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Superfícies

GET 003 – Geometria Analítica e Álgebra Linear

Prof. Kátia Dionísio de Oliveira - FAMAT / UFU

Maio - 2012

SUMÁRIO
 Superfícies:

• Quadráticas

• Cônicas

• Cilíndricas

• Esféricas

• De Rotação

Introdução
Eixo da Superfície

s
r Geratriz da Superfície

α As retas s e r são concorrentes no eixo 0 e não

0 perpendiculares. Se a reta s e o ângulo α são

mantidos constantes, e a giramos a reta r 360 então

temos:

Superfície Cônica Infinita

Seções Cônicas
Circunferência

“Quando o plano π que secciona a

superfície é perpendicular ao seu eixo (s)”

Elipse

“Quando o plano π secciona em posição

oblíquo ao eixo s da superfície, pegando
apenas uma das extremidades”

Seções Cônicas
Parábola

“Quando o plano π secciona em sentido

paralelo à geratriz s da superfície”

Hipérbole

“Quando o plano π secciona em sentido

paralelo ao eixo r da superfície”

Superfícies Quadráticas: Introdução
Nesta parte da matéria estudaremos as superfícies que podem ser

representadas por equações do tipo:

ax 2 by 2 cz 2 2dxy 2exz 2 fyz mx ny pz q 0 I
a, b, c, d , e ou f 0

e representam uma superfície quadrática. Por sua vez se esta superfície

for seccionada por um plano π, já vimos que a curva de interseção

formará uma cônica. E a interseção da superfície com um plano é

denominada de traço na superfície no plano.


Exemplo: se temos um plano e a coordenada z é 0, então a cônica

formada é representada pela seguinte equação:

ax 2 by 2 2dxy mx ny q 0
a, b, d , m, n 0 plano x0 z

“Por outro lado se as coordenadas forem alteradas por movimentos de

rotação ou translação da superfície, a equação I pode ser reescrita da

seguinte maneira”:


Ax2 By 2 Cz 2 D (II ) Quadrática Centrada

Ax 2 By 2 Rz 0
Ax 2 Ry Cz 2 0 ( III )
2 2
Quadráticas Não Centradas
Rx By Cz 0

“O objetivo é esboçar um gráfico a partir do conhecimento das equações

quadráticas:

Quadráticas Centradas

Quadráticas Não Centradas

Superfícies Quadráticas Centradas: Introdução

Ax2 By 2 Cz 2 D (II ) “Se nenhum dos coeficientes da equação
II for 0, então a equação ao lado poderá
ser reescrita da seguinte maneira:”

Forma Canônica ou Padrão x2 y2 z2
1 ( IV )
de Superfície Quadrática a2 b2 c2

“Neste caso, somente existem apenas três tipos de combinações de sinais
nesta equação o que permitem concluir apenas existência de três
superfícies. Por outro lado, se todos os coeficientes fossem negativos, não
haveria lugar geométrico”.

Superfícies Quadráticas Centradas: Elipsóide

x2 y2 z2 Equação representativa de
1 (V )
a2 b2 c2 uma Elipsóide

Se o traço no plano x0y, então a elipse
formada é representada pela equação:
x2 y2
1 ,z 0
a2 b2
Se o traço no plano x0z e y0z , então a elipse
formada é representada pelas equações
respectivamente:

x2 z2 y2 z2
1 ,y 0 1 ,x 0
a2 c2 b2 c2
a, b e c são os semi eixos

Elipsóide de Revolução

x2 y2 z2
1 (V )
a2 b2 c2

Equações da Elipsóide de Revolução

se a b, então : se a c, então :
x2 z2 y2 z2
1 1
a2 c2 b2 c2


Exemplo: se temos uma elipsóide representada pela seguinte equação:

x2 y2 z2
1
4 16 4

Então a elipsóide de revolução é
representada pela equação:

y2 z2
1 ,x 0
16 4

em torno do eixo y.

O traço do plano x0z é a circunferência representada pela equação:

x2 z2
1, y 0
4 4

Então o lugar geométrico Se a b c, então :
representa uma superfície esférica x2 y2 z2 a2
de centro (0, 0, 0) raio a

Se o centro da elipsóide é
2 2 2
x h y k z l
1 representado pela coordenada (h, k, l)
a2 b2 c2
e seus eixos forem paralelos ao eixo
2 2 2
x h y k z l a2 das coordenadas, então:

Superfícies Quadráticas Centradas:
Hiperbolóide de uma Folha

1 (VI ) uma Hiperbolóide de 1 Folha
a2 b2 c2
x2 y2 z2
1
a2 b2 c2

x2 y2 z2
1
a2 b2 c2

Hiperbolóide de uma Folha

x2 y2 Se o traço no plano x0y, é a elipse
1 ,z 0
a2 b2 representada pela equação:

