Algebra Linear cap 07
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Este documento apresenta definições e teoremas sobre isomorfismo de espaços vetoriais. [1] Define transformação linear bijetora como isomorfismo e apresenta propriedades como a existência de inversa e isomorfismo entre espaços da mesma dimensão. [2] Aplica os conceitos em exemplos de verificação de isomorfismo e determinação da transformação inversa.
Algebra Linear cap 07
- 1. 54 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 7 ISOMORFISMO O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , tentar definir a transformação linear inversa, ou seja, VW:T 1 →− . Quando ela existir será chamado de um isomorfismo. Mas, antes precisamos de alguns conceitos. Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de injetora se Vvev,vv)v(T)v(T 212121 ∈∀=⇒= . Definição: Uma transformação linear WV:T → é sobrejetora se, e somente se .W)TIm( = Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de bijetora se, e somente se, ela é injetora e sobrejetora. Exemplo (1): Seja )yx,yx()y,x(T −+= uma transformação linear. Verificar se T é bijetora. Solução: Temos que verificar se T é injetora e sobrejetora. Sejam )y,x(ve)y,x(v 222111 == dois vetores quaisquer do ℜ2 . Note que 22 :T ℜ→ℜ . Se )yx,yx()yx,yx()v(T)v(T 2222111121 −+=−+⇒= ⇒ −=− +=+ 2211 2211 yxyx yxyx . Resolvendo o sistema linear temos que 2121 yyexx == , ou seja, 21 vv = . Logo T é injetora. Os vetores que formam a )TIm( são do tipo )yx,yx(v −+= . Então )1,1(y)1,1(xv −+= , ou seja, )}1,1(),1,1{( − é uma base da Im(T) mas também é uma base do ℜ2 . Logo, )dim()TIm(dim 2 ℜ= . Como 22 )TIm()TIm( ℜ=⇒ℜ⊂ . Assim, T é sobrejetora. Portanto T é bijetora. Vamos enunciar a seguir, alguns teoremas que nos ajudarão a verificar se uma determinada transformação linear é ou não bijetora. Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então T é injetora se, e somente se, }0{)T(Ker = .
- 2. 55 Demonstração: (⇒⇒⇒⇒) hipótese: T é injetora Tese: }0{)T(Ker = Seja )T(Kerv∈ , então 0)v(T = ⇒ )0(T)v(T = . Com T é injetora, então 0v = . Portanto }0{)T(Ker = . (⇐⇐⇐⇐) hipótese: }0{)T(Ker = Tese: T é injetora Seja 0)vv(T0)v(T)v(T)v(T)v(T 212121 =−⇒=−⇒= . Isso significa que }0{)T(Kervv 21 =∈− . Logo, 2121 vv0vv =⇒=− . Portanto, T é injetora. Teorema (2): Uma transformação linear injetora WV:T → , leva vetores LI de V em vetores LI de W. Demonstração: hipótese: T é injetora e V}v,...,v,v{ n21 ⊂ são LI. Tese: W)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 ⊂ são LI Seja os escalares K,...,, n21 ∈ααα tais que 0)v(T...)v(T)v(T nn2211 =α++α+α . Então: 0)v...vv(T nn2211 =α++α+α . Como T é injetora, então, 0v...vv nn2211 =α++α+α . Como }v,...,v,v{ n21 são LI, então 0... n21 =α==α=α . Portanto, )}v(T),...,v(T),v(T{ n21 são LI. Teorema (3): Seja WV:T → uma transformação linear. Então: )T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( += Demonstração: Seja V}u,...,u,u{ n21 ⊂ uma base do Ker(T). Podemos completar esse conjunto de modo a obter uma base de V. Sejam V}v,...,v,v{ m21 ⊂ tais que a base de V se escreva como }v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 . Logo mn)Vdim( += . Basta mostrar que )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é base da )TIm( . Para isso vamos mostrar que: a) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 gera )TIm( . b) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI. a) Seja )TIm(w ∈∀ , então existe Vv∈ tal que w)v(T = . Como Vv∈ ele se escreve como combinação linear dos vetores da base de V. Logo, existem escalares tais que mm2211nn2211 v...vvu...uuv α++α+α+β++β+β= . Daí vem que )v(T...)v(T)v(T)u(T...)u(T)u(Tw)v(T mm2211nn2211 α++α+α+β++β+β== Como }u,...,u,u{ n21 é base do Ker(T), então, 0)u(T...)u(T)u(T n21 ==== .
