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Fluidos problemas resolvidos e propostos

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Valdineilao Lao

Este documento apresenta uma coleção de problemas resolvidos e propostos sobre diversos tópicos de mecânica dos fluidos, incluindo propriedades dos fluidos, pressão, viscosidade, cinemática, conservação da massa e quantidade de movimento, escoamento em dutos e análise dimensional. As soluções dos problemas resolvidos ilustram o cálculo de grandezas como massa específica, peso específico, densidade, número de Reynolds, altura equivalente de pressão e conversão entre unidades de pressão.

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Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-1 AAPPOOSSTTIILLAA DDEE MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS ((22001111))
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-2 1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2)................................................. 4 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3).................... 10 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2)............................................. 20 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4)...................................................... 32 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5).............................................. 50 1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7)......................... 63 1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS............................................................................................................ 87
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-3 EEXXEEMMPPLLOOSS PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS CCAAPP 22
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-4 1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2) [ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. [ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. [ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemática. [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2 K N m− em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = − 1000 3 kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = × − 13 6 103 3 . kg m . Utilizando p gh= ρ . [ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. [ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. [ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. [ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. [ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. [ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. [ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. [ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? [ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-5 Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos [1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. kNN s m kgxw mgw 093,8ou25,809381,9825 2 == = [2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. Massa específica 33 90067,899 917,0 825 m kg m kg V m ≅===ρ Peso específico 323 8,882581,967,899 m N s m x m kg g === ργ Também poderia ser determinada como 33 8,8825 917,0 25,8093 m N m N V w ===γ densidade )4()4( 22 caOH fluido caOH fluido d oo γ γ ρ ρ == 90,089967,0 1000 67,899 )4(2 ≅=== caOH fluido d oρ ρ [3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. Peso específico 3 34,7833 6 100047 m Nx V W ===γ Massa específica 3 51,798 81,9 34,7833 m kg g === γ ρ mm xs s mkg mm Ns s m m N g 3 2 2 3 2 2 3 . . ==== γ ρ Densidade 80,0 1000 51,798 0 2 40 === CaH óleo d ρ ρ
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-6 [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos 3 23,5 294287 10003,441 m kg x x RT P ===ρ As unidades são: ( ) 32 2 .. .. m kg xKmmN KkgN Kx kgK Nm m N RT P ==             ==ρ O peso de ar contido no tanque é igual a NxxxgW 22,11038,281,923,5 2 ==∀= − ρ Conferindo as unidades: ( ) N s mkg m s m m kg gW ==            =∀= 2 3 23 . ρ [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemática. s m x kg ms s kgm x kg msN x m kg m Ns x 2 6 2 66 3 2 3 1088,5 .. 1088,5 .. 1088,5 850 105 −−− − =      ==== ρ µ ν [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2 K N m− em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = − 1000 3 kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = × − 13 6 103 3 . kg m . Utilizando p gh= ρ . Solução Em termos de coluna de água: águade95.50 81.91000 10500 3 m g p h = × × == ρ Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × − 13 6 103 3 . kg m . mercúriode75.3 81.9106.13 10500 3 3 mh = ×× × =
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-7 [7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação: ghpp ρ+= 0 Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos kPa m kg xghpatm 43,79 m N 79430,79x0,598m s m x9,81100054,13 223 ==== ρ Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos determinar a pressão absoluta como. kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm ≈+=+=+= ρ [8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs =+=+= [9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs =−=−= [10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. kPakPakPappp vac 3070100atmabs =−=−= [11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. atmabs pPp man += em kgf/cm2 2abs 321 cm kgf p =+= Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma. • Pressão em Pascal. kPaxx m kgf N x cm kgf p 3,29410081,90,3 100 1 81,90,3 2 2 2 2abs === • Coluna de água águadecolunade30 81.91000 103,294 3 02 m g p h H = × × == ρ • Coluna de mercúrio considerando d=13,6. mercúriocolunade2,2 81,910006,13 103,294 3 m xg p h Hg = × × == ρ
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-8 [12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. O número de Reynolds é definido como µ ρ ν VDVD == ouRe a massa específica do fluido é determina em função da densidade 330 910100091,02 m kg m kg xd H === ρρ 156 38,0 910025,06,2 Re ≅== xxVD µ ρ Conferindo as unidades ( ) aladimension-1 ... Re 22 3 2 3 2 3 =                        ==== s m mkg s m kg m s m sN m x m kg xmx s m m Ns m kg xmx s m VD µ ρ • O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. [13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2 ≅ 11,77 kN b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³ c) γ = ρ g 3 23 /37,1281,91261 mkN s m x m kg ≅=γ d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 26,1 1000 1261 3 3 == m kg m kg d
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-9 [14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? (a) TxRxKc = ( ) [ ]Kx Kxkg J xc 273552874,1 +−      = c ≅ 296 m/s b) M = V / c s m s m s m s h x km m x h km M 296 236 296 3600 1 1 1000 850 ≅= M ≅ 0,8 [admensional] M > 0,3 Fluido Compressível c) M ≅ 0,8 M < 1 Subsônico [15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. ).( PerfeitoGásEq TxR p =ρ absAR manatmabs TxR pp TxR p + ==ρ ( ) ( ) 3 2 2 2 5,08 323 . 287 . 471330 27350287 370000101330 m kg Kx Kxkg s mkg sm kg Kx Kxkg J PaPa =⇒= + + = ρρ
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-10 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3) 1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a densidade deste líquido. 2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10-4 Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3. 3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C. Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica da água quando a temperatura é igual a 42,10C. ρ (kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 T (0C) 20 25 30 35 40 45 50 4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: ST CT + = 2/3 µ As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K. Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos de mecânica dos fluidos 5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por:       = T B D expµ Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma: D T B ln 1 ln +=µ Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a partir da Eq. original. 6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. (d=0,96) 7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume do tanque. (V=1,52m3) 8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2. Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Qual a densidade do mercúrio. (d=13,6) 9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca) 10. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos específico igual a 850kgf/m3. 11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m) 12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-11 13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. 14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal (101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. (h=760mmHg) 15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório. 16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. 18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. 19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta: Pmam=21,1kPa) 20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros. 21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m3) 22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N).
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-12 EEXXEEMMPPLLOOSS LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE ((CCAAPP 22))
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-13 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido. • Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. • Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? • Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? • Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. [2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. [3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área move-se a uma velocidade de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa. [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: • ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido • ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) • ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. (1) (2) (3) dy du µτ = y x y V=2,5m/s h=100mm 0 U=0,3m/s
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-14 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação               −= 2 1 2 3 h yV u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2 yyU = Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por:             = b y b U dy du 2 cos 2 max ππ Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-15 Solução – Problema 1 [1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. (a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. (b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? (d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. (a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). (d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. Para y=0 (centro do canal) τ=0. Para y=ymax (paredes) τ=τmax. Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky)
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-16 Solução – Problema 2 Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. Para y=0; V=Vmax=2,5m/s como 2 byaV += achamos que a=2,5m/s Para y=-100 mm V=0 com 2 byaV += achamos ( ) 2 22 2505,2 250 1,0 5,20 yV y aV b −= −= − = − = O gradiente de velocidade é dada por: y dy du 500−= Tensão de cisalhamento em y=0 : 0x500x08,0x10 3- === dy du µτ Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 2 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10 m N dy du −=== µτ Solução – Problema 3 Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). 21 FFF += 2 2 5 3 N.s/m06473,010615,7850 === − s m x m kg ρνµ 1 1 y u A dy du AAF µµτ ≡== 2 2 y u AF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. N m s m x m sN xmx y u AF 62,0 0125,0 15,0 . 06473,04,022 2 2 ==      = µ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-17 Solução – Problema 4 [4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) (b) A viscosidade cinemática do líquido (c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) (d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) (e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. Hipóteses: • Distribuição linear da velocidade • Escoamento em regime permanente • Viscosidade constante (a) 1 cP = Pa s /1000 s105,6 1000 )65,0( 4 Pax cP sPa cP − ==µ 1 cP = Pa s /1000 )/(105,6 1000 )/( )65,0( 4 mskgx cP mskg cP − ==µ (b) A viscosidade dinâmica s m x m kg x ms kg x 2 3 3 4 1039,7 100088,0 105,6 − − === ρ µ ν O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: bmyyu +=)( Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) Para y=d u=U e por tanto m= U/d Desta forma o perfil de velocidade é dado como: y d U yu       =)( O gradiente é dado por: ctes x d U dy du ==== −1 1000 3,0 10003,0 (c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) Pa m N sms kg x d U dy du y yx 65,065,0 1 1000105,6 2 4 0 ==      ==   = − = µµτ • A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no sentido negativo (-) dos x • A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no sentido positivo dos x
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-18 Solução – Problema 5 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação               −= 2 1 2 3 h yV u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. Utilizando a lei universal τ µ= du dy A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, y h V h yV dy du 22 3 20 2 3 −=            −= a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, Paou m N m x s m xx m Ns h V h h V hy 691691 005,0 1 6,0392,1 3 )( 3 222 =                  ==−−=−= µµτ esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-19 Solução – Problema 6 [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2 yyU = Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2 yyU = Desta forma ( ) .4y dy ydU = A tensão de cisalhamento é dada por: y u ∂ ∂ = µτ 2 3 0016,0)2,0(4102 )( m N xxx dy ydU === − µτ Solução – Problema 7 [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). y u DL dy du AAF µπµτ === ( ) s cm s m xxx xx DL Fy u 87,20287,0 5,832,02,0 00005,098,9100 ==== πµπ Solução – Problema 8 [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por:             = b y b U dy du 2 cos 2 max ππ Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Pa sxPax xx x x x x b U dy du dy du mmy mmy 0257,0 068,1428.108,1 707106,01000 0,72 0,9 0,72 5,3 cos 2 5 max 5,3 5,3 = =             =                   == = − = = π µ ππ µµτ µτ
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-20 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e massa específica 830 kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 (b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s. Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 1,0m2. R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N [3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel? R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s [4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por FVW =& onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo SAE 30       = sm kg . 29,0µ R: 72,5 W. [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por:               −= 2 max 2 1)( h y uyu onde umax representa a velocidade máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento. Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m2. (d) 0,138 N Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-21 [6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m2)               −= 2 1 2 3 )( h yV yu [ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm. R: (a) 0,01 Pa.s [8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149,5mm. Este corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. Entre o tubo e o cilindro existe uma película de óleo. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s [9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2 Pa.s R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm [10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com 0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23,9 Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra. [11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de uma luva de 60,2mm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. (a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) Determinar a força requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N [12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta condições de operação. R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-22 EEXXEEMMPPLLOOSS MMAANNOOMMEETTRRIIAA (( CCAAPP 33 ))
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-23 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.3) [1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a densidade do fluido igual a 8,5. BdeacimalíquidodecolunadaPressão=P(B) )(/5,12 )(/12508 5,181,910006,8 2 2 2 2 kPaoumkN PaoumN xxx hgd ghp águamercurio B = = = = = ρ ρ Manômetro piezométrico simples [2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. O manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. Determinar: a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m. b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m. p gh ghA = −ρ ρman 2 1 a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4 = 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar) b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4 = -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar) A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-24 [3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U. Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. pC = pD pC = pA + ρg hA pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 = -7284 + 61852 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) [ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. • Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão atmosférica. • Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a atmosférica. • Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera. Desta forma utilizando pressões relativas: ( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+ ( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ Resolvendo: ( ) ( ) 626mm0,626my 133416y83562,6 y1334169810196206,2413230000 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000 == = =+++ =+−+−+ yxxxxxxx
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-25 [ 5 ] Com base na figura ao lado, determine: A pressão absoluta no ponto A; PA (Rel) = ρH2O . g . hH2O PA (Rel) = 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m ≅ 49 kPa PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa PA (Abs) ≅ 270 kPa [ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine: a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água; b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. a) PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa ≅ 134,68 kPa PA (Rel) = ρGas. g . hgas = 680 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m = 33,354 kPa ρGas = d x ρágua à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3 b) PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g . hágua PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa ≅ 144,5 kPa
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-26 [ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine: a) a massa específica do azeite de oliva; b) a densidade do azeite de oliva. Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa. a) PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg PA (Abs)=PAtm +ρóleo.g.hóleo +ρH2O.g.hH2O +ρaz.oliva.g.haz.oliva +ρHg.g.hHg olivaaz HgHgOHOHóleoóleoATMF olivaaz hg hghghgPP . . . ...... 22 ρρρ ρ −−−− = ( ) ( ) ( )[ ]{ } m s m Pa oa 9,2.81,9 4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300 2 . ++−− =ρ 3 2 2 . /1370 9,2.81,9 . 38982 mkg m s m sm kg olivaaz ≅≅ρ 3 34 4 /890000189,0 mkg m kg xxdd Càáguaóleoóleo Càágua óleo óleo ===⇒= ° ° ρρ ρ ρ b) 37,1 /1000 /1370 .3 3 4 . . =⇒== ° olivaaz Càágua olivaaz olivaaz d mkg mkg d ρ ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-27 [8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. kPaPP PghghghP BA BtetraHgóleoA 28,37 321 −=− =−++ ρρρ Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A [ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6. ( ) kPa x PP Pgg x gx x gP BA BaaaaA 52 1000 81,9)7503696,13360( 1000 750 1000 360 6,13 1000 360 1000 ≈ +− =− =−      − −      −      + ρρρρ
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-28 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap3) [ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo do tanque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a água e o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89. Densidade do mercúrio 13,6. [ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68 determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina- água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque. R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa [3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro em U conectado como mostrado na figura. O manômetro utiliza benzeno com massa específica igual 879 kg/m3. Determinar: (a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão. (b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação. R: PA - PB = 463 Pa (de A para B ) [4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. Massa específica da água: 1000 kg/m3; Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 [5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig. considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. R: 22cm
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-29 [ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3. Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m3. Determine a pressão manométrica no ponto A. R: 20,92 kPa. [ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. R: y=626mm [8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³. (a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B (b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros de coluna de água ? R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA)
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-30 [10] Determine a pressão na tubulação com água (A) considerando que o manômetro em U esta aberto para a atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso especifico igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e h2=10cm. R: 8,0 kPa [ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo, quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. Considere as densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm [ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13,6). R: (a) 2,75 kPa [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém água, tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 13,6. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180 kPa. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B. Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa [14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-31 EEXXEEMMPPLLOOSS CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS ((CCaapp.. 44 ))
