SlideShare uma empresa Scribd logo

Algebra Linear cap 01

Andrei Bastos, profile picture
Andrei Bastos

O documento apresenta um resumo sobre matrizes, abordando sua história, definição, tipos especiais e operações básicas. As matrizes surgiram para resolver sistemas lineares e seu nome foi dado por Cayley em 1850, sendo amplamente utilizadas na álgebra linear.

1 de 18
Baixado 24 vezes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 1 MATRIZES HISTÓRICO O pai das matrizes foi Cayley que, em 1850 divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Elas surgiram para a resolução de Sistemas Lineares. Mas foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. No entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Lagrange em 1790. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy que as chamavam de tabelas. O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. Definição: Chamamos de Matriz, a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada por mxnij )a(A = , onde o par de índices "ij" , representam a posição de cada elemento ija dentro da matriz, sendo que o índice "i" indica a qual linha pertence o elemento e "j" a qual coluna. O par de índices "mxn", representam o tamanho da matriz, sendo que o índice "m" indica a quantidade de linhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Toda matriz pode ser representada, genericamente, por:               = mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A Indicaremos por )(Mmxn ℜ o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e com elementos reais. • Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por )(Mn ℜ ou simplesmente nM . Matriz quadrada é aquela que tem a mesma quantidade de linhas e colunas. • Se m ≠ n, a matriz será chamada de matriz retangular de ordem mxn e representada por )(Mmxn ℜ ou simplesmente mxnM .
2 • Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, ( ) 11111x1 aaM == . Assim, todo número real pode ser representado por umas matriz de ordem 1x1. Exemplo (1): Escrever a matriz 3x2ij )a(A = tal que      <− = >+ = jise,ji2 jise,i jise,j2i a j ij Solução: A matriz 3x2ij )a(A = é representada por:       = 232221 131211 aaa aaa A . Então: 11ia 1j 11 === ; 42ia 2j 22 === , pois i = j 0212ji2a12 =−⋅=−= ; 1312ji2a13 −=−⋅=−= ; 1322ji2a23 =−⋅=−= , pois i < j 3112j2ia21 =⋅+=+= Portanto:       − = 143 101 A 1.1 Matrizes Especiais • Matriz Nula: é a matriz mxnO , na qual todos os seus elementos são nulos, ou seja:               = 0...00 ............ 0...00 0...00 A • Matriz Linha: é toda matriz de ordem 1xn, ou seja: ( )n11211 a...aaA = . • Matriz Coluna: é toda matriz de ordem mx1, ou seja:               = 1m 21 11 a ... a a A • Matriz Quadrada: é toda matriz de ordem nxn, ou seja:               = nn2n1n n22221 n11211 nxn a...aa ............ a...aa a...aa A . Os elementos onde i = j formam o que chamamos de diagonal principal. • Matriz Triangular: é uma matriz quadrada, e pode apresentar dois casos;
3 a) Triangular Inferior: é tal que jise0aij <= ⇒               = nn2n1n 2221 11 nxn a...aa ............ 0...aa 0...0a A b) Triangular Superior: é tal que jise0aij >= ⇒               = nn n222 n11211 nxn a...00 ............ a...a0 a...aa A • Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada, na qual cada    ≠ =ℜ∈∀ = jise,0 jise,x aij ⇒               = nn 22 11 nxn a...00 ............ 0...a0 0...0a A • Matriz Identidade: é uma matriz quadrada, denotada por nId , na qual cada    ≠ = = jise,0 jise,1 aij ⇒               = 1...00 ............ 0...10 0...01 Anxn • Matriz Transposta: Dada uma matriz mxnij )a(A = , então sua transposta é uma matriz nxmji t )a(A = . É a matriz tal que jiij aa = . Assim, dada uma matriz A, para obter sua transposta trocamos as linhas com as respectivas colunas. • Matriz Simétrica: é uma matriz An, quadrada, tal que At = A. • Matriz Anti-Simétrica: é uma matriz quadrada tal que At = -A. 1.2 Operações com Matrizes • Igualdade: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: jei,baBA ijij ∀=⇔= • Adição: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: mxnijij )ba(BA +=+ .
4 Propriedades da adição: Sejam mxnijmxnijmxnij )c(Ce)b(B,)a(A === . Então são válidas as seguintes propriedades: a) Comutativa: A + B = B + A b) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento Neutro: ∀A∈Mmxn, ∃O∈Mmxn (matriz nula de ordem mxn) tal que A+O=O+A=A. d) Elemento Oposto: ∀A∈Mmxn, ∃(-A)∈Mmxn (matriz oposta de ordem mxn) tal que A + (-A) = (-A) + A = O. • Subtração: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: mxnijij )ba(BA −=− . OBS: A subtração não possui nenhuma propriedade. Vamos interpretar a subtração da seguinte forma: )B(ABA −+=− , ou seja, a subtração é a adição com a matriz oposta de B, nestas condições, as propriedades são as mesmas da adição. • Produto por escalar: Sejam mxnij )a(A = e ℜ∈α∀ . Então: mxnij )a(A ⋅α=⋅α . Propriedades: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == e ℜ∈βα∀ e . a) A)()A()A( αβ=βα=αβ b) BA)BA( α+α=+α c) AAA)( β+α=β+α d) AA1 =⋅ • Multiplicação: Sejam pxqjkmxnij )b(Be)a(A == . O produto da matriz A por B, indicado por BA ⋅ , só é possível de n = p, e a nova matriz terá ordem mxq, representada por mxqik )c(C = , sendo que : ∑ = ⋅= n 1j jkijik bac , para i=1,2,...,m e k=1,2,...,q. OBS: Para haver o produto entre as matrizes pxqmxn BeA , é necessário que o número de colunas da matriz à esquerda seja igual ao número de linhas da matriz à direita e, a ordem da matriz produto é o número de linhas da matriz à esquerda pelo número de colunas da matriz à direita, ou seja: Propriedades: Sejam A, B e C, matrizes tais que o produto entre elas sejam possíveis. Então: mxq A m x n ⋅ B p x q n=p