- 3. 56 Logo, )v(T...)v(T)v(Tw)v(T mm2211 α++α+α== . Isso mostra que w é combinação linear de )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 . Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 gera a Im(T). b) Sejam m21 ,...,, ααα escalares tais que 0)v(T...)v(T)v(T mm2211 =α++α+α . Então, 0)v...vv(T mm2211 =α++α+α ⇒ )T(Kerv...vv mm2211 ∈α++α+α . Podemos escrever que: mm2211mm2211 u...uuv...vv β++β+β=α++α+α ⇒ 0u...uuv...vv mm2211mm2211 =β−−β−β−α++α+α . Como a base de V é }v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 , logo 0...... m21m21 =β−==β−=β−=α==α=α . Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI. Teorema (4): Se )Wdim()Vdim( = então WV:T → é injetora se, somente se, T é sobrejetora. Demonstração: (⇒⇒⇒⇒) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é injetora Tese: T é sobrejetora. Como T é injetora ⇒ }0{)T(Ker = ⇒ 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que )Wdim(0)TIm(dim)Vdim( =+= . Como )Wdim()TIm(dim = e W)TIm( ⊆ , pela proposição (2) do capítulo (4), vem que W)TIm( = , ou seja, T é sobrejetora. (⇐⇐⇐⇐) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é sobrejetora Tese: T é injetora Como T é injetora ⇒ )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que )T(Kerdim)Wdim()Vdim( += . Como )Wdim()Vdim( = ⇒ 0)T(Kerdim = ⇒ }0{)T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora. Teorema (5): Se WV:T → é uma transformação linear injetora e )Wdim()Vdim( = então T leva base de V em base de W. Demonstração: Seja }v,...,v,v{ n21 base de V ⇒ n)Vdim( = . Como )Wdim()Vdim( = e T é injetora, pelo teorema (4), T é sobrejetora ⇒ nW)TIm( == . Temos que )}v(T),...,v(T),v(T{ n21 geram W e são LI pelo teorema (2). Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ n21 é base de W.
- 4. 57 Teorema (6): Se WV:T → é uma transformação linear, então: a) Se )Wdim()Vdim( > ⇒ T não é injetora b) Se )Wdim()Vdim( < ⇒ T não é sobrejetora Demonstração: a) Suponhamos que T seja injetora, então 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que: )Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( >+= ⇒ )Wdim()TIm(dim > (absurdo!). Portanto, T não é injetora. b) Suponhamos que T seja sobrejetora, então )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que )Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( <+= ⇒ 0)T(Kerdim < (absurdo!). Portanto, T não é sobrejetora. Exemplo (2): Vamos resolver, novamente, o exemplo (1) utilizando os teoremas enunciados. Solução: Como )yx,yx()y,x(T −+= , ou seja, 22 :T ℜ→ℜ , estamos nas condições do teorema (4). Vamos determinar o Ker(T). Seja )0,0()yx,yx()y,x(T =−+= ⇒ =− =+ 0yx 0yx . Resolvendo o sistema temos que )}0,0{()T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora. Pelo teorema (4), se T é injetora então T é sobrejetora. Portanto T é bijetora. Exemplo (3): Seja )(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ uma transformação linear definida por − − =++ 21 102 210 aa0 0aa )tataa(T . T é sobrejetora? T é injetora? Determine a dimensão do Ker(T) e da Im(T). Solução: Como )(Mdim)(Pdim 2x22 ℜ<ℜ , pelo teorema (6), T não é sobrejetora. Vamos verificar se ela é injetora. Seja )T(Kertataa)t(p 2 210 ∈++= . Então ( ) − − = = 21 10 aa0 0aa 00 00 )t(pT ⇒ =− =− 0aa 0aa 21 10 ⇒ 210 aaa == . Logo, todo )T(Ker)t(p ∈ é da forma: )tt1(atataa)t(p 2 0 2 000 ++=++= , ou seja, }tt1{ 2 ++ é base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Pelo teorema (1), T não é injetora e pelo teorema (3) temos: 2)TIm(dim1)TIm(dim)T(Kerdim)TIm(dim3)(Pdim 2 =⇒+=+==ℜ .
