Exercitandoaula6
- 1. EXERCITANDO (Aula 6) 1. A transformação T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) = (x · y, x + y) é linear? Por que? 2. Seja T : R3 −→ R3 dada por T (x, y, z) = (z, x − y, −z). (a) Mostre que T é linear. (b) Determine dim N (T) e dim Im (T) . (c) Qual a matriz que representa T? 3. Determine uma transformação linear T : R3 −→ R2 tal que T (3, 2, 1) = (1, 1) , T(0, 1, 0) = (0, −2) e T (0, 0, 1) = (0, 0). 4. Sejam T : Rn −→ Rm e L : Rm −→ Rp transformações lineares. Demonstre que L ◦ T é linear. 5. Sejam T : Rn −→ Rm e L : Rm −→ Rp transformações lineares, e, A e B as respectivas matrizes que as representam. Mostre que BA é a matriz que representa L ◦ T. 6. Dado θ ∈ R, seja Tθ : R2 −→ R2 a aplicação linear representada pela matriz cos θ sen θ − sen θ cos θ . Demonstre que Tθ ◦ Tθ = Tθ+θ . 7. Seja T : R3 −→ R3 uma transformação linear tal que N (T) = {O}. Mostre que se os vetores v, w ∈ R3 são L.I., então T (v) e T (w) são também L.I. 8. Seja T : Rn −→ Rm uma transformação linear e suponha que T (X0) = B. Mostre que se T (X) = B, então X = X0 + Y , em que Y ∈ N (T) . 9. Seja T : Rn −→ Rn uma transformação linear. Mostre que T é injetiva ⇔ T é sobrejetiva. 10. Qual a matriz que representa a homotetia T : Rn −→ Rn dada por T (X) = λX, ∀X ∈ Rn ? 11. Sejam β = {v1, v2, ..., vn} uma base de Rn e w1, w2, ..., wn ∈ Rm . Demonstre que existe uma única transformação linear T : Rn −→ Rm tal que T (v1) = w1, T (v2) = w2, ..., T (vn) = wn. . RESPOSTAS 1) Não, pois (4, 4) = T (2, 2) = 2T (1, 1) = (2, 4); 2) b) dim N (T) = 1 e dim Im (T) = 2; c) 0 0 1 1 −1 0 0 0 −1 ; 3) Escreva um vetor (x, y, z) qualquer como combinação linear dos vetores (3, 2, 1) , (0, 1, 0) e (0, 0, 1) e, em seguida, aplique T. T (x, y, z) = 1 3 x, 5 3 x − 2y ; 5) Observe que (L ◦ T)(X) = B (AX); 6) Use o exercício anterior e identidades trigonométricas; 25) Subtraia, membro a membro, as igualdades T (X) = B e T (X0) = B; 9) Use o teorema da dimensão do núcleo e da imagem e o fato de que uma transformação linear só é injetiva se seu núcleo é nulo; 10) λIn; 11) Escreva um vetor v ∈ Rn qualquer como combinação linear dos vetores da base β. 1