Exercitandoaula2
- 1. EXERCITANDO (Aula 2) 1. Dê exemplo de matrizes A e B quadradas de mesmo tamanho tais que det (A + B) = det A + det B. 2. Seja A uma matriz n × n. Mostre que det (−A) = (−1) n det A. 3. Seja A uma matriz n × n e x ∈ R. Demonstre que det (xA) = xn det A. 4. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que det (Am ) = (det A)m para todo inteiro positivo m. 5. Se, numa matriz quadrada A, uma coluna é combinação linear das demais, mostre que det A = 0. 6. Calcule a − b b − c c − a m − n n − p p − m x − y y − z z − x usando somente as propriedades elementares. 7. Discuta, usando a regra de Cramer, o conjunto solução de cada sistema linear abaixo segundo os valores do parâmetro a. a) ax + y − 1 = 0 2x + ay − 2 = 0 ; b) x + y + z = 0 x + 2y + az = 0 x + 4y + a2 z = 0 . 8. (Regra de Chió) Seja A = 1 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann . Mostre que o determinante de A é igual ao determinante da seguinte matriz (n − 1) × (n − 1): a22 − a12a21 a23 − a13a21 · · · a2n − a1na21 a32 − a12a31 a33 − a13a31 · · · a3n − a1na31 ... ... ... ... an2 − a12an1 an3 − a13an1 · · · ann − a1nan1 9. Sejam A e B matrizes n × n. Mostre que det (AB) = det (BA) . 10. Mostre que as matrizes abaixo são invertíveis e calcule suas inversas pela fórmula A−1 = 1 det A adjA. a) cos a sen a − sen a cos a ; b) −1 2 1 0 1 −3 4 0 2 ; c) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 . 11. Seja A uma matriz anti-simétrica n × n. Mostre que se n é ímpar, então det A = 0. 12. Demonstre que a + x b + x c + x a + y b + y c + y a2 b2 c2 = (b − a) (c − a) (c − b) (x − y) . 13. Calcule a2 (a + 2)2 (a + 4)2 (a + 2) 2 (a + 4) 2 (a + 6) 2 (a + 4) 2 (a + 6) 2 (a + 8) 2 . 14. Seja A = 1 a1 a2 1 1 a2 a2 2 1 a3 a2 3 . Mostre que det A = (a2 − a1) (a3 − a1) (a3 − a2) . 15. Se A é uma matriz ortogonal (i.e., t A = A−1 ), mostre que det A = ±1. 16. Demonstre que duas matrizes semelhantes têm mesmo determinante. 17. Mostre que cos 2a cos2 a sen2 a cos 2b cos2 b sen2 b cos 2c cos2 c sen2 c = 0. 18. Sejam a, b e c números inteiros. Demonstre que o seguinte determinante é divisível por a + b + c: (b + c) 2 b2 c2 a2 (a + c) 2 c2 a2 b2 (a + b)2 19. Mostre que a − b − c 2a 2a 2b b − c − a 2b 2c 2c c − a − b = (a + b + c) 3 . 20. Seja A uma matriz n×n. Mostre que A é invertível ⇔ existem matrizes elementares E1, ..., Er tais que A = Er · · · E1. 21. Sejam A e A matrizes m × n. Mostre que A é linha-equivalente a A ⇔ existe uma matriz invertível P, m × m, tal que A = PA. 22. Quantas submatrizes 3 × 3 (distintas ou não) admite uma matriz 4 × 4? E quantas 2 × 2? 23. Sejam r ≤ m e s ≤ n inteiros positivos. Quantas submatrizes (distintas ou não) r × s admite uma matriz m × n? 1
- 2. 24. Calcule o posto das matrizes abaixo, primeiro, pela definição e, depois, usando o Teorema 16(?). a) 2 1 5 6 3 15 ; b) 1 2 1 0 −1 0 3 5 1 −2 1 1 ; c) 0 2 0 2 1 1 0 3 3 −4 0 2 2 −3 0 1 . 25. Determine os valores de a para que a seguinte matriz tenha posto 3: 1 1 a 1 1 a 1 a 1 −1 1 3 26. Seja A uma matriz n × n. Mostre que A é invertível ⇔ p (A) = n. 27. Seja AX = B uma sistema linear de matriz completa C. Demonstre que p (A) ≤ p (C) e que o sistema tem solução ⇔ p (A) = p (C) . 