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1) O documento apresenta exercícios sobre matrizes e sistemas lineares. Inclui questões sobre operações com matrizes como soma, multiplicação e potenciação, sistemas lineares e suas soluções, e cálculo de determinantes. 2) São abordados conceitos como matriz na forma escalonada, conjunto de geradores de um sistema linear, solução particular e solução do sistema homogêneo associado. 3) São propostos exercícios para verificar propriedades de matrizes e sistemas lineares, encontrar suas soluções, e calcular determinantes.
![8. Seja M =
a 0 b 2
a a 4 4
0 a 2 b
a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear. Para que valores
de a e b o sistema admite:
a) Solu¸c˜ao ´unica b) Solu¸c˜ao com uma vari´avel livre
c) Solu¸c˜ao com duas vari´aveis livres d) Nenhuma solu¸c˜ao.
9. Considere o sistema AX = B, com
A =
1 2 −3
3 −1 5
4 1 a2
− 16
e B =
4
2
a + 14
(a) Determine o valor (ou valores) de a para que o sistema tenha solu¸c˜ao ´unica.
(b) Existem valores para a de forma que o sistema tenha infinitas solu¸c˜oes?
(c) Existem valores para a de forma que o sistema n˜ao tenha solu¸c˜ao?
10. Sabendo que o sistema
x +y +z = 1
mx +2y +3z = 0
m2
x +4y +9z = 1
admite uma ´unica solu¸c˜ao, podemos concluir que
m pode assumir todos os valores do intervalo real:
a) [0, 1] b) [1, 2] c) [3, 4) d)[0, 4].
11 Resolva o sistema dependendo dos valores dos par´ametros respectivos:
a)
2x1+ 3x2+ x3 = 1
x1+ 6x2+ x3 = 3
2x1− 3x2+ 2x3 = λ
x1+ 3x2+ 2x3 = 1
; b)
x1− 2x2− x3+ x4 = −2
2x1+ 7x2+ 3x3+ x4 = 6
11x1+ 11x2+ 4x3+ 8x4 = 8
10x1+ 2x2+ 8x4 = λ
.
12. a) Determine os coeficientes a, b, c e d da fun¸c˜ao polinomial p(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, cujo gr´afico
passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P3 = (3, −11) e P4 = (4, −14).
b) Determine coeficientes a, b e c da equa¸c˜ao do c´ırculo, x2
+ y2
+ ax + by + c = 0, que passa pelos pontos
P1 = (−2, 7), P2 = (−4, 5) e P3 = (4, −3).
13. Considere o sistema (∗) AX = B, com A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1.
a) Mostre que: se Y1 e Y2 s˜ao solu¸c˜oes do sistema homogˆeneo associado AX = 0 e a e b s˜ao n´umeros reais
ent˜ao Z = aY1 + bY2 tamb´em ´e solu¸c˜ao do homogˆeneo associado.
b) Mostre que: Se X1 e X2 s˜ao solu¸c˜oes de (∗) ent˜ao Y = X2 −X1 ´e solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo associado
AX = 0.
c) Suponha que X0 ´e uma solu¸c˜ao particular de (∗) e mostre que qualquer soluc˜ao X de (∗) ´e da forma
X = X0 + Y , com Y solu¸c˜ao do homogˆeneo associado.
OBS: Na verdade pode-se provar que para todo sistema homogˆeneo (∗∗) AX = 0, com A uma matriz
m × n, existem r solu¸c˜oes n˜ao nulas Y1, · · · , Yr, 0 ≤ r ≤ n, de (∗∗) tal que toda solu¸c˜ao Y de (∗∗) se escreve
na forma Y = a1Y1 +a2Y2 +· · ·+arYr, com a1, · · · , ar n´umeros reais (r = 0 ocorre quando (∗∗) tem a solu¸c˜ao
nula como ´unica solu¸c˜ao) . Portanto, por c), se o sistema (∗) tem uma solu¸c˜ao X0 ent˜ao toda solu¸c˜ao X de
(∗) ´e do tipo X = X0 + a1Y1 + a2Y2 + · · · + arYr, com a1, · · · , ar n´umeros reais. A solu¸c˜ao X0 ´e comumente
chamada de solu¸c˜ao inicial (ou particular) de (∗) e o conjunto {Y1, · · · , Yr} ´e chamado de um conjunto de
geradores do sistema (∗) (ou simplesmente de geradores de (∗)) Observe ainda que X0 ´e a ´unica solu¸c˜ao de
(∗) somente quando r = 0.
d) Para se convencer do que a observa¸c˜ao acima afirma, encontre para cada um dos sistemas do exerc´ıcio 7.,
um conjunto de geradores do sistema e uma solu¸c˜ao particular (quando existir).