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-32 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemática dos Fluidos (Cap4) [ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r Onde x e y em metros 1. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 2. Regime permanente ou não permanente ? 3. Determinar o ponto de estagnação 4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m [ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −= r [ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r [ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r (1) Determinar o vetor da aceleração total. (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) [ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++= r [ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−= r [ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: ( )     += → L x utzyxV 2 1,,, 0 . Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. [ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r (a) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. (b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. (c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. (d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (e) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. [ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++= r (a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. (c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-33 Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r Onde x e y em metros 6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 7. Regime permanente ou não permanente ? 8. Determinar o ponto de estagnação 9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m (1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu Desta forma jviuyxV ˆˆ),( += r Resposta: Escoamento bidimensional (2) Regime permanente ou não permanente ? Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( += r Tomando a derivada parcial no tempo: 0 ),( = ∂ ∂ t yxV r Resposta: Regime permanente (3) Determinar o ponto de estagnação: Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 625,0 8,0 5,0 08,05,0 −= − = =+= x xu 875,1 8,0 5,1 08,05,1 == =−= y yv Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m (4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m ( ) jiV jiV jxixV ˆ)9,0(ˆ)1,2( ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0( ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0 −+= −++= −++= r r r Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+= r (5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-34 Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −= r Solução: Será fluido incompressível se: 0=•∇ V r ou 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Será fluido compressível 0≠•∇ V r ou 0≠ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u 0 2 4 4 32 = −= = w xyv yxu Derivando 0 8 8 3 3 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z w xy y v xy x u e somando obtemos 088 33 =−= ∂ ∂ + ∂ ∂ xyxy y v x u Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu 0 8,0 8,0 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z w y v x u 008,08,0 =+−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Resposta: fluido incompressível Atividade: Dado o vetor velocidade ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++= r (a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente (b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (c) Determine a aceleração local da partícula. (d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-35 Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r (1) Determinar o vetor da aceleração total. (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) (1) Determinar o vetor da aceleração total. z V w y V v x V u t V Dt VD ap ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == rrrrr r observamos que é regime permanente: 0= ∂ ∂ t V r 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu 0 ˆ8,0 ˆ8,0 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z V j y V i x V r r r ( ) 0 ˆ)64,02,1()ˆ8,0)(8,05,1( ˆ)64,04,0()ˆ8,0(8,05,0 = ∂ ∂ +−=−−= ∂ ∂ +=+= ∂ ∂ z V w jyjy y V v ixix x V u r r r jyix Dt VD ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++= r Resposta: jyixap ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++= r (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) ji Dt VD ji Dt VD jxix Dt VD ˆ)72,0(ˆ)68,1( ˆ)92,12,1(ˆ)28,14,0( ˆ)364,02,1(ˆ)264,04,0( += +−++= +−++= r r r Resposta: jiap ˆ)72,0(ˆ)68,1()0,3,2( += r (3) Determinar o módulo da aceleração em (2,3,0) 22222 /83,172,068,1)0,3,2( smaaaa yxpp =+=+== r Resposta: 2 /83,1)0,3,2( smap =
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-36 Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++= r Rotacional 0 2 1 ≠∇= Vx rr ω Irrotacional k y u x v j x w z u i z v y w ˆ 2 1ˆ 2 1ˆ 2 1       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v ( ) ( )kw jxv yxu ˆ10 ˆ)3( 12 4 3 = = = ( ) ( ) ( ) 01212 2 1 2 1 000 2 1 2 1 00 2 1 33 =−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = =−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = −= xx y u x v x w z u z z y y x ω ω ω ω ω Resposta: Irrotacional Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−= r ( ) ( )2 2 12 )44( 6 zw zxv yxu = −−= = ( ) 240 2 1 2 1 −=−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = x x z v y w ω ω ( ) 000 2 1 2 1 =−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = y y x w z u ω ω ( ) ( )22 3264 2 1 2 1 xx y u x v z z +−=−−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω ω Resposta: Rotacional 0=xω 0=yω 0=zω 0=ω r 0≠xω 0=yω 0≠zω 0≠ω r
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-37 Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: ( )     += → L x utzyxV 2 1,,, 0 . Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. a) Unidimensional ( ) i L x uutzyxV ˆ2 1,,, 0     +== → t V z V w y V v x V u Dt VD ap ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == →→→→→ → ... Como 0 t V = ∂ ∂ → , então, o escoamento é em Regime Permanente;     +      =                 += ∂ ∂ == →→ → L x L u L u L x u x V u Dt VD ap 2 1. .2.2 . 2 1. 2 00 0 (aceleração da partícula do fluido) b) ( ) ( )       +         =    +      == → → mm sm L x L u Dt VD ap 3,0 0.2 1. 3,0 /3.22 1. .2 22 0 2 /60 smap = → (aceleração na entrada do bocal) ( ) ( )       +         =      +      == → → m m m sm L x L u Dt VD ap 3,0 3,0.2 1. 3,0 /3.22 1. .2 22 0 2 p s/m180a = → (aceleração na saída do bocal) c) ( ) s m m m s m L x uuV 9 3,0 3,0.2 1.3 2 10 =      +=    +== → (velocidade na saída do bocal) c) Neste exercício, a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo. ( ) i L x uutzyxV ˆ2 1,,, 0     +== → ( )     +      = ∂ ∂ =⇒= → → → → L x L u x V ua Dt VD tzyxa pp 2 1. .2 .,,, 2 0 0= ∂ ∂ → t V
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-38 Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por: ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++= r (a) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (b) Determine a aceleração local da partícula. (c) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (d) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. Solução (1) Velocidade na partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) smV kjiV kjiV kzxjxyzizyV /3,28 ˆ24ˆ12ˆ9 ˆ1.2.3ˆ1.3.2.2ˆ1.3 ˆ3ˆ2ˆ 3222 3222 = ++= ++= ++= r r r (2) Aceleração local da partícula. (b) z V w y V v x V u t V Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrrr Resposta : Aceleração local da partícula: 0= ∂ ∂ t V r (a aceleração local da partícula é nula) (c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível z w y v x u V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ r 0320 32 ≠++=∇ xxzV r Por tanto se trata de fluido compressível. (d) Escoamento é rotacional ou irrotacional. ? 0)22( 2 1 2 1 )92( 2 1 2 1 )40( 2 1 2 1 22 22 =−=      ∂ ∂ − ∂ ∂ ≠−=      ∂ ∂ − ∂ ∂ ≠−=      ∂ ∂ − ∂ ∂ yzzyz y u x v zxzy x w z u xyz z v y w Resposta: Escoamento rotacional
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-39 Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r (f) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. (g) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. (h) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. (i) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (j) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. SOLUCAO (A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). kwjvV ˆˆ += r (B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente. Para ser escoamento em 3D em regime permanente. ),,,( tzyxVV = r Neste caso: kzywjzyuV ˆ),(ˆ),( += r Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente) ( C) Determinar a aceleração da partícula z V w y V v x V u t V Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrrr )()( ConvectivapLocalpp aaa rrr += Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local é nula: 0= ∂ ∂ t V r z V w y V v x V u Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrr 0= ∂ ∂ x V u r (escoamento bidimensional com u=0) kyzzyjyzy y V v ˆ)6)(4(ˆ)3)(4( 323 −−+−−−= ∂ ∂ r kyzy z V w ˆ)3)(3( 22 = ∂ ∂ r ( ) ( ) kzykyzzyjzyy Dt VD ˆ)9(ˆ246ˆ123 42425 ++−+= r ( ) ( )kyzzyjzyy Dt VD ˆ243ˆ123 2425 +++= r
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-40 ( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ z w y v x u V r 0= ∂ ∂ x u 2 3y y v −= ∂ ∂ 2 3y z w = ∂ ∂ Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. 033 22 =+−= ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ yy z w y v V r (E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). kzywjzyvV ˆ),(ˆ),( += r P Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: k y u x v j x w z u i z v y w ˆ 2 1ˆ 2 1ˆ 2 1       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v i z v y w ˆ 2 1       ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v yz y w 6= ∂ ∂ 4−= ∂ ∂ z v Desta forma o escoamento é rotacional já que 0≠ω v ixz ˆ)46( 2 1 −=ω v
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-41 Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++= r (d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. (f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-42 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) [1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: k j i xzytxttzyxV ˆˆ 2 ˆ 32),,,( +−= r . Determinar: (a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. (b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. ( c ) Aceleração total da partícula (d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) (e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). [2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k ji tyxztV ˆ 2 ˆˆ3 ++= r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k ji zxxyzzyV ˆ 3 ˆ 2 ˆ 22 32 ++= r (a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional (b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. [4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k z j i etaytaxV ˆ 2 ˆ 23 ˆ 2 2 +−= r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k y zx j y zx i y zx V ˆ3ˆ2ˆ 2 223 2 3 −−= r Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. [6] Dado o campo de velocidades k ji zzxyxV ˆ 2 ˆˆ 2 12)44(6 +−−= r Determine o campo de velocidades angular ou rotacional. [7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. (a) xu −= yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4−= (d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2 += txxyv 4 += (c) 32 4 yxu = 4 2xyv −=
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-43 EEXXEEMMPPLLOOSS CCOONNSSEERRVVAAÇÇÃÃOO DDAA MMAASSSSAA (( CCaapp.. 55 ))
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-44 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: i R r UV ˆ1 2 max               −= r Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. [3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2). [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-45 Solução Exemplo 1 [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. Equação Básica 0=∫+∫ ∀ scvc AdVd t rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: (1) As propriedades no tanque são uniformes, porem dependentes do tempo. (2) Escoamento uniforme na seção (1). Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. ( ) 0=∫+∫ ∀      sc AdVvcd t rr ρρ ∂ ∂ • Como ∀=∀∫vc d 0=∫+∀     sc AdV t rr ρρ ∂ ∂ • O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). ∫=∫ 1Asc AdVAdV rrrr ρρ • Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). • Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 111 1 AVAdV A ρρ =∫ rr ( ) 0111 =+∀ ∂ ∂ AV t ρρ • Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: ( ) 111 AV t ρρ −= ∂ ∂ ∀ ( ) ∀ −= ∂ ∂ 111 AV t ρ ρ ( ) ( ) ( ) s m kg m m x x s m x m kg t /48,2 05,0 10001000 65 1000 311 13,6 33 2 3       −=             −= ∂ ∂ ρ • Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0).
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-46 Solução Exemplo 2 [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: i R r UV ˆ1 2 max               −= r Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. Solução: A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 0=∫+∫ ∀ scvc AdVd t rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: • Escoamento permanente • Escoamento incompressível • Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. ∫∫∫ === AdVAdVAdVm rrrrrr & ρρρ 222111 A u R uR um RRR R RR R rr rdr R r rdr R r um drr R r um πrdrdA R R R R 224 2 442 1 42 1 42 1 :integralaResolvendo 12 )2(1 2:tubodoseçãodaáreadeelementoodoConsideran max2max 2 max 222242 0 242 0 2 0 2 max 0 2 max ρπρπρ πρ πρ ==      = =      −=               −=               −=               −               −=               −= = ∫ ∫ ∫ & & & Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 2 maxu u =
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-47 Solução Exemplo 3 [3] Dados Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 Fluxo de massa em (3): s kg m 603 =& (+) Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s Velocidade em (1) s m iV ˆ0,31 = r Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 0=∫+∫ ∀ scvc AdVd t rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 0 4331 =+++= ∫∫∫∫∫ AAAAsc AdVAdVAdVAdVAdV rrrrrrrrrr ρρρρρ Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 1 1 1111 1 mAVAVAdV AA & rr =−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 222 2 22 2 mAVAVAdV AA & rr =±== ∫∫ ρρρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção ∫∫ === 3 33333 3 AA mAVAVAdV & rr ρρρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 4 4 4444 4 mAVAVAdV AA & rr =−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 04321 =+++=∫ mmmmAdV sc &&&& rr ρ skgmx s m x m kg AVm /6002,00,31000 2 3111 −==−= ρ& (-) entrando no v.c. skgm /603 =& (+) saindo do v.c. skg s m x m kg QAVm /3003,01000 3 34444 −===−= ρρ& (-) entrando no v.c. 0306060 24321 =−++−=+++ mmmmm &&&&& s kg m 302 =& Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. Para determinar a velocidade em (2): 222 AVm ρ=& sm xA m V /6,0 05,01000 30 2 2 2 === ρ & na forma vetorial: s m jV ˆ6,02 −= r (aponta em sentido negativo do eixo y) Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-48 Solução Exemplo 4 [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por: Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2. resres A VAVA A QQ t dh mmd t 221121 21 0 + = + = ∂ =−−∀ ∂ ∂ &&ρ ( ) ( ) sm xx A VDVD t dh res /0172,0 18,0 6,0075,09,0025,0 44 22 2 2 21 2 1 = + = + = ∂ ππ 021 =−− mm dt dh Ares &&ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-49 QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO (( CCaapp..55 ))
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-50 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) [1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. [2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. [3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária para manter o cotovelo no lugar. [4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo em que atua.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-51 [ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2). [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-52 Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. Dados: Velocidade do jato: smiV /ˆ15= r Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Determinar: Força resultante. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equações Básicas ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dV t FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. ∫= sc s AdVVF rrrr ρ Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. ApRApF atmxatmx −+= Por tanto xx RF = A quantidade de movimento na direção - x:
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-53 { } 11 11 1 AVuAdVuAdVu AdVuAdVV AA Axsc ρρρ ρρ −=−= =        ∫∫ ∫∫ rrrr rrrrr O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. Nmx s m x m kg x s m AVu 225001,015100015 2 311 −=−=− ρ NAdVuR A x 2250 1 −== ∫ rr ρ Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. Na forma vetorial NiFs ˆ2250−= r Método simplificado No método simplificado : ( )12 uuQFx −= ρ ( )12 uumFx −= & A massa especifica é determinada com as condições da seção 1. skgmx s m x m kg Aum /15001,0151000 2 311 === ρ& (+) saindo do v.c. A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) N s m x s kg umFx 2250151501 −==−= & Aponta no sentido contrário ao eixo x. Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-54 Solução: Exemplo 2 Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. Dados: Velocidade do jato: smiV /ˆ15= r Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equações Básicas ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dV t FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. ∫= sc s AdVVF rrrr ρ Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) ∫= sc sx AdVuF rr ρ Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. ApRApF atmxatmsx −−= Por tanto xsx RF −= A quantidade de movimento na direção - x: { } 111 1 111 1 AVuAdVuAdVu AA ρρρ −=−=∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.) Igualando os termos:
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-55 111 AVuRx ρ−=− e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido Vetor velocidade: Ponto (1) smiV /ˆ1,6= r e desta forma u1=6,1m/s. Consideramos que o jato é uniforme Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2 Nmx s m x m kg x s m AVuRx 98,1800051,01,610001,6 2 3111 === ρ Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y) ∫= 2 222 A sy AdVvF rr ρ Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). HatmyHatmsy ApRApF −+= Por tanto ysy RF = Pela conservação da massa em (2) smjV /ˆ1,6= r e desta forma: v2=6,1m/s. { } 222 2 222 2 222 AVvAdVvAdVv AA ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.) Nmx s m x m kg x s m AVv 98,18000511,01,610001,6 2 3222 ==ρ NAVvRy 98,19222 == ρ (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) Método simplificado O fluxo de massa é dada por: s kg mx s m x m kg Aum 11,300051,01,61000 2 311 === ρ& ( )12 uumFx −= & u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: NxumFx 98,181,611,31 −==−= & ( )12 vvmFy −= & v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: NxvmFy 98,181,611,32 === &
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-56 Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A força resultante Rx e Ry. Obs. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dV t FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipotese e escoamento: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) ∫= sc sx AdVuF rr ρ ( considerando força de campo FBx=0) Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa xrsx RApF −= 11 A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x: { } 111 1 111 1 111 AVuAdVuAdVu AA ρρρ −=−=∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.) Nmx s m x m kg x s m AVu 1600113,00,410000,4 2 3111 ==ρ 11111 AVuApR rx ρ+= ( ) ( ) NNxR AVuApR x rx 15161600113,01000120 11111 =+= += ρ s kg mx s m x m kg AVm 28,4500283,0161000 2 322 === ρ& Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y) ∫=+ 2 222 A Bysy AdVvFF rr ρ Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: =+= yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF = { } 222 2 222 2 222 AVvAdVvAdVv AA ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.) (+) Nmx s m x m kg x s m AVv 72400283,016100016 2 3222 −=−=ρ NAVvRy 724222 −== ρ (Contrario ao sentido admitido originalmente)
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-57 Solução: Exemplo 4 Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua. No método simplificado: Equações utilizadas: ( )12 uumFx −=∑ & ( )12 vvmFy −=∑ & O fluxo de massa pode ser determinado como: s kg s m x m kg QAVm 5005,01000 3 311 ==== ρρ& Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c. jviuV ˆˆ 111 += r jviuV ˆˆ 222 += r Componentes da velocidade em x: O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750 s m Vu 07,275cos8)75cos( 00 22 === s m Vu 66,545cos845cos 00 11 === Componentes da velocidade em y: s m Vv 73,775sin875sin 00 22 === s m sinsinVv 66,545845 00 11 === Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s Força Resultante em x: ( ) N s kg RF xx 5,17966,507,250 −=−==∑ (Aponta em sentido contrário ao eixo - x) Força Resultante em x: ( ) N s kg RF yy 5,66966,573,750 =+==∑ (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y) Força Resultante: ( ) NRRR yx 6935,669)5,179( 2222 ≈+−=+= Ângulo formado pela resultante: 0 75≈= x y R R Tanφ
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-58 Solução: Exemplo 5 [ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s. Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória. ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dV t FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: • Escoamento em regime permanente. Não que existe variação das propriedades no tempo no V.C. • Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2). • Escoamento com velocidades unidimensionais. • Escoamento com considerando fluido incompressível. Fazendo analise em x: ( )∑ −= 12 xx vvQFx ρ onde: smv smv x x /5,760cos15 /15 2 1 == = s m m x x s m AVQ 3 2 2 11 118,0 4 1,0 15 =      == π ( ) NRx xxRx 4,883 155,7118,01000 = −=− Solução: Exemplo 6 [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). 4 0)( )()( 2 2 1 21 D vW vAvW vmF vmvmF y y π ρ ρ = −=− +−= −+−= ∑ ∑ & && sm x D W v /88,18 05,01000 70044 22 === πρπ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-59 Solução: Exemplo 7 [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2). P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: sm D V /33,13600 150 4 2 == π ( )xx uuQFx 12 −=Σ ρ ( )xxx uuQAPAPR 122211 −=++− ρ ( ) ( )xxx uuQAPPR 12121 )( −=++− ρ conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s ( ) ( ) ( ) NxxxR APPuuQR x xxx 555256528,990314,080100)33,133,1( 3600 150 900 )( 12112 =+−=++−−= ++−−= ρ Solução: Exemplo 8 [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. ( )12 vvQFy −=∑ ρ NWFy 825−=−=∑ ( ) sm xx xxx D x v Av vAv /08,17 601000 100010008254 4 1000 825 825 0825 221 2 1 11 ==       = = −=− ππ ρ ρ