28. Seja A = (aij) uma matriz n × n. Demonstre que se i = k, então ai1 (−1) k+1 D (ak1) + ai2 (−1) k+2 D (ak2) + · · · + ain (−1) k+n D (akn) = 0 ou seja, o produto escalar da i-ésima linha de A pela k-ésima linha da matriz dos cofatores de A é zero se i = k. 29. Seja A uma matriz n × n. Demonstre que A (adjA) = (det A) I = (adjA) A. Conclua que A é invertível ⇔ adjA o é. Em caso afirmativo, determine (adjA)−1 . 30. Seja A = 1 a1 a2 1 · · · an−1 1 1 a2 a2 2 · · · an−1 2 1 a3 a2 3 · · · an−1 3 ... ... ... ... ... 1 an a2 n · · · an−1 n , em que n > 1. Esta chama-se matriz de Vandermonde. Demonstre, utilizando o princípio de indução, sobre n, que det A = i>j (ai − aj) . 31. Seja A uma matriz n × n, em que n ≥ 2 e os termos de cada linha estão em progressão geométrica de primeiro termo não nulo. Mostre que det A = 0 ⇔ duas progressões têm mesma razão. 32. Seja A uma matriz n × n. Demonstre que se det A = 0, então uma coluna de A é combinação linear das demais. 33. Seja A uma matriz n × n. Demonstre que se det A = 0, então uma linha de A é combinação linear das demais. 34. Mostre que se o polinômio f (x) = a0 + a1x + · · · + anxn tem n + 1 raízes distintas, então a0 = a1 = · · · = an = 0. Conclua que todo polinômio de grau n admite no máximo n raízes. RESPOSTAS 1) A = 1 0 0 0 e B = 0 0 0 1 ; 6) zero; 7) a) O sistema tem única solução ⇔ a = ± √ 2 e é impossível para a = ± √ 2. b) O sistema admite única solução ⇔ a = 1 e a = 2 e é possível indeterminado para a = 1 ou a = 2; 8) A idéia é zerar os elementos da primeira linha de A exceto o de posição (1, 1) que é igual a 1. Faça isto substituindo a coluna Aj por Aj − a1jA1 para 2 ≤ j ≤ n; 10) a) cos a − sen a sen a cos a ; b) − 1 15 2 15 7 30 2 5 1 5 1 10 2 15 − 4 15 1 30 ; c) 1 2 −1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 −1 2 −1 2 1 2 0 1 2 1 2 −1 2 1 −1 2 ; 13) −29 ; 22) São 16 matrizes 3 × 3 e 36 matrizes 2 × 2; 23) m r · n s ; 24) a) 1; b) 3; c) 2; 25) a = 1; 28) Substitua a k-ésima linha de A pela i-ésima linha. O determinante desta matriz é zero. Agora, expanda-o segundo sua k-ésima linha; 29) Observe que o produto escalar da i-ésima linha de A pela i-ésima coluna de adjA é igual a det A, expandido pela i-ésima linha. Note ainda que o produto escalar da i-ésima linha de A pela k-ésima coluna de adjA, i = k, é igual a zero, pois é o produto escalar da i-ésima linha de A pela k-ésima linha da matriz dos cofatores de A. A partir dessas observações conclua que A (adjA) = (det A) I. Para concluir que (adjA) A = (det A) I, use o mesmo raciocínio. Em seguida, para concluir que A é invertível se adjA o for, suponha, por absurdo, que det A = 0. Daí, A (adjA) = O. Sendo A = O, uma vez que adjA = O, deduza a contradição; 30) Para mostrar que o resultado vale para matrizes de Vandermonde n × n admitindo que vale para matrizes de Vandermonde (n − 1) × (n − 1), substitua An por An − a1An−1 , An−1 − a1An−2 , ..., A2 por A2 − a1A1 ; 31) Use o exercício anterior; 32) Considere o sistema linear homogêneo x1A1 + x2A2 + · · · + xnAn = O e use os teoremas 3 do texto complementar 1 desta aula, 3 e 2 do tópico 3 desta aula; 33) Trabalhe com t A e use o exercício anterior; 34) Se b1, b2, ..., bn+1 são raízes distintas de f (x), considere o sistema x1 + b1x2 + b2 1x3 + · · · + bn 1 xn+1 = 0 x1 + b2x2 + b2 2x3 + · · · + bn 2 xn+1 = 0 ... ... ... ... x1 + bn+1x2 + b2 n+1x3 + · · · + bn n+1xn+1 = 0 . Observe que a matriz dos coeficientes é de Vandermonde e que x1 = a0, x2 = a1, ..., xn+1 = an é solução do sistema. 2