![14
Onde V(x) = 0 o momento será máximo, logo para sabermos onde V(x) corta o eixo
dos x, igualamos V(x) a zero.
V = p L (1 L/2a) p x = 0 então x = [p L (1 L/2a)]/p
x = L (1 L/2a)
x = 0;; M RA x + p x (x/2) = 0 ou
M = p L (1 L/2a) x - p x²/2
para x = 0 temos M = 0
para x = a temos M = p L (a L/2) - p a²/2
Um diagrama de corpo livre de um segmento no trecho BC com comprimento x é
desenhado na figura (d) e aplicadas as equações de equilíbrio para determinação das
equações dos esforços internos M e V.
y = 0;; RA p x + RB V = 0 ou
V = p L p L²/2a p x + p L²/2 a ou V = pL p x = p(L x)
então
para x = a temos V = p(L a)
para x = L temos V = 0](https://image.slidesharecdn.com/resoluodalistadeexerccios1-complementosderm-7-160915190227/85/Resolucao-da-lista-de-exercicios-1-complementos-de-rm-7-14-320.jpg)
![16
Fazendo-se p = 15 kN/m, L = 4 m, a = 3 m e b = 1 m, como pedido no enunciado do
exercício, temos, no trecho AB, pois é lá que encontramos Mmáx substituindo x por L(1
L/2a) = 4 m [1 (4 m)/(2 3 m) = 1,33 m.
A equação do momento para o trecho AB é dada pela expressão:
M = p L (1 L/2a) x - p x²/2. Substituindo os valores teremos:
M = (15 kN/m)(4 m)[1 (4 m)/(2 3 m)] (1,33 m) (15 kN/m) (1,33 m)² /2 = 13,3
kNm.
Adm podemos dizer que
Adm
Então, se igualarmos as expressões acima obtemos:
Adm Adm
Logo, W = (13,3 kNm)/(150 MPa) = 8,9 10-5
m3
= 89 cm³
Para a escolha do perfil mais econômico, portanto mais adequado, consultando
a tabela da página 5, encontramos uma viga I 127 x 18,2 cujo valor de Wx =
89,8 cm3
Resposta
Então a tensão máxima de flexão vale:
máx = M/W = (13,3 kNm)/(89,8 cm³)
máx = (13,3 kNm)/(8,98 10-5
m³)
máx = 148,1 MPa Resposta
13. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico
frágil, tem peso específico de 24 kN/m³ e espessura de 20 mm. Calcule a tensão
de flexão máxima da peça se ela estiver apoiada (a) em seu lado e (b) em suas
Rup = 1,5 MPa, explique as consequências de
apoiar a peça em cada uma das posições.
Solução: Esquema estático adotado:](https://image.slidesharecdn.com/resoluodalistadeexerccios1-complementosderm-7-160915190227/85/Resolucao-da-lista-de-exercicios-1-complementos-de-rm-7-16-320.jpg)
 = 9 mm
A seção transformada é mostrada na figura 86b.](https://image.slidesharecdn.com/resoluodalistadeexerccios1-complementosderm-7-160915190227/85/Resolucao-da-lista-de-exercicios-1-complementos-de-rm-7-18-320.jpg)
![19
A localização do centróide (eixo neutro), calculada em relação a um eixo de referência
localizado na parte inferior da seção, é
y = [(0,01 m)(0,02 m)(0,15 m) + (0,095 m)(0,009 m)(0,15 m)]/
/[0,02 m(0,15 m) + 0,009 m (0,15 m)] = 0,03638 m
Portanto, o momento de inércia em relação ao eixo neutro é
INA=[(1/12)(0,15 m)(0,02 m)³ + (0,15 m)(0,02 m)(0,03638 m 0,01 m)²]
+[(1/12)(0,009 m)(0,15 m)³ + (0,009 m)(0,15 m)(0,095 m 0,03638 m)²]
INA = 9,358(10-6
) m4
Tensão normal
= Mc/I = 2 kNm (0,170 m 0,03638 m)/9,358(10-6
) m4
= 28,6 MPa
C = 2 kNm (0,03638 m)/9,358(10-6
) m4
= 7,78 MPa Resposta
A distribuição da tensão normal na seção transformada (toda de aço) é mostrada na
figura 86c.