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-60 1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO [ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N [ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Os diâmetro da tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual a p1=232 kPa. Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N [ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e parte é defletida. Determine a força horizontal necessária para conter a placa. R: 981,75N [ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. (a) Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 (a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N. V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio [5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa linha de uma tubulação industrial. Os manômetros instalados antes e após o bocal apresentam as pressões indicadas na figura. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal convergente. Considere que o fluido e gasolina com massa especifica igual a 680 kg/m3.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-61 [ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m3). Determinar a força resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. O ângulo da placa inclinada é igual a 450. [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m3 ) numa tubulação de 400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido. [ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m2. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. Determine a velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3 ‘ [ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-62 EEXXEEMMPPLLOOSS EESSCCOOAAMMEENNTTOO VVIISSCCOOSSOO IINNTTEERRNNOO
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-63 1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7) [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2. [2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da tubulação. (b) o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A eq. para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) τW = 204 N/m2. (d) V=6,0m/s [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,179x10-6 m2/s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: 27,4MW [4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Obs. Considere água a 200C. [5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benceno a 500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. R: 760kPa.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-64 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). ( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s. [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27,29m. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%.. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s. [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,7x10-3 Pa.s.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-65 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s. [13] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. (Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 1000 kg/m3). [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro. [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] Z1=6,1m Z2=36,6m [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia de acionamento da bomba.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-66 Solução: Exemplo 1 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. 1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s. 2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia: B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) L BA h g p g p =− ρρ onde a perda de carga é dada por: ( ) mca x xx g v D L fhL 62,1 81,92 66,5 15,0 10 0149,0 2 22 === kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 2 6006,0 10 88,15 4 15,0 4 m N kPax L pD w === ∆ =τ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-67 Solução: Exemplo 2 [ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) Perda de carga da tubulação. (b) Determine o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. D=150mm L=30m V=4,0m/s T=25oC µ=9,6x10-1 ρ=1258 kg/m3 Perda de carga da tubulação. Determinamos o Número de Reynolds arLaEscoamento x xxVD min-786 106,9 15,00,41258 Re 1 ≅== − ν Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L hL 2Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L hL 28,13 81,92 4 15,0 30 786 64 2Re 64 22 === Determine o gradiente de pressão da tubulação. A variação de pressão kPaxxghp L 16381,9125828,13 ≅==∆ ρ O gradiente de pressão m kPa m kPa L p 4,5 30 163 == ∆ Tensão de cisalhamento na parede da tubulação 8Re 64 24 22 vvf W ρρτ == desta forma       ≅= 2 2 204 8 4 1258 786 64 m N xWτ A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades.               −= 2 max 1 R r uu com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s               −= 2 10,8 R r u O valor da velocidade para r = R/2.               −= 2 2 1 10,8u =6m/s
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-68 Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,97x10-5m2/s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido Dados: Q=1,6 milhões de barris dia 100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa P1=1200 psi. (275,86kPa) P2=50 psi. (344,83 kPa) Ferro galvanizado ε=0,1464mm D=48 pol ( 1220mm) DR=0,93 oú ρ=930 kg/m3 ν=1,97x10-5 m2/s. η=85% dia barris xQ 6 106,1= 01 barril = 42 galões min 67,46666 6024 42106,1 6 gal x xx Q == Conversão 01 galão/min = 6,309x10-5 m3/s s m xxQ 3 5 94,210309,667,46666 == − Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2. 2 2 22 1 2 11 22 z g u g p Hhz g u g p AL ++=+−++ ρρ Simplificações • Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 • A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. • Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. Com tais simplificações se tem: ( ) g P g pp hL ρρ ∆ = − = 21 o valor limite da perda a de carga é dada por: ( ) fluidocm x x hL ..32,869 81,9930 100083,34486,8275 = − = (neste caso de Petróleo bruto) g V D L fhL 2 2 = Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-69 2 2 V g f D hL L= onde 2 9,0 Re 74,5 7,3 / log25,0 −             += D f ε ε/D= 0,1464mm/1220mm=0,00012 ν VD =Re a velocidade media sm x D Q A Q V /51,2 22,1 94,244 22 ≅=== ππ 5 5 1055,1 1097,1 22,151,2 Re x x xVD ≅== −ν 01722,0 )1055,1( 74,5 7,3 00012,0 log25,0 2 9,05 =                 += − x f km x V g f D hL L 8,191 51,2 81,92 01722,0 22,1 32,869 2 22 ≅== A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga HA=hL=869,32m A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como: gQHP AA ρ= onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba (potência motriz). bombaaparafornecidaPotência fluidoaobombapelaadicionadaPotência Bomba =η Desta forma a potência fornecida para a bomba: G A motriz gQH P η ρ = kW xxx Pmotriz 2,27432 85,0 94,281,993032,869 ==
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-70 Solução: Exemplo 4 [ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC ε=0,015mm Fluido: água a 200C Tabela: ρ=998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. 100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa P1<= 65psig. (448,16 kPa) P2 >= 30 psig (206,85 kPa) 2 2 22 1 2 11 22 z g u g p Hhz g u g p AL ++=+−++ ρρ Simplificações • Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 • A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. • Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. Com tais simplificações se tem: ( ) g P g pp hL ρρ ∆ = − = 21 Assumindo os valores extremos estamos considerando ∆Pamx ( ) aguacm x x hL ..6,24 81,91000 100085,20616,448 = − = g V D L fhL 2 2 = Igualando os termos g V D L fP 2 2 ρ=∆ (Pa) Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A): 5 2 25 2 24 2 2 2 2 18816 2 4 2 D Q D L f D Q D L f D Q D L f D Q D L fP       ===      =∆ π ρ π ρ π ρ π ρ Substituindo Q = 0,095 m3/s ν=1,02x10-6 m2/s ρ=998 kg/m3 L=152m
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-71 5 715,1109 D f P =∆ D QD D QVD 144 Re 2       =      == πννπν . Substituindo os dados D 04,118586 Re = Procedimento Iterativo. 1. Admitimos um valor para o diâmetro. Por exemplo Eq. de Bresse. ( D=Q0,5) 2. Determinamos o Re. 3. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f 4. Com D e F obtemos a variação de pressão 5. Se ∆Pcal. ≅ ∆Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado. 6. Se ∆Pcal. < ∆Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular 7. Se ∆Pcal. > ∆Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular. Diâmetro (mm) ε/D Re f ∆Pcal. (Pa) 308 0,000487 3,85x105 0,01435 57 kPa < (241,31 kPa) 150 0,001 8x105 0,01378 201,31 kPa Continuar Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-72 Solução: Exemplo 5 [5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benzeno a 500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A está instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. Resposta: 760kPa. Dados: Fluido Benzeno d=0,86 T=500C µ=4,2x10-4 Pa.s PB=550kPa. D=50mm (A=0,001964m2) Q=110 l/min. ( 0,001834 m3/s) Solução: Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto A e B. B BB LTRADA AA z g u g p hHHz g u g p ++=−−+++ 22 22 ρρ Simplificações: Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0) Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro, pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB. Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB - ZA) =21m B B LTA A z g p hz g p +=−+ ρρ reorganizando os termos, e explicitando a pressão em A: ( ) LTAB BA hzz g p g p +−+= ρρ Devemos determinar a perda de carga da tubulação g V D L fhL 2 2 = Considerando: velocidade: v=Q/A =0,934 m/s 93,0 001964,0 0,001834 === A Q v Reynolds: µ ρ DV =Re 9563 4-4,2x10 005,0934,0860 Re ≈= xx (escoamento turbulento) com ε/D=0 - tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0,018. ( ) m x xx g V D L fhL 81,3 81,92 93,0 05,0 240 018,0 2 22 === fluidocm x x g pA ..9081,312 81,9860 1000550 =++= ρ kPaxxpA 30,75981,986090 ==
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-73 Solução: Exemplo 6 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). ( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio Aplicando Eq. de Manometria: kPaxxghP aMR 7,7158,081,9)100013600()(1 =−=−= ρρ (Relativa) Aplicando Eq. de Energia. m xx x g vv g pp hL 23,007,73,7 81,92 8,125 81,91000 10007,71 2 222 2 2 121 =−=         − +      =      − +      − = ρ Aplicando Eq. da Quantidade de movimento. NxxvvmApRx 1,163)58,12(12,251000005,07,71)( 1211 =−−=−−= & Solução: Exemplo 7 [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s. m gg V D L fhL 116 2 37,6 2,0 500 0225,0 2 22 === Continuar: R: ∆P=265Pa.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-74 Solução: Exemplo 8 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. Dados Q=12 l/s=0,012m3/s hL=12 m.c.f. PB= 101,33kPa. (Pressão Atm. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação: ( ) sm xD Q v /12,6 00196,0 012,0 4 05,0 012,0 4 22 ===       = ππ A Eq. de energia aplicada entre os pontos A e B, fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia. B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação, fazemos desprezível o termo de energia cinética da mesma. B BB LA A z g u g p hz g p ++=−+ 2 2 ρρ Utilizando nesta expressão a pressão relativa, em B temos que PB=0. Desta forma a pressão relativa em A é dada como: ( ) LAB BA hzz g u g p +−+= 2 2 ρ considerando a massa especifica do fluido ρ=1000kgm/3 ( ) m xg pA 90,2812159,11215 81,92 12,6 2 =++=++= ρ em unidades de pressão, a pressão relativa em A é dada como: kPaxxpA 6,28390,2881,91000 == A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283,6 + 101,33 =385 kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-75 Solução: Exemplo 9 [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27,29m. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%.. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 B BB ALA AA z g u g p Hhz g u g p ++=+−++ 22 22 ρρ ABLA zzhH −+= mH A 80,575,3029,27 =+= Watts xxxQgH W A 4536 7,0 0056,080,5781,91000 === η ρ& Solução: Exemplo 10 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s. Perda de carga da tubulação. Número de Reynolds arLaEscoamento x xxVD min-786 106,9 15,00,41258 Re 1 ≅== − ν Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L hL 2Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L hL 28,13 81,92 4 15,0 30 786 64 2Re 64 22 ===
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-76 Solução: Exemplo 11 [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,7x10-3 Pa.s. s m x x D Q V 12,2 05,0 3600 15 4 4 22 === ππ 635.48 107,1 05,012,2780 Re 3 === − x xxVD µ ρ (turbulento) ( ) 0268,0 48635 74,5 7,3 002,0 log25,0 2 9,0 =                 += − f m x x g V D L fhL 28,12 81,92 12,2 05,0 100 0268,0 2 22 === Solução: Exemplo 12 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s. A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq. de energia. B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro L BA h g p g p =− ρρ ( ) mca x xx g v D L fhL 62,1 81,92 66,5 15,0 10 0149,0 2 22 === kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 2 6006,0 10 88,15 4 15,0 4 m N kPax L pD w === ∆ =τ Respostas ∆P=15,88 kPa τW=60 N/m2
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-77 Solução: Exemplo 13 [ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. (Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 1000 kg/m3). B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro: g p g p h BA L ρρ −= Aplicando Eqs. de manometria obtemos: BxaguaHgxaguaA phhgghghp =−−−+ )(ρρρ BaguaHgA pghghp =+− ρρ ( )ghpp aguaHgBA ρρ −=− ( ) kPaxpp BA 74,4581,910001360037,0 =−=− m mx x g pp h BA L 66,4 8191000 100074,45 == − = ρ Solução: Exemplo 14 [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro. arLaEscoamento x xxVD min-1600 108,1 00040,62,1 Re 5 ≅== − µ ρ Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L hL 2Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L hL 91,4 81,92 6 004,0 3,0 1600 64 2Re 64 22 === LghP ρ=∆ PaxxP 8,5791,481,92,1 ==∆ g v khL 2 2 = 67,2 6 91,481,922 22 === xx V gh k L
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-78 Solução: Exemplo 15 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] Z1=6,1m Z2=36,6m B BB ALA AA z g u g p Hhz g u g p ++=+−++ 22 22 ρρ ABLA zzhH −+= ( ) m xg V D L fhL 82,21 81,92 85,2 05,0 122 0216,0 2 22 === ( ) m xg V Khac 46,5 81,92 85,2 2,13 2 22 === ∑ mH A 80,575,3029,27 =+= Watts xxxQgH W A 4536 7,0 0056,080,5781,91000 === η ρ& Solução: Exemplo 16 [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia de acionamento da bomba. B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro L BA h g p g p =− ρρ onde: 00,151.848 100,1 15,099966,5 Re 3 === − x xxVD ν Turbulento. Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105 012,0)108(5,0056,0 32,05 =+= − xf ( ) mca x xx g v D L fhL 62,130 81,92 66,5 15,0 1000 012,0 2 22 === kPaxxghpp LBA 128081,999962,130 ≡==− ρ kWxW 1281,01280 ==&
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-79 1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - Perda de Carga em Tubulações (Cap.7) [ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 200C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 200C escoando num tubo de 20mm. Obs. Para gasolina a 200C a massa específica é igual a 6,48x10-7 m2/s. R:(a) V=0,065m/s (b) V=0,1m/s. [ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 150C que escoa a uma velocidade de 1,07m/s (b) óleo combustível pesado a 150C escoando com a mesma velocidade considerando que apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20,53x10-5 m2/s. R: (a) Re 290.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar. [ 3 ] Para condições de escoamento laminar, qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0,0057m3/s de óleo combustível médio a 4oC com viscosidade cinemática igual a 6,09x10-6 m2/s. R: D=60mm [ 4 ] Um óleo lubrificante médio, com densidade 0,86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de diâmetro a razão de 0,00114m3/s. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo. R:: µ=0,089 Pa.s [ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0,101 Pa.s e densidade 0,85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0,0444m3/s. Determine a perda de carga no tubo. R: 8,14m. [ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914,4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm. A pressão em A é de 1068,68 kPa e em B é de 34,47 kPa. O óleo apresenta uma densidade de 0,918 e viscosidade cinemática é de 41,24x10-5 m2/s. Determine a vazão em m3/s. R: Q=0,039m3/s. [ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0,0222 m3/s de óleo combustível pesado a 16oC com viscosidade cinemática v=2,05x10-4m2/s e densidade igual a 0,912. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6,7m. Obs. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese. R: D=170mm [ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação. O ponto 1 localizado a 966m de tubo do ponto 2, está elevado na elevação de 83m, sendo a pressão neste ponto de 2,5kPa. Se a rugosidade do tubo é de 0,5mm. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma vazão de 0,10m3/s. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 2,92x10- 4 N.s /m2 . R: D=258 mm [ 9 ] Por um tubo inclinado 300 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 300C em sentido ascendente. Entre as seções de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0,8bar. Determinar a perda de carga velocidade do escoamento, número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Considere a glicerina com massa especifica igual a 1260 kg/m3 e viscosidade cinemática 1,9x10-4m2/s. R: hL=1,47m. V=2,37 m/s Re= 1247 (laminar) τW=45,4 N/m2. [ 10 ] De um deposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro. A vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0,265bar. Considerando escoamento laminar, determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar. Ra: v=3,76x10-5 m2/s µ=3,338x10-2 Pa.s [ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-80 [12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c) Posição radial em que u( r ) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m Respostas: • Fator de atrito f=0,0173 • Velocidade máxima Umax=3,74m/s. • Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15,2mm • Tensão de cisalhamento na parede τw=22Pa • Queda de pressão considerando um comprimento de 10m ∆P=22kPa. [13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de 10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0,9 v=10-5 m2/s). Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito. R: Q=0,037 m3/s [14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0,002 m3/s de água a 200C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método explicito. R: D=40mm [15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm de diâmetro interno. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2 metros é de 0,265bar. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica do fluido. Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. Determine a tensão de cisalhamento na parede. R: V=1,88 m/s µ=0,037 Pa.s ν=4,1x10-5 m2/s Re ≈ 590 - Laminar τw=43Pa Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap. de escoamentos em dutos) [16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado, distantes 560m. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm e diâmetro de 150mm determinar. Na tubulação existe um registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga igual a 0,4. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de Moody. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna de fluido e em Pascal. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação. d) Determina a perda de carga total pela tubulação mais acessórios. R: a) f=0,023 b) hl=22,35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2,04m d) hlT= hl+ hacc≅25m
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-81 [ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 0,015 m3/s. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 15 metros. A tubulação de recalque tem um comprimento de 200 metros. A válvula de globo aberta apresenta um comprimento equivalente Le=30D onde D é o diâmetro da tubulação. Determine a perda de carga total do sistema de Bombeamento e a potência de acionamento da bomba considerando que apresenta um rendimento de 76%. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de 50mm. Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual a 4,6x10-5m. Elemento Coef. de perda de carga - K Fluido - álcool 24oC Saída do reservatório de aspiração 0,5 ρ=789 kg/m3 Entrada do reservatório de recalque 1,0 µ= a 5,6x10-4 Pa.s curva de 900 0,57 R: hL=207,4m (z2 - z1) =10m H=217,4m W=33,2kW.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-82 1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.7 e Cap.8) [1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de 152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1,83m/s. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (1,37m ) (13,43kPa). [2] Óleo com ρ=1000 kg/m3 ν=0,00001 m2/s escoa a 0,2 m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro. Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. R: (117m ) (265 kPa). [3] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m. A rugosidade relativa e 0,0002. Determine a velocidade media e a vazão. R: (4,84 m/s) (0,342 m3/s). – Solução Iterativa. [4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água apresentando uma perda de carga de 1,37m. Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (1,84 m/s) – Solução Iterativa. [5] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m sendo a vazão Q=0,342m3/s e a rugosidade ε=0,06mm. Determine o diâmetro da tubulação. R: (0,3 m) – Solução Iterativa. [6] Ar com ρ=1,22 kg/m3 ν=1,46x10-5 m2/s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de 30m de comprimento, a uma vazão de 0,708 m3/s. Se a rugosidade ε=0,091mm determine a queda de pressão. R: (258 N/m2) [7] Água com 1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura. A rugosidade relativa e 0,001. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potencia requerida pela bomba em Watts. Acessório Coeficiente de perda de carga Entrada em canto agudo 0,5 Válvula globo aberta 6,9 Curva com 12 pol de raio. 0,15 Cotovelo normal de 900 0,95 Válvula de gaveta aberta pela metade. 3,7 Saída em canto agudo 1,0 R: (3,2kW) [8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10-4m conduz água a temperatura de 200C com uma vazão de 12 m3/s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3,9m. Determinar o diâmetro da tubulação. R: (D=165,21mm). [9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10- 4m escoando água a 200C com uma vazão de 62,8 litros/s. Determinar a perda de carga da tubulação. R: hL=18,26 m. [10] Num duto de concreto (ε= 3,0x10-4m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37oC com perda de carga unitária de 0,0115 mca/m. Determinar a vazão. R: (Q=0,007155 m3/s ).
