Aula 10 - Combinação linear, dependência e independência linear.pdf

Geometria Analítica e
Álgebra Linear
Prof. Lucas Martins Ikeziri
lucas.ikeziri@unisagrado.edu.br
Aula 10
Combinação linear, dependência e independência linear

Objetivo
• Adquirir conhecimentos sobre combinações
lineares entre dois vetores e dependência e
independência linear entre vetores.
• Desenvolver habilidades para a resolução de
problemas que envolvam os conteúdos
apresentados.

Vetores – Combinação Linear
Sejam os vetores v1, v2, ..., vn do espaço vetorial V e
os escalares a1, a2, ..., an. Qualquer vetor v  V da
forma:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn e
os escalares (a1, a2, ..., an) são denominados
coeficientes da combinação linear.

Exemplo: Considere os vetores u = (1, 2, -1) e v = (6, 4, 2).
Mostre que w = (9, 2, 7) é uma combinação linear de u e v e
que w’ = (4, -1, 8) não é uma combinação linear de u e v.
Para que w seja uma combinação linear de u e v, devem
existir escalares a1 e a2 tais que w = a1u + a2v, ou seja:
(9, 2, 7) = a1(1, 2, -1) + a2(6, 4, 2)
(9, 2, 7) = (a1 + 6a2, 2a1 + 4a2, -a1 + 2a2)

Igualando as coordenadas correspondentes, temos:
a1 + 6a2 = 9
2a1 + 4a2 = 2
-a1 + 2a2 = 7
Resolvendo esse sistema linear, obtemos a1 = -3 e a2 = 2, de
modo que:
w = -3u + 2v

Analogamente, para que w’ seja uma combinação linear de u
e v, devem existir escalares a1 e a2 tais que w’ = a1u + a2v, ou
seja:
(4, -1, 8) = a1(1, 2, -1) + a2(6, 4, 2)
(4, -1, 8) = (a1 + 6a2, 2a1 + 4a2, -a1 + 2a2)
Igualando as coordenadas correspondentes, temos:
a1 + 6a2 = 4
2a1 + 4a2 = -1
-a1 + 2a2 = 8
Esse sistema linear é
impossível. Logo, não
existem escalares a1 e a2 e
w’ não é uma combinação
linear de u e v.

Exercícios
1) Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de
u = (0, -2, 2) e v = (1, 3, -1)?
a) (2, 2, 2) b) (3, 1, 5) c) (0, 4, 5) d) (0, 0, 0)
Para os exercícios 2, 3, 4 e 5, considere, no R³, os seguintes
vetores: v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1).
2) Escrever o vetor v = (-4, -18 ,7) como combinação linear
dos vetores v1 e v2.
3) O vetor v = (4, 3, -6) é combinação linear dos vetores v1 e
v2? Mostre.

Exercícios
4) Determinar o valor de k para que o vetor u = (-1, k, -7) seja
combinação linear de v1 e v2.
5) Determinar a condição para x, y e z de modo que (x, y, z)
seja combinação linear dos vetores v1 e v2.
6) Escrever o vetor 0  R² como combinação linear dos vetores:
a) v1 = (1, 3) e v2 = (2, 6) b) v1 = (1, 3) e v2 = (2, 5)

Exercícios
7) Expressar o vetor u = (-1, 4, -4, 6)  R4 como combinação
linear dos vetores v1 = (3, -3, 1, 0), v2 = (0, 1, -1, 2) e
v3 = (1, -1, 0, 0).