A tensão normal na madeira, localizada em B na figura 86a, é determinada pela
equação:
B = (12 GPa/200 GPa)(28,56 MPa) = 1,71 MPa Resposta](https://image.slidesharecdn.com/resoluodalistadeexerccios1-complementosderm-7-160915190227/85/Resolucao-da-lista-de-exercicios-1-complementos-de-rm-7-19-320.jpg)
![23
Esforços internos (normal e momento fletor):
x = 0;; T N = 0;; N = T
O = 0;; M + T(0,5d a) R(0,5L) + (0,5wL)(0,25L) = 0
M = R(0,25L) T(0,5d a)
Propriedades da seção:
A = bd = 135000 mm²
I = 1/12(b d³) = 2278125000 mm4
Tensão normal: a = N/A + Mc/I
Por imposição do problema: a = 0;; 0 = -T/A + Mca/I
onde ca = 0,5d
0 = -T/A + [R(0,25L) T(0,5d a)]ca/I
T = R(0,25L)/ [(0,5d a) + I/(A ca)]
T = 9331 kN Resposta
17. Para reforçar uma viga de aço, uma tábua de carvalho foi colocada entre
seus flanges, como mostra a figura. Se a tensão normal admissível para o aço
adm)aço adm)mad = 21 MPa, determine o
momento fletor máximo que a viga pode suportar com e sem o reforço da
madeira. Eaço = 200 GPa, Emad = 12 GPa. O momento de inércia da viga de aço
é Iz = 7,93 106
mm4
, e sua área de seção transversal é A = 5493,75 mm².
Solução](https://image.slidesharecdn.com/resoluodalistadeexerccios1-complementosderm-7-160915190227/85/Resolucao-da-lista-de-exercicios-1-complementos-de-rm-7-23-320.jpg)
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Sem a tábua. Neste caso, o eixo neutro coincide com o eixo z. A aplicação direta da
fórmula da flexão para a viga de aço dá como resultado
adm)aço = Mc/Iz
168 N/mm² = M (105 mm)/7,93 106
mm4
M = 12,688 kNm Resposta
Com a tábua. Visto que agora temos uma viga composta, devemos transformar a
seção em um único material. Será mais fácil transformar a madeira em uma
quantidade equivalente de aço. Para tal, n = Emad/Eaço. Assim, a largura de uma
quantidade equivalente de aço é
baço = nbmad = (12 GPa/200GPa)300 mm = 18 mm
A seção transformada é mostrada na figura.
O eixo neutro encontra-se em
y = yA/ A = (0)(5493,75 mm²) + (55 mm)(100 mm)(18 mm)/
/[5493,75 mm² + 100(18) mm²] = 13,57 mm
E o momento de inércia em relação ao eixo neutro é
I = [7,93 106
mm4
+ (5493,75 mm²)(13,57 mm)²] +
+ [(1/12)(18 mm)(100 mm)³ + (18 mm)(100 mm)(55 mm 13,57 mm)²]
I = 13,53(106
) mm4
A tensão normal máxima ocorrerá na parte inferior da viga (figura 87b). Aqui, c =
105 mm + 13,57 mm = 118,57 mm. O momento máximo baseado na tensão
admissível para o aço é
adm)aço = Mc/I
168 (106
) N/m² = 168 N/mm² = M(118,57 mm)/13,53(106
) mm4
M = 19,17 kNm
A tensão normal máxima na madeira ocorre na parte superior da viga (figura 87b).