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-83 EEXXEEMMPPLLOOSS AANNÁÁLLIISSEE DDIIMMEENNSSIIOONNAALL EE MMOODDEELLOOSS
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-84 1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Análise Dimensional (Cap.9) [ 1 ] Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma bomba grande que deve fornecer 1,5 m3/s através de um rotor de 40cm de diâmetro. Um modelo com um rotor de 8cm de diâmetro será usado. Que vazão deve ser usada no modelo para manter a semelhança em relação ao número de Reynolds ? O fluido a ser usado no modelo é a água, na mesma temperatura da água a ser bombeada pelo protótipo. Para que haja semelhança neste problema de escoamento confinado incompressível, o número de Reynolds deve ser igual, ou seja, pm ReRe = p pp m mm dUdU νν .. = Reconhecendo que pm νν = , se as temperaturas são iguais, vemos que 5 08,0 4,0 === m m d d U U m p p m A razão entre vazões é encontrada reconhecendo que AUQ .= : 2 2 . . pp mm p m dU dU Q Q = = 5 1 4,0 08,0 .5 2 2 = Assim encontramos sm Q Q p m /3,0 5 5,1 5 3 === [2] A tensão superficial σ é função de velocidade U, da massa especifica ρ e do comprimento x. Obter a equação da tensão superficial. Nota: oCompriment Força =σ XU cba ρσπ = ( ) ( ) ( ) LMLLTMTTLM cba 312000 −−− = 2 1 1 220 130 0 = −= = ===>−−==> +−==> −===>+==> b a c bcbaT cbL cacaM XU 121 ρσπ − = XkU ρσ 2 =
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-85 [ 3 ] Uma unidade de bombeamento de grande porte do DMAE deverá fornecer 5400m3/h de água através de uma tubulação de 200cm de diâmetro. Determinar a vazão (em m3/h) que deve ser utilizada para estudar um modelo desta tubulação em laboratório dispondo de uma tubulação de 50cm de diâmetro. P PP M MM PM DVDV νν = = ReRe Tratando-se do mesmo fluido νM=νP. PPMM DVDV = M PP M D DV V = sm x D Q V P P /4775,0 2 5,144 22 === ππ sm x VM /91,1 5,0 0,24775,0 == 4 2 M M D VQ π = )/1350(/375,0 4 5,0 91,1 33 2 hmsmQ == π [ 4 ] Num projeto hidrodinâmico de um pequeno submarino, é necessário determinar as forças resultantes de um protótipo de 2m de diâmetro e 10m de comprimento o qual, quando submerso em água, deverá alcançar uma velocidade máxima de 10 m/s. Para realizar o estudo prepara-se um modelo em escala de 1:20 do protótipo qual será testado num túnel hidráulico. Determine a velocidade da água no túnel hidráulico para conseguir a semelhança dinâmica do modelo. Solução: Por similaridade dinâmica o número de Reynolds do modelo e do protótipo deve ser igual: Re Rem p m p ud ud =       =       ρ µ ρ µ Desta forma a velocidade do modelo deverá ser u u d dm p p m p m m p = ρ ρ µ µ Como ambos (modelo e protótipo) atuam em água então, m = p e m = p assim. u u d d m sm p p m = = =10 1 1 20 200 / /
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-86 PPRROOBBLLEEMMAASS AADDIICCIIOONNAAIISS
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-87 1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS 1. Problemas de Propriedades dos fluidos [1.1] A densidade de um óleo é 0,8. Determine (a) massa específica, (b) volume específico (c) peso específico. R: (a) 800 kg/m3; (b) 1,3.10-3 m3/kg; (c) 7848 N/m3. [1.2] Uma placa plana infinita move-se a 0,3 m/s sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada líquida de espessura 3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear, a viscosidade 0,65cP e a densidade 0,88, calcular: a) A viscosidade em Pa.s. R = 6,5.10-4 Pa.s; b) A viscosidade cinemática em St. R = 7,4 .10-3 St; c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa. R = 0,65 Pa. [1.3] Sendo 1030 kg/m3 a massa específica da cerveja, qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume ocupado é 600 ml. R: 1,030; 6,06 N. [1.4] Num motor, um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno. Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm. Eixo e bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. R: 3,75.10-2 kgf.s/m2. [1.5] De quanto é reduzido um volume de 1m3 de água, quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm. =vE 2,2 GPa R: 4,5.10-5 m3. [1.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm3 a 2 MN/m2. Determine o módulo de elasticidade volumétrica do líquido. R: 2.105 Pa. [1.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0,9 MPa e a temperatura de 20 oC. Determinar a massa específica. R: 16,26 kg/m3. [1.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol, qual o peso do ar por m3 a uma pressão de 1atm e 20 oC. R: 11,8 N/m3. [1.9] Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 kgf/cm2 e uma temperatura de 27 oC. se a pressão barométrica for 1 kgf/cm2, qual o peso específico do ar. R: 33,48 N/m3. [1.10] Determinar o raio R e a massa de uma gota num conta-gotas de raio r (considerar a gota esférica). R: R = 3 1 ) 2 .3 ( γ σ r ; m = g r.2πσ [1.11] Qual a pressão interna suportada por uma gota esférica de pequeno raio interno. R: r/2σ . [1.12] Determinar a altura h de um determinado líquido, conforme a figura ao lado. R: r h . cos.2 γ ασ = . [1.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s. Sabe-se que a viscosidade é de 10-6 m2/s. R: Re = 30. 000 (turbulento). [1.14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2.10-3 Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m3. R: 0,02 m/s
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-88 2. Problemas de Estática dos Fluidos [2.1] Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 kgf/cm2. Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37,3 m; 28 mca. [2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. R: 612644 kg. [2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas em B e em C. Obs. Reservatório aberto para atmosfera. R: 7,7 kPa; 27,67 kPa. [2.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta no tanque da figura. R: 1,57.105 Pa; 2,58.105 Pa. [2.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m3 e pressão atmosférica 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa. [2.6] Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB. R: 96.000 Pa. [2.7] Determine PB – PA na figura. R: -35.280Pa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-89 3. Problemas de Conservação da Massa [3.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m3/h para abastecimento de uma cidade. Determine o diâmetro da canalização para que a velocidade média seja 1,25 m/s. R: 36 cm. [3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma temperatura de 27 oC. A pressão atmosférica é 101,32 kPa. Determine o fluxo de massa. R: 0,181 kg/s. [3.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3,21 litros/s. [3.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0,1 m/s [3.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m3 a uma vazão de 3,06 m3/s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85 N/m3. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m3/s. b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 43,31 m/s. c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s. [3.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m3 a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. Viscosidade 10-6m2/s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 0,097 m/sc) A vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento) [3.7] Uma canalização lisa que conduz água a 15oC com diâmetro de 150 mm apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144.207Pa. Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B). R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros [3.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? [3.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25m e 0,20m. A pressão no ponto (A) é de 1,5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no duto e a pressão no ponto (B. (Supor movimento sem atrito).
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-90 4. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia [4.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m3/s. Considerando um rendimento global de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87,4 m. [4.2] A bomba mostrada na figura recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, através do duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro 15 cm que está instalado com uma elevação 0,5 m em relação a tubulação de sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p1 = -30 kPa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 = 300.kPa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito, determine a potência fornecida pela bomba. R: 73,8 kW [4.3] A água escoa através de uma turbina, a razão de 0,21 m³/s. A pressões em A e B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. Determinar a potência extraída pela turbina. R: 41,6 kW [4.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime permanente, com vazão Q = 0,5 m³/s, através de uma turbina. As pressões estáticas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa. Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor, determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW. [4.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-91 [4.6] A água flui numa tubulação, conforme figura. No ponto (1) da tubulação o diâmetro é de 175 mm, a velocidade é de 0,6 m/s e a pressão é igual a 345 kPa. No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa. Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles é de 5 m. R: 4,5 m [4.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água, através de um duto com diâmetro D=10 cm, de um reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante. A água é descarregada, com vazão constante Q = 0,02 m³/s, a uma altura 38 m acima da bomba, através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm, num reservatório aberto para atmosfera. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a ph = 2m. Determine a potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7,4 kW. [4.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). R: 62,4 m.
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-92 5. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos [5.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. Calcular a vazão em litros/min. R: 6,06 litros/min. [5.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12,65 m. (b) a variação de pressão R: 124.172 Pa. [5.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0,86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0,00125 m3/s. Se a queda de pressão é 2,1 kgf/cm2, qual a viscosidade do óleo? R: 0,051 Pa.s. [5.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10-5 m2/s num tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. R: 4,66 m [5.5] A água circula a 15 oC num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e ε = 3 mm com ma perda de carga de 6 m.c.a num comprimento de 300 m de comprimento. Calcular a vazão. R: 0,12 m3/s. [5.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo, smv /10 25− = a distância de 3.048 m com uma perda de carga de 22,86 m. R: 424 mm. [5.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2,5 cm de diâmetro. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3,0 m/s provocando um Reynolds de 1000. Determine em relação a válvula: (a) O comprimento equivalente; R: 3,9 m (b) A perda de carga provocada. R: 4,6 m [5.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido, de 150 mm de diâmetro, da figura. Viscosidade cinemática = 10- 6m2/s. R: 46 litros/s. [5.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 oC e velocidade de 2 m/s. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área. Supondo uma tubulação lisa, determine em relação ao escoamento: a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio. R: 0,045 mH2O. b) A variação de pressão provocada pela redução. R: 441,5 Pa. c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 3,3 mmHg.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-93 [5.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 oC) é de 10 m3 /h Determinar: a) A perda de carga na sucção; R: 4,15 m. b) A perda de carga no recalque; R: 4,488 m c) Perdas de carga total; R: 9,03 m d) A energia adicionada pela bomba; 25,82 m e) A potência hidráulica da bomba; R: 709 W f) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 85%. R: 834 W. [5.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa Determinar: a) A vazão volumétrica; R: 0,002 m3/s b) A velocidade do escoamento; R: 1,02 m/s c) O número de Reynolds; R: 51000 d) Total de perdas localizadas; R: 0,98 m e) Total de perdas nas tubulações; R: 0,94 m f) O total de perdas de carga; R: 1,92 m g) A energia adicionada pela bomba; R: 17,97 m h) A potência hidráulica; R: 352,6 W i) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%. R: 441 W
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-94 LISTA DE EXERCICIOS – 2010 [ 1 ] Óleo SAE 30W a 200C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. Na seção (1), a pressão é de 186 kPa. Na seção (2), que esta a 6 m a jusante, a pressão é de 171 KPa. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds. (ρ=981 kg/m3 µ=0,29 kg / m s ). Ra: 43,16 kg/s; 1580 [2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de 0,26mm. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. Considere a perda de carga pela entrada com canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo. O tubo possui uma válvula de retenção e uma válvula de gaveta aberta. O nível da água de ambos os reservatórios é igual. O reservatório A é fechado e pressurizado com ar comprimido, sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa. Se a vazão inicial através do tubo for 1,2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A. Temperatura da água 100C. R: 741,7 kPa [3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D1=80mm para D2=160mm. Na seção menor a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. A pressão na seção menor é de P1=300kPa. (a) Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1,06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P2. (b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada. R: (a) P2=320 kPa. (b) 30 kPa. [4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa. A pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa. Determine a vazão do óleo através do tubo. Propriedades: ρ=876 kg/m3 µ=0,24 kg/m s. R: 1,63x10-5 m3/s [5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade no centro do tubo. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução. Resposta: 8m/s [6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: (a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16 R: Aumentara por um fator de 16 [7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m R: (a) 0,0173; (b) 3,74m/s (c) 15,2mm (d) 22 N/m2 (e) 22kPa.
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-95 [8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm de diâmetro, 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0,5 mm. Determine a elevação Z1 para uma vazão de 6 litros/s. Água: ρ=1000 kg/m3; µ= 1,15.10-3 Pa.s. Resposta: 11,4m [9] Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 m³/h. Na tubulação de 50m de comprimento e 60 mm de diâmetro a velocidade do fluido é igual a 1,96 m/s. Na instalação Z1=5 m e Z2=25 m. A soma dos coeficientes de perda de carga de todos os acessórios é igual a 13,55. A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0,1 mm. (a) Altura adicionada pela bomba (b) Potência de acionamento considerando um rendimento de 65%. Fluido: ρ=1000 kg/m3 ν=1,15x10-6m²/s. R: (a) 26,83m (b) 2,25 kW [ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade ε=0,15mm. O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm. Na tubulação existe um registro de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10. O sistema opera com uma vazão de 0,004 m3/s. Determine: (a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%. Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (a) 0,027 (b) 1,3 kW [11] Ar a pressão de 1Atm, e 30oC entra com velocidade de 7,0m/s num duto de 7m de comprimento com seção retangular de 15cmx20cm. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia necessária para superar a perda de pressão nessa seção. Utilize aço com rugosidade igual a 0,045mm. R: 5 W
Mecânica dos Fluidos PUCRSC-96 [ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma cidade. De noite, o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação. Para uma vazão de projeto de 56,8 m3/min em ambas as direções, a perda de carga por atrito é de 5,2m. Determine a potência em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. Na figura Z1=45,7m e Z2=7,6m. [ 13 ] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo de água horizontal, como mostra a figura para medir a pressão estática e de estagnação (estática + dinâmica). Para as alturas de coluna d’água indicadas, determine (a) A pressão de estagnação (b) a velocidade no centro do tubo. Na figura h1=30mm; h2=70mm e h3=120mm. [ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de comprimento. Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm. Determinar: ( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação ( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Obs: Fluido água a 100C: Viscosidade dinâmica: 1,307x10-3 Pa.s Massa especifica 999,7 kg/m3. [15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b) r=4,0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s R: (a) 2,48m/s; 0 N/m2 (b) 2,29 m/s; 5 N/m2 (b) 0 m/s; 12,5 N/m2 [16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação. Laminar               −= 2 max 1)( R r Uru Turbulento (n=7) n R r Uru /1 max 1)(       −= R: Laminar: y=0,293R Turbulento: y=0,242R

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  • 1. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-1 AAPPOOSSTTIILLAA DDEE MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS ((22001111))
  • 2. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-2 1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2)................................................. 4 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3).................... 10 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2)............................................. 20 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4)...................................................... 32 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5).............................................. 50 1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7)......................... 63 1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS............................................................................................................ 87
  • 3. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-3 EEXXEEMMPPLLOOSS PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS CCAAPP 22
  • 4. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-4 1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2) [ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. [ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. [ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemática. [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2 K N m− em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = − 1000 3 kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = × − 13 6 103 3 . kg m . Utilizando p gh= ρ . [ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. [ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. [ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. [ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. [ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. [ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. [ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. [ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? [ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.
