Alg_Aula05.pptbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

1
Álgebra Linear
Espaço Vetorial
Prof. Paulo Salgado
psgmn@cin.ufpe.br

Sumário
• Espaços vetoriais
• Sub-espaços vetoriais
• Combinação linear
• Dependência e Independência linear
2

3
Espaços Vetoriais
• Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V,
não vazio, com duas operações: soma, V X V  V, e
multiplicação por escalar, R X V  V, tais que, para
quaisquer u, v, w V e a, b  R, as seguintes
propriedades sejam satisfeitas:

4
Espaços Vetoriais
• Propriedades:
 Adição
 i) (u + v) + w = u + (v + w) - associativa
 ii) u + v = v + u - comutativa
 iii) existe 0  V tal que u + 0 = u
– 0 é o vetor nulo
 iv) Existe –u  V tal que u + (-u) = 0
 Multiplicação
 v) a(u + v) = au + av, a escalar
 vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares
 vii) (ab)v = a(bv)
 viii) 1.u = u

5
Espaços Vetoriais
• Designamos por vetor um elemento do espaço
vetorial
• Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2
 V é um espaço vetorial
• Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a adição é
entendida como a adição de matrizes; e a multiplicação por um
escalar for a forma padrão de matrizes

6
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)
 
   
   
   
   
   
   
   
   
 
w
v
u
w
v
u





































































































































22
21
12
11
22
21
12
11
22
21
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11
22
22
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21
12
12
11
11
22
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11
22
22
22
21
21
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12
12
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11
22
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22
21
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12
12
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11
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12
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12
11
22
21
12
11
w
w
w
w
v
v
v
v
u
u
u
u
w
v
w
v
w
v
w
v
u
u
u
u
w
v
u
w
v
u
w
v
u
w
v
u
w
v
u
w
v
u
w
v
u
w
v
u
w
w
w
w
v
u
v
u
v
u
v
u
w
w
w
w
v
v
v
v
u
u
u
u

7
Espaços Vetoriais
11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22
u u v v v v u u
u u v v v v u u
       
      
       
       
u v v u
Operação vetorial genérica
Interpretação concreta
Axioma 2: u + v = v + u

8
Espaços Vetoriais
Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulo
para V, tal que u + 0 = u para todo u em V.
u
0
u
u
0
































22
21
12
11
22
21
12
11
0
0
0
0
,
Então,
.
0
0
0
0
Seja
u
u
u
u
u
u
u
u
V

9
Espaços Vetoriais
Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado um
oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0
 
0
u
u
u
u












































































0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
,
Então,
.
Seja
22
22
21
21
12
12
11
11
22
22
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12
12
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11
22
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11
22
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11
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
V
u
u
u
u

10
Espaços Vetoriais
Axioma 5: k (u + v) = k u + k v
 
   
   
v
u
v
u
k
k
v
k
v
k
v
k
v
k
u
k
u
k
u
k
u
k
v
k
u
k
v
k
u
k
v
k
u
k
v
k
u
k
v
u
k
v
u
k
v
u
k
v
u
k
v
u
v
u
v
u
v
u
k
v
v
v
v
u
u
u
u
k
k









































































22
21
12
11
22
21
12
11
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21
21
12
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11
22
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12
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11
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22
21
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12
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11
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21
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11
22
21
12
11

11
Espaços Vetoriais
Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u
   
   
   
u
u
u
l
k
u
l
u
l
u
l
u
l
u
k
u
k
u
k
u
k
u
l
u
k
u
l
u
k
u
l
u
k
u
l
u
k
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
u
u
u
l
k
l
k

















































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21
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11
22
21
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11
22
21
12
11

12
Espaços Vetoriais
Axioma 7: k (l u) = (k l ) (u)
 
   
   
   u
u
l
k
u
u
u
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
l
k
u
l
u
l
u
l
u
l
k
u
u
u
u
l
k
l
k













































