Algebra Linear cap 03
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[1] A combinação linear é uma soma ponderada de vetores, onde os pesos são escalares. Um vetor é combinação linear de outros se puder ser escrito dessa forma. [2] O subespaço gerado por um conjunto de vetores S é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores de S. [3] Vetores são linearmente independentes se a única solução para sua combinação linear ser nula é quando todos os escalares são nulos.
![27
22
t)c2b(t)ba()c3a(t5t22 +−++++−=+− ⇒
=+−
−=+
=+−
5c2b
2ba
2c3a
. Resolvendo
o sistema linear (SPD) vamos obter 1ce3b,1a =−== . Portanto, existe a
combinação linear e )t(p)t(p3)t(p)t(q 321 +−= .
OBS: Se ao verificar a existência de uma combinação linear aparecer um sistema linear SI, significa
que não existe a combinação linear. Veja o exemplo (3).
Exemplo (3): Verificar se o vetor )1,1,2(u = é combinação linear dos vetores )2,1,1(v1 −−= ,
)1,2,3(v2 −= e )3,1,4(v3 −= .
Solução: Para que u seja combinação linear dos vetores }v,v,v{ 321 , vamos verificar se existem
escalares ℜ∈c,b,a tais que 321 cvbvavu ++= . Então:
)3,1,4(c)1,2,3(b)2,1,1(a)1,1,2( −+−+−−= ⇒
=−−−
=++−
=++
1c3ba2
1cb2a
2c4b3a
. Resolvendo o
sistema linear vamos obter: da primeira equação vem que 2c4b3a +−−= . Substituindo
na 2ª e 3ª equações, teremos
=+
=+
5c5b5
3c5b5
⇒ 53 = (FALSO!). O que indica que não
existe a combinação linear, pois o sistema linear é SI.
1.1 Subespaço Gerado
Definição: Seja S um subconjunto, não vazio, de um espaço vetorial V. O subespaço gerado por S,
denotado por [S], é o conjunto de todos os vetores de V que se escrevem como
combinação linear dos vetores de S.
Exemplo (4): Seja
3
)}1,2,1(),2,0,1{(S ℜ⊂−= . Determine o subespaço gerado por S.
Solução: Seja
3
)z,y,x(v ℜ∈= . Vamos escrever o vetor v como combinação linear dos vetores
de S. Então: )1,2,1(b)2,0,1(a)z,y,x(v −+== ⇒
+=
=
−=
ba2z
b2y
bax
. Da segunda](https://image.slidesharecdn.com/alcap03-130507185744-phpapp02/85/Algebra-Linear-cap-03-2-320.jpg)
![28
equação temos que yb 2
1
= . Substituindo na primeira equação temos: yxa 2
1
+= .
Substituindo a e b na terceira equação teremos: ( ) yyx2z 2
1
2
1
++= ⇒
0z2y3x4 =−+ , que é a equação geral de um plano passado pela origem. Portanto,
}0z2y3x4/)z,y,x{(]S[ 3
=−+ℜ∈= .
Exemplo (5): Seja )(M
11
00
,
03
01
,
00
12
S 2x2 ℜ⊂
−
−
−
= . Determine o subespaço
gerado por S.
Solução: Seja )(M
dc
ba
M 2x2 ℜ∈
= . Vamos escrever a matriz M como combinação linear
das matrizes de S. Então:
−
+
−
+
−
=
11
00
p
03
01
n
00
12
m
dc
ba
⇒
=
−=
−=
−=
pd
pn3c
mb
nm2a
. Resolvendo o sistema linear vamos obter que
3
dcb6
a
−
++
= . Portanto,
ℜ∈∀
= −
++
d,c,b,
dc
b
]S[ 3
dcb6
OBS: Os exemplos anteriores mostram com determinar o subespaço gerado [S] a partir de um
sistema de geradores }v,...,v,v{S n21= . É também interessante saber determinar o
contrário, ou seja, a partir de um subespaço [S] , determinar o sistema de geradores
}v,...,v,v{S n21= . Veja os exemplos a seguir.
Exemplo (6): Seja }t2zx/)t,z,y,x{(W 4
+=ℜ∈= . Determine um sistema de geradores
para W.
