resolve-se o sistema com as equações badaladas indicando que são 6 horas, dadas. Para o caso: começando exatamente às 06h00min horas. x2 + y2 = 9 Se as batidas do relógio são igualmente => x 2 = 0 => x = 0 => y = ±3 espaçadas, qual o tempo em segundos que o y9 = 9 relógio demora a bater as 12 badaladas, indicando meio dia? Temos então os pontos; (0; -3) e (0; 3), ou seja, dois pontos comuns. Sol.( C ) Usaremos o seguinte raciocínio de cálculo: 6. A circunferência de um círculo mede # 2 horas = 2 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.=1s. 100 cm. O lado do quadrado inscrito # 3 horas = 3 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.(1s) nesse círculo é, em cm: IIIBad. = 2s. a) 25 2 / π b) 50 2 / π c) 100/π #4 horas = 4 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.(1s) d) 100 2/π d) 50 2 IIIBad.(1s) IVªBad = 3s. #5 horas = 5 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.(1s) Sol. ( B ) IIIBad.(1s) IVªBad.(1s)VªBad.= 4s. i) Comprimento do círculo = 2π R = 100 => #6 horas = 6 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.(1s) R = 50/π IIIBad.(1s) IVªBad.(1s)VªBad.(1s)VIªBad.= 5s. ii) Diâmetro do círculo = Diagonal do círculo => Temos então a PA (0, 1, 2, 3, . . ). Assim temos que d = 2R = d 2 . L => L = 2R/ 2 = 50 2 / π . calcular o seu a12 (12 horas). a12 = a1 + ( n – 1 )r => a12 = 0 + ( 12 – 1 ).1 = 11 07. O círculo I passa pelo centro do círculo II e Assim às 12 horas temos 11 segundos como tempo tangência o mesmo. A área do círculo I é 4 cm². das badaladas. Então, a área do círculo II em cm², é: a) 8 b) 8 2 c) 8 π d) 16 e) 16 2 3. A diferença entre um desconto de 40% e dois descontos sucessivos de 36% e 4%, Sol. ( D ) sobre uma conta de R$ 10.000,00, é em Área do círculo I: A1 = π r² = 4 => r = 4 π reais: a) 0 b) 144 c) 256 d) 400 e) 416 No círculo II: R = 2r = 2. 4 π Área do círculo II: A2 = π R² = π (2. 4 Sol. ( B ) π )² => Pagarei sobre R$ 10.000,00 com: A2 = 16. Desconto de 40% = D1 = 40% de 10.000 = 4.000. Descontos de 36% de 4% = D2 = 36% de 4% de 08. O número 2,5252525... pode ser escrito na 10.000 = 6144. forma de uma fração. Depois de reduzida aos Logo: D2 – D1 = 6 144 – 4 000 = R$ 144,00. seus menores termos, a soma do numerador e do denominador dessa fração é: 4. Um triângulo tem dois ângulos de 60º cada e a) 7 b) 29 c) 141 d) 349 e) nra o lado entre eles é de 4 cm. A área desse triângulo, em cm², é: Sol. ( D ) a) 8 3 b) 8 c) 4 3 d) 4 e) 2 3 Trata-se de uma dízima periódica simples e temos que determinar sua fração geratriz, então: Sol. ( C ) INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 1 www.colegiocascavelense.com.br Cascavel – Ceará – Brasil.