- 5. 58 Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. Dizemos que T é um isomorfismo se T é uma transformação linear bijetora. OBS: Quando WV = , ou seja, temos que VV:T → é um operador linear bijetor, então T é chamado de um automorfismo. Definição: Seja WV:T → um isomorfismo. Então, a aplicação inversa VW:T 1 →− , se existir, é também um isomorfismo tal que IdTTTT 11 == −− oo . Definição: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. Teorema (7): Dois espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K são isomorfos se, e somente se, eles têm a mesma dimensão. Exemplo (4): Seja )aaa,aa,aa()tataa(T 2102110 2 210 ++−+=++ . T é um isomorfismo? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso. Solução: Note que 3 2 )(P:T ℜ→ℜ e 3)dim()(Pdim 3 2 =ℜ=ℜ . Seja )T(Kertataa 2 210 ∈++ . Então, )aaa,aa,aa()0,0,0( 2102110 ++−+= ⇒ =++ =− =+ 0aaa 0aa 0aa 210 21 10 . Resolvendo o sistema temos que 0aaa 210 === . Logo }0{)T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora e pelo teorema (4), T é sobrejetora. Portanto T é um isomorfismo. Seja )(P:T 2 31 ℜ→ℜ− . Então 2 210 1 tataa)z,y,x(T ++=− ⇒ )tataa(T)z,y,x(TT 2 210 1 ++=− o ⇒ )aaa,aa,aa()z,y,x( 2102110 ++−+= ⇒ ++= −= += 210 21 10 aaaz aay aax ⇒ +−= ++−= −−= zxa zyxa zyx2a 2 1 0 . Portanto, 21 t)zx(t)zyx()zyx2()z,y,x(T +−+++−+−−=−
- 6. 59 Exercícios Propostos 1) Seja )cba,dc,cb,ba( dc ba T +++++= uma transformação linear. Mostre que T é um isomorfismo e determine o isomorfismo inverso. Resp: −++− −++− =− tzxtx tyxty )t,z,y,x(T 1 2) Seja )y,zx,zx()z,y,x(T −+= um operador linear. Mostre que T é um automorfismo e determine o automorfismo inverso. Resp: −+ =− 2 yx ,z, 2 yx )z,y,x(T 1 3) Dada à transformação linear )z,zy,yx,x()z,y,x(T −−= . Determine a dimensão da Im(T) e do Ker(T). T é um isomorfismo? Porque? Resp: 0)T(Kerdim = ⇒ T é injetora; 3)TIm(dim = ⇒ T não é sobrejetora. Portanto, T não é um isomorfismo. 4) Se 21 t)zy(t)yx()zyx2()z,y,x(T −+−+−+=− é o isomorfismo inverso da T, determine a T e onde ela está definida. Resp: −−−−− =++ 2 a3a2a , 2 aa2a , 2 aa )tataa(T 210210202 210 ; 3 2 )(P:T ℜ→ℜ 5) Sabendo que T é um automorfismo do ℜ2 e que =−= − 3 2 , 3 1 )0,1(Te)1,1()1,0(T 1 , determine a expressão da T e da 1 T− . Resp: −+ =−+= − 3 yx2 , 3 yx )y,x(Te)yx2,yx()y,x(T 1