5 a) Não vale a comutativa: ABBA ⋅≠⋅ b) Associativa: C)BA()CB(A ⋅⋅=⋅⋅ c) Distributiva:    ⋅+⋅=⋅+ ⋅+⋅=+⋅ CBCAC)BA(:direitaà CABA)CB(A:esquerdaà d) Elemento Neutro: Seja mxnij )a(A = . O elemento neutro é a matriz identidade de ordem m ( mId ) ou ordem n ( nId ), pois: AIdA n =⋅ e AAIdm =⋅ . Exemplo (2): Sejam       − = 10 12 A ,       −− = 312 105 B e       − = 01 84 C . Determine se possível: a) CA2 + d) CB⋅ b) BA⋅ e) B)C3A( ⋅− c) CB+ f) 2 A Solução: a)       − =      ++ −−+ =      − +      − =+ 11 96 0110 8142 01 84 10 12 2CA2 b)       −⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅ −⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅−+⋅ =      −− ⋅      − =⋅ )3(110)1(1002150 )3()1(12)1()1(022)1(52 312 105 10 12 BA ⇒       −− =⋅ 312 518 BA c) Não é possível pois, B e C não têm a mesma ordem. d) Não é possível pois, o número de colunas da matriz 3x2B não é igual ao número de linhas da matriz 2x2C . e)       −− ⋅      − − =      −− ⋅            − −      − =⋅− 312 105 13 2310 312 105 01 84 3 10 12 B)C3A( ⇒       −−− −−− =⋅− 6113 79234 B)C3A( f)       − =      − ⋅      − =⋅= 10 34 10 12 10 12 AAA2 1.3 Matriz Inversível Definição: Uma matriz quadrada de ordem n se diz inversível, se , e somente se, existe uma matriz quadrada B de ordem n, de modo que nIdABBA =⋅=⋅ . Essa matriz B, caso exista, é única e chamada de inversa de A, denotada por 1 A− .
6 1.3.1 Determinação da inversa 1º Método - Por Definição Aplicando a definição, onde 1 A− será escrita genericamente, vamos encontrar um sistema linear. Se o sistema for possível e determinado (apenas uma solução),então existe a inversa. Se o sistema for impossível, então não existe a inversa. Exemplo (3): Sejam       = 42 31 A e           = 112 123 021 B . Determine a inversa pela definição, se houver. Solução: Seja       =− dc ba A 1 . Por definição 2 1 IdAA =⋅ − . Então:       =      ⋅      10 01 dc ba 42 31 ⇒       =      ++ ++ 10 01 d4b2c4a2 d3bc3a ⇒    =+ =+ 0c4a2 1c3a e    =+ =+ 1d4b2 0d3b . Resolvendo os sistemas lineares teremos         − − =− 2 1 2 3 1 1 2 A . Seja           =− ihg fed cba B 1 . Então, 3 1 IdBB =⋅ − ⇒           =           ⋅           100 010 001 ihg fed cba 112 123 021 ⇒      =++ =++ =+ 0gda2 0gd2a3 1d2a e      =++ =++ =+ 0heb2 1he2b3 0e2b e      =++ =++ =+ 1ifc2 0if2c3 0f2c Resolvendo os três sistemas lineares teremos:           − − −− =− 431 111 221 B 1 2º Método - Por Operações Elementares Podemos aplicar operações nas filas (linhas ou colunas) de uma matriz, sem alterar suas propriedades. Estas operações, chamadas de operações elementares são as seguintes: a) Permutar duas filas paralelas; b) Multiplicar uma fila por um escalar α, ℜ∈α∀ , com 0≠α ; c) Somar a uma fila uma outra fila paralela multiplicada por α, ℜ∈α∀ , com 0≠α ;
7 O método das operações elementares consiste no seguinte: do lado esquerdo escrevemos a matriz A e do lado direito a matriz identidade de mesma ordem da A. Através de operações elementares transformamos a matriz A na matriz identidade. As mesmas operações que aplicamos na matriz A, devemos aplicar na matriz identidade que está do lado direito. No final do processo o que resulta do lado esquerdo é a matriz identidade e do lado direito a matriz inversa 1 A− . Exemplo (4): Sejam       = 42 31 A e           = 112 123 021 B . Determine sua inversa, por operações elementares, se houver. Solução:       −− −  →      −−  →      ++− 12*20 2*01 12*20 01*31 10*42 01*31 2 3LLLL2 122 3 21         − −  → − 2 1 2 3L 1*10 2*0122 1 ⇒         − − =− 2 1 2 3 1 1 2 A  →           −− −−           − +− +− → 24 121 31 L LL3 LL2 102*130 013*140 001*021 100*112 010*123 001*021 → + +           − −− →           −− −− 23 3 32 LL L4 4 3 4 1 4 1 4 1 4 3 4 1LL3 4 1 4 3 4 1 1*00 0*10 001*021 102*130 0*10 001*021           − − −−  →           − − +− 431*100 111*010 221*001 431*100 111*010 001*021 12 LL2 ⇒           − − −− =− 431 111 221 B 1 OBS: No exemplo acima, por exemplo, 21 LL2 +− significa: menos duas vezes a linha 1 somada a linha 2. Note que, nesta passagem, quem sofreu alteração foi a linha 2, que a ela foi soma a linha 1 multiplicada por -2. Se ao aplicarmos operações elementares em uma matriz e ela apresentar uma ou mais filas nulas, então a matriz não admite inversa.
8 2 DETERMINANTES HISTÓRICO Os primeiros estudos sobre determinantes datam provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683 que o japonês Seki Kowa usou a idéia de determinante em seus trabalhos sobre sistemas lineares. O uso do determinante no Ocidente começou 10 anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. O francês Étienne Bézout (1730-1783), sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonte (1735-1796), a primeira abordagem da teoria dos determinantes. O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl Jacobi (1804-1851). Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta até hoje. Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de determinante da matriz A, denotado por det(A), ao número real obtido através de operações realizadas com os elementos da matriz, conforme os métodos apresentados abaixo. 2.1 Regra de Sarrus A regra de Sarrus se aplica a determinantes de 2ª e 3ª ordem com segue: • Determinante de 2ª ordem: Seja       = 2221 1211 aa aa A ⇒ 2221 1211 aa aa )Adet( = ⇒ )aa()aa()Adet( 21122211 ⋅−⋅= . • Determinante de 3ª ordem: Seja           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A ⇒ 333231 232221 131211 aaa aaa aaa )Adet( = ⇒ )aaaaaaaaa()aaaaaaaaa()Adet( 122133322311312213133221312312332211 ++−++= Regra prática: 32 22 12 31 21 11 333231 232221 131211 a a a a a a aaa aaa aaa )Adet( = Exemplo (5): Resolver os determinantes usando a regra de Sarrus: )aaaaaaaaa( 133221312312332211 +++)aaaaaaaaa( 122133322311312213 ++−
9 a) 24 23− b) 243 231 021 − − Solução: a) 1486)42()23( 24 23 −=−−=⋅−⋅−= − b) )]1(22)4(21330[)]4()1(0322231[ 243 231 021 −⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅= − − = 301218)480()0126( =+=−−−++= 2.2 Regra de Laplace Definição: Dada uma matriz quadrada nxnij )a(A = , de ordem 2n ≥ , chamamos de cofator do elemento aij, e indicado por Aij, ao seguinte número: ij ji ij D)1(A ⋅−= + , onde Dij é o determinante de ordem menor, formado pelos elementos restantes, quando retiramos a linha e a coluna as quais pertence o elemento aij. Exemplo (6): Determine o cofator dos elementos a23 e a31 da matriz           − − = 133 011 212 A . Solução: 9)36(1 33 12 )1(D)1(A 5 23 32 23 −=+⋅−= − ⋅−=⋅−= + 2)20(1 01 21 )1(D)1(A 4 31 13 31 =+⋅+= − − ⋅−=⋅−= + Teorema de Laplace: Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . O determinante da matriz A é a somatória dos elementos aij pelos seus respectivos cofatores Aij, em relação a qualquer linha ou coluna da matriz A, ou seja, se               = nn2n1n n22221 n11211 nxn a...aa ............ a...aa a...aa A , então, em relação a primeira linha, temos que: n1n112121111 Aa...AaAa)Adet( +++= .
