distribuição-t-student

Distribuição T - Student
Prof. Herondino

Distribuição T-Student
 A distribuição T de
Student é
uma distribuição de
probabilidade estatística,
publicada por um autor que
se chamou de Student,
pseudônimo de William
Sealy Gosset, que não podia
usar seu nome verdadeiro
para publicar trabalhos
enquanto trabalhasse para
a cervejaria Guinness.

T- Student
 Padronizar variável aleatória normal requer que o
µ e σ sejam conhecidos. Na prática, porém, não
podemos calcular z = (x - µ)/ σ porque σ é
desconhecido. Em vez disso, substituímos σ por
s e calculamos a estatística t.
s
x
t



Distribuição Amostral da Média e da
variância
 Se discrepâncias nas observações sobre a média
são aleatórios e independentes, então a distribuição
amostral da média tem µ e variância, σ2/n.
 A quantidade σ2/n é a variância da média.
 Sua raiz quadrada é chamada o erro padrão da
média:
 A estimativa do erro padrão da média é:
n

 
n
s
s 

Distribuição t
 Normalmente, a variância da população, σ2 não é
conhecida e não podemos usar a distribuição normal
como a distribuição de referência para a média da
amostra. Em vez disso, substituir e usar a
distribuição t.
 Se a distribuição de referência é normal e a
variância da população é estimado por s2, a
quantidade:
 que é conhecido como a média padronizada ou
como a estatística t, terá à distribuição com ν = n - 1
graus de liberdade.
ns
X
T
/



Exemplo:
 Para os dados de nitrato, a
média da amostra de
concentração é igual a 7,51
mg/L e encontra-se a uma
distância considerável abaixo
do verdadeiro valor de
referência 8,00 mg/L (Figura
2). Se a verdadeira média da
amostra é de 8,0 mg/L e o
laboratório está medindo
precisamente, um valor tão
baixo quanto 7,51 que
ocorrem por acaso apenas
quatro vezes em 100. Sabe-
se que o desvio padrão é 1,38
e 27 amostras. Qual será o
ns
X
T
/


27/38,1
851,7 
t
19,5/38,1
0,49-
t
842,1
0,2658
0,49-
t
“Qual a probabilidade de se obter
uma amostra tão pequenas com
média = 7,51 mg/L a partir da análise
das 27 amostras?"

Utilizando a tabela
Grau de liberdade ν = n - 1
Como são 27 amostras,
temos:
v=27-1=26 grau de liberdade
842,1t
a) Referência de distribuição
de
P( ≤ 7,51) = 0.04
X
X
b) Referência de distribuição
T
P(t ≤ 1,853) = 0,04

Análise
 Se este resultado é altamente improvável, pode ser
que a amostra não representam a população,
provavelmente porque o processo de medição foi
tendenciosa para produzir concentrações abaixo do
valor real.
 Ou, poderíamos decidir que o resultado, embora
improvável, deve ser aceito como ocorrido devido ao
acaso e não devido uma causa atribuível (como viés
nas medições).
 Inferência estatística envolve fazer uma avaliação a
partir de dados experimentais sobre um parâmetro
desconhecido da população (por exemplo, uma
média ou variância).

A Distribuição T
 A distribuição de referência é necessária, a fim de
escolher se o resultado é facilmente explicada por
mero acaso ou se é variação excepcional.
 A distribuição T é uma relevante referência que
representa o conjunto de resultados que poderiam
ocorrer por acaso.
 Um resultado que cai sobre a cauda da distribuição
pode ser considerado excepcional.

T- Student
 A distribuição T é similar a
distribuição Z, em que
ambos são simétricas na
média zero.
 Ambas as distribuições
são em forma de sino, mas
a T distribuição é mais
variável em virtude dos T -
valores depender das
flutuações de duas
quantidades, e S2,
considerando que os
valores-Z depende apenas
das mudanças na de
amostra para amostra.
X
X
Figura 1 - A distribuição t para
curvas v=2, v=5 e v=∞.
Na Figura 1, mostramos a relação
entre a distribuição normal padrão (v
= ∞) e distribuições t com 2 e 5 graus
de liberdade

Graus de liberdade
 A distribuição de T diferente daquela de Z na
variação de T depende do tamanho da amostra n e é
sempre maior do que 1.
 Somente quando o tamanho da amostra n → ∞ as
duas distribuições se tornará o mesmo.
 A porcentagem da distribuição t é dada por Tabelas.