22
21
12
11
22
21
12
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11
22
21
12
11
22
21
12
11

13
Espaços Vetoriais
Axioma 8: 1u = u
u
u 





















22
21
12
11
22
21
12
11
22
21
12
11
1
1
1
1
1
1
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u

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Espaços Vetoriais
• Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um
espaço vetorial:
 Seja u = (u1, v1) e v = (u2, v2)
 Seja V = R2 e adição e multiplicação definidas como:
• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)
• k.u = (ku1, 0)
 Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:
• 1u = 1(u1, v1) = (u1, 0)  u
 Logo V não é um espaço vetorial

Espaços Vetoriais
• Exercícios:
a) O conjunto V = R2 = {(x, y)| x, y E R} é um espaço vetorial com
as operações de adição e multiplicação por um número real
assim definidas
• (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
• α(x, y) = (αx, αy)
• Tais operações são denominadas usuais
b) O conjunto V = R2 = {(x, y)| x, y E R} é um espaço vetorial com
as operações de adição e multiplicação por um número real
assim definidas
• (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
• α(x, y) = (αx, y)
15

16
Subespaços Vetoriais
• Definição: Dado um espaço vetorial V, um
subconjunto W, não vazio, será um subespaço
vetorial de V se:
 i) Para quaisquer u, v  W, tivermos u + v  W
 ii) Para quaisquer a  R, u  W, tivermos au  W

17
• Observações:
 1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por
escalar) não obteremos um vetor fora de W
 Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço
vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas
 Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a
(viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que
contém W

18
• Observações:
 2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente
conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da
definição quando a = 0)
 3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois
subespaços (que são chamados de subespaços triviais):
• O conjunto formado apenas pelo vetor nulo
• O próprio espaço vetorial

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• Exemplo 1: V = R3 e W  V, um plano passando pela
origem
W
Observe que, se W não passasse
pela origem, não seria um subespaço
Os únicos subespaços de R3 são a
origem, as retas e planos que passam
pela origem e o próprio R3

20
• Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xiR}
 Isso é, W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira
coordenada nula
 Vamos verificar as condições (i) e (ii):
 (i):u = (0, x2, x3, x4, x5), v = (0, y2, y3, y4, y5)  W
Então: u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5)  W
 (ii) ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5)  W
 Portanto, W é subespaço vetorial de R5.

• Exercício: Seja V = R2 e S = {(x, y) E R2 | y = 2x}
• Elementos: u = (x1, 2.x1) e v = (x2, 2.x2)
• Prova: Verificar se u+v e k.u seguem as mesmas propriedades
• Solução
u + v = (x1, 2.x1) + (x2, 2.x2)
u + v = (x1 + x2, 2.x1 + 2.x2)
u + v = (x1 + x2, 2(x1 + x2))
ku = k(x1, 2.x1)
ku = (kx1, 2kx1)
ku = (kx1, 2(kx1)), logo S é subespaço
21

• Exercício: Seja V = R2 e S = {(x, y) E R2 | y = 4-2x}
• Elementos: u = (x1, 4-2x1) e v = (x2, 4-2.x2)
• Prova: Verificar se u+v e k.u seguem as mesmas propriedades
• Solução
u + v = (x1, 4-2.x1) + (x2, 4-2.x2)
u + v = (x1 + x2, 4-2.x1 + 4-2.x2)
u + v = (x1 + x2, 8-2(x1 + x2))
ku = k(x1, 4-2.x1)
ku = (kx1, k(4-2x1))
ku = (kx1, 4k-2kx1)),
ku = (kx1, 4k-2kx1)), logo S não é um subespaço
22

23
• Teorema: Interseção de subespaços
 Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial
V, a interseção W1  W2 ainda é um subespaço de
V
• Observe que W1  W2 nunca é vazio já que eles sempre
contêm, pelo menos, o vetor nulo
• Exemplo 1: V = R3, W1  W2 é a reta de
interseção dos planos W1 e W2
W1
W2