10 OBS: Podemos aplicar o Teorema de Laplace a qualquer linha ou coluna da matriz A, de preferência aquela que tiver a maior quantidade de zeros, pois evita cálculos. O Teorema de Laplace é uma regra geral, ele se aplica a determinantes de qualquer ordem. Exemplo (7): Resolver o determinante 243 231 021 )Adet( − −= usando o Teorema de Laplace. Solução: Vamos aplicar o teorema de Laplace para os elementos da coluna 3: 333323231313 AaAaAa)Adet( ++= 31 21 )1(2 43 21 )1(2 43 31 )1(0)Adet( 333231 − −⋅+ − −⋅+ − − −⋅= +++ 301020)5(2)10(2)Adet( =+=⋅+−⋅−= 2.3 Regra de Chió Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . No determinante da matriz A, identificar um elemento 1aij = . Retirar a linha e a coluna as quais pertence o elemento 1aij = . Restará um determinante de ordem menor, do qual devemos retirar de cada elemento ija , o produto dos elementos referentes a linha e a coluna que foram retiradas. Este determinante deverá ser multiplicado por ji )1( + − , onde i e j são os índices do elemento 1aij = . Por exemplo, suponhamos que 1a11 = . Se a matriz                 = nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 a...aaa ............... a...aaa a...aaa a...aaa A , então 1nn1nn1n133n1n122n 31n1n3311333311232 21n1n2211323211222 11 aaa...aaaaaa ............ aaa...aaaaaa aaa...aaaaaa )1()Adet( ⋅−⋅−⋅− ⋅−⋅−⋅− ⋅−⋅−⋅− ⋅−= + Exemplo (8): Resolver o determinante 243 231 021 )Adet( − −= usando o a regra de Chió. Solução: Vamos aplicar a regra de Chió para o elemento 1a11 = :
11 )210(25 210 25 302324 )1(02)1(23 )1()Adet( 11 ⋅−−⋅= − = ⋅−⋅−− −⋅⋅−−⋅− ⋅−= + ⇒ 30)Adet( = 2.4 Propriedades dos determinantes • 0)Adet( = , se possui uma fila (linha ou coluna) nula; se duas filas paralelas são iguais; se duas filas paralelas são proporcionais (múltiplas) ou se uma das filas é combinação linear da demais. • Determinante da matriz triangular (e também a matriz diagonal) é o produto dos elementos da diagonal principal. • Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um escalar, ℜ∈α∀ , o determinante ficará multiplicado por α. • Se permutarmos duas filas paralelas de uma matriz A, o determinante ficará multiplicado por -1. • Se numa matriz A adicionarmos a uma fila uma outra paralela, multiplicada por um escalar, ℜ∈α∀ , o determinante são se altera. • Se nn2nn n2222 n1121 nn2n1n n22221 n11211 nn2nn1n n222221 n112111 a...ax ............ a...ax a...ax a...aa ............ a...aa a...aa a...axa ............ a...axa a...axa )Adet( += + + + = • )Adet()Adet( t = • )Adet( 1 )Adet( 1 =− • )Bdet()Adet()BAdet( ⋅=⋅ 2.5 Matriz Inversa através da Matriz Adjunta Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Cofatora da matriz A, denotada por Cof(A), a matriz constituída dos cofatores de cada elemento aij. (veja a definição de cofator no item 2.2) Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Adjunta, denotada por Adj(A), a transposta da matriz cofatora, ou seja, t ))A(Cof()A(Adj = .
12 Proposição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ . Então, a matriz inversa da matriz A é determinada por: )A(Adj )Adet( 1 A 1 ⋅=− , com 0)Adet( ≠ . Exemplo (9): Seja e           = 112 123 021 B . Determine sua inversa, através da matriz adjunta, se houver. Solução: Como 01)Bdet( ≠−= , então a matriz B admite inversa.           −− − −− =                   −−− −−− −−− = +++ +++ +++ 412 312 111 23 21 )1( 13 01 )1( 12 02 )1( 12 21 )1( 12 01 )1( 11 02 )1( 12 23 )1( 12 13 )1( 11 12 )1( )B(Cof 332313 322212 312111 ( )           −− −− − == 431 111 221 )B(Cof)B(Adj t ⇒           −− −− − − =⋅=− 431 111 221 1 1 )B(Adj )Bdet( 1 B 1           − − −− =− 431 111 221 B 1 3 SISTEMAS LINEARES HISTÓRICO Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). Definição: Considere uma equação da seguinte forma: bxa...xaxa nn2211 =+++ , ℜ∈∀ n21 a,...,a,a , chamados de coeficientes; ℜ∈∀b , chamado de termo
13 independente e n21 x,...,x,x são variáveis reais, com expoente igual a 1, chamadas de incógnitas . Uma equação desse tipo é chamada de equação linear a n incógnitas. Definição: Seja uma equação linear bxa...xaxa nn2211 =+++ . Chama-se solução dessa equação, uma seqüência de n números reais (n-úpla) n21 ,...,, ααα , tal que: ba...aa nn2211 =α++α+α é uma igualdade verdadeira. Definição: Chama-se de sistema linear, denotado por Smxn, a um conjunto formado por duas ou mais equações lineares nas mesmas variáveis reais n21 x,...,x,x . O par de índices mxn é chamado de ordem do sistema indicando m equações e n incógnitas. Genericamente representado por:        =+++ =+++ =+++ mnmn22m11m 2nn2222121 1nn1212111 mxn bxa...xaxa .................................................... bxa...xaxa bxa...xaxa :S Definição: Chama-se solução de um sistema linear S, uma n-úpla n21 ,...,, ααα de números reais, que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema S. 3.1 Classificação dos Sistemas Lineares • Sistema Possível e Determinado (SPD): admite apenas uma única solução • Sistema Possível e Indeterminado (SPI): admite infinitas soluções • Sistema Impossível (SI): não admite solução. 3.2 Métodos de Resolução de Sistemas Lineares Algumas operações elementares podem ser aplicadas nas equações de um sistema linear, sem que isso altere sua solução, obtendo, assim, um sistema equivalente ao primeiro. Estas operações são as seguintes: i) Permutar uma ou mais equações; ii) Multiplicar uma ou mais equações por escalares reais diferentes de zero; iii) A uma equação, adicionar uma outra multiplicada por um escalar diferente de zero. • Método da Substituição: consiste em "isolar" uma das variáveis de qualquer equação e substituí- la nas demais, abaixando a ordem do sistema. Repetir o processo até obtermos uma única equação dependendo apenas de uma só variável.