2](https://image.slidesharecdn.com/616a9aa93f9554aa9a9550f5bd9a16147866a87d-150325205349-conversion-gate01/85/616a9aa93f9554aa9a9550f5bd9a16147866a87d-2-320.jpg)
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- 1. 1a Lista de Exerc´ıcios - MA-141 MATRIZES 1. Sejam A = 1 −2 −1 1 0 −1 4 −1 0 e X = x y z . a) Verifique que: xA1 + yA2 + zA3 = AX, sendo Aj a j-´esima coluna de A para j = 1, 2, 3. b) Usando a) verifique que: a segunda coluna de C = A2 ´e C2 = −2A1 − A3. c) Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situa¸c˜ao: Sejam A uma matriz m × n, B uma matriz n × k e C = AB. Se Cj ´e a j-´esima coluna de C, encontre Cj em termos das n colunas de A e da j-´esima coluna de B. 2. a) Sejam A e B duas matrizes quadradas n × n. Mostre que (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 . b) Suponha agora que: A = 1 0 1 1 e B = 0 1 1 1 e verifique que AB = BA e conclua que neste caso (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 . c) Voltando ao caso a). Mostre que: Se A e B s˜ao duas matrizes quadradas n × n, ent˜ao (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 se e somente se AB = BA. 3. Seja M = 0 1 −1 0 a) Mostre que: Se A ´e uma matriz 2 × 2 ent˜ao AM = MA se e somente se A = a b −b a b) Mostre que se A e B s˜ao matrizes 2×2 que comutam com M ent˜ao A e B comutam entre si, i.´e, AB = BA. 4. a) Determine todas as matrizes D, 2 × 2 e diagonais, que satisfazem: DB = BD para toda matriz, 2 × 2, B. b) Determine todas as matrizes A, 2 × 2, que satisfazem:AB = BA para toda matriz B, 2 × 2. c) Tente generalizar a) e b) para matrizes n × n. 5. Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirma¸c˜oes abaixo (justifique suas respostas). a) Se A ´e matriz n × n e A2 = 0 ent˜ao A = 0, aqui 0 ´e a matriz nula. b) A ´unica matriz n × n sim´etrica e anti-sim´etrica ao mesmo tempo ´e a matriz nula. c) Se A ´e uma matriz n × n e A2 = In ent˜ao A = In ou A = −In (In ´e a matriz identidade n × n). d) Se A e B s˜ao duas matrizes n × n e AB = BA, ent˜ao (AB)p = Ap Bp para todo n´umero natural p. e) Se A e B s˜ao matrizes n × n tais que AB = 0 ent˜ao BA = 0. f) Se A ´e uma matriz n × n e A4 − 3A2 + 7A − In = 0 ent˜ao A ´e invert´ıvel (i.´e. AB = BA = In para alguma matriz B, n × n. SISTEMAS LINEARES e DETERMINANTES 6. Decida quais das matrizes abaixo est˜ao na forma escada (ou escalonada reduzida). Para as que n˜ao est˜ao encontre as suas respectativas matrizes na forma escada 1 −2 −1 0 1 0 −1 1 0 1 0 2 ; 1 0 0 5 0 0 1 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 ; 1 0 0 5 0 1 0 2 0 0 1 1 1 0 0 −1 ; 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 −1 1 . 7. Em cada um dos sistemas abaixo encontre, usando o met´odo de Gauss, sua solu¸c˜ao geral: 4x +3y −z +t = 4 x −y +2z −t = 0 5x +2y +z = 4 ; x +5y +4z −13z = 3 3x −y +2z +5t = 2 2x +2y +3z −4t = 1 ; x −y +2z −t = 0 3x +y +3z +t = 0 x −y −z −5t = 0 . 1