13,5 mad aço, o momento
máximo baseado na tensão admissível para a madeira é](https://image.slidesharecdn.com/resoluodalistadeexerccios1-complementosderm-7-160915190227/85/Resolucao-da-lista-de-exercicios-1-complementos-de-rm-7-24-320.jpg)
Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7
- 1. 1 COMPLEMENTO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS CARLOS WALTER VICENTINI LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Tensões NOTAS DE AULAS MINISTRADAS PARA A TURMA DE ENGENHARIA CIVIL (5º/6º CICLO) DA UNIP Santos, agosto de 2013
- 2. 2 1. Determinar o alongamento e a tensão normal atuante em uma barra prismática (figura abaixo) com 850 mm de comprimento, seção transversal retangular de 10 mm x 20 mm e com módulo de elasticidade E = 200 GPa. F = 20 kN Solução (0,010 x 0,020) = 100000000 N/m² = 100 Mpa Supondo que está na região elástica e, portanto, obedecendo a lei de Hooke, 3 -4 mm/mm 0 0 = 5*10-4 * 850 Resposta 2. A barra de aço da figura abaixo tem seção transversal A = 10 cm² e está solicitada pelas forças axiais representadas. Determinar o alongamento da barra e as tensões que atuam nos diversos trechos, sabendo-se que E = 2100 tf/cm². Solução Trecho AB: 10000 = 0 portanto N = 10000 kgf AB = N/A = 10000 kgf / 10 = 1000 kgf/cm² e = 2500 kgf/cm² e podemos dizer que a tensão que atua no trecho AB é inferior a esse valor, logo está na região elástica e segue a lei de = 1000 kgf/cm² / 2100000 kgf/cm² = 4,76*10-4 cm/cm
- 3. 3 0 0 = 4,76*10-4 * 2000 mm AB = 0,95 mm Resposta Trecho BC: 10000 + 3000 = 0 portanto N = 7000 kgf BC = N/A = 7000 kgf / 10 = 700 kgf/cm² = 700 kgf/cm² / 2100000 kgf/cm² = 3,33*10-4 cm/cm 0 0 = 3,33*10-4 * 3000 mm BC = 1 mm Resposta Trecho CD: - N = 0 portanto N = 9000 kgf CD = N/A = 9000 kgf / 10 = 900 kgf/cm² = 900 kgf/cm² / 2100000 kgf/cm² = 4,29*10-4 cm/cm 0 0 = 4,29*10-4 * 4000 mm CD = 1,72 mm Resposta 3. A treliça Howe da figura suporta a força de 54 t. Determinar as áreas das seções transversais das barras DE e AC, sabendo-se que a tensão admissível do material, a tração, é de 1400 kgf/cm². Sendo de 2 m o comprimento da barra DE, pergunta-se qual o seu alongamento, admitindo para o módulo de elasticidade do material o valor de E = 2,1 x 106 kgf/cm². Após a determinação das áreas, escolha o perfil mais adequado da tabela dada no final da lista de exercícios.
- 4. 4 4. Duas barras iguais, de aço, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 45 tf, tal como indicado na figura. Adotando-se a tensão admissível de 2100 kgf/cm², pede-se determinar a área da seção transversal dessas barras e o deslocamento vertical do nó B. São dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm² e o comprimento da barra l = 3 m. Solução:
- 5. 5 TAB cos45° + TBC cos45° - 45 tf = 0 TAB cos45° + TBC cos45° = 45 tf 0,707(TAB + TBC) = 45 TAB + TBC = 63,64 tf Fx = 0: TBC cos45° - TAB cos45° = 0;; portanto TBC = TAB Logo, TBC = TAB = 63,64/2 = 31,82 tf adm = 2100 kgf/cm² = N/A;; portanto A = N/21000 = 31820/2100 A = 15,15 cm² Resposta , portanto: AB BC AB BC/0,707 AB/l0 AB AB/E = N/AE AB = 31820 kgf/(15,15cm² * 2,1E6 kgf/cm²) AB = 0,001 AB AB * l0 = 0,001*3000 mm AB = 3 mm Resposta 5. Considere o pino de 12 mm de diâmetro da ligação da figura. Sendo a força P = 9000 N, determine o valor da tensão média de cisalhamento que atua na seção transversal a-a do pino considerando que sua distribuição seja uniforme. Determine também as tensões de esmagamento que ocorrem nas c d Solução: Cisalhamento duplo: Fx = 0: V + V P = 0 2V = P V = P/2 ²/4) Resposta Esmagamento na chapa central - d = 20 mm: es = P/Aproj = 9000 N / (0,012*0,020) es = 37,5 Mpa Resposta