14 Exemplo (10): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição      =++− =+− −=−+ 8z5yx 9z3yx2 3zy2x :S Solução: Note que o sistema S tem ordem 3x3. Vamos isolar a variável x da primeira equação e substituí-la nas demais: 3zy2x −+−= (*). Então:    =++−+−− =+−−+− 8z5y)3zy2( 9z3y)3zy2(2 ⇒    =+ =+− ′ 5z4y3 15z5y5 S . Agora temos um sistema S′ equivalente de ordem 2x2. Vamos isolar a variável y na primeira equação e substituí-la na segunda: 3zy −= (**). Então: 2z5z4)3z(3 =⇒=+− . Fazendo 2z = em (**) obtemos 1y −= . Fazendo 2z = e 1y −= em (*) obtemos 1x = . Portanto o sistema S é SPD, pois admite uma única solução }2z,1y,1x{ =−== . OBS: Se ao aplicarmos o método da substituição ou o método do escalonamento (veremos a seguir) na resolução de um sistema linear e, aparecerem uma ou mais equações do tipo 0x0...x0x0 n21 =+++ , isso significa que elas eram combinação linear das demais e dever ser retiradas do sistema. Caso apareçam equações do tipo α=+++ n21 x0...x0x0 , com 0≠α , estas serão igualdades falsas, indicando que o sistema é SI e não tem solução. Exemplo (11): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição      =−+ =+− =+− 0z3yx 1z2yx 2zyx3 :S Solução: Isolando a variável y na primeira equação e substituindo nas demais teremos: 2zx3y −+= (*) ⇒    =−−++ =+−+− 0z3)2zx3(x 1z2)2zx3(x ⇒    =− −=+− ′ 2z2x4 1zx2 :S Isolando a variável z na primeira equação e substituindo na segunda: 1x2z −= (**) ⇒ 0x02)1x2(2x4 =⇒=−− , ou seja, esta equação é combinação linear das outras. Portanto o sistema está resolvido e ele é SPI e sua solução geral é dada por: substitua (**) em (*) e teremos 3x5y −= . Solução Geral: { }ℜ∈∀−=−= x,1x2z;3x5y .
15 • Método do Escalonamento: Dado um sistema linear        =+++ =+++ =+++ mnmn22m11m 2nn2222121 1nn1212111 mxn bxa...xaxa .................................................... bxa...xaxa bxa...xaxa :S através de operações elementares aplicadas em suas equações, obtemos o seguinte sistema equivalente, chamado de sistema escalonado:         β=α β=α++α β=α++α+α β=α++α+α+α ′ mnmn 3nn3333 2nn2323222 1nn1313212111 x ...................................................................... x...x x...xx x...xxx :S com o objetivo de que a última equação dependa somente da incógnita xn, determinando, assim, o seu valor e depois o valor das demais incógnitas. Note que, se associarmos ao sistema escalonado S′ , uma matriz dos coeficientes, teremos uma matriz triangular superior na forma escalonada, ou seja:                 α αα ααα αααα mn n333 n22322 n1131211 ...000 ............... ...00 ...0 ... Exemplo (12): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento      =++− =+− −=−+ 8z5yx 9z3yx2 3zy2x :S Solução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e dos termos independentes. Então:           −− −− →           − −− →           − − −− −+− + 5430 3110 3121 5430 15550 3121 8511 9312 3121 25 1 21 31 LLL2 LL           −− −− → +− 14700 3110 3121 32 LL3 . Note que a matriz está escalonada e, portanto, podemos voltar ao sistema escalonado. Assim:      = −=− −=−+ ′ 14z7 3zy 3zy2x :S . Da última equação temos que 2z = . Substituindo na segunda equação teremos 1y −= . Com os valores de y e z, substituímos
16 na primeira equação e teremos 1x = . Portanto, o sistema S é SPD, pois admite uma única solução }2z,1y,1x{ =−== . Exemplo (13): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento      =++ −=++− =−+ 8zy4x 3z2yx 5zy3x2 :S Solução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e do termo independente trocando a primeira equação com a segunda. Então:           − −− →           − −− →           − −− +−+ + 6000 1350 3211 5350 1350 3211 8141 5132 3211 3221 31 LL1LL2 LL . Note que a matriz está escalonada e apresenta a última equação 6z0y0x0 =++ , o que é uma falsidade, indicando que o sistema é SI e, portanto, não tem solução. 3.3 Sistema Linear Homogêneo É o sistema linear em que todos os termos independentes das equações são nulos, ou seja:        =+++ =+++ =+++ 0xa...xaxa .................................................... 0xa...xaxa 0xa...xaxa :H nmn22m11m nn2222121 nn1212111 mxn . Uma particularidade dos sistemas homogêneos é que eles são sempre possíveis (SPD ou SPI). Note que, um sistema homogêneo sempre admite a solução trivial (0,0,...,0). Assim, sua classificação se reduz a: • Sistema Possível e Determinado (SPD): só admite a solução trivial • Sistema Possível e Indeterminado (SPI): além da solução trivial admite outras infinitas. Exemplo (14): Resolver os sistemas homogêneos aplicando o método indicado: a)      =++ =−+ =−+ 0zy3x3 0z2yx2 0z3y2x :H , método da substituição b)      =+ =−− =++ 0y3x4 0z2yx2 0zy2x :H , método do escalonamento
17 Solução: a) Da primeira equação temos que z3y2x +−= (*). Substituindo nas outras duas, teremos:    =+++− =−++− 0zy3)z3y2(3 0z2y)z3y2(2 ⇒    =+− =+− ′ 0z10y3 0z4y3 :H . Da primeira equação vem que z4y3 −=− (**). Substituindo na segunda, teremos: 0z0z60z10z4 =⇒=⇒=+− . Fazendo 0z = em (**), temos que 0y = . Fazendo 0ze0y == em (*), temos que 0x = . Portanto, o sistema é SPD e a solução é a trivial }0z,0y,0x{ === . b) Vamos trabalhar com a matriz dos coeficientes, uma vez que não é necessário trabalhar com a coluna dos termos independentes, pois são todos nulos. Então:           −−→           −− −−→           −− +−+− +− 000 450 121 450 450 121 034 212 121 3221 1 LL1LL2 3LL4 . A matriz já está escalonada. Retirando a linha nula e voltando ao sistema equivalente, teremos:    =−− =++ ′ 0z4y5 0zy2x :H . Da segunda equação, temos: zy 5 4−= . Substituindo na primeira equação, teremos: ( ) zx0zz2x 5 3 5 4 =⇒=+−+ . Portanto, o sistema é SPI e sua solução geral é { }ℜ∈∀−== z,zy,zx 5 4 5 3 . Note que, para 0z = , teremos x = y = 0, ou seja, a solução trivial, mas não é a única, existem outras infinitas soluções. Exercícios Propostos 1) Sejam       − = 10 21 A ,       − − = 121 430 B e       − = 012 111 C . Determine a matriz X tal que )C3B(AC2X 2 −=+ . Resp:       −− −−− = 167 185 X 2) Determine a matriz inversa, se houver. a)       − − = 46 12 A Resp (a):       − − =− 13 2 A 2 1 1 b)           −− −= 301 232 312 B Resp (b):           −− −− − =− 413 1038 1139 B 1
18 3) Sejam       =      = 11 32 Be 14 23 A . Determine: a) [ ] 1t )BA(det − ⋅ Resp (a): 5 1 b) Mostre que [ ] )Bdet()Adet( 1 )BA(det 1t ⋅ =⋅ − 4) Sejam       =      − =      −− = 23 61 De 12 20 C, 21 73 A . Sabendo que 1 ADACBA − ⋅⋅=+⋅ , determine det(B). Resp: 172)Bdet( −= 5) Classificar e resolver os sistemas lineares; a)      =+− =++ −=+− 1z5yx7 4z2y2x 7zy3x2 Resp (a): SPD e { }2z;3y;2x −=== b)      =−+ =−+− =++ 7z4y19x 1z2y5x 2zy2x2 Resp (b): SPI e       ℜ∈∀ − = − − = z, 3 4y12 ze 3 5y9 x c)      =++− =+− −=++ 5z4y14x 0z4y2x3 2z4y6x Resp (c): SI, não tem solução