  • 5. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-5 Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos [1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. kNN s m kgxw mgw 093,8ou25,809381,9825 2 == = [2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. Massa específica 33 90067,899 917,0 825 m kg m kg V m ≅===ρ Peso específico 323 8,882581,967,899 m N s m x m kg g === ργ Também poderia ser determinada como 33 8,8825 917,0 25,8093 m N m N V w ===γ densidade )4()4( 22 caOH fluido caOH fluido d oo γ γ ρ ρ == 90,089967,0 1000 67,899 )4(2 ≅=== caOH fluido d oρ ρ [3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. Peso específico 3 34,7833 6 100047 m Nx V W ===γ Massa específica 3 51,798 81,9 34,7833 m kg g === γ ρ mm xs s mkg mm Ns s m m N g 3 2 2 3 2 2 3 . . ==== γ ρ Densidade 80,0 1000 51,798 0 2 40 === CaH óleo d ρ ρ
  • 6. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-6 [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos 3 23,5 294287 10003,441 m kg x x RT P ===ρ As unidades são: ( ) 32 2 .. .. m kg xKmmN KkgN Kx kgK Nm m N RT P ==             ==ρ O peso de ar contido no tanque é igual a NxxxgW 22,11038,281,923,5 2 ==∀= − ρ Conferindo as unidades: ( ) N s mkg m s m m kg gW ==            =∀= 2 3 23 . ρ [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemática. s m x kg ms s kgm x kg msN x m kg m Ns x 2 6 2 66 3 2 3 1088,5 .. 1088,5 .. 1088,5 850 105 −−− − =      ==== ρ µ ν [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2 K N m− em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = − 1000 3 kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = × − 13 6 103 3 . kg m . Utilizando p gh= ρ . Solução Em termos de coluna de água: águade95.50 81.91000 10500 3 m g p h = × × == ρ Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × − 13 6 103 3 . kg m . mercúriode75.3 81.9106.13 10500 3 3 mh = ×× × =
  • 7. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-7 [7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação: ghpp ρ+= 0 Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos kPa m kg xghpatm 43,79 m N 79430,79x0,598m s m x9,81100054,13 223 ==== ρ Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos determinar a pressão absoluta como. kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm ≈+=+=+= ρ [8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs =+=+= [9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs =−=−= [10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. kPakPakPappp vac 3070100atmabs =−=−= [11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. atmabs pPp man += em kgf/cm2 2abs 321 cm kgf p =+= Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma. • Pressão em Pascal. kPaxx m kgf N x cm kgf p 3,29410081,90,3 100 1 81,90,3 2 2 2 2abs === • Coluna de água águadecolunade30 81.91000 103,294 3 02 m g p h H = × × == ρ • Coluna de mercúrio considerando d=13,6. mercúriocolunade2,2 81,910006,13 103,294 3 m xg p h Hg = × × == ρ
  • 8. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-8 [12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. O número de Reynolds é definido como µ ρ ν VDVD == ouRe a massa específica do fluido é determina em função da densidade 330 910100091,02 m kg m kg xd H === ρρ 156 38,0 910025,06,2 Re ≅== xxVD µ ρ Conferindo as unidades ( ) aladimension-1 ... Re 22 3 2 3 2 3 =                        ==== s m mkg s m kg m s m sN m x m kg xmx s m m Ns m kg xmx s m VD µ ρ • O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. [13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2 ≅ 11,77 kN b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³ c) γ = ρ g 3 23 /37,1281,91261 mkN s m x m kg ≅=γ d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 26,1 1000 1261 3 3 == m kg m kg d
  • 9. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-9 [14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? (a) TxRxKc = ( ) [ ]Kx Kxkg J xc 273552874,1 +−      = c ≅ 296 m/s b) M = V / c s m s m s m s h x km m x h km M 296 236 296 3600 1 1 1000 850 ≅= M ≅ 0,8 [admensional] M > 0,3 Fluido Compressível c) M ≅ 0,8 M < 1 Subsônico [15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. ).( PerfeitoGásEq TxR p =ρ absAR manatmabs TxR pp TxR p + ==ρ ( ) ( ) 3 2 2 2 5,08 323 . 287 . 471330 27350287 370000101330 m kg Kx Kxkg s mkg sm kg Kx Kxkg J PaPa =⇒= + + = ρρ
  • 10. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-10 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3) 1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a densidade deste líquido. 2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10-4 Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3. 3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C. Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica da água quando a temperatura é igual a 42,10C. ρ (kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 T (0C) 20 25 30 35 40 45 50 4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: ST CT + = 2/3 µ As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K. Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos de mecânica dos fluidos 5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por:       = T B D expµ Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma: D T B ln 1 ln +=µ Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a partir da Eq. original. 6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. (d=0,96) 7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume do tanque. (V=1,52m3) 8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2. Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Qual a densidade do mercúrio. (d=13,6) 9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca) 10. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos específico igual a 850kgf/m3. 11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m) 12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2.
  • 11. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-11 13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. 14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal (101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. (h=760mmHg) 15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório. 16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. 18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. 19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta: Pmam=21,1kPa) 20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros. 21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m3) 22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N).
  • 12. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-12 EEXXEEMMPPLLOOSS LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE ((CCAAPP 22))
  • 13. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-13 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido. • Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. • Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? • Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? • Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. [2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. [3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área move-se a uma velocidade de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa. [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: • ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido • ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) • ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. (1) (2) (3) dy du µτ = y x y V=2,5m/s h=100mm 0 U=0,3m/s
  • 14. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-14 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação               −= 2 1 2 3 h yV u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2 yyU = Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por:             = b y b U dy du 2 cos 2 max ππ Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado.
  • 15. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-15 Solução – Problema 1 [1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. (a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. (b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? (d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. (a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). (d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. Para y=0 (centro do canal) τ=0. Para y=ymax (paredes) τ=τmax. Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky)
  • 16. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-16 Solução – Problema 2 Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. Para y=0; V=Vmax=2,5m/s como 2 byaV += achamos que a=2,5m/s Para y=-100 mm V=0 com 2 byaV += achamos ( ) 2 22 2505,2 250 1,0 5,20 yV y aV b −= −= − = − = O gradiente de velocidade é dada por: y dy du 500−= Tensão de cisalhamento em y=0 : 0x500x08,0x10 3- === dy du µτ Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 2 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10 m N dy du −=== µτ Solução – Problema 3 Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). 21 FFF += 2 2 5 3 N.s/m06473,010615,7850 === − s m x m kg ρνµ 1 1 y u A dy du AAF µµτ ≡== 2 2 y u AF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. N m s m x m sN xmx y u AF 62,0 0125,0 15,0 . 06473,04,022 2 2 ==      = µ
  • 17. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-17 Solução – Problema 4 [4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) (b) A viscosidade cinemática do líquido (c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) (d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) (e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. Hipóteses: • Distribuição linear da velocidade • Escoamento em regime permanente • Viscosidade constante (a) 1 cP = Pa s /1000 s105,6 1000 )65,0( 4 Pax cP sPa cP − ==µ 1 cP = Pa s /1000 )/(105,6 1000 )/( )65,0( 4 mskgx cP mskg cP − ==µ (b) A viscosidade dinâmica s m x m kg x ms kg x 2 3 3 4 1039,7 100088,0 105,6 − − === ρ µ ν O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: bmyyu +=)( Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) Para y=d u=U e por tanto m= U/d Desta forma o perfil de velocidade é dado como: y d U yu       =)( O gradiente é dado por: ctes x d U dy du ==== −1 1000 3,0 10003,0 (c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) Pa m N sms kg x d U dy du y yx 65,065,0 1 1000105,6 2 4 0 ==      ==   = − = µµτ • A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no sentido negativo (-) dos x • A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no sentido positivo dos x
  • 18. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-18 Solução – Problema 5 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação               −= 2 1 2 3 h yV u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. Utilizando a lei universal τ µ= du dy A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, y h V h yV dy du 22 3 20 2 3 −=            −= a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, Paou m N m x s m xx m Ns h V h h V hy 691691 005,0 1 6,0392,1 3 )( 3 222 =                  ==−−=−= µµτ esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes.
  • 19. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-19 Solução – Problema 6 [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2 yyU = Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2 yyU = Desta forma ( ) .4y dy ydU = A tensão de cisalhamento é dada por: y u ∂ ∂ = µτ 2 3 0016,0)2,0(4102 )( m N xxx dy ydU === − µτ Solução – Problema 7 [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). y u DL dy du AAF µπµτ === ( ) s cm s m xxx xx DL Fy u 87,20287,0 5,832,02,0 00005,098,9100 ==== πµπ Solução – Problema 8 [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por:             = b y b U dy du 2 cos 2 max ππ Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Pa sxPax xx x x x x b U dy du dy du mmy mmy 0257,0 068,1428.108,1 707106,01000 0,72 0,9 0,72 5,3 cos 2 5 max 5,3 5,3 = =             =                   == = − = = π µ ππ µµτ µτ
  • 20. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-20 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e massa específica 830 kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 (b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s. Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 1,0m2. R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N [3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel? R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s [4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por FVW =& onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo SAE 30       = sm kg . 29,0µ R: 72,5 W. [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por:               −= 2 max 2 1)( h y uyu onde umax representa a velocidade máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento. Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m2. (d) 0,138 N Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s.
  • 21. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-21 [6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m2)               −= 2 1 2 3 )( h yV yu [ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm. R: (a) 0,01 Pa.s [8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149,5mm. Este corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. Entre o tubo e o cilindro existe uma película de óleo. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s [9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2 Pa.s R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm [10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com 0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23,9 Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra. [11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de uma luva de 60,2mm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. (a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) Determinar a força requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N [12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta condições de operação. R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW
  • 23. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-23 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.3) [1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a densidade do fluido igual a 8,5. BdeacimalíquidodecolunadaPressão=P(B) )(/5,12 )(/12508 5,181,910006,8 2 2 2 2 kPaoumkN PaoumN xxx hgd ghp águamercurio B = = = = = ρ ρ Manômetro piezométrico simples [2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. O manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. Determinar: a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m. b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m. p gh ghA = −ρ ρman 2 1 a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4 = 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar) b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4 = -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar) A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica.
  • 24. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-24 [3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U. Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. pC = pD pC = pA + ρg hA pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 = -7284 + 61852 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) [ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. • Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão atmosférica. • Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a atmosférica. • Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera. Desta forma utilizando pressões relativas: ( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+ ( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ Resolvendo: ( ) ( ) 626mm0,626my 133416y83562,6 y1334169810196206,2413230000 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000 == = =+++ =+−+−+ yxxxxxxx
  • 25. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-25 [ 5 ] Com base na figura ao lado, determine: A pressão absoluta no ponto A; PA (Rel) = ρH2O . g . hH2O PA (Rel) = 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m ≅ 49 kPa PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa PA (Abs) ≅ 270 kPa [ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine: a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água; b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. a) PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa ≅ 134,68 kPa PA (Rel) = ρGas. g . hgas = 680 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m = 33,354 kPa ρGas = d x ρágua à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3 b) PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g . hágua PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa ≅ 144,5 kPa
  • 26. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-26 [ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine: a) a massa específica do azeite de oliva; b) a densidade do azeite de oliva. Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa. a) PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg PA (Abs)=PAtm +ρóleo.g.hóleo +ρH2O.g.hH2O +ρaz.oliva.g.haz.oliva +ρHg.g.hHg olivaaz HgHgOHOHóleoóleoATMF olivaaz hg hghghgPP . . . ...... 22 ρρρ ρ −−−− = ( ) ( ) ( )[ ]{ } m s m Pa oa 9,2.81,9 4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300 2 . ++−− =ρ 3 2 2 . /1370 9,2.81,9 . 38982 mkg m s m sm kg olivaaz ≅≅ρ 3 34 4 /890000189,0 mkg m kg xxdd Càáguaóleoóleo Càágua óleo óleo ===⇒= ° ° ρρ ρ ρ b) 37,1 /1000 /1370 .3 3 4 . . =⇒== ° olivaaz Càágua olivaaz olivaaz d mkg mkg d ρ ρ
  • 27. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-27 [8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. kPaPP PghghghP BA BtetraHgóleoA 28,37 321 −=− =−++ ρρρ Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A [ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6. ( ) kPa x PP Pgg x gx x gP BA BaaaaA 52 1000 81,9)7503696,13360( 1000 750 1000 360 6,13 1000 360 1000 ≈ +− =− =−      − −      −      + ρρρρ
  • 28. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-28 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap3) [ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo do tanque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a água e o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89. Densidade do mercúrio 13,6. [ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68 determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina- água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque. R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa [3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro em U conectado como mostrado na figura. O manômetro utiliza benzeno com massa específica igual 879 kg/m3. Determinar: (a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão. (b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação. R: PA - PB = 463 Pa (de A para B ) [4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. Massa específica da água: 1000 kg/m3; Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 [5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig. considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. R: 22cm
  • 29. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-29 [ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3. Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m3. Determine a pressão manométrica no ponto A. R: 20,92 kPa. [ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. R: y=626mm [8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³. (a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B (b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros de coluna de água ? R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA)
  • 30. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-30 [10] Determine a pressão na tubulação com água (A) considerando que o manômetro em U esta aberto para a atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso especifico igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e h2=10cm. R: 8,0 kPa [ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo, quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. Considere as densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm [ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13,6). R: (a) 2,75 kPa [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém água, tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 13,6. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180 kPa. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B. Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa [14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N.
  • 31. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-31 EEXXEEMMPPLLOOSS CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS ((CCaapp.. 44 ))
  • 32. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-32 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemática dos Fluidos (Cap4) [ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r Onde x e y em metros 1. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 2. Regime permanente ou não permanente ? 3. Determinar o ponto de estagnação 4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m [ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −= r [ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r [ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r (1) Determinar o vetor da aceleração total. (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) [ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++= r [ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−= r [ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: ( )     += → L x utzyxV 2 1,,, 0 . Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. [ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r (a) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. (b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. (c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. (d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (e) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. [ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++= r (a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. (c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
  • 33. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-33 Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r Onde x e y em metros 6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 7. Regime permanente ou não permanente ? 8. Determinar o ponto de estagnação 9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m (1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu Desta forma jviuyxV ˆˆ),( += r Resposta: Escoamento bidimensional (2) Regime permanente ou não permanente ? Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( += r Tomando a derivada parcial no tempo: 0 ),( = ∂ ∂ t yxV r Resposta: Regime permanente (3) Determinar o ponto de estagnação: Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 625,0 8,0 5,0 08,05,0 −= − = =+= x xu 875,1 8,0 5,1 08,05,1 == =−= y yv Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m (4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m ( ) jiV jiV jxixV ˆ)9,0(ˆ)1,2( ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0( ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0 −+= −++= −++= r r r Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+= r (5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s
  • 34. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-34 Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −= r Solução: Será fluido incompressível se: 0=•∇ V r ou 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Será fluido compressível 0≠•∇ V r ou 0≠ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u 0 2 4 4 32 = −= = w xyv yxu Derivando 0 8 8 3 3 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z w xy y v xy x u e somando obtemos 088 33 =−= ∂ ∂ + ∂ ∂ xyxy y v x u Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu 0 8,0 8,0 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z w y v x u 008,08,0 =+−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Resposta: fluido incompressível Atividade: Dado o vetor velocidade ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++= r (a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente (b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (c) Determine a aceleração local da partícula. (d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.