- 2. 252 − 2 250 2, 52 = = . Sol. ( D ) 99 99 Temos então soma = 250 + 99 = 349. O lugar geométrico é um círculo de raio = a cujo centro é o ponto P fixado (ver figura). a 2 + b 2 − c 2 + 2ab 09. A fração (com as a 2 + c 2 − b 2 + 2ac necessárias restrições a a, b e c) é: a) irredutível b) redutível a -1 c) redutível a o P um polinômio de 3 termos a −b+c d) redutível a a+b−c a+b−c e) redutível a a−b+c 13. A(s) poligonal (ais) formada(s) por y = 3x + 2, e y = - 3x + 2 e y = - 2 (são): Sol. ( E ) a) um triângulo eqüilátero b) um triângulo Aplicaremos regras dos produtos notáveis que isósceles c) um triângulo retângulo são: quadrado de uma soma de dois termos e o d) um triângulo e um trapézio produto de soma por diferença com dois termos. e) um quadrilátero A princípio usaremos os agrupamentos: a 2 + b 2 + 2ab − c 2 (a + b) 2 − c 2 (a + b − c)(a + b + c) Sol. ( B ) = = = a + 2ac + c − b 2 2 2 (a + c) 2 − b 2 (a + c − b)(a + c + b) Representando as retas em um mesmo plano (a + b − c) cartesiano, encontramos três pontos de interseção = . entre elas e assim formamos um triângulo ABC (a − b + c) (veja a seguir). y = 3x + 2 −4 10. Dados os seguintes 6 fatos: (A) => A( ;−2) ( 1 ) todas as mulheres são boas motoristas y = −2 3 ( 2 ) algumas mulheres são boas motoristas ( 3 ) nenhum homem é bom motorista y = −3 x + 2 4 (B) => B ( ;−2) ( 4 ) todos os homens são maus motoristas y=2 3 ( 5 ) ao menos um homem é mau motorista ( 6 ) todos os homens são bons motoristas. y = 3x + 2 Então, a afirmativa que é negação da ( 6 ) é: (C) => C (0;2) a) ( 1 ) b ( 2 ) c) ( 3 ) d) ( 4 ) e) ( 5 ) y = −3 x + 2 Sol. ( E ) Esboço das equações das retas no plano: ( 6 ) = p = todos os homens são bons motoristas y ~ ( 6 ) = ~ p = alguns homens são bons motoristas = ao menos um homem é mau 2 C (0 ; 2 ) motorista = todos os homens são maus motoristas. x y = -2 -2 11. Para certo valor de k, o produto das raízes da A (- 4 / 3 ; - 2 ) B (4 / 4 ; - 2 ) equação x² - 3kx + 2k² - 1 = 0 é 7. As raízes Vamos y = 3 x+ 2 y = -3 x+ 2 dessa equação são: calcular os a) inteiras e positivas b) inteiras e negativas lados do triângulo ABC usando a fórmula da c) racionais, mas não inteiras d) irracionais distância entre dois pontos: e) imaginárias AB = d (A, B) = ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) 2 = Sol. ( D ) = (−4 / 3 − 4 / 3) 2 + (−2 + 2) 2 = 8 / 3 => AB =8/3. Produto das raízes = c/a = x1.x2=(2k² - 1 )/ 1 = 7 => (=2.K – 2) (22.K + 2) = 7 => x 1 = 2.K – 2 e AC = d (A, C) = ( x A − xC ) 2 + ( y A − y C ) 2 = x 2 = 2.K + 2. 4 (−4 / 3 − 0) 2 + (−2 + 2) 2 = 160 / 9 = 10 Temos então duas raízes irracionais. 3 BC = d(B, C) = ( xC − x B ) 2 + ( y C − y B ) 2 = 12. O lugar geométrico dos centros de todos os círculos de um determinado raio a, num mesmo 4 = (−4 / 3 − 0) 2 + (−2 − 2) 2 = 160 / 9 = 10 plano, e que passam por um ponto fixado, é: 3 a) um ponto b) uma reta c) duas retas Como os lados AB = 8/3 e AC = BC = 4/3 C 10 d) um circulo e) dois círculos as poligonais formam um triângulo isósceles. INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 2 www.colegiocascavelense.com.br Cascavel – Ceará – Brasil.