Mais conteúdo relacionado

PDF
Resumo - Álgebra Linear
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
PDF
VOZ.pdf
Vivian Marxreiter
 
PPS
Arcos e ângulos
Matematica Eemhvl
 
PDF
Curso Matemática Financeira p/ TCE-SC
Estratégia Concursos
 
PPS
Determinantes sistemas lineares
Antonio Carneiro
 
PDF
Algebra Linear cap 09
Andrei Bastos
 
PDF
Matriz sistema-linear-e-determinante
Graciele Alves
 
PDF
Ensino de matrizes, sistemas lineares e determinantes através do excel
JESIEL SOUZA DA ROCHA
 
Resumo - Álgebra Linear
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
VOZ.pdf
Vivian Marxreiter
 
Arcos e ângulos
Matematica Eemhvl
 
Curso Matemática Financeira p/ TCE-SC
Estratégia Concursos
 
Determinantes sistemas lineares
Antonio Carneiro
 
Algebra Linear cap 09
Andrei Bastos
 
Matriz sistema-linear-e-determinante
Graciele Alves
 
Ensino de matrizes, sistemas lineares e determinantes através do excel
JESIEL SOUZA DA ROCHA
 

Semelhante a Algebra Linear cap 01 (20)

PDF
Cap1
iran rodrigues
 
PPTX
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
JosivaldoFarias1
 
DOC
Apostila álgebra linear
Franciéllen de Barros
 
DOCX
Matrizes
Erivaldo Barbosa
 
PDF
Formulas mat
Smssbr
 
PDF
Exercitandoaula2
AlexGrift
 
PPTX
MATEMATICA-Matriz-AULA10-11--UNINASSAU-PAULISTA-2025.pptx
ssuserb9a5e7
 
DOC
2º ano matriz
celio pacheco
 
PPTX
Aula-2-álgebra-matricial - teoria e pratica
mtgalelli2
 
PDF
Matrizes
Antonio Carlos Luguetti
 
PDF
Exercitandoaula1
AlexGrift
 
PDF
Sistemas equacoes lineares
Josemar Pereira da Silva
 
PDF
Matrize
Ingrid Carvalho
 
PDF
Matriz aula [modo de compatibilidade]
Alvaro6601
 
PDF
Aula teorica 1 de matematica I nivel universitario
JoanaFilipa97
 
PPTX
Matrizes
Daniel Muniz
 
PPTX
Matrizes
Sergio Manoel
 
PPS
Matrizes determinantes
slidericardinho
 
PDF
Algebra Matricial
MrcioSilva218720
 
DOC
Matriz aula-1-2-3
Leudo Abreu
 
Cap1
iran rodrigues
 
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
JosivaldoFarias1
 
Apostila álgebra linear
Franciéllen de Barros
 
Matrizes
Erivaldo Barbosa
 
Formulas mat
Smssbr
 
Exercitandoaula2
AlexGrift
 
MATEMATICA-Matriz-AULA10-11--UNINASSAU-PAULISTA-2025.pptx
ssuserb9a5e7
 
2º ano matriz
celio pacheco
 
Aula-2-álgebra-matricial - teoria e pratica
mtgalelli2
 
Matrizes
Antonio Carlos Luguetti
 
Exercitandoaula1
AlexGrift
 
Sistemas equacoes lineares
Josemar Pereira da Silva
 
Matrize
Ingrid Carvalho
 
Matriz aula [modo de compatibilidade]
Alvaro6601
 
Aula teorica 1 de matematica I nivel universitario
JoanaFilipa97
 
Matrizes
Daniel Muniz
 
Matrizes
Sergio Manoel
 
Matrizes determinantes
slidericardinho
 
Algebra Matricial
MrcioSilva218720
 
Matriz aula-1-2-3
Leudo Abreu
 
Anúncio

Mais de Andrei Bastos (20)

PDF
Lógica de programação em ppt
Andrei Bastos
 
PDF
Geometria analitica exercicios resolvidos
Andrei Bastos
 
PDF
Apostila vetores e geometria analitica
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 05
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 04
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01
Andrei Bastos
 
PDF
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
Andrei Bastos
 
PDF
Algebra Linear cap 07
Andrei Bastos
 
PDF
Algebra Linear cap 06
Andrei Bastos
 
PDF
Algebra Linear cap 08
Andrei Bastos
 
PDF
Algebra Linear cap 05
Andrei Bastos
 
PDF
Algebra Linear cap 04
Andrei Bastos
 
PDF
Algebra Linear cap 03
Andrei Bastos
 
PDF
Algebra Linear cap 02
Andrei Bastos
 
Lógica de programação em ppt
Andrei Bastos
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Andrei Bastos
 
Apostila vetores e geometria analitica
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 05
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 04
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01
Andrei Bastos
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 07
Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 06
Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 08
Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 05
Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 04
Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 03
Andrei Bastos
 