24
• Embora a interseção gere um subespaço
vetorial, isso necessariamente não acontece
com a união
• Teorema: Soma de subespaços
 Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial
V. Então o conjunto
• W1 + W2 = {vV; v=w1 + w2, w1W1, w2W2}
 é subespaço de V
• Exemplo 1: Se W1 e W2 são duas retas, W =
W1+W2 é o plano que contém as retas

25
• Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é
chamado soma direta de W1 com W2,
denotado por W1  W2

26
Combinação Linear
• Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn
V e a1, a2, ...,an números reais
• Então o vetor
 v = a1v1 + a2v2 + .... anvn
• é um elemento de V ao qual chamamos de
combinação linear de v1, v2, ..., vn
 Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o
conjunto W de todos os vetores de V que são
combinação linear desse é um subespaço vetorial
• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn
• W = [v1, v2, ..., vn]

27
Combinação Linear
• Exemplo 1:V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)
 Logo, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)V, temos (x,
y) = x(1, 0) + y(0, 1)
• Ou seja, v = x.v1 + y.v2
• Exemplo 2:
1 0
0 0
v1 =
0 1
0 0
v2 =
Então [v1, v2] = : a, b  R
a b
0 0

Combinação Linear
• Exercício: v = (-4,-18,7) é uma combinação linear de v1 = (1, -3, 2) e
v2 = (2, 4, -1)? Escreva o vetor v como combinação linear dos
vetores v1 e v2.
• Solução
v = av1 + bv2
(-4,-18,7) = a(1,-3,2) + b(2,4,-1)
(-4,-18,7) = (a,-3a,2a) + (2b,4b,-b)
(-4,-18,7) = (a+2b,-3a+4b,2a-b)
a+2b = -4
-3a+4b = -18
2a-b = 7 Resposta:
v = 2v1 – 3 v2
28

29
Dependência e Independência Linear
• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2,
..., vn V. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} é
linearmente independente (LI), ou que o vetores
v1, v2, ..., vn são LI se a equação:
 a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = .... = an = 0
 {v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes
vetores for combinação linear dos outros.
• Se algum ai  0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} é
linearmente dependente (LD) ou que os vetores
v1,v2, ...,vn são LD

30
• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1)
• e1 e e2 são LI, pois
 a1.e1 + a2.e2 = 0
 a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0
 (a1, a2) = (0, 0)
 a1 = 0 e a2 = 0
• Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1
= (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI
• Exemplo 3: V = R2
 {(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois:
 ½.(1, -1) -1.(1, 0) + ½.(1, 1) = (0, 0)

• Exercício: v1 = (2, 3) e v2 = (-4, -6) são LD?
• Solução
av1 + bv2 = 0
a(2, 3) + b(-4, -6) = 0
(2a, 3a) + (-4b, -6b) = (0, 0)
(2a-4b, 3a - 6b) = (0, 0)
2a - 4b = 0 .(3) => 6a – 12b = 0
3a - 6b = 0 .(-2) => -6a + 12b = 0
0 = 0 => 2a - 4b = 0 => 2a = 4b, LD ou LI?
Resposta: LD... Por que?
31

• Exercício: v1 = (6, 2, 3) e v2 = (0, 5, 3) são LD ou LI?
• Solução
av1 + bv2 = 0
a(6, 2, 3) + b(0, 5, 3) = (0, 0, 0)
(6a, 2a, 3a) + (0, 5b, 3b) = (0, 0, 0)
(6a, 2a + 5b, 3a + 3b) = (0, 0, 0)
6a = 0 => a = 0
2a + 5b = 0 => b = 0
3a + 3b = 0 => b = 0
Como, a = b = 0 => LD ou LI?
Resposta: LI
32

Hoje vimos...
• Espaços vetoriais
• Sub-espaços vetoriais
• Combinação linear
• Dependência e Independência linear
33