Solução: Podemos escrever }t,z,y),t,z,y,t2z{(W ℜ∈∀+= . Assim, todo vetor de W se
escreve com )t,z,y,t2z(v += . Temos três variáveis livres y, z e t. Cada uma delas
gera um vetor, ou seja, )1,0,0,2(t)0,1,0,1(z)0,0,1,0(y)t,z,y,t2z(v ++=+= . Os
vetores )]1,0,0,2(),0,1,0,1(),0,0,1,0[( forma um sistema de geradores de W.](https://image.slidesharecdn.com/alcap03-130507185744-phpapp02/85/Algebra-Linear-cap-03-3-320.jpg)
![33
−
+
=
−− 95
43
n
10
21
m
25
1010
⇒
+=−
=−
+=
−=
n9m2
n55
n4m210
n3m10
⇒ 1ne7m −== .
Portanto, existe a combinação linear que é BA7C −= .
Exercícios Propostos
1) Verificar a dependência linear entre os vetores e escrever a combinação linear quando existir.
a) )}1,3(c),5,1(b),2,2(a{ −==−= Resp (a): LD e cba 4
3
4
1
−−=
b)
−
−
−
− 310
032
,
121
130
,
311
102
Resp (b): LI
2) Determine os valores de m para que os vetores )}1,2,2(),1,m,2(),3,1,2m{( −−+ sejam LD.
Resp: 8mou2m −=−=
3) Determine o subespaço gerado pelo conjunto }t23,t32{S 2
−−= .
Resp: }0a9a4a6/)(Ptataa{]S[ 21o2
2
21o =++ℜ∈++=
4) Seja }0a2aa5a3a/)(Ptatataa{W 3221o3
3
3
2
21o =+=−+ℜ∈+++= . Determine
um sistema de geradores para W. Resp: }tt5,t3{S 3
2
12
−++−=
5) Se o conjunto }w,v,u{ é LI, mostre que }wu,wv,vu{ +++ é LI.](https://image.slidesharecdn.com/alcap03-130507185744-phpapp02/85/Algebra-Linear-cap-03-8-320.jpg)
Algebra Linear cap 03
- 1. 26 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR 1 COMBINAÇÃO LINEAR Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam VueV}v,...,v,v{ n21 ∈⊂ . Dizemos que o vetor u é combinação linear dos vetores }v,...,v,v{ n21 , se existirem escalares K,...,, n21 ∈ααα tais que ∑ = α=α++α+α= n 1i iinn2211 vv...vvu . Exemplo (1): Verificar se o vetor )5,2,0(u −= é combinação linear dos vetores )1,1,1(v1 −= , )0,1,1(v2 = e )1,0,2(v3 −= . Solução: Para que u seja combinação linear dos vetores }v,v,v{ 321 , vamos verificar se existem escalares ℜ∈c,b,a tais que 321 cvbvavu ++= . Então: )1,0,2(c)0,1,1(b)1,1,1(a)5,2,0( −++−=− ⇒ =+− −=+ =−+ 5ca 2ba 0c2ba . Resolvendo o sistema linear (SPD) vamos obter 1ce4b,6a −==−= . Portanto, existe a combinação linear e 321 vv4v6u −+−= . Exemplo (2): Verificar se o vetor 2 t5t22)t(q +−= é combinação linear dos vetores t1)t(p1 +−= , 2 2 tt)t(p −= e 2 3 t23)t(p += . Solução: Para que )t(q seja combinação linear dos vetores )}t(p),t(p),t(p{ 321 , vamos verificar se existem escalares ℜ∈c,b,a tais que )t(cp)t(bp)t(ap)t(q 321 ++= . Então: )t23(c)tt(b)t1(at5t22 222 ++−++−=+− ⇒