Propriedades
 As condições em que a quantidade t = (x - µ)/s tem a
distribuição com graus de liberdade ν são:
 1) x é normalmente distribuído sobre µ com variância
σ2 ;
 2) s é distribuído Independentemente da média, isto
é, a variância da amostra não aumenta ou diminui à
medida que aumenta ou diminui as médias;
 3) O s2 quantidade, que tem ν graus de liberdade, é
calculada a partir de observações normalmente
distribuídos e têm variância independentemente σ2.

Exemplo 2:
 O t-value com v = 14 graus de liberdade que deixa
uma área de 0,025 para a esquerda, e, portanto,
uma área de 0.975 para a direita, é:
t0,975 = −t0,025 = −2.145.

Exemplo 3:
 Encontre P(−t0,025 < T < t0,05).
 Como t0,05 deixa uma área de 0,05 para a direita, e
-t0,025 deixa uma área de 0,025 à esquerda,
encontramos uma área total de 1 − 0,05 − 0.025 =
0.925 entre -t0,025 e t0,05.
 Portanto, P(−t0,025 < T < t0,05) = 0.925.

Exemplo 4:
 Encontre k sendo P(k < T < −1.761) = 0.045 de uma
amostra aleatória de tamanho 15 selecionado de
uma distribuição normal e
ns
X
/

Os valores t do exemplo 4
Tabela 1- Distribuição t

Exemplo 4:
ns
X
/

Como k=-tα então
0,05-α=0,045
α=0,005

Exemplo 4:
ns
X
/

Como k=-tα então
0,045=0,05-α
α=0,005

Exemplo 4:
ns
X
/

Como k=-tα então
0,045=0,05-α
α=0,005
-t0,005 =-2,977

Exemplo 4:
P(-2,977 < T < −1.761) = 0.045

Distribuição t - Análise
 Exactamente 95% dos valores de uma distribuição-t
com v = n-1 graus de liberdade situar-se entre -t0,025
e t0,025 . Claro, existem outras t-valores que contêm
95% da distribuição, como por exemplo t0,03 e –t0,02,
mas esses valores não aparecem na Tabela t, e,
além disso, o intervalo mais curto possível é obtido
pela escolha t-valores isso deixa exatamente a
mesma área nas duas caudas da nossa distribuição.

 Esse t-valor que está abaixo de -t0,025 ou acima
t0,025 os faria acreditar que qualquer um evento muito
raro ocorreu ou a nossa suposição sobre μ está em
erro.
 Caso isto aconteça, vamos tomar a decisão do
pressuposto de que o nosso valor de μ é um erro
 Na verdade, uma t-valor cair abaixo –t0,01 ou acima
t0,01 daria evidência ainda mais forte que o nosso
valor assumido de μ ser bastante improvável.
Distribuição t - Análise

Exemplo
 Um engenheiro químico afirma que a média da
populaçãode rendimento de um processo em lote é
de 500 gramas por mililitro de matéria-prima. Para
verificar essa afirmação tem amostras de 25 lotes de
cada mês. Se o t-valor calculado cai entre –t0,05 e
t0,05 , dar-se por satisfeito com esta reivindicação.
 Qual conclusão poderia encontrar a partir de uma
amostra que tem média de gramas por
mililitro e um desvio padrão amostral de s = 40
gramas? Assumir a distribuição do rendimento
aproximadamente normal.
518x

Resolução
 Da tabela encontramos que t0,05 = 1.711 para 24
graus de liberdade.
 PORTANTO, o engenheiro pode estar satisfeito com
a sua afirmação se uma amostra de 25 lotes rende
um valor de t entre -1,711 e 1,711.
 Se μ= 500, então:
 A probabilidade de se obter um valor de t, com v =
24, igual a ou maior do que 2,25 é de
aproximadamente 0,02. Se μ> 500, o valor de T
calculado a partir da amostra é mais razoável
25,2
25/40
500518


t

Referência Bibliográfica
 BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield
C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª
Boca Raton London New York Washington, D.c:
Lewis Publishers, 2002. 10-13 p.
 Walpole, Ronald E et al. Probability & statistics for
engineers & scientists/Ronald E. Walpole . . . [et
al.] — 9th. Ed. ISBN 978-0-321-62911-1.Boston-
USA/2011

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Notas do Editor