  • 35. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-35 Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++= r (1) Determinar o vetor da aceleração total. (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) (1) Determinar o vetor da aceleração total. z V w y V v x V u t V Dt VD ap ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == rrrrr r observamos que é regime permanente: 0= ∂ ∂ t V r 0 8,05,1 8,05,0 = −= += w yv xu 0 ˆ8,0 ˆ8,0 = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ z V j y V i x V r r r ( ) 0 ˆ)64,02,1()ˆ8,0)(8,05,1( ˆ)64,04,0()ˆ8,0(8,05,0 = ∂ ∂ +−=−−= ∂ ∂ +=+= ∂ ∂ z V w jyjy y V v ixix x V u r r r jyix Dt VD ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++= r Resposta: jyixap ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++= r (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) ji Dt VD ji Dt VD jxix Dt VD ˆ)72,0(ˆ)68,1( ˆ)92,12,1(ˆ)28,14,0( ˆ)364,02,1(ˆ)264,04,0( += +−++= +−++= r r r Resposta: jiap ˆ)72,0(ˆ)68,1()0,3,2( += r (3) Determinar o módulo da aceleração em (2,3,0) 22222 /83,172,068,1)0,3,2( smaaaa yxpp =+=+== r Resposta: 2 /83,1)0,3,2( smap =
  • 36. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-36 Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++= r Rotacional 0 2 1 ≠∇= Vx rr ω Irrotacional k y u x v j x w z u i z v y w ˆ 2 1ˆ 2 1ˆ 2 1       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v ( ) ( )kw jxv yxu ˆ10 ˆ)3( 12 4 3 = = = ( ) ( ) ( ) 01212 2 1 2 1 000 2 1 2 1 00 2 1 33 =−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = =−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = −= xx y u x v x w z u z z y y x ω ω ω ω ω Resposta: Irrotacional Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−= r ( ) ( )2 2 12 )44( 6 zw zxv yxu = −−= = ( ) 240 2 1 2 1 −=−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = x x z v y w ω ω ( ) 000 2 1 2 1 =−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = y y x w z u ω ω ( ) ( )22 3264 2 1 2 1 xx y u x v z z +−=−−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω ω Resposta: Rotacional 0=xω 0=yω 0=zω 0=ω r 0≠xω 0=yω 0≠zω 0≠ω r
  • 37. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-37 Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: ( )     += → L x utzyxV 2 1,,, 0 . Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. a) Unidimensional ( ) i L x uutzyxV ˆ2 1,,, 0     +== → t V z V w y V v x V u Dt VD ap ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == →→→→→ → ... Como 0 t V = ∂ ∂ → , então, o escoamento é em Regime Permanente;     +      =                 += ∂ ∂ == →→ → L x L u L u L x u x V u Dt VD ap 2 1. .2.2 . 2 1. 2 00 0 (aceleração da partícula do fluido) b) ( ) ( )       +         =    +      == → → mm sm L x L u Dt VD ap 3,0 0.2 1. 3,0 /3.22 1. .2 22 0 2 /60 smap = → (aceleração na entrada do bocal) ( ) ( )       +         =      +      == → → m m m sm L x L u Dt VD ap 3,0 3,0.2 1. 3,0 /3.22 1. .2 22 0 2 p s/m180a = → (aceleração na saída do bocal) c) ( ) s m m m s m L x uuV 9 3,0 3,0.2 1.3 2 10 =      +=    +== → (velocidade na saída do bocal) c) Neste exercício, a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo. ( ) i L x uutzyxV ˆ2 1,,, 0     +== → ( )     +      = ∂ ∂ =⇒= → → → → L x L u x V ua Dt VD tzyxa pp 2 1. .2 .,,, 2 0 0= ∂ ∂ → t V
  • 38. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-38 Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por: ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++= r (a) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (b) Determine a aceleração local da partícula. (c) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (d) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. Solução (1) Velocidade na partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) smV kjiV kjiV kzxjxyzizyV /3,28 ˆ24ˆ12ˆ9 ˆ1.2.3ˆ1.3.2.2ˆ1.3 ˆ3ˆ2ˆ 3222 3222 = ++= ++= ++= r r r (2) Aceleração local da partícula. (b) z V w y V v x V u t V Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrrr Resposta : Aceleração local da partícula: 0= ∂ ∂ t V r (a aceleração local da partícula é nula) (c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível z w y v x u V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ r 0320 32 ≠++=∇ xxzV r Por tanto se trata de fluido compressível. (d) Escoamento é rotacional ou irrotacional. ? 0)22( 2 1 2 1 )92( 2 1 2 1 )40( 2 1 2 1 22 22 =−=      ∂ ∂ − ∂ ∂ ≠−=      ∂ ∂ − ∂ ∂ ≠−=      ∂ ∂ − ∂ ∂ yzzyz y u x v zxzy x w z u xyz z v y w Resposta: Escoamento rotacional
  • 39. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-39 Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r (f) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. (g) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. (h) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. (i) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (j) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. SOLUCAO (A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). kwjvV ˆˆ += r (B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente. Para ser escoamento em 3D em regime permanente. ),,,( tzyxVV = r Neste caso: kzywjzyuV ˆ),(ˆ),( += r Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente) ( C) Determinar a aceleração da partícula z V w y V v x V u t V Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrrr )()( ConvectivapLocalpp aaa rrr += Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local é nula: 0= ∂ ∂ t V r z V w y V v x V u Dt VD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = rrrr 0= ∂ ∂ x V u r (escoamento bidimensional com u=0) kyzzyjyzy y V v ˆ)6)(4(ˆ)3)(4( 323 −−+−−−= ∂ ∂ r kyzy z V w ˆ)3)(3( 22 = ∂ ∂ r ( ) ( ) kzykyzzyjzyy Dt VD ˆ)9(ˆ246ˆ123 42425 ++−+= r ( ) ( )kyzzyjzyy Dt VD ˆ243ˆ123 2425 +++= r
  • 40. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-40 ( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ z w y v x u V r 0= ∂ ∂ x u 2 3y y v −= ∂ ∂ 2 3y z w = ∂ ∂ Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. 033 22 =+−= ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ yy z w y v V r (E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−= r Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). kzywjzyvV ˆ),(ˆ),( += r P Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: k y u x v j x w z u i z v y w ˆ 2 1ˆ 2 1ˆ 2 1       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v i z v y w ˆ 2 1       ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω v yz y w 6= ∂ ∂ 4−= ∂ ∂ z v Desta forma o escoamento é rotacional já que 0≠ω v ixz ˆ)46( 2 1 −=ω v
  • 41. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-41 Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++= r (d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. (f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3)
  • 42. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-42 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) [1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: k j i xzytxttzyxV ˆˆ 2 ˆ 32),,,( +−= r . Determinar: (a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. (b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. ( c ) Aceleração total da partícula (d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) (e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). [2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k ji tyxztV ˆ 2 ˆˆ3 ++= r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k ji zxxyzzyV ˆ 3 ˆ 2 ˆ 22 32 ++= r (a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional (b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. [4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k z j i etaytaxV ˆ 2 ˆ 23 ˆ 2 2 +−= r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k y zx j y zx i y zx V ˆ3ˆ2ˆ 2 223 2 3 −−= r Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. [6] Dado o campo de velocidades k ji zzxyxV ˆ 2 ˆˆ 2 12)44(6 +−−= r Determine o campo de velocidades angular ou rotacional. [7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. (a) xu −= yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4−= (d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2 += txxyv 4 += (c) 32 4 yxu = 4 2xyv −=
  • 43. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-43 EEXXEEMMPPLLOOSS CCOONNSSEERRVVAAÇÇÃÃOO DDAA MMAASSSSAA (( CCaapp.. 55 ))
  • 44. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-44 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: i R r UV ˆ1 2 max               −= r Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. [3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2). [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório.
  • 45. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-45 Solução Exemplo 1 [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. Equação Básica 0=∫+∫ ∀ scvc AdVd t rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: (1) As propriedades no tanque são uniformes, porem dependentes do tempo. (2) Escoamento uniforme na seção (1). Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. ( ) 0=∫+∫ ∀      sc AdVvcd t rr ρρ ∂ ∂ • Como ∀=∀∫vc d 0=∫+∀     sc AdV t rr ρρ ∂ ∂ • O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). ∫=∫ 1Asc AdVAdV rrrr ρρ • Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). • Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 111 1 AVAdV A ρρ =∫ rr ( ) 0111 =+∀ ∂ ∂ AV t ρρ • Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: ( ) 111 AV t ρρ −= ∂ ∂ ∀ ( ) ∀ −= ∂ ∂ 111 AV t ρ ρ ( ) ( ) ( ) s m kg m m x x s m x m kg t /48,2 05,0 10001000 65 1000 311 13,6 33 2 3       −=             −= ∂ ∂ ρ • Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0).
  • 46. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-46 Solução Exemplo 2 [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: i R r UV ˆ1 2 max               −= r Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. Solução: A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 0=∫+∫ ∀ scvc AdVd t rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: • Escoamento permanente • Escoamento incompressível • Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. ∫∫∫ === AdVAdVAdVm rrrrrr & ρρρ 222111 A u R uR um RRR R RR R rr rdr R r rdr R r um drr R r um πrdrdA R R R R 224 2 442 1 42 1 42 1 :integralaResolvendo 12 )2(1 2:tubodoseçãodaáreadeelementoodoConsideran max2max 2 max 222242 0 242 0 2 0 2 max 0 2 max ρπρπρ πρ πρ ==      = =      −=               −=               −=               −               −=               −= = ∫ ∫ ∫ & & & Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 2 maxu u =
  • 47. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-47 Solução Exemplo 3 [3] Dados Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 Fluxo de massa em (3): s kg m 603 =& (+) Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s Velocidade em (1) s m iV ˆ0,31 = r Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 0=∫+∫ ∀ scvc AdVd t rr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 0 4331 =+++= ∫∫∫∫∫ AAAAsc AdVAdVAdVAdVAdV rrrrrrrrrr ρρρρρ Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 1 1 1111 1 mAVAVAdV AA & rr =−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 222 2 22 2 mAVAVAdV AA & rr =±== ∫∫ ρρρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção ∫∫ === 3 33333 3 AA mAVAVAdV & rr ρρρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 4 4 4444 4 mAVAVAdV AA & rr =−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 04321 =+++=∫ mmmmAdV sc &&&& rr ρ skgmx s m x m kg AVm /6002,00,31000 2 3111 −==−= ρ& (-) entrando no v.c. skgm /603 =& (+) saindo do v.c. skg s m x m kg QAVm /3003,01000 3 34444 −===−= ρρ& (-) entrando no v.c. 0306060 24321 =−++−=+++ mmmmm &&&&& s kg m 302 =& Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. Para determinar a velocidade em (2): 222 AVm ρ=& sm xA m V /6,0 05,01000 30 2 2 2 === ρ & na forma vetorial: s m jV ˆ6,02 −= r (aponta em sentido negativo do eixo y) Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa.
  • 48. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-48 Solução Exemplo 4 [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por: Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2. resres A VAVA A QQ t dh mmd t 221121 21 0 + = + = ∂ =−−∀ ∂ ∂ &&ρ ( ) ( ) sm xx A VDVD t dh res /0172,0 18,0 6,0075,09,0025,0 44 22 2 2 21 2 1 = + = + = ∂ ππ 021 =−− mm dt dh Ares &&ρ
  • 49. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-49 QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO (( CCaapp..55 ))
  • 50. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-50 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) [1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. [2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. [3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária para manter o cotovelo no lugar. [4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo em que atua.
  • 51. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-51 [ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2). [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado.
  • 52. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-52 Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. Dados: Velocidade do jato: smiV /ˆ15= r Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Determinar: Força resultante. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equações Básicas ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dV t FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. ∫= sc s AdVVF rrrr ρ Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. ApRApF atmxatmx −+= Por tanto xx RF = A quantidade de movimento na direção - x:
  • 53. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-53 { } 11 11 1 AVuAdVuAdVu AdVuAdVV AA Axsc ρρρ ρρ −=−= =        ∫∫ ∫∫ rrrr rrrrr O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. Nmx s m x m kg x s m AVu 225001,015100015 2 311 −=−=− ρ NAdVuR A x 2250 1 −== ∫ rr ρ Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. Na forma vetorial NiFs ˆ2250−= r Método simplificado No método simplificado : ( )12 uuQFx −= ρ ( )12 uumFx −= & A massa especifica é determinada com as condições da seção 1. skgmx s m x m kg Aum /15001,0151000 2 311 === ρ& (+) saindo do v.c. A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) N s m x s kg umFx 2250151501 −==−= & Aponta no sentido contrário ao eixo x. Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se.
  • 54. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-54 Solução: Exemplo 2 Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. Dados: Velocidade do jato: smiV /ˆ15= r Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equações Básicas ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dV t FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. ∫= sc s AdVVF rrrr ρ Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) ∫= sc sx AdVuF rr ρ Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. ApRApF atmxatmsx −−= Por tanto xsx RF −= A quantidade de movimento na direção - x: { } 111 1 111 1 AVuAdVuAdVu AA ρρρ −=−=∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.) Igualando os termos:
  • 55. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-55 111 AVuRx ρ−=− e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido Vetor velocidade: Ponto (1) smiV /ˆ1,6= r e desta forma u1=6,1m/s. Consideramos que o jato é uniforme Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2 Nmx s m x m kg x s m AVuRx 98,1800051,01,610001,6 2 3111 === ρ Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y) ∫= 2 222 A sy AdVvF rr ρ Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). HatmyHatmsy ApRApF −+= Por tanto ysy RF = Pela conservação da massa em (2) smjV /ˆ1,6= r e desta forma: v2=6,1m/s. { } 222 2 222 2 222 AVvAdVvAdVv AA ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.) Nmx s m x m kg x s m AVv 98,18000511,01,610001,6 2 3222 ==ρ NAVvRy 98,19222 == ρ (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) Método simplificado O fluxo de massa é dada por: s kg mx s m x m kg Aum 11,300051,01,61000 2 311 === ρ& ( )12 uumFx −= & u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: NxumFx 98,181,611,31 −==−= & ( )12 vvmFy −= & v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: NxvmFy 98,181,611,32 === &
  • 56. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-56 Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A força resultante Rx e Ry. Obs. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dV t FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipotese e escoamento: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) ∫= sc sx AdVuF rr ρ ( considerando força de campo FBx=0) Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa xrsx RApF −= 11 A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x: { } 111 1 111 1 111 AVuAdVuAdVu AA ρρρ −=−=∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.) Nmx s m x m kg x s m AVu 1600113,00,410000,4 2 3111 ==ρ 11111 AVuApR rx ρ+= ( ) ( ) NNxR AVuApR x rx 15161600113,01000120 11111 =+= += ρ s kg mx s m x m kg AVm 28,4500283,0161000 2 322 === ρ& Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y) ∫=+ 2 222 A Bysy AdVvFF rr ρ Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: =+= yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF = { } 222 2 222 2 222 AVvAdVvAdVv AA ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.) (+) Nmx s m x m kg x s m AVv 72400283,016100016 2 3222 −=−=ρ NAVvRy 724222 −== ρ (Contrario ao sentido admitido originalmente)
  • 57. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-57 Solução: Exemplo 4 Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua. No método simplificado: Equações utilizadas: ( )12 uumFx −=∑ & ( )12 vvmFy −=∑ & O fluxo de massa pode ser determinado como: s kg s m x m kg QAVm 5005,01000 3 311 ==== ρρ& Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c. jviuV ˆˆ 111 += r jviuV ˆˆ 222 += r Componentes da velocidade em x: O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750 s m Vu 07,275cos8)75cos( 00 22 === s m Vu 66,545cos845cos 00 11 === Componentes da velocidade em y: s m Vv 73,775sin875sin 00 22 === s m sinsinVv 66,545845 00 11 === Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s Força Resultante em x: ( ) N s kg RF xx 5,17966,507,250 −=−==∑ (Aponta em sentido contrário ao eixo - x) Força Resultante em x: ( ) N s kg RF yy 5,66966,573,750 =+==∑ (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y) Força Resultante: ( ) NRRR yx 6935,669)5,179( 2222 ≈+−=+= Ângulo formado pela resultante: 0 75≈= x y R R Tanφ
  • 58. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-58 Solução: Exemplo 5 [ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s. Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória. ∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dV t FF Bs rrrrrr ρρ ∂ ∂ Hipóteses: • Escoamento em regime permanente. Não que existe variação das propriedades no tempo no V.C. • Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2). • Escoamento com velocidades unidimensionais. • Escoamento com considerando fluido incompressível. Fazendo analise em x: ( )∑ −= 12 xx vvQFx ρ onde: smv smv x x /5,760cos15 /15 2 1 == = s m m x x s m AVQ 3 2 2 11 118,0 4 1,0 15 =      == π ( ) NRx xxRx 4,883 155,7118,01000 = −=− Solução: Exemplo 6 [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). 4 0)( )()( 2 2 1 21 D vW vAvW vmF vmvmF y y π ρ ρ = −=− +−= −+−= ∑ ∑ & && sm x D W v /88,18 05,01000 70044 22 === πρπ
  • 59. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-59 Solução: Exemplo 7 [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2). P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: sm D V /33,13600 150 4 2 == π ( )xx uuQFx 12 −=Σ ρ ( )xxx uuQAPAPR 122211 −=++− ρ ( ) ( )xxx uuQAPPR 12121 )( −=++− ρ conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s ( ) ( ) ( ) NxxxR APPuuQR x xxx 555256528,990314,080100)33,133,1( 3600 150 900 )( 12112 =+−=++−−= ++−−= ρ Solução: Exemplo 8 [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. ( )12 vvQFy −=∑ ρ NWFy 825−=−=∑ ( ) sm xx xxx D x v Av vAv /08,17 601000 100010008254 4 1000 825 825 0825 221 2 1 11 ==       = = −=− ππ ρ ρ
  • 60. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-60 1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO [ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N [ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Os diâmetro da tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual a p1=232 kPa. Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N [ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e parte é defletida. Determine a força horizontal necessária para conter a placa. R: 981,75N [ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. (a) Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 (a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N. V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio [5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa linha de uma tubulação industrial. Os manômetros instalados antes e após o bocal apresentam as pressões indicadas na figura. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal convergente. Considere que o fluido e gasolina com massa especifica igual a 680 kg/m3.