34
Álgebra Linear
Espaço Vetorial
Prof. Paulo Salgado
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Sumário
• Base de um Espaço Vetorial
• Dimensão de um Espaço Vetorial
• Mudança de Base
35

36
Base de um Espaço Vetorial
• Definição: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de vetores de
V será uma base de V se:
 i) {v1,v2, ...,vn} é LI
 av1 + bv2, + ... + nvn = 0, onde a = b = n = 0
 ii) [v1,v2, ...,vn] é V
 av1 + bv2, + ... + nvn = vetor genérico do espaço, Ex: R2 = (x,y)
Esse conjunto gera todos os vetores de V.

37
• Exemplo 1: V = R2, e1=(1,0) e e2=(0,1)
• {e1, e2} é base de V, conhecida como base
canônica de R2
• O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de
V = R2
De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então
a = b = 0
• Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI
Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y)  V,
temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1)
Ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação linear
dos vetores (1,1) e (0,1)

38
• Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} não é base de R2,
pois é um conjunto LD
Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), então a = -2b e a e b não
são zero necessariamente
• Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma
base de R3?
Base canônica de R3
i) {e1, e2, e3} é LI
ii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3
• Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3.
Por que?
É LI mas não gera todo R3

39
• Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos
que geram um espaço vetorial V. Então dentre
esses vetores podemos extrair uma base de V.
Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI
• Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado
por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn.
• Então, qualquer conjunto com mais de n
vetores é necessariamente LD (e, portanto,
qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores)

40
• Corolário: Qualquer base de um espaço
vetorial tem sempre o mesmo número de
elementos. Este número é chamado dimensão
de V, e denotado por dim V
• Exemplo 1: V = R2: dim V = 2
{(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} são bases de V
• Exemplo 2: V = R3: dim V = 3
• Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4
1 0
0 0
0 1
0 0
É uma
base de V
0 0
1 0
0 0
0 1

41
• Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um
espaço vetorial V de dimensão finita pode ser
completado de modo a formar uma base de V
• Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n
vetores LI formará uma base de V
• Teorema: Se U e W são subespaços de um
espaço vetorial V que tem dimensão finita, então
dim U  dim V e dim W  dim V. Além disso:
dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U  W)

42
• Teorema: Dada uma base  = {v1,v2, ...,vn} de
V, cada vetor de V é escrito de maneira única
como combinação linear de v1, v2, ...,vn.
• Definição: Sejam  = {v1,v2, ...,vn} base de V e
v  V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos
esses números ai de coordenadas de v em
relação à base  e denotamos por:
[v] =
a1
...
an

43
•  = {(1, 0), (0, 1)}
• (4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1)
• Logo:
[(4, 3)] =
4
3
Observe que os
coeficientes são
representados
como elementos
de uma matriz
coluna.

44
•  = {(1, 1), (0, 1)}
• (4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1)  x=4 e y=-1
• Logo:
[(4, 3)] =
4
-1

45
• Exemplo 3: Observe que a ordem dos
elementos de uma base influi na matriz das
coordenadas de um vetor em relação à esta
base
• V = R2
• 1 = {(1, 0), (0, 1)} e 2 = {(0, 1), (1, 0)}
[(4, 3)]1 =
4
3
[(4, 3)]2 =
3
4

• Exemplo 4: Considere:
V = {(x, y, z): x + y – z = 0}
W = {(x, y, z): x = y}
Determine V + W
V: x + y – z = 0  z = x + y
• Base: (x, y, z)=(x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)
• Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)]
W: x = y
• Base: (x, y, z) = (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1)
• Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
46
cont…

• Exemplo 4: (cont..)
Como:
V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]
W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
Então V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)]
Mas espera-se que o resultado esteja no R3,
logo essa base deve ter algum elemento LD
47
cont…
x
y
z