- 2. 27 22 t)c2b(t)ba()c3a(t5t22 +−++++−=+− ⇒ =+− −=+ =+− 5c2b 2ba 2c3a . Resolvendo o sistema linear (SPD) vamos obter 1ce3b,1a =−== . Portanto, existe a combinação linear e )t(p)t(p3)t(p)t(q 321 +−= . OBS: Se ao verificar a existência de uma combinação linear aparecer um sistema linear SI, significa que não existe a combinação linear. Veja o exemplo (3). Exemplo (3): Verificar se o vetor )1,1,2(u = é combinação linear dos vetores )2,1,1(v1 −−= , )1,2,3(v2 −= e )3,1,4(v3 −= . Solução: Para que u seja combinação linear dos vetores }v,v,v{ 321 , vamos verificar se existem escalares ℜ∈c,b,a tais que 321 cvbvavu ++= . Então: )3,1,4(c)1,2,3(b)2,1,1(a)1,1,2( −+−+−−= ⇒ =−−− =++− =++ 1c3ba2 1cb2a 2c4b3a . Resolvendo o sistema linear vamos obter: da primeira equação vem que 2c4b3a +−−= . Substituindo na 2ª e 3ª equações, teremos =+ =+ 5c5b5 3c5b5 ⇒ 53 = (FALSO!). O que indica que não existe a combinação linear, pois o sistema linear é SI. 1.1 Subespaço Gerado Definição: Seja S um subconjunto, não vazio, de um espaço vetorial V. O subespaço gerado por S, denotado por [S], é o conjunto de todos os vetores de V que se escrevem como combinação linear dos vetores de S. Exemplo (4): Seja 3 )}1,2,1(),2,0,1{(S ℜ⊂−= . Determine o subespaço gerado por S. Solução: Seja 3 )z,y,x(v ℜ∈= . Vamos escrever o vetor v como combinação linear dos vetores de S. Então: )1,2,1(b)2,0,1(a)z,y,x(v −+== ⇒ += = −= ba2z b2y bax . Da segunda
- 3. 28 equação temos que yb 2 1 = . Substituindo na primeira equação temos: yxa 2 1 += . Substituindo a e b na terceira equação teremos: ( ) yyx2z 2 1 2 1 ++= ⇒ 0z2y3x4 =−+ , que é a equação geral de um plano passado pela origem. Portanto, }0z2y3x4/)z,y,x{(]S[ 3 =−+ℜ∈= . Exemplo (5): Seja )(M 11 00 , 03 01 , 00 12 S 2x2 ℜ⊂ − − − = . Determine o subespaço gerado por S. Solução: Seja )(M dc ba M 2x2 ℜ∈ = . Vamos escrever a matriz M como combinação linear das matrizes de S. Então: − + − + − = 11 00 p 03 01 n 00 12 m dc ba ⇒ = −= −= −= pd pn3c mb nm2a . Resolvendo o sistema linear vamos obter que 3 dcb6 a − ++ = . Portanto, ℜ∈∀ = − ++ d,c,b, dc b ]S[ 3 dcb6 OBS: Os exemplos anteriores mostram com determinar o subespaço gerado [S] a partir de um sistema de geradores }v,...,v,v{S n21= . É também interessante saber determinar o contrário, ou seja, a partir de um subespaço [S] , determinar o sistema de geradores }v,...,v,v{S n21= . Veja os exemplos a seguir. Exemplo (6): Seja }t2zx/)t,z,y,x{(W 4 +=ℜ∈= . Determine um sistema de geradores para W. Solução: Podemos escrever }t,z,y),t,z,y,t2z{(W ℜ∈∀+= . Assim, todo vetor de W se escreve com )t,z,y,t2z(v += . Temos três variáveis livres y, z e t. Cada uma delas gera um vetor, ou seja, )1,0,0,2(t)0,1,0,1(z)0,0,1,0(y)t,z,y,t2z(v ++=+= . Os vetores )]1,0,0,2(),0,1,0,1(),0,0,1,0[( forma um sistema de geradores de W.