- 3. Então: 800 = 8 . 108 . R -3/2 => R 3/2 = 8.108/8.102 => 14. Se a e b são números reais então a equação R = (106)2/3 => R = 104. 3x – 5 + a = bx + 1 tem uma solução única x: a) para todo a e b b) se a ≠ 2 b c) se a ≠ b 18. O par de equações 3 x + y = 81 e 81 x - y = 3, d) se b ≠ 0 e) se b ≠ 3. tem: a) nenhuma solução comum Sol. ( E ) b) a solução x = y = 2 Temos que {a; b} e determinar x. c) a solução x = 21/2 e y = 1 ½ Então isolando x na equação dada temos: d) uma solução comum em inteiros positivos e −6−a negativos. 3x – 5 + a = b x + 1 => x = . e) n.r. a 3−b Para x ser único +> 3 – b ≠ 0 => b ≠ 3. Sol. ( E ) Temos equações exponenciais do tipo mais 15. Um triângulo I é eqüilátero com lado A, simples. Vamos igualar as bases. perímetro P, área K e raio do círculo circunscrito i) 3 x+y = 81 = 3 4 => x + y = 4 R. O triângulo II é eqüilátero, com lado a, perímetro p, área k e raio do círculo circunscrito ii) 81 x – y = 3 4(x – y) = 3 => x – y = ¼ r. Se A é deferente de a, então: Armando e resolvendo o sistema temos: a) P: p = R: r algumas vezes somente x = 17/8 = 2 1/8 e y = 15/8 = 1 7/8. b) P: p = R: r sempre 19. Considere a equação I: x + y + z = 46 onde x, c) P: p = K: k algumas vezes y e z são inteiros positivos, e a equação II: x + y d) P: p = K: k sempre + z + w = 46, onde x, y, z e w são inteiros e) R: r = K: k algumas vezes positivos. Então: a) I tem como solução nos inteiros consecutivos Sol. ( B ) b) I tem como solução nos inteiros consecutivos Sendo o triângulo I semelhante ao triângulo II é pares possível demonstrar que: c) II tem como solução nos inteiros consecutivos A P R K d) II tem como solução nos inteiros consecutivos = = = sempre. Logo a opção a p r k pares verdadeira é a B. e) II tem como solução nos inteiros consecutivos ímpares. 16. No sistema de numeração de base 5, a contagem é assim feita: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, Sol: ( C ) 14, 20, 21, . . . O número cuja descrição em base Vamos analisar alternativa por alternativa, pois 10 é 69, quando descrito em base 5 torna-se um temos duas equações que podem admitir um número com: número infinito de soluções (Eq. Diofontinas). a) dois dígitos consecutivos a) Fazendo: y = x+1 e z = x + 2 , temos: b) dois dígitos não consecutivos => x + (x + 1) + (x + 2) = 46 => x = 43/3 ∉ Z, c) três dígitos consecutivos logo não satisfaz as condições da alternativa. d) três dígitos não-consecutivos e) quatro dígitos b) Fazendo: y = x+2 e z = x + 4 , temos: => x + (x + 2) + (x + 4) = 46 => x = 40/3 ∉ Z, Sol. ( C ) logo não satisfaz as condições da alternativa. Temos então que, executando a divisão abaixo, a seguinte transformação: 69 = 234 (5) c) Fazendo: y = x+1; z = x + 2 e w = x + 3, 69 5 temos: x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 46 => x = 40/4 = 10; y = 11; z = 12 e w = 13.Satisfaz as 19 13 5 condições da alternativa. ( 4) (3) 2 d) e) Fazendo: y = x + 2; z = x + 4 e w = x + 6, 17. A fórmula N = 8 . 108 . x -3/2 dá, para um certo temos: x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 46 => x grupo, o número de indivíduos cuja renda = 34/4 ∉ Z, logo não satisfaz as condições da ultrapassa x reais. A menor renda, em reais, dentre alternativa. os 800 indivíduos mais ricos, é pelo menos: a) 10 4 b) 10 6 c) 19 8 d) 10 12 e) 10 16. 20. O coeficiente de x7 na expansão de 8 x2 2 Sol. ( A ) − é: 2 x Façamos N = 800 para cálculo da menor renda (R): INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 3 www.colegiocascavelense.com.br Cascavel – Ceará – Brasil.