- 6. 6 Esmagamento nas chapas superior e inferior - c = 15 mm: es = P/2Aproj = 9000 N /2 (0,012*0,015) es = 25,0 Mpa Resposta 6. De acordo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior deslize em relação à inferior segundo o plano a-a. Sendo P = 4000 kgf, qual a tensão de cisalhamento nesse plano? Solução: A força de cisalhamento que atua no plano a-a é provocada pela componente horizontal de P. Logo temos: Px = P cos45° = 4000*0,707 Px = 2828 kgf A área em que atua a força Px vale: A = 20*30 = 600 cm² Logo a tensão de cisalhamento será: = Px/A = 2828/600 Resposta 7. Considere o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular de 2,5 cm por 5,0 cm, utilizado para determinar a resistência à tração da madeira. Sendo para a peroba a tensão de ruptura ao cisalhamento de 130 kgf/cm², pede- a a ruptura se dê por tração e não por cisalhamento. A carga de ruptura à tração é P = 1040 kgf. Solução: Se a carga de ruptura a tração é P = 1040 kgf, isso significa que com essa carga eu não posso ter ruptura por cisalhamento. Então, como eu terei P/2A rup então, a 0,8 cm Resposta
- 7. 7 8. Uma viga de madeira, com seção retangular com b=10cm e h=18cm tem 6m de vão e a tensão admissível é 9Mpa. Calcular a máxima carga P que pode ser aplicada no meio do vão. Solução: W = bh²/6 = 0,10*0,18²/6 = 0,00054 m³ O momento máximo ocorre no ponto de aplicação da carga (centro do vão) e vale: Mmax = PL/4 = P*6/4 = 1,5P 9E6 N/m² = 1,5P Nm / 0,00054 m³ P = 9E6*0,00054/1,5 P = 3240 N Resposta 9. Calcular o valor da tensão máxima devido à flexão na viga prismática de concreto armado da figura. Represente a distribuição das tensões na seção transversal da viga. São dados: c=2,5tf/m³;; alv=2,0tf/m³;; e=0,8m. Solução: Cálculo da carga distribuída devido ao peso próprio do concreto: qcon c * 1 * 1 = 2,5 tf/m Cálculo da carga distribuída devido ao peso próprio da parede de alvenaria: qalv alv * 8 * 0,8 = 12,8 tf/m q = qcon + qalv = 15,3 tf/m O momento máximo vale: Mmax = ql²/8 = 15,3*12²/8 = 275,4 tfm O módulo de resistência à flexão, W, será: W = bh²/6 = 1*1²/6 = 0,17 m³ A tensão normal máxima devido à flexão será:
- 8. 8 max = Mmax/W = 275,4/0,17 max = 1620 tf/m² ou max = 162 kgf/cm² Resposta 10. A viga de concreto armado da figura suporta duas colunas iguais de concreto, com 30cm de diâmetro e tensão de compressão de 120kgf/cm² na base, sendo a sua seção transversal retangular com 60cm de base e 90cm de altura, com peso específico c=2,5tf/m³. Determine o valor da tensão máxima de compressão na viga e represente a distribuição das tensões na seção. Solução: Cálculo da carga distribuída devido ao peso próprio do concreto: qcon c * 0,6 * 0,9 = 1,35 tf/m Cálculo da carga concentrada P devido à coluna de concreto: Acol = d²/4 = *0,3²/4 = 0,071 m² P = *A = 120*0,071*100² = 85200 kgf = 85,2 tf Mmax = ql²/8 + VA*2 = 1,35*10²/8 + 85,2*2 = 187,275 tfm O módulo de resistência à flexão, W, será: W = bh²/6 = 0,6*0,9²/6 = 0,081 m³ A tensão normal máxima devido à flexão será: max = Mmax/W = 187,3/0,081 max = 2312 tf/m² ou max = 231,2 kgf/cm² Resposta
- 9. 9 11.Determine para a viga representada na figura abaixo, os diagramas de força cortante, momento fletor. Após a obtenção dos diagramas, faça com que w0 = 2 kN/m, L = 3m, calcule a tensão de flexão máxima absoluta e represente a distribuição de tensão na seção transversal da viga. Considere uma viga em perfil I 203,2 x 27,3 dada na tabela de perfis que se encontra no final da lista de exercícios. Solução: Reações de apoio. A carga distribuída é substituída por sua resultante e as reações são determinadas com as equações de equilíbrio como segue y = 0;; RA w0 L/2 = 0 ou RA = w0 L/2 A = 0;; MA (w0 L/2) (2L/3) = 0 ou MA = w0 L²/3 Funções de cisalhamento e momento fletor. Um diagrama de corpo livre de um segmento com comprimento x é desenhado na figura (c). A intensidade da carga é determinada por semelhança de triângulos, ou seja, w/x = w0/L e, portanto, w = w0x/L.