- 2. 8. Seja M = a 0 b 2 a a 4 4 0 a 2 b a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear. Para que valores de a e b o sistema admite: a) Solu¸c˜ao ´unica b) Solu¸c˜ao com uma vari´avel livre c) Solu¸c˜ao com duas vari´aveis livres d) Nenhuma solu¸c˜ao. 9. Considere o sistema AX = B, com A = 1 2 −3 3 −1 5 4 1 a2 − 16 e B = 4 2 a + 14 (a) Determine o valor (ou valores) de a para que o sistema tenha solu¸c˜ao ´unica. (b) Existem valores para a de forma que o sistema tenha infinitas solu¸c˜oes? (c) Existem valores para a de forma que o sistema n˜ao tenha solu¸c˜ao? 10. Sabendo que o sistema x +y +z = 1 mx +2y +3z = 0 m2 x +4y +9z = 1 admite uma ´unica solu¸c˜ao, podemos concluir que m pode assumir todos os valores do intervalo real: a) [0, 1] b) [1, 2] c) [3, 4) d)[0, 4]. 11 Resolva o sistema dependendo dos valores dos par´ametros respectivos: a) 2x1+ 3x2+ x3 = 1 x1+ 6x2+ x3 = 3 2x1− 3x2+ 2x3 = λ x1+ 3x2+ 2x3 = 1 ; b) x1− 2x2− x3+ x4 = −2 2x1+ 7x2+ 3x3+ x4 = 6 11x1+ 11x2+ 4x3+ 8x4 = 8 10x1+ 2x2+ 8x4 = λ . 12. a) Determine os coeficientes a, b, c e d da fun¸c˜ao polinomial p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, cujo gr´afico passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P3 = (3, −11) e P4 = (4, −14). b) Determine coeficientes a, b e c da equa¸c˜ao do c´ırculo, x2 + y2 + ax + by + c = 0, que passa pelos pontos P1 = (−2, 7), P2 = (−4, 5) e P3 = (4, −3). 13. Considere o sistema (∗) AX = B, com A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1. a) Mostre que: se Y1 e Y2 s˜ao solu¸c˜oes do sistema homogˆeneo associado AX = 0 e a e b s˜ao n´umeros reais ent˜ao Z = aY1 + bY2 tamb´em ´e solu¸c˜ao do homogˆeneo associado. b) Mostre que: Se X1 e X2 s˜ao solu¸c˜oes de (∗) ent˜ao Y = X2 −X1 ´e solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo associado AX = 0. c) Suponha que X0 ´e uma solu¸c˜ao particular de (∗) e mostre que qualquer soluc˜ao X de (∗) ´e da forma X = X0 + Y , com Y solu¸c˜ao do homogˆeneo associado. OBS: Na verdade pode-se provar que para todo sistema homogˆeneo (∗∗) AX = 0, com A uma matriz m × n, existem r solu¸c˜oes n˜ao nulas Y1, · · · , Yr, 0 ≤ r ≤ n, de (∗∗) tal que toda solu¸c˜ao Y de (∗∗) se escreve na forma Y = a1Y1 +a2Y2 +· · ·+arYr, com a1, · · · , ar n´umeros reais (r = 0 ocorre quando (∗∗) tem a solu¸c˜ao nula como ´unica solu¸c˜ao) . Portanto, por c), se o sistema (∗) tem uma solu¸c˜ao X0 ent˜ao toda solu¸c˜ao X de (∗) ´e do tipo X = X0 + a1Y1 + a2Y2 + · · · + arYr, com a1, · · · , ar n´umeros reais. A solu¸c˜ao X0 ´e comumente chamada de solu¸c˜ao inicial (ou particular) de (∗) e o conjunto {Y1, · · · , Yr} ´e chamado de um conjunto de geradores do sistema (∗) (ou simplesmente de geradores de (∗)) Observe ainda que X0 ´e a ´unica solu¸c˜ao de (∗) somente quando r = 0. d) Para se convencer do que a observa¸c˜ao acima afirma, encontre para cada um dos sistemas do exerc´ıcio 7., um conjunto de geradores do sistema e uma solu¸c˜ao particular (quando existir). 2
- 3. 14. Considere a matriz A = 1 2 3 1 1 2 0 1 2 a) Calcule o det(An ), para todo n´umero natural n. b) Usando escalonamento encontre a matriz inversa A−1 . 15. Dada uma matriz A = CD onde C−1 = 3 2 1 3 e D−1 = 2 5 3 −2 , resolva o sistema AX = B, sabendo-se que B = −1 0 . 16. Determine todos os valores de λ para os quais det(A − λI3) = 0. 2 −2 3 0 3 −2 0 −1 2 ; 2 2 3 1 2 1 2 −2 1 ; 1 0 0 −1 3 0 3 2 −2 17. Sabendo-se que para toda matriz, n × n, A com det(A) = 0 existe uma matriz, n × n, A tal que AA = In, mostre que: a) se B e C s˜ao matrizes n × n e BC = In ent˜ao CB = In. b) se det(B) = 0 (B matriz n × n) ent˜ao existe uma ´unica B−1 tal que BB−1 = B−1 B = In. 18. Encontre a inversa da matriz abaixo (se existe): 1 2 3 5 , a b −b a , cos x sen x −sen x cos x , 1 0 0 0 5 0 0 0 6 , 2 2 −1 2 −1 2 −1 2 2 , 1 3 −7 0 1 −2 0 0 1 . 