- 4. 29 Exemplo (7): Seja ===−=−+ℜ∈ = befe0b2cfba/)(M fe dc ba W 2x3 . Determine um sistema de geradores para W. Solução: Podemos escrever ℜ∈∀ = f,d,b, bb db2 b0 W . Assim, toda matriz de W se escreve como bb db2 b0 . Temos duas variáveis livres b e d. Então: + = 00 10 00 d 11 02 10 b bb db2 b0 . As matrizes 00 10 00 , 11 02 10 formam um sistema de geradores de W. 2 Vetores LI e LD Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam V}v,...,v,v{ n21 ⊂ . Dizemos que os vetores }v,...,v,v{ n21 são Linearmente Independentes (LI), se a equação 0v...vv nn2211 =α++α+α se verifica para os escalares K,...,, n21 ∈ααα todos nulos, ou seja, 0... n21 =α==α=α . Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam V}v,...,v,v{ n21 ⊂ . Dizemos que os vetores }v,...,v,v{ n21 são Linearmente Dependentes (LD), se a equação 0v...vv nn2211 =α++α+α se verifica para os escalares K,...,, n21 ∈ααα não todos nulos, ou seja, pelo menos um dos escalares deverá ser diferente de zero. OBS: 1) A diferença entre um conjunto de vetores ser LI ou LD está na relação que existe entre eles. O próprio nome já diz: se os vetores são LD é porque existe uma "dependência"
- 5. 30 entre eles (veremos a seguir que esta dependência será uma combinação linear), e se os vetores são LI não existe nenhuma "dependência" entre eles. 2) A solução da equação homogênea 0v...vv nn2211 =α++α+α será dada através de um sistema linear homogêneo, o qual sempre admite a solução trivial, ou seja, 0... n21 =α==α=α . Todo sistema linear homogêneo é possível. Se ele por SPD, então admite somente a solução trivial e os vetores serão LI. Caso o sistema seja SPI, além da solução trivial ele admite outras infinitas, então os vetores serão LD. Exemplo (7): Verificar a dependência linear entre os vetores abaixo: a) { }22 t3t5,tt2,t21 +−+−− b) −− − 25 1010 , 95 43 , 10 21 Solução: a) Vamos escrever a equação homogênea. Sejam os escalares ℜ∈c,b,a . Então: 222 t0t00)t3t5(c)tt2(b)t21(a ++=++−+−+− ⇒ 22 t0t00t)c3b(t)c5ba2()b2a( ++=+−+++−+− ⇒ =+− =++− =− 0c3b 0c5ba2 0b2a . Este sistema homogêneo é SPD e a solução é a trivial, ou seja, 0cba === . Portanto, os polinômios { }22 t3t5,tt2,t21 +−+−− são LI. b) Sejam ℜ∈γβα ,, . Então: = −− γ+ − β+ α 00 00 25 1010 95 43 10 21 ⇒ =γ−β+α =γ−β =γ+β+α =γ+β−α 029 055 01042 0103 . O sistema homogêneo é SPI, cuja solução geral é },e7{ ℜ∈γ∀γ=βγ−=α . Claro que, para 0=γ , teremos a solução trivial 0=γ=β=α , mas não é a única, existem outras infinitas. Portanto, as matrizes −− − 25 1010 , 95 43 , 10 21 são LD.
