ANALISE COMBINATORIA - COMBINAÇÃO E ARRANJO

Silva, G. H. (GERALDO BENONI) ANALISE COMBINATÓRIA
D32 – Resolver problema de contagem utilizando o
princípio multiplicativo ou noções de permutação simples,
arranjo simples e/ou combinação simples.
Objetivo: utilizar contagem que envolve agrupamentos de elementos
– ordenáveis ou não – na resolução de problemas.

Silva, G. H. (GERALDO BENONI)
 PROBLEMA
MOTIVADOR
“Falo do amor entre homem, filho e
mulher
A única verdade universal que mantém a
fé”
ANALISE COMBINATÓRIA
Quantas placas de automóvel podem ser formadas
com quatro letras e três algarismos?

 FATORIAL Somente para números naturais.
• Definição
O fatorial do número natural n (indicado por n! ) para n>1 é:
É a multiplicação de todos os números naturais de 1 até n.
Exemplos:
1) calcular:
a) 5!
b) 4!

 FATORIAL
• Observação importante
Vamos adotar por definição que 0! = 1 e 1! = 1
• Vejamos que:
5 !=5 ∙ 4∙ 3 ∙ 2 ∙1
4 !
5 !=5 ∙ 4!
• Ou ainda:
5 !=5 ∙ 4∙ 3 ∙ 2 ∙1
3 !
5!=5∙4∙3!

 FATORIAL
• De modo geral
𝑛!=𝑛∙(𝑛−1)!
Exemplo 1: a) 10!
b) 15!
c) 17!
Exemplo 2: Simplifique
a)
b)
c)

 ATVIDADE
FATORIAL
1) Calcule:
a) 6!
b) 5! * 2!
c) 4!+3!
d)
e) 0!+1!+2!+3!

 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM

CONTAGEM
Temos três cidades A,B e C. Sendo que para ir de A até B há duas rodovias
diferentes. Já de B para C há três rodovias distintas. De quantas maneiras,
pode-se ir de A até C, passando por B?
 Resolução pelo diagrama da árvore:
 Mas se fossem 30 cidades de A para B e 20 de B para C?

 ATIVIDADE DO
PFC
1) Quantos números de três algarismo distintos podemos formar com os números 1,3 e 6?
2) Quantas e quais são as peças de um jogo de dominó?
3) No lançamento simultâneo de 3 moedas, em que pode sair cara ou coroa em cada uma
delas, quantos e quais são os resultados possíveis?

CONTAGEM
• Definição
O PFC diz que se um evento A tem x possibilidades distintas de ocorrer e um evento B tem y
possibilidades distintas de ocorrer, então o total de possibilidade de ocorrerem A e B
simultaneamente é:
𝑥∙ 𝑦
Exemplo 1: caso das cidade.
Exemplo 2: dispondo de 5 homens e 5 mulheres, quantas duplas podemos formam contendo
um homem e uma mulher?
Exemplo 3: supondo que você tenha quatro camisas: uma branca, uma azul, uma preta e uma
vermelha e três calças: uma branca, uma preta e uma azul. De quantas maneiras diferente você
pode se vestir usando uma camisa e uma calça?

 ATVIDADE PFC
4) Com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 6, podemos formar quantos números de:
a) Três algarismos?
b) Três algarismos distintos?
5) Dispondo dos dígitos 3, 6, 7, 8 e 9. Quantos são os números pares de 4 algarismos distintos?
6) Lívia quer pintar as quatro paredes de seu quarto de modo que paredes adjacentes tenham cores distintas e ainda
não sejam repetidas as cores. Ela dispõe de cinco tipos de cores e considera que todas as paredes são diferentes. De
quantas maneiras diferentes Lívia pode pintar seu quarto?
7) Um restaurante oferece, 3 opções de carne e 5 de saladas no prato feito (PF). Um cliente só pode escolher um
tipo de carne e um tipo de salada. Nestas condições, de quantas maneiras distintos um cliente pode montar sua
refeição, sabendo que ele colocar uma carne e uma salada?
8) Um auditório de uma escola da rede estadual dispõe de 6 portas, que podem ser utilizadas tanto como
entrada ou para saída. De quantos modos distintos um aluno que se encontra fora do auditório pode entrar e
sair do mesmo, utilizando como porta de saída uma porta diferente da que utilizou para entrar?
9) Numa lanchonete o lanche é composto por três partes: pão, molho e recheio. Se essa lanchonete oferece
aos seus clientes duas opções de pão, três de molho e quatro de recheio, a quantidade de lanches distintos que
ela pode oferecer é de ?

 PERMUTAÇÃO
SIMPLES
• Definição
Uma permutação simples de n elementos é uma fila ordenada destes elementos.
Uma sequência e não há elementos repetidos.
Exemplo 1: De quantas maneiras distintas, três pessoas podem sentar em um sofá de três lugares?
Exemplo 2: Determinar as permutações de 3 elementos A, B e C.
De modo geral: o total de permutações de n elementos pode ser calculado por:
𝑷 𝒏=𝒏 !

