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O documento apresenta os principais conceitos da lógica difusa e teoria dos conjuntos difusos, comparando-os com a lógica clássica. Aborda funções de pertinência, operações com conjuntos difusos como união e intersecção, e definições como suporte, núcleo e corte de nível. O objetivo é fornecer os fundamentos teóricos para aplicações de sistemas difusos em controle e inferência.
![Função de Pertinência
Dada uma função f (e, C) = [0..1] onde :
e = {e1, e2, ..., en} representa os elementos do conjunto e C representa o conjunto clássico
relacionado aos elementos e.
Então, para os conjuntos clássicos :
f (e, C) =
(
0 sse e 6∈ C
1 sse e ∈ C
Para os conjuntos difusos:
f (e, C) = [0..1]
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![Conjuntos Difusos
Seja D um conjunto definido como:
D = {(e, f (e, C))} onde:
e : elementos do conjunto C
f (e, C) : grau de pertinência de e em C
C é considerado como o conjunto de suporte do conjunto difuso D
Chamamos: µC = f (e, C) a função de pertinência com domı́nio U (universo) e imagem
contida no intervalo [0..1]
Ou seja:
µc : U → [0..1]
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![Conjuntos Convexos
Um conjunto difuso é convexo sse ∀ x1, x2 ∈ X e ∀λ ∈ [0, 1] :
µA[λx1 + (1 − λ)x2] ≥ min[µA(x1), µA(x2)]
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- 1. CADERNOS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL Exemplos em Python Prof. Ronaldo F. Ramos, Dr 8 de março de 2021 1/27
- 3. Roteiro → Lógica clássica x Lógica Difusa → Sistemas Difusos → Aplicações em Controle → Inferência Difusa → Arquitetura de Sistemas Difusos 3/27
- 4. Lógica Clássica Começou com Aristóteles. (384 – 322 A.C) Sejam os enunciados abaixo: Premissas: - Todo Homem é Mortal - Sócrates é um Homem Conclusão: - Sócrates é Mortal Formalmente: ∀x Hx → Mx Hs ∴ Ms 4/27
- 5. Semântica → Cada assertiva pode assumir valores V ou F → Nenhuma assertiva pode ser parcialmente V ou F. → Nenhuma assertiva pode ser ao mesmo tempo V e F. *No mundo real as coisas acontecem sempre desta forma? 5/27
- 6. Conjuntos Clássicos Socrates ∈ Humanos ⊂ Mortais 6/27
- 7. Função de Pertinência Dada uma função f (e, C) = [0..1] onde : e = {e1, e2, ..., en} representa os elementos do conjunto e C representa o conjunto clássico relacionado aos elementos e. Então, para os conjuntos clássicos : f (e, C) = ( 0 sse e 6∈ C 1 sse e ∈ C Para os conjuntos difusos: f (e, C) = [0..1] 7/27
- 8. Conjuntos Difusos Seja D um conjunto definido como: D = {(e, f (e, C))} onde: e : elementos do conjunto C f (e, C) : grau de pertinência de e em C C é considerado como o conjunto de suporte do conjunto difuso D Chamamos: µC = f (e, C) a função de pertinência com domı́nio U (universo) e imagem contida no intervalo [0..1] Ou seja: µc : U → [0..1] 8/27
- 9. Exemplo 1 Seja o conjunto dos números próximos de 1: P = ...(−2, 0)(−1, 1/3)(0, 2/3)(1, 1)(2, 2/3)(3, 1/3)(4, 0)... Onde: suporte(P) = ... − 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4... µp = 0 sse e ≤ −2 ou e ≥ 4 e+2 3 sse −2 < e ≤ 1 4−e 3 sse 1 ¡ e ¡ 4 9/27
- 10. Representação Gráfica dos conjuntos Difusos Representação Formal: D = {(µ(e)/e|e ∈ U)} 10/27
- 12. Operações com Conjuntos Crisp Diagramas de Venn 12/27
- 13. Operações com Conjuntos Difusos - União Sejam os conjuntos difusos: A = {(µa(x)/x|x ∈ U)} B = {(µb(x)/x|x ∈ U)} A união A ∪ B é dada por: A ∪ B = {max{(µa(x), µb(x))}/x|x ∈ U} Onde: µ(a∪b) = max{µa(x), µb(x)} 13/27
- 14. União - Exemplo Sejam os conjuntos difusos: ALTO = {(0/1.5), (0.2/1.55), (0.5/1.6), (0.8/1.65), (1/1.7)} BAIXO = {(1/1.5), (0.8/1.55), (0.5/1.6), (0.2/1.65), (0/1.7)} Então: ALTO ∪ BAIXO ≡ ALTO ∨ BAIXO = {(1/1.5), (0, 8/1.55), (0, 5/1.6), (0, 8/1.65), (1/1.7)} 14/27
- 16. Intersecção Sejam os conjuntos difusos: A = {(µa(x)/x|x ∈ U)} B = {(µb(x)/x|x ∈ U)} Então, a intersecção entre A e B é dada como: A ∩ B = {min{(µa(x), µb(x))}/x|x ∈ U} Onde: µ(a∩b) = min{µa(x), µb(x)} 16/27
- 17. Exemplo - Intersecção Sejam os conjuntos difusos: ALTO = {(0/1.5), (0, 2/1.55), (0, 5/1.6), (0, 8/1.65), (1/1.7)} BAIXO = {(1/1.5), (0, 8/1.55), (0, 5/1.6), (0, 2/1.65), (0/1.7)} Então: ALTO ∩ BAIXO ≡ ALTO ∧ BAIXO = {(0/1.5), (0, 2/1.55), (0, 5/1.6), (0, 2/1.65), (0/1.7)} 17/27
- 19. Complemento A = {(1 − µA(x)/x)|x ∈ U} 19/27
- 21. Mais Definições Seja A um conjunto difuso: A = {(µa(x)/x|x ∈ U)} O conjunto Suporte de A é definido como: suporte(A) = {x ∈ A|µa(x) > 0} O Núcleo (core) de A é definido como: core(A) = {x ∈ A|µa(x) = 1} O ponto de crossover é definido como: x ∈ A|µa(x) = 0.5 Cardinalidade: |A| = P µa(x) (Variáveis diecretas) ou |A| = R µa(x)dx (Variáveis Contı́nuas) 21/27
- 22. Relações Sejam dois conjuntos difusos A e B definidos sobre o mesmo universo de discurso X e sejam µA(x) e µB(x) as respectivas funções de pertinência. Então: A ⊆ B ↔ ∀(x ∈ X) (µA(x) < µB(x)) A = B ↔ ∀(x ∈ X) µA(x) = µB(x) 22/27
- 23. Corte de Nı́vel α Corte de Nı́vel-α: Aα{x ∈ X|µA(x) ≥ α} 23/27
- 24. Altura de Um Conjunto Difuso Um conjunto(A) é normal se h(A) = 1 Um conjunto(A) é subnormal se h(A) < 1 24/27
- 25. Conjuntos Convexos Um conjunto difuso é convexo sse ∀ x1, x2 ∈ X e ∀λ ∈ [0, 1] : µA[λx1 + (1 − λ)x2] ≥ min[µA(x1), µA(x2)] 25/27
- 26. Números Difusos Um Numero Difuso (M) é um conjunto convexo normalizado definido em < tal que: → Existe pelo menos um Xo tal que µM(xo) = 1; → µM(x) é contı́nua por partes. 26/27
- 27. Teoria dos Conjuntos Difusos Continua... 27/27
- 28. FIM 28/27