07 funes

MATEMÁTICA

FUNÇÕES
1. PAR ORDENADO I) Listagem dos pares ordenados envolvidos na
relação.
É uma seqüência de dois elementos em uma II) Diagrama de flechas entre os conjuntos A e
dada ordem. B.
1.1 Igualdade III) Representação gráfica no plano cartesiano.
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d Exemplo:
Exemplos: Considere a relação R = {(x, y ) ∈ AxB / y = x + 1} em
E.1) (2,3) = (a + 1, b) ⇒ a + 1 = 2 e b = 3 , logo que A = {2,3,5,6} e B = {3,4,7,10,11} . Represente a rela-
a =1 e b = 3. ção R.
a + 2b = 3 Resolução:
E.2) (a + 2b, a − b ) = (3,6) ⇒  , logo
a − b = 6 I) Representação dos pares ordenados.
a=5 e b = −1.
R = {(2,3), (3,4), (6,7 )} .
2. PRODUTO CARTESIANO

2.1 Representação II) Representação com diagrama de flechas.
O produto cartesiano será simbolizado por A B
AxB. y=x+1
3
2.2 Definição 5
Dados os conjuntos A e B, não vazios, define- 4
se como produto cartesiano (AxB) o conjunto de todos 2
7
os pares ordenados (x, y ) , tais que x ∈ A e y ∈ B . Em
3
símbolos, temos: 10
6
AxB = {(x, y ) / x ∈ A e y ∈ B} 11

Se A ou B forem vazios, afirmamos que III) Representação no gráfico cartesiano.
AxB = φ .
Exemplos:
E.1) Dados A = { ,2} e B = {3,4} , determine AxB
1 7
e BxA.
Resolução:
AxB = {(1,3 ) , (1, 4 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 )}
4
BxA = {(3,1), (4,1), (3,2), (4,2)}
E.2) Determine A 2 = AxA , em que A = { ,2,3} .
1
3
Resolução:
A 2 = AxA = {(11), (1 2), (1 3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
, , ,
2.3 Propriedade
2 3 6
n(AxB) = n(A ) ⋅ n(B ) ,
em que n(AxB) , n(A ) e n(B) re-
presentam, respectivamente, o número de elementos
em AxB , A e B. 3.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio
Dada uma relação R de A em B (R : A → B) .
3. RELAÇÃO BINÁRIA
Define-se como:
3.1 Definição Contra-domínio da relação R o conjunto de
Define-se como relação binária de A em B a chegada da relação R, ou seja, o conjunto
qualquer subconjunto de AxB. B.
Domínio da relação R o conjunto formado
3.2 Representação
pelos elementos relacionados pela relação
A relação binária de A em B pode ser repre-
R no conjunto de partida (conjunto A).
sentada como:
Imagem da relação R ao conjunto formado
pelos elementos relacionados pela relação
Editora Exato 20

R no conjunto de chegada (conjunto B), ou A B
seja, os segundos elementos de todos os pa-
res ordenados de R.
Exemplo:

A B
1 10
3 2 satisfaz à
5 propriedade I
3
7
5 II) Cada elemento do domínio possui um único
8
correspondente no contra-domínio.
9 7 Exemplo:
E.1)
I) Domínio da relação R: D(R ) = { ,3,5,8} .
1
II) Contra-domínio da relação R (conjunto de
chegada): CD(R ) = B .
III) Imagem da relação R : Im(R ) = {2,3,5,10} .
4. FUNÇÃO

4.1 Definição
Define-se como função de A em B a toda rela- não satisfaz à
propriedade II
ção binária de A em B que satisfaz as propriedades
abaixo.
I) Todo elemento do domínio possui um cor- E.2)
respondente no contra-domínio, ou seja, no conjunto
de partida não existe elemento sem correspondente.
Exemplo:
E.1)

A B
satisfaz à
propriedade II

E.3)

não satisfaz
à propriedade I

E.2)

A satisfaz à
B propriedade II

4.2 Função Inversa
Dada uma função f de A em B, bijetora, defi-
ne-se como função inversa de f a toda função g em B
em A, tal que:

satisfaz à fog ( x ) = go f ( x ) = x .
propriedade I
Símbolo: A função inversa de f é indicada por
E.3) f −1 .