- 4. a) 56 b) -56 c) 14 d) -56 e) 0 23. O raio R de uma caixa cilíndrica mede 8 cm Sol. ( D ) e a altura H, 3. O volume V = πR²H deve Usando a fórmula do termo Geral no aumentar de igual quantidade positiva quando R desenvolvimento do Binômio de Newton temos: aumenta de x cm e quando H aumenta de x cm. Binômio: (x + a)n Esta condição é satisfeita: n− p p n a) por nenhum valor de x b) um valor inteiro Fórmula Termo Geral: T p+1 = x a . p de x c) um valor racional, mas não inteiro de x d) um valor irracional de x e) dois valores onde: n = 8; 1ºtermo= x = 2-1.x2; a = -2.x-1. reais de x Usando a F.T.Geral: 8 ( T p+1 = (2 −1.x 2 )8− p . − 2.x −1 p ) p => Sol. ( C ) Usando a fórmula do volume com os dados do 8 problema que volume V = πR²H deve aumentar T p +1 = (2) −8+ p .(−2) p .x16−3 p p de igual quantidade positiva quando R aumenta de x cm e quando H aumenta de x cm, temos: π (R + x)² H = π R² ( H + x) => Para cálculo de p fazemos x7 = x16-3p => p = 3. R²H + 2RHx + H x² = R²H + R² x (como x ≠ 0 ) 8 1 Então: T3+1 = .2 −5.( −8).x 7 = 56. .( −8).x 7 R ² − 2 RH 3 32 2RH + H x = R² => x = => H => T 4 = -14 x7 Para R = 8 e H = 3 temos: 21. A diagonal de um quadrado I é a + b. O 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 3 64 − 48 16 x= = = . perímetro do quadrado II cuja área é o dobro da 3 3 3 área de I é: 24. Se log 2x 216 = x, onde x é um valor real, a) (a + b)² b) a 2 (a + b)² c) 2 (a + b) então x é: d) d 8 (a + b) e) 4 (a + b) a) um número inteiro, não quadrado nem cubo de outro inteiro b) um número racional, não Sol. ( E ) quadrado, não cubo, não inteiro c) um número i) Cálculo do quadrado de L I (lado quadr. I): irracional d) um quadrado perfeito e) um Temos que sua diagonal = LI 2 = a + b cubo perfeito. (quadrando a igualdade) => ( LI ) ² = (a + b)²/2. Sol. ( A ) ii) Cálculo de LII (lado quadr. II): Aplicaremos a definição de logaritmos na Temos que Área II = 2. Área II =>. equação dada e em seguida as equações ( LII) ² = 2.( LI) ² = 2. [(a + b)²/2] = (a + b)² exponenciais, vejamos: => LII = a + b. log 2x 216 = x => (2x) x = 216 = 2³.3³ = (2.3)³ => x = 3. iii) Daí então o perímetro do quadrado II = 4. L II = 4. (a+b). 25. Sejam m e n dois números ímpares quaisquer, com n < m. O maior inteiro que 22. A igualdade (x + m)² - (x + n)² = (m – n)², divide todos os números possíveis da forma m² - onde m e n são constantes não nulas distintas, é n² é: satisfeita por x = am + bn onde: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16 a) a = 0, b tem um único valor não nulo. b) a = 0, b tem dois valores não nulos. Sol. ( D ) c) b = 0, a tem um único valor não nulo. {m, n} { Números ímpares, onde n < m. d) b = 0, a tem dois valores não nulos. Fazendo m = 2r + 1 e n = 2s + 1 onde {r e s} = e) a e b tem cada um, valores não nulos e 1; 2; . . . temos: distintos. m ² - n² = (m + n) (m – n) = (2r + 1 +v2s + 1)(2r + 1 – 2r – 1) = 2.( r + s + 1).2.(r – s) = Sol ( A ) = 4 (r - s) ( r + s + 1), que é um número divisível Operando os quadrados e eliminando os por 4. Vamos ainda analisar que: parênteses, temos: i) Sendo r e s ambos pares ou ímpares x² + 2mx + m² - x² - 2nx – n² = m² - 2mn + n² a) r – s é divisível por 2 que operando os termos semelhantes: x = - n. b) r + s + 1 não é divisível por 2. Como x = am + bn => a = o e b = - 1. ii) Se r e s é um par e outro ímpar: INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 4 www.colegiocascavelense.com.br Cascavel – Ceará – Brasil.