- 10. 10 y = 0;; w0 L/2 (½)(w0 x/L)x V = 0 ou V = w0/2L (L² - x²) (1) x = 0;; (w0 L²/3) - w0 L/2 (x) + (½)(w0 x/L)x (x - 2x/3) + M = 0 ou M = w0/6L (-2L³ + 3L²x x³) (2)
- 11. 11 Diagramas de força cortante e momento fletor. Os gráficos das equações (1) e (2) estão mostrados na figura (d). Fazendo-se w0 = 2 kN/m e L = 3m, obtemos os valores de V e M que são V = w0 L/2 = (2 kN/m) (3 m)/2 = 3 kN M = - (w0 L²)/3 = (2 kN/m) (3 m)² / 3 = -6 kNm Nota: O valor negativo do momento significa que as fibras inferiores são comprimidas e as superiores tracionadas. Consultando a tabela da página 5, I 203,2 x 27,3, obtemos os valores de Ix = 2400 cm4 ;; h = 20,32 cm;; Wx = 236 cm³. portanto, Ix = 2400 (1/1004 ) m4 ;; h = 20,32 (1/100) m ;; Wx = 236 (1/100³) m³. Logo, Ix = 2,4 10-5 m4 ;; h = 2,032 10-1 m;; Wx = 2,36 10-4 m³.
- 12. 12 c = h/2 = (2,032 10-1 )/2 = 1,016 10-1 m como máx = M c/I, temos que máx = (-6 kNm) (1,016 10-1 m)/ 2,4 10-5 m4 , então máx = -2,54 104 N/m² = -2,54 104 Pa = -25,4 kPa Resposta Nota: Podemos usar também a seguinte equação: máx = M / W e então teremos: máx = (-6 kNm)/(2,36 10-4 m³) = 25423,7 N/m² ou aproximadamente 25,4 kPa. 12. Determine para a viga com um balanço representada na figura abaixo, os diagramas de força cortante, momento fletor. Após a obtenção dos diagramas, faça com que p = 15 kN/m, L = 4 m, a = 3 m e b = 1 m. Calcule a tensão de flexão máxima absoluta e represente a distribuição de tensão na seção transversal da viga. Escolha o perfil mais econômico, portanto mais adequado, consultando a tabela a seguir e considerando que o material da viga apresenta uma tensão admissível Adm = 150 MPa .