– Vamos escalonar....
48
cont…
1 0 1
0 1 1
1 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 -1 -1
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 0
Elemento
LD (v3)
v1
v2
v3
v4

Logo V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)]
Assim, V + W = R3
dim R3 = dim V + dim W – dim(VW)
VW = ??
49
cont…

VW = {(x,y,z); x + y – z = 0 e x = y}
= Resolva o sistema...
= {(x,y,z); x = y = z/2}
= [(1, 1, 2)]
dim (VW) = 1
dim R3 = dim V + dim W – dim(VW)
dim R3 = 2 + 2 – 1 = 3
• Como esperado....
50

Mudança de Base
• Contextualizando...
51

Mudança de base - exemplo
• Visão Computacional
– Problema: imagine um veículo de direção
autônoma para percorrer um caminho:
Grama verde
Caminho cinza

– Problema: imagine agora um caminho com
sombra...
Grama verde
Caminho cinza
Sombra
verde escura
Sombra cinza
claro
Sombra cinza escuro

– Imagem no sistema RGB (R = Red, G = Green, B =
Blue) que é o sistema computacional de cores
comum do computador
• Mas um “vermelho” tem valores de cada componente

– Como detectar a sombra pelo RGB? Problema
complicado...
– Mas existem outros sistemas de cores....

– Sistema HSL (H = Hue/Matiz, S = Saturação, L =
Lightness/Brilho)
– RGB -> HSL
• Mudança de base, feita através de uma matriz
transformação de uma base para outra

– Mesma imagem anterior no HSL (cada
componente em separado)
Matiz
Saturação
Brilho

– Mesma imagem anterior no HSL (cada
componente em separado)
Matiz
Sombra bem destacada!!!

Mudança de Base
• Sejam ={u1,...,un} e ’= {w1,...,wn} duas bases
ordenadas de um mesmo espaço vetorial V
• Dado o vetor v V, podemos escrevê-lo como:
v = x1u1 + ... + xnun
v = y1w1 + ... + ynwn
(1)
62

Mudança de Base
• Como podemos relacionar as coordenadas de
v em relação à base 
• com as coordenadas do mesmo vetor v em
relação à base ’
[v] =
x1
…
xn
[v]’ =
y1
…
yn
63

Mudança de Base
• Já que {u1,...,un} é base () de V, podemos
escrever os vetores v e w como combinação linear
dos uj, isto é: (Lembrando que v = y1w1 + ... + ynwn)
w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un
......
wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
• Substituindo (2) em (1):
v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun)
= u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn)
64
(2)

Mudança de Base
• Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas
em relação a uma base () são únicas temos:
v = x1u1 + ... + xnun = u1(a11y1+...+an1yn)+...+un(a1ny1+...+annyn)
x1 = a11y1 + ... + an1yn
.....
xn = a1ny1 + ... + annyn
• Ou, em forma matricial
65
x1
…
xn
y1
…
yn
=
a11 ... a1n
… … …
an1 … ann
Observe que as linhas
viraram colunas!

Mudança de Base
• Isso é denotado por:
• Temos:
66
=
a11 ... a1n
… … …
an1 … ann
[ I ]
’
[v] = [ I ] [v]’

’
[ I ]  Matriz de mudança da base ’ para a base 

’

Mudança de Base
• Observe que, encontrando , podemos
encontrar as coordenadas de qualquer vetor v
em relação à base , multiplicando a matriz
pelas coordenadas de v na base ’
67
[ I ]
’

Mudança de Base
• Exemplo: Sejam ={(2,-1), (3,4)} e ’={(1,0),(0,1)}
bases de R2:
w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21)
 2a11+3a21 = 1 e -a11+4a21 = 0
 a11 = 4a21  a21 = 1/11 e a11 = 4/11
w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22)
 2a12+3a22 = 0 e -a12+4a22 = 1
 a22 = 2/11 e a12 = -3/11
[ I ] = ?