Algebra Linear cap 02
Andrei Bastos
 
Anúncio

Algebra Linear cap 01

  • 1. 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 1 MATRIZES HISTÓRICO O pai das matrizes foi Cayley que, em 1850 divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Elas surgiram para a resolução de Sistemas Lineares. Mas foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. No entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Lagrange em 1790. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy que as chamavam de tabelas. O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. Definição: Chamamos de Matriz, a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada por mxnij )a(A = , onde o par de índices "ij" , representam a posição de cada elemento ija dentro da matriz, sendo que o índice "i" indica a qual linha pertence o elemento e "j" a qual coluna. O par de índices "mxn", representam o tamanho da matriz, sendo que o índice "m" indica a quantidade de linhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Toda matriz pode ser representada, genericamente, por:               = mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa A Indicaremos por )(Mmxn ℜ o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e com elementos reais. • Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por )(Mn ℜ ou simplesmente nM . Matriz quadrada é aquela que tem a mesma quantidade de linhas e colunas. • Se m ≠ n, a matriz será chamada de matriz retangular de ordem mxn e representada por )(Mmxn ℜ ou simplesmente mxnM .
  • 2. 2 • Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, ( ) 11111x1 aaM == . Assim, todo número real pode ser representado por umas matriz de ordem 1x1. Exemplo (1): Escrever a matriz 3x2ij )a(A = tal que      <− = >+ = jise,ji2 jise,i jise,j2i a j ij Solução: A matriz 3x2ij )a(A = é representada por:       = 232221 131211 aaa aaa A . Então: 11ia 1j 11 === ; 42ia 2j 22 === , pois i = j 0212ji2a12 =−⋅=−= ; 1312ji2a13 −=−⋅=−= ; 1322ji2a23 =−⋅=−= , pois i < j 3112j2ia21 =⋅+=+= Portanto:       − = 143 101 A 1.1 Matrizes Especiais • Matriz Nula: é a matriz mxnO , na qual todos os seus elementos são nulos, ou seja:               = 0...00 ............ 0...00 0...00 A • Matriz Linha: é toda matriz de ordem 1xn, ou seja: ( )n11211 a...aaA = . • Matriz Coluna: é toda matriz de ordem mx1, ou seja:               = 1m 21 11 a ... a a A • Matriz Quadrada: é toda matriz de ordem nxn, ou seja:               = nn2n1n n22221 n11211 nxn a...aa ............ a...aa a...aa A . Os elementos onde i = j formam o que chamamos de diagonal principal. • Matriz Triangular: é uma matriz quadrada, e pode apresentar dois casos;
  • 3. 3 a) Triangular Inferior: é tal que jise0aij <= ⇒               = nn2n1n 2221 11 nxn a...aa ............ 0...aa 0...0a A b) Triangular Superior: é tal que jise0aij >= ⇒               = nn n222 n11211 nxn a...00 ............ a...a0 a...aa A • Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada, na qual cada    ≠ =ℜ∈∀ = jise,0 jise,x aij ⇒               = nn 22 11 nxn a...00 ............ 0...a0 0...0a A • Matriz Identidade: é uma matriz quadrada, denotada por nId , na qual cada    ≠ = = jise,0 jise,1 aij ⇒               = 1...00 ............ 0...10 0...01 Anxn • Matriz Transposta: Dada uma matriz mxnij )a(A = , então sua transposta é uma matriz nxmji t )a(A = . É a matriz tal que jiij aa = . Assim, dada uma matriz A, para obter sua transposta trocamos as linhas com as respectivas colunas. • Matriz Simétrica: é uma matriz An, quadrada, tal que At = A. • Matriz Anti-Simétrica: é uma matriz quadrada tal que At = -A. 1.2 Operações com Matrizes • Igualdade: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: jei,baBA ijij ∀=⇔= • Adição: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: mxnijij )ba(BA +=+ .
  • 4. 4 Propriedades da adição: Sejam mxnijmxnijmxnij )c(Ce)b(B,)a(A === . Então são válidas as seguintes propriedades: a) Comutativa: A + B = B + A b) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento Neutro: ∀A∈Mmxn, ∃O∈Mmxn (matriz nula de ordem mxn) tal que A+O=O+A=A. d) Elemento Oposto: ∀A∈Mmxn, ∃(-A)∈Mmxn (matriz oposta de ordem mxn) tal que A + (-A) = (-A) + A = O. • Subtração: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: mxnijij )ba(BA −=− . OBS: A subtração não possui nenhuma propriedade. Vamos interpretar a subtração da seguinte forma: )B(ABA −+=− , ou seja, a subtração é a adição com a matriz oposta de B, nestas condições, as propriedades são as mesmas da adição. • Produto por escalar: Sejam mxnij )a(A = e ℜ∈α∀ . Então: mxnij )a(A ⋅α=⋅α . Propriedades: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == e ℜ∈βα∀ e . a) A)()A()A( αβ=βα=αβ b) BA)BA( α+α=+α c) AAA)( β+α=β+α d) AA1 =⋅ • Multiplicação: Sejam pxqjkmxnij )b(Be)a(A == . O produto da matriz A por B, indicado por BA ⋅ , só é possível de n = p, e a nova matriz terá ordem mxq, representada por mxqik )c(C = , sendo que : ∑ = ⋅= n 1j jkijik bac , para i=1,2,...,m e k=1,2,...,q. OBS: Para haver o produto entre as matrizes pxqmxn BeA , é necessário que o número de colunas da matriz à esquerda seja igual ao número de linhas da matriz à direita e, a ordem da matriz produto é o número de linhas da matriz à esquerda pelo número de colunas da matriz à direita, ou seja: Propriedades: Sejam A, B e C, matrizes tais que o produto entre elas sejam possíveis. Então: mxq A m x n ⋅ B p x q n=p
  • 5. 5 a) Não vale a comutativa: ABBA ⋅≠⋅ b) Associativa: C)BA()CB(A ⋅⋅=⋅⋅ c) Distributiva:    ⋅+⋅=⋅+ ⋅+⋅=+⋅ CBCAC)BA(:direitaà CABA)CB(A:esquerdaà d) Elemento Neutro: Seja mxnij )a(A = . O elemento neutro é a matriz identidade de ordem m ( mId ) ou ordem n ( nId ), pois: AIdA n =⋅ e AAIdm =⋅ . Exemplo (2): Sejam       − = 10 12 A ,       −− = 312 105 B e       − = 01 84 C . Determine se possível: a) CA2 + d) CB⋅ b) BA⋅ e) B)C3A( ⋅− c) CB+ f) 2 A Solução: a)       − =      ++ −−+ =      − +      − =+ 11 96 0110 8142 01 84 10 12 2CA2 b)       −⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅ −⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅−+⋅ =      −− ⋅      − =⋅ )3(110)1(1002150 )3()1(12)1()1(022)1(52 312 105 10 12 BA ⇒       −− =⋅ 312 518 BA c) Não é possível pois, B e C não têm a mesma ordem. d) Não é possível pois, o número de colunas da matriz 3x2B não é igual ao número de linhas da matriz 2x2C . e)       −− ⋅      − − =      −− ⋅            − −      − =⋅− 312 105 13 2310 312 105 01 84 3 10 12 B)C3A( ⇒       −−− −−− =⋅− 6113 79234 B)C3A( f)       − =      − ⋅      − =⋅= 10 34 10 12 10 12 AAA2 1.3 Matriz Inversível Definição: Uma matriz quadrada de ordem n se diz inversível, se , e somente se, existe uma matriz quadrada B de ordem n, de modo que nIdABBA =⋅=⋅ . Essa matriz B, caso exista, é única e chamada de inversa de A, denotada por 1 A− .
  • 6. 6 1.3.1 Determinação da inversa 1º Método - Por Definição Aplicando a definição, onde 1 A− será escrita genericamente, vamos encontrar um sistema linear. Se o sistema for possível e determinado (apenas uma solução),então existe a inversa. Se o sistema for impossível, então não existe a inversa. Exemplo (3): Sejam       = 42 31 A e           = 112 123 021 B . Determine a inversa pela definição, se houver. Solução: Seja       =− dc ba A 1 . Por definição 2 1 IdAA =⋅ − . Então:       =      ⋅      10 01 dc ba 42 31 ⇒       =      ++ ++ 10 01 d4b2c4a2 d3bc3a ⇒    =+ =+ 0c4a2 1c3a e    =+ =+ 1d4b2 0d3b . Resolvendo os sistemas lineares teremos         − − =− 2 1 2 3 1 1 2 A . Seja           =− ihg fed cba B 1 . Então, 3 1 IdBB =⋅ − ⇒           =           ⋅           100 010 001 ihg fed cba 112 123 021 ⇒      =++ =++ =+ 0gda2 0gd2a3 1d2a e      =++ =++ =+ 0heb2 1he2b3 0e2b e      =++ =++ =+ 1ifc2 0if2c3 0f2c Resolvendo os três sistemas lineares teremos:           − − −− =− 431 111 221 B 1 2º Método - Por Operações Elementares Podemos aplicar operações nas filas (linhas ou colunas) de uma matriz, sem alterar suas propriedades. Estas operações, chamadas de operações elementares são as seguintes: a) Permutar duas filas paralelas; b) Multiplicar uma fila por um escalar α, ℜ∈α∀ , com 0≠α ; c) Somar a uma fila uma outra fila paralela multiplicada por α, ℜ∈α∀ , com 0≠α ;