 PERMUTAÇÃO
SIMPLES
𝑷 𝒏=𝒏 !
ANAGRAMAS:
São permutações das letras de uma palavra.
Exemplo 1: Determinar os anagramas de “SOL”.
Exemplo 2: a) Quantos são os anagramas de “PAULO”?
b) Quantos são os anagramas que começam com L?
c) Anagramas que terminam com vogal?

 ATVIDADE
PERMUTAÇÃO SIMPLES
1) Considere a palavra PORTA e calcule:
a) Todos os seus anagramas.
b) Seus anagramas que iniciam por “A”.
c) Seus anagramas que terminam com vogal.
d) Os seus anagramas cujas consoantes estejam juntas.
2) Nas noites de segunda a sexta, um estudante deseja revisar os conteúdos de cinco disciplinas para o simulado
que fará no sábado pela manhã. Ele irá revisar apenas uma disciplina a cada noite. De quantas maneiras distintas
esse estudante pode escolher qual disciplina irá revisar em cada dia da semana?
3) Oito amigos foram ao cinema e irão se sentar em oito cadeiras vazias situadas lado a lado em uma mesma
fileira da sala. Entre os oito amigos há um casal de namorados que deseja se sentar lado a lado. Quantas
maneiras distintas existem desses amigos ocuparem essas oito cadeiras?

 ARRANJO
SIMPLES
• Situação problema
Imaginem que irão formar uma chapa para eleição do grêmio estudantil GB, mas nesse caso
escolheremos alunos para ocuparem apenas dois cargos: o de diretor e tesoureiro. Se dispõem
de quatros alunos para compor a chapa, quantos agrupamentos conseguem formar?
• Definição
Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos
formar com n elementos distintos, sendo p ≤ n. Cada um desses agrupamentos se diferencia
do outro pela ordem ou natureza dos elementos.
𝐴𝑛, 𝑝=
𝑛!
(𝑛− 𝑝) ! Exemplo 1: resolver a situação problema.

 ARRANJO
SIMPLES
𝑨𝒏 ,𝒑 =
𝒏!
(𝒏− 𝒑 )!
Exemplo 1: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do
conjunto ?
Exemplo 2: Uma escola possui 18 professores. Entre eles serão escolhidos um diretor, um
coordenador e um vice-diretor. Quantas são as possibilidades de escolha?

 ATVIDADE ARRANJO
SIMPLES
1) João deseja pintar a palavra LIVRO em um banner, usando uma cor em cada letra. De quantos modos isso
pode ser feito, de ele dispõe de 8 cores de tinta?
2) Duas pessoas entram em uma van que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as duas pessoas
podem ocupar esses lugares?
3) Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os estados da região
Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?
4) Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e
um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar
uma diretoria?
5) Em uma sala há 8 cadeiras enfileiradas e 4 pessoas. Calcule o número de modos distintos das pessoas
ocuparem as cadeiras.
6) Uma empresa possui uma linha com 12 produtos diferentes. O departamento de marketing dessa empresa,
em uma campanha publicitária, realizará três tipos de anúncio para divulgação dos produtos: outdoor,
revista e televisão. Sabendo que em cada tipo de anúncio apenas um dos produtos será divulgado, de
quantas maneiras distintas essa empresa pode compor a campanha publicitária?

 ATVIDADE ARRANJO
SIMPLES
7) Uma turma de 9 alunos está brincando no pátio aproveitando a hora do intervalo. Ao ouvir o sinal que informa
o retorno para as salas de aula, os alunos se encaminham para formar uma fila. De quantas maneiras distintas os
alunos podem formar a sequência da fila?
8) Na competição de interclasse da escola, há 10 turmas competindo entre si pela medalha de ouro, prata e
bronze. Então, o número de maneiras distintas que o pódio pode ser formado é igual a?
9) Durante uma palestra no auditório, há 6 cadeiras vazias consecutivas, assim, o número de maneiras distintas
que Amanda, Beatriz, Carla e Daiane podem se sentar nessas cadeiras é igual a?
10) As senhas bancárias são construídas com 4 dígitos. Durante a criação da senha, a gerente da Karla
recomendou que ela criasse uma senha com 4 dígitos, todos distintos entre si. Suponha que Karla seguiu a
recomendação de sua gerente, assim, o número de senhas distintas que ela pode criar é igual a?
11) Durante os jogos internos de um colégio, foi organizado o campeonato de xadrez. Nele todos os inscritos se
enfrentariam duas vezes, sendo que, na primeira partida, um inscrito começaria o jogo, e, na segunda partida, o
outro começaria o jogo. O vencedor será o competidor que conseguir a maior pontuação durante o campeonato.
Sabendo que 16 estudantes jogarão, e que 8 partidas sempre acontecem simultaneamente, com um tempo
máximo de 50 minutos por rodada, então, o tempo gasto para realizar todas as partidas, ignorando os intervalos,
em horas, é de:

 COMBINAÇÃO
SIMPLES
• Situação problema
No início das aulas uma pessoa foi na papelaria para comprar o material escolar. Supondo que
há seis cores distintas de caderno e a pessoa precisa comprar três cadernos. De quantas formas
a pessoa pode escolher?
• Definição
Chamam-se combinações simples todos os agrupamentos simples de p elementos que
podemos formar com n elementos distintos, sendo p ≤ n. Cada um desses agrupamentos se
diferencia apenas pela natureza dos elementos.
𝐶𝑛, 𝑝=
𝑛!
𝑝!∙(𝑛−𝑝)! Exemplo 1: resolver a situação problema.