Editora Exato 21

Exemplo: 7. CONCAVIDADE E RAÍZES
Dada f ( x ) = 3x + 5 , determine sua função inver- A função polinomial do 2º grau possui como
sa. representação gráfica a curva denominada de parábo-
Resolução: la.
Na prática, para determinarmos a função inver- concavidade 
a > 0 ⇒ voltada para cima
sa de f, devemos trocar o x por y, o y por x e depois a < 0 ⇒ voltada para baixo
isolar o y. ∆ > 0 ⇒ 2 raízes reais e distintas
x−5 y 
f (x ) = 3x + 5 ⇒ x = 3y + 5 ⇒ −1 =
{ , logo raízes ∆ = 0 ⇒ 2 raízes reais e iguais
{ f (x ) 3 ∆ < 0 ⇒ não existem raízes reais
y
x

x −5
f −1(x ) = .
3 8. GRÁFICOS

5. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Devemos observar que o número de possibili-
dades para a construção do gráfico da função quadrá-
5.1 Definição tica é 6, levando em consideração as possibilidades
Define-se como função polinomial do 1º grau da concavidade e raízes.
ou função afim a toda função f de R em R que asso- 8.1 a>0 e ∆>0
cia a cada número x ∈ D ( f ) um número f ( x ) ∈ CD ( f ) , Concavidade voltada para cima e duas raí-
tal que f ( x )=ax+b (com a ∈ R* e b ∈ R). zes reais distintas.
5.2 Gráficos
Dada a função f: R → R, tal que f (x ) = ax + b
(com a ≠ 0 ). x1 x2
Gráficos

8.2 a>0 e ∆=0
a>0 a<0 Concavidade voltada para cima e duas raí-
y y
zes reais iguais.

O x O x
x1 = x2

8.3 a>0 e ∆<0
função crescente função decrescente Concavidade voltada para cima e não pos-
sui raízes reais.

Propriedades
O coeficiente a é denominado de coeficiente
angular e representa a tangente do ângulo de inclina-
ção.
O coeficiente b é denominado de coeficiente
linear e representa o ponto de encontro da função
com o eixo y, ou seja, o ponto (0, b ) pertence ao grá-
fico da função f.
6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 8.4 a<0 e ∆>0
Define-se como função polinomial do 2º grau a Concavidade voltada para baixo e duas raí-
função quadrática a toda função f de R em R que as- zes reais distintas.
socia a cada número x ∈ D ( f ) um número
f ( x ) ∈ CD ( f ) , tal que f (x ) = ax 2 + bx + c (com a∈R* e b,
x1 x2
c ∈R).

Editora Exato 22

8.5 a<0 e ∆=0 9.1 Valor máximo e mínimo
Concavidade voltada para baixo e duas raí- Para uma função polinomial do 2º grau pode-
zes reais iguais. mos determinar o valor máximo ou mínimo da ima-
gem determinando o valor da imagem da função no
vértice da parábola  y v =
−∆
x1= x2  .
 4a 
Se a > 0, então o valor encontrado no yv se-
rá mínimo.
Se a < 0, então o valor encontrado no yv se-
rá máximo.

8.6 a<0 e ∆<0 10. FUNÇÃO MODULAR
Concavidade voltada para baixo e não pos- 10.1. Definição
sui raízes reais. Define-se como função modular a toda função
f de R em R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número
f ( x ) ∈ CD ( f ) , tal que, f ( x ) = x . Em símbolos, temos:

 x, se x ≥ 0
f:R →R f(x) =  .
-x, se x<0

10.2. Elementos
9. VÉRTICE DA PARÁBOLA
Dada a função módulo f(x) = x .
Dada a função f ( x )=ax 2+bx+c (com a ≠ 0 ) a Domínio de f : D(f) = R .
coordenada do vértice da parábola v(x v , y v ) pode ser Contra domínio de f: CD(f) = R .
determinada pelas relações abaixo. Imagem de f: Im(f) = R + .
10.3. Equações Modulares
−b −∆
xv= e yv =
2a 4a
x = k