  • 7. 7 O método das operações elementares consiste no seguinte: do lado esquerdo escrevemos a matriz A e do lado direito a matriz identidade de mesma ordem da A. Através de operações elementares transformamos a matriz A na matriz identidade. As mesmas operações que aplicamos na matriz A, devemos aplicar na matriz identidade que está do lado direito. No final do processo o que resulta do lado esquerdo é a matriz identidade e do lado direito a matriz inversa 1 A− . Exemplo (4): Sejam       = 42 31 A e           = 112 123 021 B . Determine sua inversa, por operações elementares, se houver. Solução:       −− −  →      −−  →      ++− 12*20 2*01 12*20 01*31 10*42 01*31 2 3LLLL2 122 3 21         − −  → − 2 1 2 3L 1*10 2*0122 1 ⇒         − − =− 2 1 2 3 1 1 2 A  →           −− −−           − +− +− → 24 121 31 L LL3 LL2 102*130 013*140 001*021 100*112 010*123 001*021 → + +           − −− →           −− −− 23 3 32 LL L4 4 3 4 1 4 1 4 1 4 3 4 1LL3 4 1 4 3 4 1 1*00 0*10 001*021 102*130 0*10 001*021           − − −−  →           − − +− 431*100 111*010 221*001 431*100 111*010 001*021 12 LL2 ⇒           − − −− =− 431 111 221 B 1 OBS: No exemplo acima, por exemplo, 21 LL2 +− significa: menos duas vezes a linha 1 somada a linha 2. Note que, nesta passagem, quem sofreu alteração foi a linha 2, que a ela foi soma a linha 1 multiplicada por -2. Se ao aplicarmos operações elementares em uma matriz e ela apresentar uma ou mais filas nulas, então a matriz não admite inversa.
  • 8. 8 2 DETERMINANTES HISTÓRICO Os primeiros estudos sobre determinantes datam provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683 que o japonês Seki Kowa usou a idéia de determinante em seus trabalhos sobre sistemas lineares. O uso do determinante no Ocidente começou 10 anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. O francês Étienne Bézout (1730-1783), sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonte (1735-1796), a primeira abordagem da teoria dos determinantes. O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl Jacobi (1804-1851). Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta até hoje. Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de determinante da matriz A, denotado por det(A), ao número real obtido através de operações realizadas com os elementos da matriz, conforme os métodos apresentados abaixo. 2.1 Regra de Sarrus A regra de Sarrus se aplica a determinantes de 2ª e 3ª ordem com segue: • Determinante de 2ª ordem: Seja       = 2221 1211 aa aa A ⇒ 2221 1211 aa aa )Adet( = ⇒ )aa()aa()Adet( 21122211 ⋅−⋅= . • Determinante de 3ª ordem: Seja           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A ⇒ 333231 232221 131211 aaa aaa aaa )Adet( = ⇒ )aaaaaaaaa()aaaaaaaaa()Adet( 122133322311312213133221312312332211 ++−++= Regra prática: 32 22 12 31 21 11 333231 232221 131211 a a a a a a aaa aaa aaa )Adet( = Exemplo (5): Resolver os determinantes usando a regra de Sarrus: )aaaaaaaaa( 133221312312332211 +++)aaaaaaaaa( 122133322311312213 ++−
  • 9. 9 a) 24 23− b) 243 231 021 − − Solução: a) 1486)42()23( 24 23 −=−−=⋅−⋅−= − b) )]1(22)4(21330[)]4()1(0322231[ 243 231 021 −⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅= − − = 301218)480()0126( =+=−−−++= 2.2 Regra de Laplace Definição: Dada uma matriz quadrada nxnij )a(A = , de ordem 2n ≥ , chamamos de cofator do elemento aij, e indicado por Aij, ao seguinte número: ij ji ij D)1(A ⋅−= + , onde Dij é o determinante de ordem menor, formado pelos elementos restantes, quando retiramos a linha e a coluna as quais pertence o elemento aij. Exemplo (6): Determine o cofator dos elementos a23 e a31 da matriz           − − = 133 011 212 A . Solução: 9)36(1 33 12 )1(D)1(A 5 23 32 23 −=+⋅−= − ⋅−=⋅−= + 2)20(1 01 21 )1(D)1(A 4 31 13 31 =+⋅+= − − ⋅−=⋅−= + Teorema de Laplace: Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . O determinante da matriz A é a somatória dos elementos aij pelos seus respectivos cofatores Aij, em relação a qualquer linha ou coluna da matriz A, ou seja, se               = nn2n1n n22221 n11211 nxn a...aa ............ a...aa a...aa A , então, em relação a primeira linha, temos que: n1n112121111 Aa...AaAa)Adet( +++= .
  • 10. 10 OBS: Podemos aplicar o Teorema de Laplace a qualquer linha ou coluna da matriz A, de preferência aquela que tiver a maior quantidade de zeros, pois evita cálculos. O Teorema de Laplace é uma regra geral, ele se aplica a determinantes de qualquer ordem. Exemplo (7): Resolver o determinante 243 231 021 )Adet( − −= usando o Teorema de Laplace. Solução: Vamos aplicar o teorema de Laplace para os elementos da coluna 3: 333323231313 AaAaAa)Adet( ++= 31 21 )1(2 43 21 )1(2 43 31 )1(0)Adet( 333231 − −⋅+ − −⋅+ − − −⋅= +++ 301020)5(2)10(2)Adet( =+=⋅+−⋅−= 2.3 Regra de Chió Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . No determinante da matriz A, identificar um elemento 1aij = . Retirar a linha e a coluna as quais pertence o elemento 1aij = . Restará um determinante de ordem menor, do qual devemos retirar de cada elemento ija , o produto dos elementos referentes a linha e a coluna que foram retiradas. Este determinante deverá ser multiplicado por ji )1( + − , onde i e j são os índices do elemento 1aij = . Por exemplo, suponhamos que 1a11 = . Se a matriz                 = nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 a...aaa ............... a...aaa a...aaa a...aaa A , então 1nn1nn1n133n1n122n 31n1n3311333311232 21n1n2211323211222 11 aaa...aaaaaa ............ aaa...aaaaaa aaa...aaaaaa )1()Adet( ⋅−⋅−⋅− ⋅−⋅−⋅− ⋅−⋅−⋅− ⋅−= + Exemplo (8): Resolver o determinante 243 231 021 )Adet( − −= usando o a regra de Chió. Solução: Vamos aplicar a regra de Chió para o elemento 1a11 = :
  • 11. 11 )210(25 210 25 302324 )1(02)1(23 )1()Adet( 11 ⋅−−⋅= − = ⋅−⋅−− −⋅⋅−−⋅− ⋅−= + ⇒ 30)Adet( = 2.4 Propriedades dos determinantes • 0)Adet( = , se possui uma fila (linha ou coluna) nula; se duas filas paralelas são iguais; se duas filas paralelas são proporcionais (múltiplas) ou se uma das filas é combinação linear da demais. • Determinante da matriz triangular (e também a matriz diagonal) é o produto dos elementos da diagonal principal. • Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um escalar, ℜ∈α∀ , o determinante ficará multiplicado por α. • Se permutarmos duas filas paralelas de uma matriz A, o determinante ficará multiplicado por -1. • Se numa matriz A adicionarmos a uma fila uma outra paralela, multiplicada por um escalar, ℜ∈α∀ , o determinante são se altera. • Se nn2nn n2222 n1121 nn2n1n n22221 n11211 nn2nn1n n222221 n112111 a...ax ............ a...ax a...ax a...aa ............ a...aa a...aa a...axa ............ a...axa a...axa )Adet( += + + + = • )Adet()Adet( t = • )Adet( 1 )Adet( 1 =− • )Bdet()Adet()BAdet( ⋅=⋅ 2.5 Matriz Inversa através da Matriz Adjunta Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Cofatora da matriz A, denotada por Cof(A), a matriz constituída dos cofatores de cada elemento aij. (veja a definição de cofator no item 2.2) Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Adjunta, denotada por Adj(A), a transposta da matriz cofatora, ou seja, t ))A(Cof()A(Adj = .
  • 12. 12 Proposição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ . Então, a matriz inversa da matriz A é determinada por: )A(Adj )Adet( 1 A 1 ⋅=− , com 0)Adet( ≠ . Exemplo (9): Seja e           = 112 123 021 B . Determine sua inversa, através da matriz adjunta, se houver. Solução: Como 01)Bdet( ≠−= , então a matriz B admite inversa.           −− − −− =                   −−− −−− −−− = +++ +++ +++ 412 312 111 23 21 )1( 13 01 )1( 12 02 )1( 12 21 )1( 12 01 )1( 11 02 )1( 12 23 )1( 12 13 )1( 11 12 )1( )B(Cof 332313 322212 312111 ( )           −− −− − == 431 111 221 )B(Cof)B(Adj t ⇒           −− −− − − =⋅=− 431 111 221 1 1 )B(Adj )Bdet( 1 B 1           − − −− =− 431 111 221 B 1 3 SISTEMAS LINEARES HISTÓRICO Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). Definição: Considere uma equação da seguinte forma: bxa...xaxa nn2211 =+++ , ℜ∈∀ n21 a,...,a,a , chamados de coeficientes; ℜ∈∀b , chamado de termo