- 13. 13 Solução Reações de apoio. A carga distribuída é substituída por sua resultante e as reações são determinadas com as equações de equilíbrio como segue y = 0;; RA + RB p L = 0 ou RA = p L - RB A = 0;; RB a - p L L/2 = 0 ou RB = p L²/2 a então RA = p L p L²/2 a = p L (1 L/2a) Funções de cisalhamento e momento fletor. Um diagrama de corpo livre de um segmento no trecho AB com comprimento x é desenhado na figura (c). y = 0;; RA p x - V= 0 ou V = p L (1 L/2a) p x para x = 0 temos V = p L (1 L/2a) para x = a temos V = p L (1 L/2a) p a
- 14. 14 Onde V(x) = 0 o momento será máximo, logo para sabermos onde V(x) corta o eixo dos x, igualamos V(x) a zero. V = p L (1 L/2a) p x = 0 então x = [p L (1 L/2a)]/p x = L (1 L/2a) x = 0;; M RA x + p x (x/2) = 0 ou M = p L (1 L/2a) x - p x²/2 para x = 0 temos M = 0 para x = a temos M = p L (a L/2) - p a²/2 Um diagrama de corpo livre de um segmento no trecho BC com comprimento x é desenhado na figura (d) e aplicadas as equações de equilíbrio para determinação das equações dos esforços internos M e V. y = 0;; RA p x + RB V = 0 ou V = p L p L²/2a p x + p L²/2 a ou V = pL p x = p(L x) então para x = a temos V = p(L a) para x = L temos V = 0
- 15. 15 x = 0;; M RA x + p x (x/2) RB (x a) = 0 ou M = (p L p L²/2a) x - p x²/2 + p L²/2 a (x a) M = pLx pL²x/2a - px²/2 + pL²x/2a - pL²/2 M = -px²/2 + pLx - pL²/2 M = -px²/2 + pLx - pL²/2 então para x = a temos M = -pa²/2 + pLa - pL²/2 para x = L temos M = 0 Diagramas de força cortante e momento fletor. Os gráficos das equações (1) e (2) estão mostrados na figura (e).
- 16. 16 Fazendo-se p = 15 kN/m, L = 4 m, a = 3 m e b = 1 m, como pedido no enunciado do exercício, temos, no trecho AB, pois é lá que encontramos Mmáx substituindo x por L(1 L/2a) = 4 m [1 (4 m)/(2 3 m) = 1,33 m. A equação do momento para o trecho AB é dada pela expressão: M = p L (1 L/2a) x - p x²/2. Substituindo os valores teremos: M = (15 kN/m)(4 m)[1 (4 m)/(2 3 m)] (1,33 m) (15 kN/m) (1,33 m)² /2 = 13,3 kNm. Adm podemos dizer que Adm Então, se igualarmos as expressões acima obtemos: Adm Adm Logo, W = (13,3 kNm)/(150 MPa) = 8,9 10-5 m3 = 89 cm³ Para a escolha do perfil mais econômico, portanto mais adequado, consultando a tabela da página 5, encontramos uma viga I 127 x 18,2 cujo valor de Wx = 89,8 cm3 Resposta Então a tensão máxima de flexão vale: máx = M/W = (13,3 kNm)/(89,8 cm³) máx = (13,3 kNm)/(8,98 10-5 m³) máx = 148,1 MPa Resposta 13. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico frágil, tem peso específico de 24 kN/m³ e espessura de 20 mm. Calcule a tensão de flexão máxima da peça se ela estiver apoiada (a) em seu lado e (b) em suas Rup = 1,5 MPa, explique as consequências de apoiar a peça em cada uma das posições. Solução: Esquema estático adotado:
- 17. 17 Como já vimos anteriormente, o valor de momento máximo para esse esquema estático é: M = w L²/8 Portanto temos que determinar o valor de w que é: mármore Vpeça / L= (24 kN/m³) (1,5 m x 0,5 m x 0,02 m)/1,5 m w = 240 N/m e L = 1,5 m então, M = 240 N/m (1,5 m)²/8 = 67,5 Nm Cálculo do momento de inércia da peça: 1. Para a posição (a) temos: Ix = b h³/12 = 0,02 m (0,5 m)³/12 = 2,08 10-4 m4 Wx = Ix/c = Ix 2/h = 8,33 10-4 m³ então máx = M/W = 67,5 Nm / 8,33 10-4 m³ = 0,081 MPa Rup 2. Para a posição (b) temos: Ix = b h³/12 = 0,5 m (0,02 m)³/12 = 3,33 10-7 m4
- 18. 18 Wx = Ix/c = Ix 2/h = 3,33 10-5 m³ então máx = M/W = 67,5 Nm / 3,33 10-5 m³ = 2,025 MPa Rup Portanto na posição (a) a peça resiste mas na posição (b) a peça se rompe. Resposta 14. Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere Eaço = 200 GPa. Emad = 12 GPa. Solução Solução Propriedades da seção. Embora a escolha seja arbitrária, aqui, transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço. Visto que o aço tem rigidez maior que a da madeira (Eaço > Emad), a largura da madeira deve ser reduzida a uma largura equivalente para o aço. Por conseqüência n deve ser menor do que um. Para tanto, n = Emad/ Eaço, então baço = nbmad = [(12 GPa)/(200GPa)](150 mm) = 9 mm A seção transformada é mostrada na figura 86b.