’
68

Mudança de Base
• Exemplo: (cont.)
– Assim:
• w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4)
• w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4)
=
4/11 -3/11
1/11 2/11
[ I ]
’
69
Linhas tornam-se
colunas!!!

Mudança de Base
• Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz para
encontrar, por exemplo, [v] para v = (5, -8)
[(5, -8)] = [(5, -8)]’
= =
[ I ]
’
70
4/11 -3/11
1/11 2/11
5
-8
4
-1
Isto é: (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4)

A Inversa da Matriz Mudança de Base
• Temos [v] = [v]’
• Um fato importante é que e são
matrizes inversíveis:
( )-1 =
[ I ]
’
71
[ I ]’

[ I ]
’
[ I ]
’
[ I ]’


A Inversa da Matriz Mudança de Base
• Exemplo:
Do exemplo anterior, vamos calcular a partir
de . Note que é fácil de ser
calculada pois ’ é a base canônica:
• (2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1)
• (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1)
Assim: =
Então: = -1 =
[ I ]
’
72
[ I ]’

[ I ]
’
[ I ]’

[ I ]’

2 3
-1 4
2 3
-1 4
4/11 -3/11
1/11 2/11

Espaço Vetorial
• Exercício 18: Considere o subespaço de
R4 gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0),
v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0)
 a) O vetor (2, -3, 2, 2)  [v1,v2,v3,v4]?
 b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual
sua dimensão?
 c) [v1,v2,v3,v4] = R4?
73

Espaço Vetorial
• Exercício 18:
– a) O vetor (2, -3, 2, 2)  [v1,v2,v3,v4]?
– Ou seja, existem a, b, c, d, tal que:
(2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) +
c.(-2,2,1,1) + d.(1,0,0,0)
74
Cont.
a – 2c + d = 2
-a + 2c = -3
b + c = 2
b + c = 2
1 0 -2 1 2
-1 0 2 0 -3
0 1 1 0 2

Espaço Vetorial
• Exercício 18:
– a) O vetor (2, -3, 2, 2)  [v1,v2,v3,v4]?
Sistema admite infinitas soluções.
Por exemplo: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1
Logo, como existe solução, o vetor pertence a
[v1,v2,v3,v4]
75
Cont.

Espaço Vetorial
• Exercício 18:
sua dimensão?
76
Cont.
1 -1 0 0
0 0 1 1
-2 2 1 1
1 0 0 0
1 -1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 0 0
Com isso, descobrimos que v2 (ou v3) é combinação
linear dos outros vetores. Logo, a base é formada por
[v1,v2,v4] ou [v1, v3, v4].

Espaço Vetorial
• Exercício 18:
sua dimensão?
 Base = [v1,v2,v4]  dim = 3
 c) [v1,v2,v3,v4] = R4?
 Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, então
[v1,v2,v3,v4] ≠ R4
77
Cont.

Espaço Vetorial
• Exercício 19: Considere o subespaço de
R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0),
v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1).
• [v1,v2,v3]=R3?
• v1=(1,1,0), v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1) é LI?
78

Espaço Vetorial
• Exercício 19: Solução 1:
 Existem a, b, c tal que:
(x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1)
79
Cont.
a + c = x
a - b = y
b + c = z
a = 2x – y - z
b = x - y
c = -x + y + z
Ou seja, há valores para a, b e c que
podem gerar qualquer vetor no R3.

Espaço Vetorial
• Exercício 19: Solução 2:
 Vamos tentar escalonar:
80
Cont.
1 1 0
0 -1 1
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
…
O que isso significa?
Significa que, com esses vetores e operações
lineares, conseguimos gerar a base canônica.
Logo, podemos gerar todo o R3.

81
Exercícios Sugeridos
• 2
• 4
• 6
• 7
• 8
• 9
• 11
• 15
• 25
• 29

A Seguir...
• Transformações Lineares
82

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