  • 13. 13 independente e n21 x,...,x,x são variáveis reais, com expoente igual a 1, chamadas de incógnitas . Uma equação desse tipo é chamada de equação linear a n incógnitas. Definição: Seja uma equação linear bxa...xaxa nn2211 =+++ . Chama-se solução dessa equação, uma seqüência de n números reais (n-úpla) n21 ,...,, ααα , tal que: ba...aa nn2211 =α++α+α é uma igualdade verdadeira. Definição: Chama-se de sistema linear, denotado por Smxn, a um conjunto formado por duas ou mais equações lineares nas mesmas variáveis reais n21 x,...,x,x . O par de índices mxn é chamado de ordem do sistema indicando m equações e n incógnitas. Genericamente representado por:        =+++ =+++ =+++ mnmn22m11m 2nn2222121 1nn1212111 mxn bxa...xaxa .................................................... bxa...xaxa bxa...xaxa :S Definição: Chama-se solução de um sistema linear S, uma n-úpla n21 ,...,, ααα de números reais, que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema S. 3.1 Classificação dos Sistemas Lineares • Sistema Possível e Determinado (SPD): admite apenas uma única solução • Sistema Possível e Indeterminado (SPI): admite infinitas soluções • Sistema Impossível (SI): não admite solução. 3.2 Métodos de Resolução de Sistemas Lineares Algumas operações elementares podem ser aplicadas nas equações de um sistema linear, sem que isso altere sua solução, obtendo, assim, um sistema equivalente ao primeiro. Estas operações são as seguintes: i) Permutar uma ou mais equações; ii) Multiplicar uma ou mais equações por escalares reais diferentes de zero; iii) A uma equação, adicionar uma outra multiplicada por um escalar diferente de zero. • Método da Substituição: consiste em "isolar" uma das variáveis de qualquer equação e substituí- la nas demais, abaixando a ordem do sistema. Repetir o processo até obtermos uma única equação dependendo apenas de uma só variável.
  • 14. 14 Exemplo (10): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição      =++− =+− −=−+ 8z5yx 9z3yx2 3zy2x :S Solução: Note que o sistema S tem ordem 3x3. Vamos isolar a variável x da primeira equação e substituí-la nas demais: 3zy2x −+−= (*). Então:    =++−+−− =+−−+− 8z5y)3zy2( 9z3y)3zy2(2 ⇒    =+ =+− ′ 5z4y3 15z5y5 S . Agora temos um sistema S′ equivalente de ordem 2x2. Vamos isolar a variável y na primeira equação e substituí-la na segunda: 3zy −= (**). Então: 2z5z4)3z(3 =⇒=+− . Fazendo 2z = em (**) obtemos 1y −= . Fazendo 2z = e 1y −= em (*) obtemos 1x = . Portanto o sistema S é SPD, pois admite uma única solução }2z,1y,1x{ =−== . OBS: Se ao aplicarmos o método da substituição ou o método do escalonamento (veremos a seguir) na resolução de um sistema linear e, aparecerem uma ou mais equações do tipo 0x0...x0x0 n21 =+++ , isso significa que elas eram combinação linear das demais e dever ser retiradas do sistema. Caso apareçam equações do tipo α=+++ n21 x0...x0x0 , com 0≠α , estas serão igualdades falsas, indicando que o sistema é SI e não tem solução. Exemplo (11): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição      =−+ =+− =+− 0z3yx 1z2yx 2zyx3 :S Solução: Isolando a variável y na primeira equação e substituindo nas demais teremos: 2zx3y −+= (*) ⇒    =−−++ =+−+− 0z3)2zx3(x 1z2)2zx3(x ⇒    =− −=+− ′ 2z2x4 1zx2 :S Isolando a variável z na primeira equação e substituindo na segunda: 1x2z −= (**) ⇒ 0x02)1x2(2x4 =⇒=−− , ou seja, esta equação é combinação linear das outras. Portanto o sistema está resolvido e ele é SPI e sua solução geral é dada por: substitua (**) em (*) e teremos 3x5y −= . Solução Geral: { }ℜ∈∀−=−= x,1x2z;3x5y .
  • 15. 15 • Método do Escalonamento: Dado um sistema linear        =+++ =+++ =+++ mnmn22m11m 2nn2222121 1nn1212111 mxn bxa...xaxa .................................................... bxa...xaxa bxa...xaxa :S através de operações elementares aplicadas em suas equações, obtemos o seguinte sistema equivalente, chamado de sistema escalonado:         β=α β=α++α β=α++α+α β=α++α+α+α ′ mnmn 3nn3333 2nn2323222 1nn1313212111 x ...................................................................... x...x x...xx x...xxx :S com o objetivo de que a última equação dependa somente da incógnita xn, determinando, assim, o seu valor e depois o valor das demais incógnitas. Note que, se associarmos ao sistema escalonado S′ , uma matriz dos coeficientes, teremos uma matriz triangular superior na forma escalonada, ou seja:                 α αα ααα αααα mn n333 n22322 n1131211 ...000 ............... ...00 ...0 ... Exemplo (12): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento      =++− =+− −=−+ 8z5yx 9z3yx2 3zy2x :S Solução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e dos termos independentes. Então:           −− −− →           − −− →           − − −− −+− + 5430 3110 3121 5430 15550 3121 8511 9312 3121 25 1 21 31 LLL2 LL           −− −− → +− 14700 3110 3121 32 LL3 . Note que a matriz está escalonada e, portanto, podemos voltar ao sistema escalonado. Assim:      = −=− −=−+ ′ 14z7 3zy 3zy2x :S . Da última equação temos que 2z = . Substituindo na segunda equação teremos 1y −= . Com os valores de y e z, substituímos
  • 16. 16 na primeira equação e teremos 1x = . Portanto, o sistema S é SPD, pois admite uma única solução }2z,1y,1x{ =−== . Exemplo (13): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento      =++ −=++− =−+ 8zy4x 3z2yx 5zy3x2 :S Solução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e do termo independente trocando a primeira equação com a segunda. Então:           − −− →           − −− →           − −− +−+ + 6000 1350 3211 5350 1350 3211 8141 5132 3211 3221 31 LL1LL2 LL . Note que a matriz está escalonada e apresenta a última equação 6z0y0x0 =++ , o que é uma falsidade, indicando que o sistema é SI e, portanto, não tem solução. 3.3 Sistema Linear Homogêneo É o sistema linear em que todos os termos independentes das equações são nulos, ou seja:        =+++ =+++ =+++ 0xa...xaxa .................................................... 0xa...xaxa 0xa...xaxa :H nmn22m11m nn2222121 nn1212111 mxn . Uma particularidade dos sistemas homogêneos é que eles são sempre possíveis (SPD ou SPI). Note que, um sistema homogêneo sempre admite a solução trivial (0,0,...,0). Assim, sua classificação se reduz a: • Sistema Possível e Determinado (SPD): só admite a solução trivial • Sistema Possível e Indeterminado (SPI): além da solução trivial admite outras infinitas. Exemplo (14): Resolver os sistemas homogêneos aplicando o método indicado: a)      =++ =−+ =−+ 0zy3x3 0z2yx2 0z3y2x :H , método da substituição b)      =+ =−− =++ 0y3x4 0z2yx2 0zy2x :H , método do escalonamento
  • 17. 17 Solução: a) Da primeira equação temos que z3y2x +−= (*). Substituindo nas outras duas, teremos:    =+++− =−++− 0zy3)z3y2(3 0z2y)z3y2(2 ⇒    =+− =+− ′ 0z10y3 0z4y3 :H . Da primeira equação vem que z4y3 −=− (**). Substituindo na segunda, teremos: 0z0z60z10z4 =⇒=⇒=+− . Fazendo 0z = em (**), temos que 0y = . Fazendo 0ze0y == em (*), temos que 0x = . Portanto, o sistema é SPD e a solução é a trivial }0z,0y,0x{ === . b) Vamos trabalhar com a matriz dos coeficientes, uma vez que não é necessário trabalhar com a coluna dos termos independentes, pois são todos nulos. Então:           −−→           −− −−→           −− +−+− +− 000 450 121 450 450 121 034 212 121 3221 1 LL1LL2 3LL4 . A matriz já está escalonada. Retirando a linha nula e voltando ao sistema equivalente, teremos:    =−− =++ ′ 0z4y5 0zy2x :H . Da segunda equação, temos: zy 5 4−= . Substituindo na primeira equação, teremos: ( ) zx0zz2x 5 3 5 4 =⇒=+−+ . Portanto, o sistema é SPI e sua solução geral é { }ℜ∈∀−== z,zy,zx 5 4 5 3 . Note que, para 0z = , teremos x = y = 0, ou seja, a solução trivial, mas não é a única, existem outras infinitas soluções. Exercícios Propostos 1) Sejam       − = 10 21 A ,       − − = 121 430 B e       − = 012 111 C . Determine a matriz X tal que )C3B(AC2X 2 −=+ . Resp:       −− −−− = 167 185 X 2) Determine a matriz inversa, se houver. a)       − − = 46 12 A Resp (a):       − − =− 13 2 A 2 1 1 b)           −− −= 301 232 312 B Resp (b):           −− −− − =− 413 1038 1139 B 1
  • 18. 18 3) Sejam       =      = 11 32 Be 14 23 A . Determine: a) [ ] 1t )BA(det − ⋅ Resp (a): 5 1 b) Mostre que [ ] )Bdet()Adet( 1 )BA(det 1t ⋅ =⋅ − 4) Sejam       =      − =      −− = 23 61 De 12 20 C, 21 73 A . Sabendo que 1 ADACBA − ⋅⋅=+⋅ , determine det(B). Resp: 172)Bdet( −= 5) Classificar e resolver os sistemas lineares; a)      =+− =++ −=+− 1z5yx7 4z2y2x 7zy3x2 Resp (a): SPD e { }2z;3y;2x −=== b)      =−+ =−+− =++ 7z4y19x 1z2y5x 2zy2x2 Resp (b): SPI e       ℜ∈∀ − = − − = z, 3 4y12 ze 3 5y9 x c)      =++− =+− −=++ 5z4y14x 0z4y2x3 2z4y6x Resp (c): SI, não tem solução