Respostas
2) v = 2v1 - 3v2 3) SI, não é CL.
4) k = 13 5) (y + 2z, y, z)
6) a) 0 = -2v1 + v2 b) 0 = 0v1 + 0v2

Vetores – Dependência e independência linear
Se S = {v1, v2, ..., vr} for um conjunto não vazio de
vetores num espaço vetorial V, então a equação
vetorial
a1v1 + a2v2 + ... + arvr = 0
tem uma solução, pelo menos, a saber,
a1 = 0, a2 = 0, ..., ar = 0
Dizemos que essa é a solução trivial. Se essa for a única
solução, dizemos que S é um conjunto Linearmente
Independente (LI). Se existem outras soluções além da
trivial, dizemos que S é um conjunto Linearmente
Dependente (LD).
Definição:

Determine se os vetores v1 = (1,-2,3), v2 = (5,6,-1) e
v3 = (3,2,1) são linearmente dependentes ou
independentes em R³.
A dependência ou independência linear desses
vetores é determinada pela existência ou não de
soluções não triviais para a equação vetorial
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
Ou equivalentemente de
a1(1,-2,3) + a2(5,6,-1) + a3(3,2,1) = (0,0,0)
Exemplo 1:

Igualando as coordenadas correspondentes em
ambos os lados, obtemos o sistema linear
homogêneo:
a1 + 5a2 + 3a3 = 0
-2a1 + 6a2 + 2a3 = 0
3a1 – a2 + a3 = 0
Exemplo 1:

Como o sistema linear é homogêneo, se o
determinante da matriz formada pelos coeficientes
for diferente de zero, então os vetores são LI
(sistema admite apenas a solução trivial. Caso
contrário, os vetores são LD (sistema tem soluções
não triviais).
Logo, os vetores são LD.
Exemplo 1:
1 5 3
-2 6 2
3 -1 1
= 0

Resolvendo o sistema por escalonamento:
Exemplo 1:
1 5 3 0
-2 6 2 0
3 -1 1 0
1 5 3 0
0 16 8 0
0 -16 -8 0
L2 = L2 + 2 x L1
L3 = L3 – 3 x L1
L3 = L3 + L2
1 5 3 0
0 16 8 0
0 0 0 0
a3 = 
a2 = -/2
a1 = -/2
Logo: S = {(-/2, -/2, )}

Independência linear dos vetores unitários
canônicos em R³:
Dados os versores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1).
A dependência ou independência linear desses
vetores é determinada pela existência ou não de
soluções não triviais da equação vetorial:
a1i + a2j + a3k = 0
Em termos de componentes, essa equação é
(a1,a2,a3) = (0,0,0)
de modo que a equação vetorial tenha apenas a
solução trivial e que, portanto, os vetores são
linearmente independentes.

Exercícios
1) Verificar a dependência linear dos seguintes vetores:
a) u=(1/2,-3,6) e v=(-1/8,3/4,-3/2)
b) a=(1,2,2), b=(-4,6,0) e c=(3,-1,2)
c) a=(1,2,-1), b=(-2,3,-1) e c=(0,-1,2)
2) Determine os valores de m para que os vetores u=(2,m,8),
v=(m+4,-1,3) e w=(7,4m,31) sejam LD.
3) Verificar se os vetores abaixo são LI ou LD:

Exercícios
4) Verificar a dependência linear dos seguintes vetores:
5) Determine se os seguintes vetores são LI em R³:
a) v1=(1,0,0), v2=(0,1,1) e v3=(1,0,1);
b) v1=(1,0,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1) e v4=(1,2,3);
c) v1=(2,1,-2), v2=(3,2,-2) e v3=(2,2,0);
d) v1=(2,1,-2), v2=(-2,-1,2) e v3=(4,2,-4);
e) v1=(1,1,3) e v2=(0,2,1).

Respostas
1) a) LD; S={(a2/4; a2)} b) LD; S={(-a3; a3/2; a3)} c) LI
2) m=-3 ou m=2
3) a) LD; S={(a3; 2a3; a3)} b) LI c) LD; S={(-3a3; -a3; a3)}
4) a) LI b) LD; S={(-2a3; -3a3; a3)}
5) a) LI b) LD; S={(0; -2a4; -a4; a4)} c) LI
d) LD; S={(a2-2a3; a2; a3)} e) LI

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