 COMBINAÇÃO
SIMPLES
𝐶𝑛, 𝑝=
𝑛!
𝑝!∙(𝑛−𝑝)!
Exemplo 1: Uma pizzaria oferece 5 sabores de pizza. De quantas maneiras diferentes um cliente
pode escolher 2 sabores para montar sua pizza?
Exemplo 2: Uma equipe de futebol precisa escolher 3 jogadores para cobrar pênaltis entre os 6
disponíveis. De quantas formas diferentes essa seleção pode ser feita?

 ATVIDADE
COMBINAÇÃO SIMPLES
1) Um armário tem 6 chaves e 6 fechaduras diferentes. Se um técnico precisa escolher 2 chaves para testar, de
quantas maneiras ele pode fazer essa escolha?
2) Em um clube de leitura, há 8 livros disponíveis. Um participante pode escolher 4 para ler durante o mês. De
quantas formas diferentes ele pode fazer essa seleção?
3) Em um concurso, 12 candidatos disputam 5 vagas. De quantas maneiras diferentes essas vagas podem ser
preenchidas?
4) Um treinador deseja escolher 5 atletas entre 14 jogadores para uma competição. De quantas maneiras essa
seleção pode ser feita?
5) Em um congresso, 15 pesquisadores se candidataram para um comitê de ética. Se apenas 4 serão
escolhidos, de quantas formas essa seleção pode ser feita?
6) Uma empresa precisa selecionar 3 funcionários entre 9 candidatos para compor um comitê de inovação. De
quantas formas diferentes pode ser feita essa escolha?
7) Uma escola precisa escolher 6 representantes estudantis entre 20 alunos para formar o conselho escolar. De
quantas formas essa seleção pode ser feita?

 ATVIDADE
COMBINAÇÃO SIMPLES
8) Um campeonato de futebol escolar vai ser disputado por 20 equipes. Admitindo que haja empates,
quantas são as possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares?
9) Ao sair de uma festa, 13 amigos se despediram com um aperto de mão. Quantos apertos de mão
foram trocados?
10) Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 7 pessoas?
11) Considerando um grupo de 18 pessoas que participam de um conselho consultor de uma empresa, qual o
número de maneiras de montar uma equipe de 4 pessoas do conselho para realizar uma tarefa?
12) O volante da Megasena contém 60 números (cada um chamado de dezena), que são 01, 02, 03, ..., 60. O
resultado de um sorteio é composto de 6 dezenas, sorteadas entre as 60 dezenas. Quantos são os resultados
possíveis?

 NÚMERO
BINOMIAL
• Definição
O número binomial de ordem n e classe p é igual a combinação simples de n, p a p.
(𝑛
𝑝)=𝐶
𝑛, 𝑝
=
𝑛!
𝑝 !∙(𝑛− 𝑝) !
Exemplos:

 BINOMIAIS
COMPLEMENTARES
Os números binomiais e são complementares se . Os complementares são iguais.
Exemplos:
A)
 IGUALDADE
(𝑛
𝑝 )=
(𝑛
𝑞 ){𝑝=𝑞𝑜𝑢
𝑝+𝑞=𝑛
Exemplos:

 PROPRIEDADES
1 ¿
(𝑛
0 )=1
2 ¿
( 𝑛
𝑛 )=1
3 ¿ (𝑛
1 )= n
4 ¿
( 𝑛
𝑛 − 1 )= n
Exemplos:

ATIVIDADES BIMOIAIS

 TRIÂNGULO DE
PASCAL
É a escrita de todos os números binomiais em linhas e colunas.
( h
𝑙𝑖𝑛 𝑎
𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎)
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
CALCULANDO

 PROPRIEDADES
P1) sempre inicia em 1 e termina em 1;
P2) Relação de Stifel: somando dois números
consecutivos o resultado fica abaixo do segundo
número;
Ir construindo a próxima
linha coma as
propriedades.
P3) A soma da linha é
P4) A soma da coluna é igual ao número que está
abaixo e a direita do último número;
P5) A soma da diagonal é igual ao número que
está abaixo do último número;

P2
P3
P5
P4

 DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE
NEWTON (𝑎+𝑏)𝑛
(𝑎+𝑏)0
(𝑎+𝑏)1
(𝑎+𝑏)2
(𝑎+𝑏)3
(𝑎+𝑏)4
(𝑎+𝑏)5

EM RESUMO...

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