- 19. 19 A localização do centróide (eixo neutro), calculada em relação a um eixo de referência localizado na parte inferior da seção, é y = [(0,01 m)(0,02 m)(0,15 m) + (0,095 m)(0,009 m)(0,15 m)]/ /[0,02 m(0,15 m) + 0,009 m (0,15 m)] = 0,03638 m Portanto, o momento de inércia em relação ao eixo neutro é INA=[(1/12)(0,15 m)(0,02 m)³ + (0,15 m)(0,02 m)(0,03638 m 0,01 m)²] +[(1/12)(0,009 m)(0,15 m)³ + (0,009 m)(0,15 m)(0,095 m 0,03638 m)²] INA = 9,358(10-6 ) m4 Tensão normal = Mc/I = 2 kNm (0,170 m 0,03638 m)/9,358(10-6 ) m4 = 28,6 MPa C = 2 kNm (0,03638 m)/9,358(10-6 ) m4 = 7,78 MPa Resposta A distribuição da tensão normal na seção transformada (toda de aço) é mostrada na figura 86c. A tensão normal na madeira, localizada em B na figura 86a, é determinada pela equação: B = (12 GPa/200 GPa)(28,56 MPa) = 1,71 MPa Resposta
- 20. 20 Usando esses conceitos, mostre que a tensão no aço e na madeira no ponto onde elas aço mad = 0,21 MPa, respectivamente. A distribuição de tensão normal na viga verdadeira é mostrada na fig. 86d. 15. A viga de concreto armado é feita com duas hastes de reforço de aço. Se a aço)adm = 280 MPa e a tensão de compressão admissível para o concreto conc)adm = 21 MPa, determine o momento máximo M que pode ser aplicado à seção. Considere que o concreto não pode suportar uma tensão de tração. Eaço =200 GPa, Econc = 26,5 GPa. Solução Dados: bf = 550 mm;; df = 100 mm;; bw = 150 mm;; dw = 450 mm dr = 25 mm hr = 50 mm Econc = 26,5 GPa Eaço = 200 GPa;; aço)adm conc)adm = 21 MPa Propriedades da seção
- 21. 21 n = Eaço/Econc = 200 GPa/26,5 GPa = 7,54717 aço r - aço(dw - hr f df(0,5 df w -7409,42(450 50 2850,24 = 0 de onde ou h´= -835,54 Portanto o valor mais aceitável é: Determinação do momento de inércia da seção: I = Iaço + If + Iw Iaço aço(dw - hr - 50 3,41)² = 1165380460 mm4 If = 1/12(bfdf 3 ) + bfdf(0,5df If = 202727878,8 mm4 Iw = 1/12(bw w Iw = 1982,6 mm4 I = 1165380460 mm4 + 202727878,8 mm4 + 1982,6 mm4 I = 1368110321 mm4 A tensão máxima no concreto será dada por: máx = conc)adm = Mconc cconc /I onde cconc = df Então o momento máximo permitido no concreto será: Mconc = ( conc)admI/cconc = 21 MPa (1368110321 mm4 )/103,41 mm = 277,83 kNm A tensão máxima no aço será dada por: máx = aço)adm =n Maço caço /I onde caço = dw - hr 50 - 3,41 = 396,59 mm O momento máximo permitido no aço será:
- 22. 22 Maço = aço)admI/n caço = 280 MPa (1368110321 mm4 )/(7,54717)396,59 mm = 127,98 kNm Portanto o momento máximo permitido será: Mmáx = 127,98 kNm Resposta 16. Visto que o concreto só pode suportar pouca ou nenhuma tração, esse problema pode ser evitado se o concreto for protendido com cabos ou hastes. Considere a viga simplesmente apoiada mostrada na figura, que tem seção transversal retangular de 450 mm por 300 mm. Se o peso específico do concreto for 24 kN/m³, determine a tração exigida na haste AB, que se estende por toda a viga, de modo que nenhuma tensão de tração seja desenvolvida na seção central a-a da viga. Despreze o tamanho da haste e qualquer deflexão da viga. Solução Dados: b = 300 mm;; d = 450 mm;; L = 2,4 m;; = 24 kN/m³ a = d Cálculo das reações: por simetria, RA = RB = R y = 0;; 2R wL = 0;; R = wL/2 = 3,888 kN