- 5. a) r + s + 1 é divisível por 2 29. Cinco vezes o dinheiro de A mais o dinheiro b) r – s não é divisível por 2. de B formam uma quantia maior que Cr$ 51,00. Temos então que m² - n² é divisível por 4 . 2 = 8. Três vezes o dinheiro de A menos o dinheiro de 26. Achar o conjunto de valores x satisfazendo a B são Cr$ 21,00. Se a é a quantidade de dinheiro 5− x de A e se b é a quantidade de dinheiro de B, desigualdade: < 2. 3 então: a) 1 < x < 11 b) -1 < x < 11 c) x < 11 a) a > 9 e b > 6 b) a > 9 e b < 6 d) x > 11 e) x 6 c) a > 9 e b = 6 d) a > 9, mas não há limite para b e) 2 a = 3 b Sol. ( B ) Temos uma inequação modular do tipo x < a => Sol. ( A ) Considerando: quantidade de $ de A = a e a -a < x < a . Então: quantidade de $ de B = b, temos pelos dados do 5− x 5− x < 2. => − 2 < <2 problema: 3 3 i) 5 a + b > 51 e ii) 3 a – b = 21 => b = 3 a – 21 multiplicando por ( 3 ) Substituindo em ( i ) temos: 5 a + 3 a – 21 > 51 => -6 < 5 – x < 6 + (- 5) => -11 < - x < 1 => 8 a > 72 => a > 9 e ainda 3 a > 27. ( iii ). multiplicando por ( -1) Como b = 3 a – 21 => 3 a = b + 21 (iv). => 11> x > -1 => -1 < x < 11. Substituindo ( iv ) e ( iii ) temos: b + 21 > 27 => b > 6. 27. Seja S a soma dos ângulos interiores de um Então temos: a > 9 e b > 6 polígono P para o qual cada ângulo interno é 7 ½ vezes o ângulo interno para um mesmo vértice. 30. Dada a reta 3x + 5y = 15 e um ponto nesta Então: reta eqüidistante dos eixos de coordenadas. Tal a) S = 2660° e P pode ser regular ponto existe em: b) S = 2660° e P não ser regular a) nenhum dos quadrantes c) S = 2660° e P regular b) no 1º quadrante somente d) S = 2660° e P não é regular c) nos 1º e 2º quadrantes somente e) S = 2660° e P pode ser ou não ser regular. d) nos quadrantes 1º, 2º e 3º somente. e) em cada um dos quadrantes. Sol. ( E ) Como cada ângulo interno é 7,5 vezes menor que Sol. ( C ) o ângulo externo correspondente: 15 − 3a S = (7,5).(soma dos ângulos externos) = Sendo A um ponto da reta r => A ( a, ) (15/2).360 = 2700. 5 Como S = ( n - 2).180 => ( n - 2).180 = 2 700 => Seno o ponto A eqüidistante a distância entre A e n = 17. eixo x (equação y = 0) = distância entre A e eixo Um polígono de 17 lados com todos os ângulos y (equação x = 0) . internos iguais pode ou não ser eqüilátero e, Aplicando a fórmula da distância ponto-reta, portanto, regular. temos: 15 − a = a de onde temos uma equação 7 7 5 28. A equação x − = 3− tem: x−3 x−3 modular em que: a) um número infinito de raízes inteiras i) 5 – a = 5 a => 8 a = 15 => b) nenhuma raiz c) uma raiz inteira a = 15 / 8. Assim temos o ponto d) duas raízes inteiras iguais A (15/8; 9/8) Iº quadrante. e) duas raízes não inteiras iguais ii) 15 – a = - 5 a => 2 a = - 15 => a = - 15/2. Assim temos o ponto Sol. ( B ) A (-15/2; 15/2) IIº quadrante. Resolveremos a equação, fazendo em primeiro Como não há nenhuma outra solução para lugar a sua condição de existência (CE), pois se esses pares de equações, não há nenhum trata de uma equação fracionária e assim: outro ponto satisfazendo as condições dadas. CE: x – 3 ≠ 0 => x ≠ 3. Resolvendo a equação, encontramos x = 3. 31. Para que x² + 2x + 5 seja um fator de x4 + px² Como não satisfaz a CE, temos como solução o + q, os valores de p e q devem ser conjunto vazio = nenhuma solução, respectivamente: ou seja: S = φ . a) – 2 e 5 b) 5 e 25 c) 10 e 20 d) 6 e 25 e) 14 e 25 INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 5 www.colegiocascavelense.com.br Cascavel – Ceará – Brasil.