- 6. 31 Teorema (1): Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um conjunto de vetores V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LD se, e somente se, um deles é combinação linear dos demais. OBS: O teorema (1) é uma bi-implicação, ou seja, o termo "se e somente se" (cujo símbolo é ⇔), nos diz que o teorema é válido nos dois sentidos. Assim, tanto é verdade afirmar que: "se um conjunto de vetores é LD então um deles é combinação linear dos demais" como afirmar em sentido contrário que "se num conjunto de vetores um deles é combinação linear dos demais então estes vetores são LD". Demonstração do Teorema (1): (⇒⇒⇒⇒) Hipótese: V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LD Tese: um deles é combinação linear dos demais Como os vetores são LD, então, por definição 0v...vv nn2211 =α++α+α , para os escalares não todos nulos. Suponhamos que 01 ≠α . Então: n 1 n 3 1 3 2 1 2 1 v...vvv α α −− α α − α α −= , ou seja, 1v é combinação linear dos demais vetores. (⇐⇐⇐⇐) Hipótese: um deles é combinação linear dos demais. Tese: V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LD Por hipótese, seja 1v combinação linear dos demais vetores. Então existem escalares K,...,, n32 ∈ααα tais que nn33221 v...vvv α+α+α= . Assim, teremos: 0v...vvv)1( nn33221 =α+α+α+− . Logo, a equação homogênea é satisfeita para os escalares não todos nulos, pois 11 −=α . Portanto, }v,...,v,v{ n21 é LD. Teorema (2): Dados }v,...,v,v{ n21 vetores LD, então k desses vetores serão LD, para k ≥ n. OBS: O teorema (2) está afirmando que se um conjunto de vetores é LD, se aumentarmos este conjunto ele sempre será LD. Como este teorema é de uma implicação, ou seja, o termo "então" (cujo símbolo é ⇒) só garante um sentido do teorema, a reciproca não é verdadeira, ou seja, se diminuirmos um conjunto de vetores LD, nada podemos afirmar. Demonstração do Teorema (2):
- 7. 32 Se }v,...,v,v{ n21 é LD, então existem escalares não todos nulos K,...,, n21 ∈ααα tais que 0v...vv nn2211 =α++α+α (*). Seja }v,...,v,v,...,v,v{ k1nn21 + , ou seja, vamos aumentar o conjunto inicial. Então 0v...vv...vv kk1n1nnn2211 =α++α+α++α+α ++ para os escalares não todos nulos, pois, mesmo que K0... k2n1n ∈=α==α=α ++ , na equação (*) já existiam escalares não nulos. Teorema (3): Dados }v,...,v,v{ n21 vetores LI, então k desses vetores serão LI, para k ≤ n. OBS: O teorema (3) está afirmando que se um conjunto de vetores é LI, se diminuirmos este conjunto ele sempre será LI. Analogamente, a reciproca não é verdadeira, ou seja, se aumentarmos um conjunto de vetores LI, nada podemos afirmar. Demonstração do Teorema (3): Se }v,...,v,v,...,v,v{ n1kk21 + é LI, então existem escalares K,...,,,...,, n1kk21 ∈ααααα + tais que 0v...vv...vv nn1k1kkk2211 =α++α+α++α+α ++ (*), com os escalares 0...... n1kk21 =α==α=α==α=α + . Seja agora, o conjunto }v...,,v,v{ k21 . Então 0v...vv kk2211 =α++α+α para os escalares todos nulos, pois na equação (*) os escalares já eram todos nulos. Conseqüências: Sejam V um espaço vetorial qualquer. Então: 1) O vetor nulo { }0 é LD. 2) Um único vetor { }v , com 0v ≠ , é LI. Exemplo (8): No exemplo (7), item (b), mostramos que o conjunto de matrizes −− = − = = 25 1010 C, 95 43 B, 10 21 A é LD. Pelo teorema (1), uma delas é combinação linear das outras duas. Mostre que existe esta combinação linear. Solução: Vamos escrever a matriz C como combinação linear das matrizes A e B. Então, existem escalares ℜ∈n,m tais que nBmAC += .
- 8. 33 − + = −− 95 43 n 10 21 m 25 1010 ⇒ +=− =− += −= n9m2 n55 n4m210 n3m10 ⇒ 1ne7m −== . Portanto, existe a combinação linear que é BA7C −= . Exercícios Propostos 1) Verificar a dependência linear entre os vetores e escrever a combinação linear quando existir. a) )}1,3(c),5,1(b),2,2(a{ −==−= Resp (a): LD e cba 4 3 4 1 −−= b) − − − − 310 032 , 121 130 , 311 102 Resp (b): LI 2) Determine os valores de m para que os vetores )}1,2,2(),1,m,2(),3,1,2m{( −−+ sejam LD. Resp: 8mou2m −=−= 3) Determine o subespaço gerado pelo conjunto }t23,t32{S 2 −−= . Resp: }0a9a4a6/)(Ptataa{]S[ 21o2 2 21o =++ℜ∈++= 4) Seja }0a2aa5a3a/)(Ptatataa{W 3221o3 3 3 2 21o =+=−+ℜ∈+++= . Determine um sistema de geradores para W. Resp: }tt5,t3{S 3 2 12 −++−= 5) Se o conjunto }w,v,u{ é LI, mostre que }wu,wv,vu{ +++ é LI.