Se o traço no plano x0z, e y0z são as hipérboles representadas pelas
respectivas equações:

x 2
z2 y2 z2
1 ,y 0 1 ,x 0
a2 c2 b2 c2

Hiperbolóide de Revolução

x2 y2 z2
1 (VI )
a2 b2 c2


x2 y2
se a b, então : 2 1 ,z 0
a b2

ou : x2 y2 a2 , z 0

Hiperbolóide de duas Folhas

1 (VII ) uma Hiperbolóide de 2 Folhas
a2 b2 c2
x2 y2 z2
1
a2 b2 c2

x2 y2 z2
1
a2 b2 c2

Hiperbolóide de duas Folhas
Se o traço no plano x0y e y0z, é a elipse representada pelas respectivas
equações:

y 2
x2 y2 z2
1 ,z 0 1 ,x 0
b2 a2 b2 c2

Hiperbolóide de Duas Folhas de Revolução

x2 y2 z2
1 (VII )
a2 b2 c2


x2 y2 z2
se a c, então : 1 ,y k
a2 b2 c2

x2 z2 k2
ou : 2 1, y k
a c2 b2

Superfícies Quadráticas Não Centradas: Introdução

Ax 2 By 2 Rz 0 “Se nenhum dos coeficientes da
Ax 2 Ry Cz 2 0 ( III ) equação III for 0, então a equação
Rx By 2 Cz 2 0 ao lado poderá ser reescrita da
seguinte maneira:”

x2 y2 x2 z2 y2 z2
cz; by; ax (VIII )
a2 b2 a2 c2 b2 c2

“Neste caso, somente existem apenas 2 tipos de combinações de sinais
nesta equação o que permitem concluir apenas existência de dois
superfícies”.

Superfícies Quadráticas Não Centradas:
Parabolóide Elíptica
“Se na equação anterior dois coeficientes tiverem sinais iguais então a
equação abaixo:”

x2 y2 Equação representativa de
cz
a2 b2 uma Parabolóide Elíptica

Se o traço do plano x0y é a origem (0, 0, 0) e

os traços nos planos x0z e y0y são as
parábolas representadas pelas equações
abaixo, respectivamente:
x 2 y2
cz , y 0 cz , x 0
a2 b2

Parabolóide Elíptica e Hiperbólico
x2 y2
Se na equação cz , a=b, então a parabolóide é de
a2 b2
revolução e pode ser gerado pela rotação da parábola representada
pela equação abaixo: y2
2
cz , x 0
b
Se na equação x2 y2 x2 z 2 y2 z2
cz; by; ax (VIII )
a2 b 2 2
a c 2
b2 c2

Tiverem sinais contrários então caracteriza-se uma equação

PARABOLÓIDE HIPERBÓLICA
x2 y2
cz
a2 b2

Parabolóide Hiperbólico

As equações abaixo representam 0y e 0x, respectivamente as
parábolas representadas pelas equações abaixo, respectivamente:
z2 x2 z2 y2
by ax
c2 a2 c2 b2

Exercícios (2,0 pontos em dupla)

1) Faça um esboço do gráfico da seguinte equação e dê nome a
2
superfície: 4 x y2 25z 2 100

superfície: 4 x2 25 y 2 z2 100

superfície: 3 y2 12 z 2 16 x

superfície: 3 y2 12 x 2 16 z

Superfícies Cilíndricas
Definição: Dado um subconjunto S
¡ , 3
contido em tal que reúne retas paralelas S W
a uma reta W não situada no plano da
curva. Este subconjunto pode ser
considerado uma superfície cilíndrica se

existir uma curva C pela qual as retas C
paralelas de S passem. Neste contexto,

C é diretriz de S , cujas retas paralelas
são chamadas de geratrizes da
superfície cilíndrica.

Exemplo: Um cilindro quadrático pode ser definido como um conjunto
de pontos do espaço, cujas coordenadas satisfaçam a seguinte equação:

f ( x, y ) 0

em que a equação acima representa uma cônica no plano XY. Por outro
lado se fixarmos, um sistema de coordenadas e supondo que:

f ( x, y , z ) 0
C é definido por :
g ( x, y , z ) 0

 
v m, n, p 0 é um vetor diretor da reta W

Então, P S se somente se Q Î C e l Î ¡ de modo
que: 
 
PQ v

(x X , y Y , z Z ) m, n, p
W
Logo:

x X m
y Y n
z Z p

Como: f ( x, y, z ) 0
C é definido por :
g ( x, y, z ) 0

f (X m, Y n, Z p) 0
g( X m, Y n, Z p) 0

Se pudéssemos eliminar λ, chegaríamos a um equação do tipo:

f ( x, y, z ) 0
g ( x, y, z ) 0
Ou seja, existe um valor de λ que satisfaz o sistema descrito anteriormente

Exercícios (3,0 pontos em dupla)

1) Ache uma equação da superfície cilíndrica de diretriz :

x2 y2 z2 4
C :
z 0

cujas as geratrizes são paralelas à reta W:

x
y 1
z 2

2) Ache uma equação da superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao

vetor v 2, 1,1 e circunscrita à superfície esférica:

x2 y2 z2 1

3) Verifique que uma relação do tipo F(x,y) = 0 é equação de uma

superfície cilíndrica S de diretriz:

e geratrizes paralelas a Oz. Represente
F ( x, y ) 0 no plano Oxy os pontos (x, y, 0) tais que
C:
z 0
F(x,y) = 0 e trace as retas que passam

por eles e são paralelas a Oz. A
superfície S é a reunião dessas retas.

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