  • 61. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-61 [ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m3). Determinar a força resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. O ângulo da placa inclinada é igual a 450. [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m3 ) numa tubulação de 400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido. [ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m2. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. Determine a velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3 ‘ [ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3.
  • 63. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-63 1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7) [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2. [2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da tubulação. (b) o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A eq. para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) τW = 204 N/m2. (d) V=6,0m/s [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,179x10-6 m2/s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: 27,4MW [4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Obs. Considere água a 200C. [5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benceno a 500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. R: 760kPa.
  • 64. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-64 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). ( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s. [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27,29m. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%.. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s. [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,7x10-3 Pa.s.
  • 65. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-65 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s. [13] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. (Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 1000 kg/m3). [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro. [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] Z1=6,1m Z2=36,6m [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia de acionamento da bomba.
  • 66. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-66 Solução: Exemplo 1 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. 1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s. 2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia: B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) L BA h g p g p =− ρρ onde a perda de carga é dada por: ( ) mca x xx g v D L fhL 62,1 81,92 66,5 15,0 10 0149,0 2 22 === kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 2 6006,0 10 88,15 4 15,0 4 m N kPax L pD w === ∆ =τ
  • 67. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-67 Solução: Exemplo 2 [ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) Perda de carga da tubulação. (b) Determine o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. D=150mm L=30m V=4,0m/s T=25oC µ=9,6x10-1 ρ=1258 kg/m3 Perda de carga da tubulação. Determinamos o Número de Reynolds arLaEscoamento x xxVD min-786 106,9 15,00,41258 Re 1 ≅== − ν Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L hL 2Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L hL 28,13 81,92 4 15,0 30 786 64 2Re 64 22 === Determine o gradiente de pressão da tubulação. A variação de pressão kPaxxghp L 16381,9125828,13 ≅==∆ ρ O gradiente de pressão m kPa m kPa L p 4,5 30 163 == ∆ Tensão de cisalhamento na parede da tubulação 8Re 64 24 22 vvf W ρρτ == desta forma       ≅= 2 2 204 8 4 1258 786 64 m N xWτ A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades.               −= 2 max 1 R r uu com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s               −= 2 10,8 R r u O valor da velocidade para r = R/2.               −= 2 2 1 10,8u =6m/s
  • 68. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-68 Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,97x10-5m2/s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido Dados: Q=1,6 milhões de barris dia 100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa P1=1200 psi. (275,86kPa) P2=50 psi. (344,83 kPa) Ferro galvanizado ε=0,1464mm D=48 pol ( 1220mm) DR=0,93 oú ρ=930 kg/m3 ν=1,97x10-5 m2/s. η=85% dia barris xQ 6 106,1= 01 barril = 42 galões min 67,46666 6024 42106,1 6 gal x xx Q == Conversão 01 galão/min = 6,309x10-5 m3/s s m xxQ 3 5 94,210309,667,46666 == − Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2. 2 2 22 1 2 11 22 z g u g p Hhz g u g p AL ++=+−++ ρρ Simplificações • Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 • A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. • Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. Com tais simplificações se tem: ( ) g P g pp hL ρρ ∆ = − = 21 o valor limite da perda a de carga é dada por: ( ) fluidocm x x hL ..32,869 81,9930 100083,34486,8275 = − = (neste caso de Petróleo bruto) g V D L fhL 2 2 = Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação
  • 69. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-69 2 2 V g f D hL L= onde 2 9,0 Re 74,5 7,3 / log25,0 −             += D f ε ε/D= 0,1464mm/1220mm=0,00012 ν VD =Re a velocidade media sm x D Q A Q V /51,2 22,1 94,244 22 ≅=== ππ 5 5 1055,1 1097,1 22,151,2 Re x x xVD ≅== −ν 01722,0 )1055,1( 74,5 7,3 00012,0 log25,0 2 9,05 =                 += − x f km x V g f D hL L 8,191 51,2 81,92 01722,0 22,1 32,869 2 22 ≅== A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga HA=hL=869,32m A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como: gQHP AA ρ= onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba (potência motriz). bombaaparafornecidaPotência fluidoaobombapelaadicionadaPotência Bomba =η Desta forma a potência fornecida para a bomba: G A motriz gQH P η ρ = kW xxx Pmotriz 2,27432 85,0 94,281,993032,869 ==
  • 70. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-70 Solução: Exemplo 4 [ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC ε=0,015mm Fluido: água a 200C Tabela: ρ=998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. 100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa P1<= 65psig. (448,16 kPa) P2 >= 30 psig (206,85 kPa) 2 2 22 1 2 11 22 z g u g p Hhz g u g p AL ++=+−++ ρρ Simplificações • Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 • A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. • Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. Com tais simplificações se tem: ( ) g P g pp hL ρρ ∆ = − = 21 Assumindo os valores extremos estamos considerando ∆Pamx ( ) aguacm x x hL ..6,24 81,91000 100085,20616,448 = − = g V D L fhL 2 2 = Igualando os termos g V D L fP 2 2 ρ=∆ (Pa) Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A): 5 2 25 2 24 2 2 2 2 18816 2 4 2 D Q D L f D Q D L f D Q D L f D Q D L fP       ===      =∆ π ρ π ρ π ρ π ρ Substituindo Q = 0,095 m3/s ν=1,02x10-6 m2/s ρ=998 kg/m3 L=152m
  • 71. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-71 5 715,1109 D f P =∆ D QD D QVD 144 Re 2       =      == πννπν . Substituindo os dados D 04,118586 Re = Procedimento Iterativo. 1. Admitimos um valor para o diâmetro. Por exemplo Eq. de Bresse. ( D=Q0,5) 2. Determinamos o Re. 3. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f 4. Com D e F obtemos a variação de pressão 5. Se ∆Pcal. ≅ ∆Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado. 6. Se ∆Pcal. < ∆Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular 7. Se ∆Pcal. > ∆Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular. Diâmetro (mm) ε/D Re f ∆Pcal. (Pa) 308 0,000487 3,85x105 0,01435 57 kPa < (241,31 kPa) 150 0,001 8x105 0,01378 201,31 kPa Continuar Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados.
  • 72. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-72 Solução: Exemplo 5 [5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benzeno a 500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A está instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. Resposta: 760kPa. Dados: Fluido Benzeno d=0,86 T=500C µ=4,2x10-4 Pa.s PB=550kPa. D=50mm (A=0,001964m2) Q=110 l/min. ( 0,001834 m3/s) Solução: Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto A e B. B BB LTRADA AA z g u g p hHHz g u g p ++=−−+++ 22 22 ρρ Simplificações: Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0) Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro, pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB. Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB - ZA) =21m B B LTA A z g p hz g p +=−+ ρρ reorganizando os termos, e explicitando a pressão em A: ( ) LTAB BA hzz g p g p +−+= ρρ Devemos determinar a perda de carga da tubulação g V D L fhL 2 2 = Considerando: velocidade: v=Q/A =0,934 m/s 93,0 001964,0 0,001834 === A Q v Reynolds: µ ρ DV =Re 9563 4-4,2x10 005,0934,0860 Re ≈= xx (escoamento turbulento) com ε/D=0 - tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0,018. ( ) m x xx g V D L fhL 81,3 81,92 93,0 05,0 240 018,0 2 22 === fluidocm x x g pA ..9081,312 81,9860 1000550 =++= ρ kPaxxpA 30,75981,986090 ==
  • 73. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-73 Solução: Exemplo 6 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). ( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio V1=5m/s (1) (2) D1=8cm x y x y P2=Patm água D2=5cm h=58cm mercúrio Aplicando Eq. de Manometria: kPaxxghP aMR 7,7158,081,9)100013600()(1 =−=−= ρρ (Relativa) Aplicando Eq. de Energia. m xx x g vv g pp hL 23,007,73,7 81,92 8,125 81,91000 10007,71 2 222 2 2 121 =−=         − +      =      − +      − = ρ Aplicando Eq. da Quantidade de movimento. NxxvvmApRx 1,163)58,12(12,251000005,07,71)( 1211 =−−=−−= & Solução: Exemplo 7 [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s. m gg V D L fhL 116 2 37,6 2,0 500 0225,0 2 22 === Continuar: R: ∆P=265Pa.
  • 74. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-74 Solução: Exemplo 8 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. Dados Q=12 l/s=0,012m3/s hL=12 m.c.f. PB= 101,33kPa. (Pressão Atm. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação: ( ) sm xD Q v /12,6 00196,0 012,0 4 05,0 012,0 4 22 ===       = ππ A Eq. de energia aplicada entre os pontos A e B, fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia. B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação, fazemos desprezível o termo de energia cinética da mesma. B BB LA A z g u g p hz g p ++=−+ 2 2 ρρ Utilizando nesta expressão a pressão relativa, em B temos que PB=0. Desta forma a pressão relativa em A é dada como: ( ) LAB BA hzz g u g p +−+= 2 2 ρ considerando a massa especifica do fluido ρ=1000kgm/3 ( ) m xg pA 90,2812159,11215 81,92 12,6 2 =++=++= ρ em unidades de pressão, a pressão relativa em A é dada como: kPaxxpA 6,28390,2881,91000 == A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283,6 + 101,33 =385 kPa.
  • 75. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-75 Solução: Exemplo 9 [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27,29m. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%.. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 B BB ALA AA z g u g p Hhz g u g p ++=+−++ 22 22 ρρ ABLA zzhH −+= mH A 80,575,3029,27 =+= Watts xxxQgH W A 4536 7,0 0056,080,5781,91000 === η ρ& Solução: Exemplo 10 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s. Perda de carga da tubulação. Número de Reynolds arLaEscoamento x xxVD min-786 106,9 15,00,41258 Re 1 ≅== − ν Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L hL 2Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L hL 28,13 81,92 4 15,0 30 786 64 2Re 64 22 ===
  • 76. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-76 Solução: Exemplo 11 [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,7x10-3 Pa.s. s m x x D Q V 12,2 05,0 3600 15 4 4 22 === ππ 635.48 107,1 05,012,2780 Re 3 === − x xxVD µ ρ (turbulento) ( ) 0268,0 48635 74,5 7,3 002,0 log25,0 2 9,0 =                 += − f m x x g V D L fhL 28,12 81,92 12,2 05,0 100 0268,0 2 22 === Solução: Exemplo 12 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s. A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq. de energia. B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro L BA h g p g p =− ρρ ( ) mca x xx g v D L fhL 62,1 81,92 66,5 15,0 10 0149,0 2 22 === kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 2 6006,0 10 88,15 4 15,0 4 m N kPax L pD w === ∆ =τ Respostas ∆P=15,88 kPa τW=60 N/m2
  • 77. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-77 Solução: Exemplo 13 [ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. (Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 1000 kg/m3). B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro: g p g p h BA L ρρ −= Aplicando Eqs. de manometria obtemos: BxaguaHgxaguaA phhgghghp =−−−+ )(ρρρ BaguaHgA pghghp =+− ρρ ( )ghpp aguaHgBA ρρ −=− ( ) kPaxpp BA 74,4581,910001360037,0 =−=− m mx x g pp h BA L 66,4 8191000 100074,45 == − = ρ Solução: Exemplo 14 [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro. arLaEscoamento x xxVD min-1600 108,1 00040,62,1 Re 5 ≅== − µ ρ Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L hL 2Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L hL 91,4 81,92 6 004,0 3,0 1600 64 2Re 64 22 === LghP ρ=∆ PaxxP 8,5791,481,92,1 ==∆ g v khL 2 2 = 67,2 6 91,481,922 22 === xx V gh k L
  • 78. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-78 Solução: Exemplo 15 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] Z1=6,1m Z2=36,6m B BB ALA AA z g u g p Hhz g u g p ++=+−++ 22 22 ρρ ABLA zzhH −+= ( ) m xg V D L fhL 82,21 81,92 85,2 05,0 122 0216,0 2 22 === ( ) m xg V Khac 46,5 81,92 85,2 2,13 2 22 === ∑ mH A 80,575,3029,27 =+= Watts xxxQgH W A 4536 7,0 0056,080,5781,91000 === η ρ& Solução: Exemplo 16 [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia de acionamento da bomba. B BB LA AA z g u g p hz g u g p ++=−++ 22 22 ρρ Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro L BA h g p g p =− ρρ onde: 00,151.848 100,1 15,099966,5 Re 3 === − x xxVD ν Turbulento. Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105 012,0)108(5,0056,0 32,05 =+= − xf ( ) mca x xx g v D L fhL 62,130 81,92 66,5 15,0 1000 012,0 2 22 === kPaxxghpp LBA 128081,999962,130 ≡==− ρ kWxW 1281,01280 ==&
  • 79. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-79 1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - Perda de Carga em Tubulações (Cap.7) [ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 200C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 200C escoando num tubo de 20mm. Obs. Para gasolina a 200C a massa específica é igual a 6,48x10-7 m2/s. R:(a) V=0,065m/s (b) V=0,1m/s. [ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 150C que escoa a uma velocidade de 1,07m/s (b) óleo combustível pesado a 150C escoando com a mesma velocidade considerando que apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20,53x10-5 m2/s. R: (a) Re 290.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar. [ 3 ] Para condições de escoamento laminar, qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0,0057m3/s de óleo combustível médio a 4oC com viscosidade cinemática igual a 6,09x10-6 m2/s. R: D=60mm [ 4 ] Um óleo lubrificante médio, com densidade 0,86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de diâmetro a razão de 0,00114m3/s. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo. R:: µ=0,089 Pa.s [ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0,101 Pa.s e densidade 0,85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0,0444m3/s. Determine a perda de carga no tubo. R: 8,14m. [ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914,4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm. A pressão em A é de 1068,68 kPa e em B é de 34,47 kPa. O óleo apresenta uma densidade de 0,918 e viscosidade cinemática é de 41,24x10-5 m2/s. Determine a vazão em m3/s. R: Q=0,039m3/s. [ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0,0222 m3/s de óleo combustível pesado a 16oC com viscosidade cinemática v=2,05x10-4m2/s e densidade igual a 0,912. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6,7m. Obs. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese. R: D=170mm [ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação. O ponto 1 localizado a 966m de tubo do ponto 2, está elevado na elevação de 83m, sendo a pressão neste ponto de 2,5kPa. Se a rugosidade do tubo é de 0,5mm. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma vazão de 0,10m3/s. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 2,92x10- 4 N.s /m2 . R: D=258 mm [ 9 ] Por um tubo inclinado 300 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 300C em sentido ascendente. Entre as seções de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0,8bar. Determinar a perda de carga velocidade do escoamento, número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Considere a glicerina com massa especifica igual a 1260 kg/m3 e viscosidade cinemática 1,9x10-4m2/s. R: hL=1,47m. V=2,37 m/s Re= 1247 (laminar) τW=45,4 N/m2. [ 10 ] De um deposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro. A vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0,265bar. Considerando escoamento laminar, determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar. Ra: v=3,76x10-5 m2/s µ=3,338x10-2 Pa.s [ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2.
  • 80. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-80 [12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c) Posição radial em que u( r ) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m Respostas: • Fator de atrito f=0,0173 • Velocidade máxima Umax=3,74m/s. • Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15,2mm • Tensão de cisalhamento na parede τw=22Pa • Queda de pressão considerando um comprimento de 10m ∆P=22kPa. [13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de 10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0,9 v=10-5 m2/s). Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito. R: Q=0,037 m3/s [14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0,002 m3/s de água a 200C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método explicito. R: D=40mm [15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm de diâmetro interno. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2 metros é de 0,265bar. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica do fluido. Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. Determine a tensão de cisalhamento na parede. R: V=1,88 m/s µ=0,037 Pa.s ν=4,1x10-5 m2/s Re ≈ 590 - Laminar τw=43Pa Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap. de escoamentos em dutos) [16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado, distantes 560m. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm e diâmetro de 150mm determinar. Na tubulação existe um registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga igual a 0,4. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de Moody. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna de fluido e em Pascal. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação. d) Determina a perda de carga total pela tubulação mais acessórios. R: a) f=0,023 b) hl=22,35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2,04m d) hlT= hl+ hacc≅25m
  • 81. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-81 [ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 0,015 m3/s. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 15 metros. A tubulação de recalque tem um comprimento de 200 metros. A válvula de globo aberta apresenta um comprimento equivalente Le=30D onde D é o diâmetro da tubulação. Determine a perda de carga total do sistema de Bombeamento e a potência de acionamento da bomba considerando que apresenta um rendimento de 76%. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de 50mm. Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual a 4,6x10-5m. Elemento Coef. de perda de carga - K Fluido - álcool 24oC Saída do reservatório de aspiração 0,5 ρ=789 kg/m3 Entrada do reservatório de recalque 1,0 µ= a 5,6x10-4 Pa.s curva de 900 0,57 R: hL=207,4m (z2 - z1) =10m H=217,4m W=33,2kW.