- 23. 23 Esforços internos (normal e momento fletor): x = 0;; T N = 0;; N = T O = 0;; M + T(0,5d a) R(0,5L) + (0,5wL)(0,25L) = 0 M = R(0,25L) T(0,5d a) Propriedades da seção: A = bd = 135000 mm² I = 1/12(b d³) = 2278125000 mm4 Tensão normal: a = N/A + Mc/I Por imposição do problema: a = 0;; 0 = -T/A + Mca/I onde ca = 0,5d 0 = -T/A + [R(0,25L) T(0,5d a)]ca/I T = R(0,25L)/ [(0,5d a) + I/(A ca)] T = 9331 kN Resposta 17. Para reforçar uma viga de aço, uma tábua de carvalho foi colocada entre seus flanges, como mostra a figura. Se a tensão normal admissível para o aço adm)aço adm)mad = 21 MPa, determine o momento fletor máximo que a viga pode suportar com e sem o reforço da madeira. Eaço = 200 GPa, Emad = 12 GPa. O momento de inércia da viga de aço é Iz = 7,93 106 mm4 , e sua área de seção transversal é A = 5493,75 mm². Solução
- 24. 24 Sem a tábua. Neste caso, o eixo neutro coincide com o eixo z. A aplicação direta da fórmula da flexão para a viga de aço dá como resultado adm)aço = Mc/Iz 168 N/mm² = M (105 mm)/7,93 106 mm4 M = 12,688 kNm Resposta Com a tábua. Visto que agora temos uma viga composta, devemos transformar a seção em um único material. Será mais fácil transformar a madeira em uma quantidade equivalente de aço. Para tal, n = Emad/Eaço. Assim, a largura de uma quantidade equivalente de aço é baço = nbmad = (12 GPa/200GPa)300 mm = 18 mm A seção transformada é mostrada na figura. O eixo neutro encontra-se em y = yA/ A = (0)(5493,75 mm²) + (55 mm)(100 mm)(18 mm)/ /[5493,75 mm² + 100(18) mm²] = 13,57 mm E o momento de inércia em relação ao eixo neutro é I = [7,93 106 mm4 + (5493,75 mm²)(13,57 mm)²] + + [(1/12)(18 mm)(100 mm)³ + (18 mm)(100 mm)(55 mm 13,57 mm)²] I = 13,53(106 ) mm4 A tensão normal máxima ocorrerá na parte inferior da viga (figura 87b). Aqui, c = 105 mm + 13,57 mm = 118,57 mm. O momento máximo baseado na tensão admissível para o aço é adm)aço = Mc/I 168 (106 ) N/m² = 168 N/mm² = M(118,57 mm)/13,53(106 ) mm4 M = 19,17 kNm A tensão normal máxima na madeira ocorre na parte superior da viga (figura 87b). 13,5 mad aço, o momento máximo baseado na tensão admissível para a madeira é
- 25. 25 adm)mad 6 )mm4 Por comparação, o momento máximo é limitado pela tensão admissível no aço. Portanto, M = 19,17 kNm Resposta Observação: Usando a tábua como reforço, conseguimos 51% de capacidade adicional para o momento da viga.
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