- 6. Sol. ( D ) Supondo viradas instantâneas, calcular o número Para que x² + 2x + 5 seja um fator vamos de vezes que os nadadores se cruzaram. considerar o outro como x² + ax + b e assim: a) 24 b) 21 c) 20 d) 19 e) 18 (x² + 2x + 5) (x² + ax + b) = = x4 + x³ (2 + a) + x² (5+ 2 a+ b) + x(5 a+ 2b) Sol. ( C ) D is t â n c ia ( m ) +5b x4 + px + q (identidade de polinômios). Igualando os coeficientes dos termos 90 semelhantes temos: ° ° i) Para x³ => 2 + a = 0 => a = - 2. ° ° ii) Para x² => 5 + 2 a + b = p => p = 6. 0 30 9° 0 1 50 1 80 Te m p o (s ) iii) Para x => 5 a + 2b = 0 => b = 5 iv) Para x0 => 5b = q => q = 25. Traçando o gráfico anterior, que representa a Temos então que: p = 6 e q = 25. posição de cada nadador em relação ao tempo, em apenas 3 minutos os nadadores retornam a 32. Na figura ao lado, o centro do círculo é O. posição da partida. Temos então que num tempo AB ⊥ BC, ADOE é uma reta, AP = AD e AB de 12 minutos este ciclo repete-se 4 vezes. Como tem comprimento igual ao dobro do raio. Então: há 5 encontros em cada período, o número total a) AP² = PB. AB b) AP. DO = PB. AD de encontros = 4 x 5 = 20 vezes. c) AB² = AD. DE d) AB . AD = OB. AO e) n.r.a 35. Desde um ponto P fora do círculo, com uma circunferência de 10 unidades traça-se uma C Sol. ( C ) A tangente. Desde P traça-se também uma secante Como dados D que corta o círculo em dois arcos distintos, de temos: AB ⊥ BC; comprimentos m e n. Descobre-se que t, o {A; D; O; E}{ P O E comprimento da tangente, é a média 0 Reta ; AP = AD e AB = proporcional entre m e n. Se m e t são inteiros. B então t pode ter o seguinte número de valores: 2R (raio). Pelas relações em um círculo: AB² = AD. DE. a) zero b) um c) dois d) três e) infinitos D t P 33. Dada uma seqüência de 58 termos, cada n Sol. ( C ) termo da forma P + n onde P é o produto 2 . 3. Comprimento da B 5 . . . .61 de todos os nos primos menores ou o circunf. = 10 => iguais a 61 e n toma sucessivamente os valores 2, Soma dos arcos m e 3, 4, . . . , 59. Seja N o número de primos que n, A m onde m ≠ n, estão nesta seqüência. O valor de N é: é m + n = 10 => => n = 10 – m ( i ) ; e {m, n, t} Z. Sol. ( A ) Temos pelas relações no círculo: t ² = m. n que Temos que: P = 2 . 3 . 5 . . . . 61 e n pode ser usando ( i ) => t = m(10 − m) . igual a: 2, 3, 4, . . . , 59. Na seqüência, cada termo = T n = P + n, ou seja: Como m ( 10 – m) ≥ 0 temos que m1 = 0 e m2 = P/ n = 2 => T2 = P + 2 = 2. (3.5.7... 61 + 1) 10 => 0 ≤ m ≤ 10 ( ii ) e usando ( i ) nesta P/ n = 3 => T3 = P + 3 = 3.(2.5.7... 61 + 1) inequação => 0 ≤ 10 – n ≤ 10 => 0 ≤ n ≤ 10. ...................................... Então m {1, 2, 3, . . . , 10}, vamos calcular t: ...................................... Para m = 1 => t = 1(10 − 1) = 3 e n = 9 (satisf.) P/ n = 59 => T59 = P + 59 =59.(2.5.7... 61 + 1). Para m = 2 => t = 2(10 − 2) = 4 e n = 8 (satisf.) Verifica-se que todos os termos da seqüência P + Para m = 3=> t = 3(10 − 3) = 21 ∉ Z (não n, ou seja: P + 2; P + 3; . . ; P + 59, para os quais satistaz ). n é primo, são divisíveis por n, pois n pertence a Para m = 4 => t = P 4.(10-4) = 44 ∉ Z (não composição P. Logo, cada um desses números é satistaz ). divisível por n. Logo todos os termos dessa Para m = 5 => t = P 5(10-5) = 5 e n = 5 (não seqüência são números compostos. satisfaz, pois m = n = 5). 34. Dois nadadores em extremos opostos de uma Verifica-se que para m = 7, m = 8 e m = 9, piscina de 90 metros, começam a nadar a correspondem os valores c 21 ; 4 e 3. velocidade de 3m/s um deles e o outro a 2m/s. Daí então temos: t = 3 e t = 4, ou seja , dois Eles nadam ida e volta durante 12 minutos. valores. INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 6 www.colegiocascavelense.com.br Cascavel – Ceará – Brasil.