  • 82. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-82 1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.7 e Cap.8) [1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de 152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1,83m/s. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (1,37m ) (13,43kPa). [2] Óleo com ρ=1000 kg/m3 ν=0,00001 m2/s escoa a 0,2 m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro. Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. R: (117m ) (265 kPa). [3] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m. A rugosidade relativa e 0,0002. Determine a velocidade media e a vazão. R: (4,84 m/s) (0,342 m3/s). – Solução Iterativa. [4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água apresentando uma perda de carga de 1,37m. Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (1,84 m/s) – Solução Iterativa. [5] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m sendo a vazão Q=0,342m3/s e a rugosidade ε=0,06mm. Determine o diâmetro da tubulação. R: (0,3 m) – Solução Iterativa. [6] Ar com ρ=1,22 kg/m3 ν=1,46x10-5 m2/s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de 30m de comprimento, a uma vazão de 0,708 m3/s. Se a rugosidade ε=0,091mm determine a queda de pressão. R: (258 N/m2) [7] Água com 1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura. A rugosidade relativa e 0,001. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potencia requerida pela bomba em Watts. Acessório Coeficiente de perda de carga Entrada em canto agudo 0,5 Válvula globo aberta 6,9 Curva com 12 pol de raio. 0,15 Cotovelo normal de 900 0,95 Válvula de gaveta aberta pela metade. 3,7 Saída em canto agudo 1,0 R: (3,2kW) [8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10-4m conduz água a temperatura de 200C com uma vazão de 12 m3/s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3,9m. Determinar o diâmetro da tubulação. R: (D=165,21mm). [9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10- 4m escoando água a 200C com uma vazão de 62,8 litros/s. Determinar a perda de carga da tubulação. R: hL=18,26 m. [10] Num duto de concreto (ε= 3,0x10-4m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37oC com perda de carga unitária de 0,0115 mca/m. Determinar a vazão. R: (Q=0,007155 m3/s ).
  • 83. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-83 EEXXEEMMPPLLOOSS AANNÁÁLLIISSEE DDIIMMEENNSSIIOONNAALL EE MMOODDEELLOOSS
  • 84. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-84 1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Análise Dimensional (Cap.9) [ 1 ] Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma bomba grande que deve fornecer 1,5 m3/s através de um rotor de 40cm de diâmetro. Um modelo com um rotor de 8cm de diâmetro será usado. Que vazão deve ser usada no modelo para manter a semelhança em relação ao número de Reynolds ? O fluido a ser usado no modelo é a água, na mesma temperatura da água a ser bombeada pelo protótipo. Para que haja semelhança neste problema de escoamento confinado incompressível, o número de Reynolds deve ser igual, ou seja, pm ReRe = p pp m mm dUdU νν .. = Reconhecendo que pm νν = , se as temperaturas são iguais, vemos que 5 08,0 4,0 === m m d d U U m p p m A razão entre vazões é encontrada reconhecendo que AUQ .= : 2 2 . . pp mm p m dU dU Q Q = = 5 1 4,0 08,0 .5 2 2 = Assim encontramos sm Q Q p m /3,0 5 5,1 5 3 === [2] A tensão superficial σ é função de velocidade U, da massa especifica ρ e do comprimento x. Obter a equação da tensão superficial. Nota: oCompriment Força =σ XU cba ρσπ = ( ) ( ) ( ) LMLLTMTTLM cba 312000 −−− = 2 1 1 220 130 0 = −= = ===>−−==> +−==> −===>+==> b a c bcbaT cbL cacaM XU 121 ρσπ − = XkU ρσ 2 =
  • 85. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-85 [ 3 ] Uma unidade de bombeamento de grande porte do DMAE deverá fornecer 5400m3/h de água através de uma tubulação de 200cm de diâmetro. Determinar a vazão (em m3/h) que deve ser utilizada para estudar um modelo desta tubulação em laboratório dispondo de uma tubulação de 50cm de diâmetro. P PP M MM PM DVDV νν = = ReRe Tratando-se do mesmo fluido νM=νP. PPMM DVDV = M PP M D DV V = sm x D Q V P P /4775,0 2 5,144 22 === ππ sm x VM /91,1 5,0 0,24775,0 == 4 2 M M D VQ π = )/1350(/375,0 4 5,0 91,1 33 2 hmsmQ == π [ 4 ] Num projeto hidrodinâmico de um pequeno submarino, é necessário determinar as forças resultantes de um protótipo de 2m de diâmetro e 10m de comprimento o qual, quando submerso em água, deverá alcançar uma velocidade máxima de 10 m/s. Para realizar o estudo prepara-se um modelo em escala de 1:20 do protótipo qual será testado num túnel hidráulico. Determine a velocidade da água no túnel hidráulico para conseguir a semelhança dinâmica do modelo. Solução: Por similaridade dinâmica o número de Reynolds do modelo e do protótipo deve ser igual: Re Rem p m p ud ud =       =       ρ µ ρ µ Desta forma a velocidade do modelo deverá ser u u d dm p p m p m m p = ρ ρ µ µ Como ambos (modelo e protótipo) atuam em água então, m = p e m = p assim. u u d d m sm p p m = = =10 1 1 20 200 / /
  • 87. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-87 1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS 1. Problemas de Propriedades dos fluidos [1.1] A densidade de um óleo é 0,8. Determine (a) massa específica, (b) volume específico (c) peso específico. R: (a) 800 kg/m3; (b) 1,3.10-3 m3/kg; (c) 7848 N/m3. [1.2] Uma placa plana infinita move-se a 0,3 m/s sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada líquida de espessura 3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear, a viscosidade 0,65cP e a densidade 0,88, calcular: a) A viscosidade em Pa.s. R = 6,5.10-4 Pa.s; b) A viscosidade cinemática em St. R = 7,4 .10-3 St; c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa. R = 0,65 Pa. [1.3] Sendo 1030 kg/m3 a massa específica da cerveja, qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume ocupado é 600 ml. R: 1,030; 6,06 N. [1.4] Num motor, um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno. Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm. Eixo e bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. R: 3,75.10-2 kgf.s/m2. [1.5] De quanto é reduzido um volume de 1m3 de água, quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm. =vE 2,2 GPa R: 4,5.10-5 m3. [1.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm3 a 2 MN/m2. Determine o módulo de elasticidade volumétrica do líquido. R: 2.105 Pa. [1.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0,9 MPa e a temperatura de 20 oC. Determinar a massa específica. R: 16,26 kg/m3. [1.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol, qual o peso do ar por m3 a uma pressão de 1atm e 20 oC. R: 11,8 N/m3. [1.9] Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 kgf/cm2 e uma temperatura de 27 oC. se a pressão barométrica for 1 kgf/cm2, qual o peso específico do ar. R: 33,48 N/m3. [1.10] Determinar o raio R e a massa de uma gota num conta-gotas de raio r (considerar a gota esférica). R: R = 3 1 ) 2 .3 ( γ σ r ; m = g r.2πσ [1.11] Qual a pressão interna suportada por uma gota esférica de pequeno raio interno. R: r/2σ . [1.12] Determinar a altura h de um determinado líquido, conforme a figura ao lado. R: r h . cos.2 γ ασ = . [1.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s. Sabe-se que a viscosidade é de 10-6 m2/s. R: Re = 30. 000 (turbulento). [1.14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2.10-3 Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m3. R: 0,02 m/s
  • 88. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-88 2. Problemas de Estática dos Fluidos [2.1] Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 kgf/cm2. Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37,3 m; 28 mca. [2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. R: 612644 kg. [2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas em B e em C. Obs. Reservatório aberto para atmosfera. R: 7,7 kPa; 27,67 kPa. [2.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta no tanque da figura. R: 1,57.105 Pa; 2,58.105 Pa. [2.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m3 e pressão atmosférica 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa. [2.6] Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB. R: 96.000 Pa. [2.7] Determine PB – PA na figura. R: -35.280Pa.
  • 89. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-89 3. Problemas de Conservação da Massa [3.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m3/h para abastecimento de uma cidade. Determine o diâmetro da canalização para que a velocidade média seja 1,25 m/s. R: 36 cm. [3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma temperatura de 27 oC. A pressão atmosférica é 101,32 kPa. Determine o fluxo de massa. R: 0,181 kg/s. [3.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3,21 litros/s. [3.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0,1 m/s [3.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m3 a uma vazão de 3,06 m3/s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85 N/m3. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m3/s. b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 43,31 m/s. c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s. [3.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m3 a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. Viscosidade 10-6m2/s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 0,097 m/sc) A vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento) [3.7] Uma canalização lisa que conduz água a 15oC com diâmetro de 150 mm apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144.207Pa. Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B). R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros [3.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? [3.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25m e 0,20m. A pressão no ponto (A) é de 1,5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no duto e a pressão no ponto (B. (Supor movimento sem atrito).
  • 90. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-90 4. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia [4.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m3/s. Considerando um rendimento global de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87,4 m. [4.2] A bomba mostrada na figura recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, através do duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro 15 cm que está instalado com uma elevação 0,5 m em relação a tubulação de sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p1 = -30 kPa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 = 300.kPa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito, determine a potência fornecida pela bomba. R: 73,8 kW [4.3] A água escoa através de uma turbina, a razão de 0,21 m³/s. A pressões em A e B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. Determinar a potência extraída pela turbina. R: 41,6 kW [4.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime permanente, com vazão Q = 0,5 m³/s, através de uma turbina. As pressões estáticas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa. Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor, determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW. [4.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2.
  • 91. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-91 [4.6] A água flui numa tubulação, conforme figura. No ponto (1) da tubulação o diâmetro é de 175 mm, a velocidade é de 0,6 m/s e a pressão é igual a 345 kPa. No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa. Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles é de 5 m. R: 4,5 m [4.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água, através de um duto com diâmetro D=10 cm, de um reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante. A água é descarregada, com vazão constante Q = 0,02 m³/s, a uma altura 38 m acima da bomba, através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm, num reservatório aberto para atmosfera. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a ph = 2m. Determine a potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7,4 kW. [4.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). R: 62,4 m.
  • 92. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-92 5. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos [5.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. Calcular a vazão em litros/min. R: 6,06 litros/min. [5.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12,65 m. (b) a variação de pressão R: 124.172 Pa. [5.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0,86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0,00125 m3/s. Se a queda de pressão é 2,1 kgf/cm2, qual a viscosidade do óleo? R: 0,051 Pa.s. [5.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10-5 m2/s num tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. R: 4,66 m [5.5] A água circula a 15 oC num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e ε = 3 mm com ma perda de carga de 6 m.c.a num comprimento de 300 m de comprimento. Calcular a vazão. R: 0,12 m3/s. [5.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo, smv /10 25− = a distância de 3.048 m com uma perda de carga de 22,86 m. R: 424 mm. [5.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2,5 cm de diâmetro. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3,0 m/s provocando um Reynolds de 1000. Determine em relação a válvula: (a) O comprimento equivalente; R: 3,9 m (b) A perda de carga provocada. R: 4,6 m [5.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido, de 150 mm de diâmetro, da figura. Viscosidade cinemática = 10- 6m2/s. R: 46 litros/s. [5.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 oC e velocidade de 2 m/s. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área. Supondo uma tubulação lisa, determine em relação ao escoamento: a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio. R: 0,045 mH2O. b) A variação de pressão provocada pela redução. R: 441,5 Pa. c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 3,3 mmHg.
  • 93. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-93 [5.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 oC) é de 10 m3 /h Determinar: a) A perda de carga na sucção; R: 4,15 m. b) A perda de carga no recalque; R: 4,488 m c) Perdas de carga total; R: 9,03 m d) A energia adicionada pela bomba; 25,82 m e) A potência hidráulica da bomba; R: 709 W f) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 85%. R: 834 W. [5.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa Determinar: a) A vazão volumétrica; R: 0,002 m3/s b) A velocidade do escoamento; R: 1,02 m/s c) O número de Reynolds; R: 51000 d) Total de perdas localizadas; R: 0,98 m e) Total de perdas nas tubulações; R: 0,94 m f) O total de perdas de carga; R: 1,92 m g) A energia adicionada pela bomba; R: 17,97 m h) A potência hidráulica; R: 352,6 W i) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%. R: 441 W
  • 94. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-94 LISTA DE EXERCICIOS – 2010 [ 1 ] Óleo SAE 30W a 200C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. Na seção (1), a pressão é de 186 kPa. Na seção (2), que esta a 6 m a jusante, a pressão é de 171 KPa. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds. (ρ=981 kg/m3 µ=0,29 kg / m s ). Ra: 43,16 kg/s; 1580 [2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de 0,26mm. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. Considere a perda de carga pela entrada com canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo. O tubo possui uma válvula de retenção e uma válvula de gaveta aberta. O nível da água de ambos os reservatórios é igual. O reservatório A é fechado e pressurizado com ar comprimido, sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa. Se a vazão inicial através do tubo for 1,2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A. Temperatura da água 100C. R: 741,7 kPa [3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D1=80mm para D2=160mm. Na seção menor a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. A pressão na seção menor é de P1=300kPa. (a) Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1,06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P2. (b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada. R: (a) P2=320 kPa. (b) 30 kPa. [4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa. A pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa. Determine a vazão do óleo através do tubo. Propriedades: ρ=876 kg/m3 µ=0,24 kg/m s. R: 1,63x10-5 m3/s [5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade no centro do tubo. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução. Resposta: 8m/s [6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: (a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16 R: Aumentara por um fator de 16 [7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m R: (a) 0,0173; (b) 3,74m/s (c) 15,2mm (d) 22 N/m2 (e) 22kPa.
  • 95. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-95 [8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm de diâmetro, 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0,5 mm. Determine a elevação Z1 para uma vazão de 6 litros/s. Água: ρ=1000 kg/m3; µ= 1,15.10-3 Pa.s. Resposta: 11,4m [9] Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 m³/h. Na tubulação de 50m de comprimento e 60 mm de diâmetro a velocidade do fluido é igual a 1,96 m/s. Na instalação Z1=5 m e Z2=25 m. A soma dos coeficientes de perda de carga de todos os acessórios é igual a 13,55. A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0,1 mm. (a) Altura adicionada pela bomba (b) Potência de acionamento considerando um rendimento de 65%. Fluido: ρ=1000 kg/m3 ν=1,15x10-6m²/s. R: (a) 26,83m (b) 2,25 kW [ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade ε=0,15mm. O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm. Na tubulação existe um registro de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10. O sistema opera com uma vazão de 0,004 m3/s. Determine: (a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%. Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (a) 0,027 (b) 1,3 kW [11] Ar a pressão de 1Atm, e 30oC entra com velocidade de 7,0m/s num duto de 7m de comprimento com seção retangular de 15cmx20cm. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia necessária para superar a perda de pressão nessa seção. Utilize aço com rugosidade igual a 0,045mm. R: 5 W
  • 96. Mecânica dos Fluidos PUCRSC-96 [ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma cidade. De noite, o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação. Para uma vazão de projeto de 56,8 m3/min em ambas as direções, a perda de carga por atrito é de 5,2m. Determine a potência em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. Na figura Z1=45,7m e Z2=7,6m. [ 13 ] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo de água horizontal, como mostra a figura para medir a pressão estática e de estagnação (estática + dinâmica). Para as alturas de coluna d’água indicadas, determine (a) A pressão de estagnação (b) a velocidade no centro do tubo. Na figura h1=30mm; h2=70mm e h3=120mm. [ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de comprimento. Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm. Determinar: ( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação ( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Obs: Fluido água a 100C: Viscosidade dinâmica: 1,307x10-3 Pa.s Massa especifica 999,7 kg/m3. [15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b) r=4,0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s R: (a) 2,48m/s; 0 N/m2 (b) 2,29 m/s; 5 N/m2 (b) 0 m/s; 12,5 N/m2 [16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação. Laminar               −= 2 max 1)( R r Uru Turbulento (n=7) n R r Uru /1 max 1)(       −= R: Laminar: y=0,293R Turbulento: y=0,242R