19. Calcule os determinantes das matrizes: a) sen α cos α sen β cos β ; b) a + b a + c d + b d + c ; c) a b −b a ; d) 1 + x1y1 1 + x1y2 1 + x2y1 1 + x2y2 ; e) 1 a 1 b ; f) 1 1 −1 −1 0 1 −1 −1 0 ; g) 0 a 0 b c d 0 e 0 ; h) 1 1 1 a b c a2 b2 c2 ; i) a b c b c a c a b ; j) sen α cos α 1 sen β cos β 1 sen γ cos γ 1 ; k) 1 1 −6 −2 4 7 4 4 −2 −2 1 −2 −4 −7 0 −1 ; l) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 11 12 0 0 ; m) a b c d −b a d −c −c −d a b −d c −b a ; n) 1 −2 3 2 0 2 −1 1 0 0 −1 1 2 0 0 3 . 20. Resolva a equa¸c˜ao f(x) = 0 onde f(x) = det(A − xI) e a matriz A ´e a seguinte: a) 3 4 5 2 ; b) cos a sen a −sen a cos a ; c) 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ; d) 5 6 −3 −1 0 1 1 2 1 ; e) 5 2 −3 4 5 −4 6 4 −4 ; f) 4 −2 2 −5 7 −5 −6 6 −4 ; g) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ; h) −2 2 −2 2 1 −4 −2 −4 1 ; i) 2 −2 0 −2 3 −2 0 −2 4 . VETORES NO PLANO E NO ESPAC¸ O 21. Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado nos seguintes casos: a) Representa o vetor v = (1, −2, 1) e sua origem ´e o ponto P = (1, 0, 1). b) Representa o vetor v = (−1, 0, 1) e sua origem ´e o ponto m´edio entre os pontos P1 = (1, 1, 3) e P2 = (−1, 1, 1). 3
- 4. c) Representa o vetor v = (1, 1, 1) e sua extremidade ´e o ponto P = (1, 1, 1). 22. Verifique se os pontos dados abaixo s˜ao colineares: a) A = (1, 0, 1), B = (2, 2, 0) e C = (0, −2, 2); b) A = (0, 1, −1), B = (1, 2, 0) e C = (0, 2, 1); c) A = (3, 1, 4), B = (2, 7, 1) e C = (0, 1, 5). 23. Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 1, 1) e C = (0, 1, 2). a) Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam os v´ertices consecutivos de um paralelogramo b) Determine o ponto m´edio entre A e C e o ponto m´edio entre B e D. 24. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio (Sugest˜ao: Sejam M e N os pontos m´edios das duas diagonais. Mostre MN = 0.) 25. Demonstre que o segmento que une os pontos m´edios dos lados n˜ao paralelos de um trap´ezio ´e paralelo `as bases e seu comprimento ´e a m´edia aritm´etica dos comprimentos das bases. 26. Sejam OA e OB dois vetores n˜ao colineares no espa¸co. Qual o conjunto dos pontos P tais que OP = λOA + (1 − λ)OB? 27. a) Mostre que as medianas de um triˆangulo interseptam-se num ponto. Encontre a raz˜ao em que esse ponto divide cada mediana. b) Tente generalizar o item (a) para tetraedros. 28. A ´area do triˆangulo ABC ´e √ 6. Sabendo-se que A = (2, 1, 0), B = (−1, 2, 1) e que o v´ertice C est´a no eixo Y , encontre as coordenadas de C. 29. a) Decompor o vetor w = (1, 3, 2) como soma de dois vetores w = u + v, onde u ´e paralelo ao vetor (0, 1, 3) e v ´e ortogonal a (0, 1, 3). b) Encontre um vetor u que seja ortogonal aos vetores (2, 3, −1) e (2, −4, 6) tal que u = 3 √ 3. 30. a) Demonstre que n˜ao existe x tal que os vetores v = (x, 2, 3) e u = (x, −2, 3) sejam perpendiculares. b) Encontre o ˆangulo entre os vetores u = (2, 1, 0) e v = (0, 1, −1) e entre os vetores w = (1, 1, 1) e z = (0, −2, −2). 31. a) Dado um triˆangulo is´osceles, mostre que a mediana relativa `a base ´e a mediatriz (i.´e., ´e perpen- dicular `a base). b) Mostre que: Se um triˆangulo tem duas medianas iguais ent˜ao ele ´e is´osceles. 32. Sejam u e v dois vetores de comprimentos iguais, mostre que para quaisquer n´umeros a e b, os vetores au + bv e av + bu tˆem o mesmo comprimento. O que significa isso? 4