- 7. 36. Sejam s1, s2 e s3 as respectivas somas de n, 2n a+b b e 3n termos da mesma progressão aritmética que = => a² + 2ab + b² + ab => a a+b tem a como primeiro termo e d como diferença a² + ab + b² = 0 => a = comum. Seja R = s3 – s2 – s1. Então R depende de: − b ± b − 4b − b ± − 3b − b ± − 1 b 3 2 2 2 2 = = => a) a e d b) d e n c) a e n d) a, d e n. 2 2 2 e) nem de a, nem d, nem n. − b ± ib 3 a= .Temos então que: Sol. ( B ) 2 Usando a fórmula da soma dos termos de uma i) Se b é real, a é complexo. n(2a1 + (n − 1) d ) ii) Se b não é real, a pode ou não ser real. PA como S n = ,temos: 2 40. Dado um triângulo retângulo ABC com R = s3 – s2 – s1 = 3(2a + (3 − 1)d 2(2a + (2 − 1)d 1(2a + (1 − 1)d catetos BC = 3 e AC = 4. Achar o comprimento − − = do menor lado do ângulo trissector que liga C à 2 2 2 2n²d. hipotenusa. Verifica-se então que R depende de d e n. 32 3 − 24 12 3 − 9 a) b) c) 6 3 − 1 37. A base de um triângulo tem comprimento b e 13 13 a altura, h. Um retângulo de altura x é inscrito no 5 10 d) e) 25 / 12 triângulo com a base do retângulo sobre a base 6 do triângulo. A área do retângulo é: bx hx bx Sol. (A) B a) (h − x) b) (h − x) c) (h − 2 x ) Como CD forma um ângulo de h b h D d) x ( b – x) e) x ( b – x) 30° com CB ; 3DCA = 60° e 3x 3 CDE = 30° então x 3 Sol. ( A ) DEC e retângulo. 4 -x x Denominando de y a base do retângulo, e usando Sendo EC = x A C E semelhança de triângulos temos: => DE = x= 3 e DC h−x h b( h − x ) = 2x. = => y = Usando a semelhança entre os triângulos: y b h 4− x 4 12 24 bx ∴ área = xy = ( h − x) = => x = => 2 x = h x 3 3 3+ 4 3 3+ 4 3 Quando racionalizamos a fração encontramos: 38. No desenho ao lado, AB e AC são os lados 32 3 − 24 2x = . iguais de um triângulo isósceles ABC, no qual é 13 inscrito um triângulo eqüilátero DEF. Chamemos de a o ângulo BDF, de b o ângulo ADE e por c o ângulo FEC, Então: EXERCÍCIOS DE REVISÃO. a) b = (a + c)/2 b)b= (a - c)/2 A c) a = (b – c )/2 VOCÊ JÁ PUVIU FALAR NISSO? d) a = (b + c)/2 e) nra. b E D c POIS É. HABITUE-SE A REVER, Sol. ( D ) PERIODICAMENTE, OS ESTUDOS a C Temos então que: B F FEITOS. b + 60 = a + B e a + 60 = c + C. Portanto: b – a = a – c + B – C. RELER CUIDADOSAMENTE LIÇÕES JÁ Como B = C temos: b + c = 2 a => a = (b + c)/2. ESTUDADAS É UM EXERCÍCIO DE REVISÃO. a+b b 39. Para satisfazer a equação = ,ae a a+b AGINDO ASSIM, VOCÊ PODERÁ ESTAR b devem ser: COLHENDO FRUTOS QUE NÃO a) ambos racionais b) ambos reais não-racionais ESTAVAM AINDA MADUROS NA c) ambos não-reais d) um real, outro não-real PRIMEIRA LEITURA. e) um real, outro não-real ou ambos não-reais. Sol. ( E ) INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. 7 www.colegiocascavelense.com.br Cascavel – Ceará – Brasil.