x = k ⇔  ou
Exemplo: 
Dada a função f(x) = 2x 2 − 5x − 10 , determine a  x = −k

coordenada do vértice da parábola e faça a represen-
tação gráfica da função f no plano cartesiano. Exemplo:
E.1) Determine o valor de x na equação
Resolução:
x −3 = 5.
xv = −
(−5) = 5 e yv =
((− 5) 2
)
− 4 ⋅ 2(− 10 )
=−
105
2.2 4 4⋅2 8 Resolução
Devemos observar que ∆ > 0 e a > 0 ; logo,
a x − 3 = 5 → x = 8

parábola possui concavidade voltada para cima e du- x −3 = 5 ⇒  ou
as raízes reais distintas.  x − 3 = −5 ⇒ x = −2

Propriedades
y x ≥ 0.
x⋅y = x ⋅ y .
x x
= , para y ≠ 0.
y y
n
nn = x .
5
n
4 x = x n , para n par.
x
105 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8  5 105 
V  ,−
v 
4 8  1 Qual dos gráficos abaixo representa uma função?
a)

Editora Exato 23

y a) substituir na função o valor atribuído a x
y 2
f ( 0 ) = 03 − 2 ( 0 ) + 0 + 1 = 1
1

y
2
b)
3 2
( −1) − 2 ( −1) + ( −1) + 1 =
−1− 2 − 1 + 1 = −3
/ /
x1 x
EXERCÍCIOS
b) 1 (FMU-SP) Seja a função f definida por
Então f ( 0 ) + f ( −1) + f   é:
1
y f ( x ) = 2x 3 − 1 . 
y 2
1 3 19
a) − d) −
4 4
15 13
y
b) − e) −
2 4 4
17
x1 x c) −
4

c)
2 (MACK-SP) Se f ( x − 1) = x , então o valor de
2

y
f ( 2 ) é:
a) 9
b) 6
c) 4
y
1 d) 1
x1 e) 0
x

d) 3 (FGV-SP) A população de uma cidade daqui a t
4
y anos é estimada em P ( t ) = 30 − milhares de pes-
t
soas. Durante o 5º ano, o crescimento da popula-
ção será de:
y a) 300 pessoas.
1 b) 200 pessoas.
c) 133 pessoas.
x1 x d) 30 pessoas.
e) 2 pessoas.

4 (UFMG) Suponha que o número f(x) de funcio-
nários necessários para distribuir, em um dia,
contas de luz entre x por cento de moradores,
Resolução: numa determinada cidade, seja dado pela função
c) e d) 300x
Observe que a definição de função compreen- f (x) = . Se o número de funcionários ne-
150 − x
de dar um valor x e encontrar um, e somente um, va- cessários para distribuir, em um dia, as contas de
lor para y. luz foi 75, a porcentagem de moradores que as
Dica: fazer uma reta vertical em qualquer pon- receberam é:
to do gráfico e não corresponder dois ou mais valores a) 30.
em y. b) 40.
c) 45.
2 Seja a função f ( x ) = x 3 − 2x 2 + x + 1, calcular: d) 50.
e) 55.
a) f(0)
b) f ( −1)
Resolução:

Editora Exato 24

5 (UEL-PR) Para que os pontos (1;3 ) e ( 3; −1) per- d)
tençam ao gráfico da função dada f(x) = ax + b , o
valor de b − a deve ser: y
a) 7.
b) 5.
c) 3.
d) –3.
e) –7.
x

6 (CESCEM) Se f(x) = 2x , então, os valores de:
3
e)
f(0); f ( −1) ; f ( 2 ) ; f ( −2 ) ; e −f  −  são:

1
 2
  y
a) 2, 2, 4, -4, -1/4.
b) 0, -2, 16, -16, 1/4.
c) 0, -6, 16, -16, 1/3.
d) 2, -2, 2, -2,-1/3.
e) 0, 2, 16, 16, 1/4.
x
7 (PUC) Qual dos gráficos não representa uma
função?
a) 8 (ESC. AERON) Determinar o campo de existên-
cia da função y = 4 − x : 2

y a) ( −4,4 )
b) [ −2,4]
c) ( 2, −2 )
d) [ −2,2]
e) Nenhuma.
x

b) 9 (PUC-RS) O domínio da função real dada por
1
f (x) = é o conjunto:
y 2x 2 + 5x − 3
 1
a) R − −3, 
 2

b) R − − ,3
1
x  
 2 
 1
c) R− 
2

d) −3, 
1
c)  
 2
 1 
y e) − ,2
 2 

x 10 (FMU-SP) O domínio real da função
2
x −4
f (x) = é o conjunto:
x−2
a) {x ∈ R / x ≤ −2 ou x ≥ 2}
b) {x ∈ R / − 2 ≤ x<2}
c) {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2}
d) {x ∈ R / x ≤ −2 ou x>2}
e) {x ∈ R / x > 2}

Editora Exato 25

11 (PELOTAS) Se f e g são funções definidas em R 17 A função y = 2x − x + 1 é uma parábola que:
2

por f ( x ) = x + 2 e g ( x ) = 3x + 5 , então g  f ( x ) é:
  a) corta o eixo x em dois pontos.
a) 3x+11 b) passa pela origem.
b) 3x2 + 10 c) não corta o eixo x.
c) 3x2 + 11x + 10 d) tem concavidade voltada para baixo.
d) 4x+7 e) nenhuma.
e) f g ( x )
 
18 Dada a função f ( x ) = mx + n , conhecendo-se
12 (USP) Se f ( x ) = 5x e g ( x ) = 3x , então f g ( x )
2 f ( 0 ) = 2 e f (1) = 3 , então o valor de m e n é:
 
será igual a: a) 1 e 2.
a) 15x + 3x2 b) 2 e 1.
b) 15x2 c) 3 e 1.
c) 8x3 d) 2 e 3.
d) 15x e) 0 e 1.
e) 15x3
19 (PUC) Sendo m ∈ R , então as raízes da equação
13 (PUC-SP) Sendo f ( x ) = x + 1 e g ( x ) = x − 2 , então
3 x − ( m − 1) x − m = 0 serão reais e iguais se, e so-
2

gof ( 0 ) é igual a: mente se,
a) m ≠ 1 .
a) 1 b) m=1.
b) 3 c) m ≠ −1 .
c) 0 d) m=-1.
d) 2 e) m=0.
e) –1

20 (PUC) Para que as raízes ou zeros da função
y = x − mx + 4 sejam reais, é necessário que:
2

a) m ∈ R e [m ≤ -4 ou m>4] .
14 (UFPR) Para cada valor real de x, sejam b) m ∈ R e m>4 .
f ( x ) = x e g ( x ) = f  f ( x )  . Calcular o valor de
2
  c) m ∈ R e [m ≤ -4 ou m ≤ 4] .
f g ( 3 ) 
  d) m ∈ R e [-4 ≤ m ≤ 4] .
.
g ( 3)
e) m ∈ R e [-4 < m <4] .
a) 20.
b) 21.
c) 31. 21 (UFPR) O vértice da parábola y = −2x + 8x − 82

d) 81. tem coordenadas:
e) 80. a) ( 0, −8 ) .
b) (1, −2 ) .
15 Uma função do 2º grau, nos dá sempre c) ( 2,0 ) .
a) uma reta.
d) ( 3,0 ) .
b) uma hipérbole.
c) uma parábola. e) ( 3. − 2 ) .
d) uma elipse.
e) nenhuma.

GABARITO
16 O vértice da parábola y = − x + 4x + 5 é:
2

a) V ( 2,9 ) . 1 D
b) V ( 5, −1) . 2 A
c) V ( −1, −5 ) . 3 B
d) V ( 0,0 ) .
4 A
e) Nenhuma.
5 B

Editora Exato 26

6 B
7 B
8 D
9 A
10 D
11 A
12 B
13 E
14 D
15 C
16 A
17 C
18 A
19 D
20 C
21 C

Editora Exato 27

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