www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Análise Combinatória
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O documento apresenta os principais conceitos da análise combinatória, incluindo o princípio fundamental da contagem, arranjo simples, permutações simples e com repetição, e combinação simples. Explica as definições e fórmulas para calcular cada um desses casos. Inclui exemplos e exercícios resolvidos para demonstrar a aplicação dos conceitos.
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- 2. Objetivos da aula • Princípio Fundamental da Contagem • Arranjo Simples • Permutações: simples e com repetição • Combinação simples
- 3. Princípio Fundamental da Contagem Vamos imaginar o caso de uma montadora de carros que dispõe de 5 cores (preto, vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar 3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figo e Amora). Para saber quantos tipos de carros diferentes podem ser fabricados, basta cruzar cada cor, com cada tipo de carro. Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
- 4. Temos 15 diferentes tipos de carro.
- 5. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Evento que depende de evento anterior
- 6. Tente fazer sozinho 1) Se jogarmos uma moeda para o alto 3 vezes, quantas sequências diferentes podemos obter?
- 7. Tente fazer sozinho 1) Se jogarmos uma moeda para o alto 3 vezes, quantas sequências diferentes podemos obter?
- 8. Solução Logo, temos 8 resultados diferentes
- 9. Fatorial de um número natural Representamos o fatorial de um número colocando um ponto de exclamação depois desse número (n!) Exemplos: 4! 7! 20!
- 10. Cálculo do Fatorial O fatorial de um número natural n é dado pelo seguinte produto: n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1 Exemplos: • 4! = 4.3.2.1 = 24 • 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
- 11. O fatorial de zero é igual a 1 0! = 1
- 12. Tente fazer sozinho 2) Calcule: !6!15 !3!17
- 14. Tente fazer sozinho 3) (UEMG) Simplificando a expressão , obtemos:( ) ( )!2 !1! + ++ n nn 111 1 ) 1 ) −+−− n n d) n n c) n b n n a
- 15. Solução Letra D ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 !12 2! !12 2! !12 11! !12 !1! !2 !1! + = ++ + = ++ + = ++ ++ = ++ ++ = + ++ nnnn nn nnn nn nnn nn nnn nnn n nn
- 16. Arranjo Simples O arranjo simples acontece quando fazemos qualquer agrupamento com todos ou alguns elementos de um conjunto, cuja ordem dos elementos é considerada. Exemplo: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6. = 60 números 5 4 3
- 17. Sendo: n número total de elementos do conjunto p quantidade de algarismos pedida ( )! ! pn n A p n − = ( ) 60 !3 !3.4.5.6 !3 !6 !36 !63 6 === − =A Também podemos usar a fórmula de arranjo simples:
- 18. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior ( )! ! pn n A p n − =
- 19. Tente fazer sozinho 4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. a)Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever? b)Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever? c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
- 20. Tente fazer sozinho 4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. a) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever? b) Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever? c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
- 21. Solução a) = 504 b) = 336 c) = 840 9 8 7 8 7 6 1 7 6 5 41 1 7 83
- 22. Permutação A permutação é um caso particular do arranjo simples, pois acontece quando agrupamos todos os elementos do conjunto dado. Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremos formar números de 3 algarismos, temos um caso de arranjo. Se queremos formar números de 5 algarismos, temos um caso de arranjo, particularmente, a permutação.
- 23. Permutação Simples A permutação simples acontece quando fazemos qualquer agrupamento com todos os elementos de um conjunto. Exemplo: A palavra AMOR apresenta 4 letras e com elas, podemos formar alguns anagramas: ROMA – MORA – ROAM - ARMO
- 24. Permutação Simples Para calcular o número total de anagramas, podemos seguir o seguinte raciocínio: = 24 Também podemos usar a fórmula de permutação simples: Pn = n! P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 4 3 2 1
- 25. Tente fazer sozinho 5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões: a)Quantos anagramas podemos formar? b)Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal? c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
- 26. Tente fazer sozinho 5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões: a)Quantos anagramas podemos formar? b)Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal? c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
- 27. Solução a) = 120 b) = 12 c) = 6 ; 6 .4 = 24 = 2 ; 2 x 24 = 48 1 3 2 1 4 3 2 15 3 2 1 12 UF 2 1
- 28. Tente fazer sozinho 6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3 atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas podem dirigir e que as crianças devem ir atrás e na janela, o número total de maneiras diferentes através das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas, não permitindo as crianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
- 29. Tente fazer sozinho 6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3 atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas podem dirigir e que as crianças devem ir atrás e na janela, o número total de maneiras diferentes através das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas, não permitindo as crianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
- 30. Solução = 82 2 2 1 1 bancos da frente bancos de trás janelas carona motorista
- 31. Permutação com Repetição Caso o conjunto dado apresente elementos repetidos, usaremos a seguinte fórmula: Sendo: n o número total de elementos α, β, γ número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo. !!! !,, γβα γβα n Pn =
- 32. Permutação com Repetição Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta um total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U 5040 2.3!5 !5.6.7.8.9.10 2.3!5 !5.6.7.8.9.10 !3!5 !103,5 10 = ===P
- 33. Tente fazer sozinho 7) Apresente a quantidade de anagramas da palavra MISSISSIPI.
- 34. Tente fazer sozinho 7) Apresente a quantidade de anagramas da palavra MISSISSIPI.
- 35. Solução MISSISSIPI: 10 letras, sendo 1M, 4I, 4S, 1P 6300 2.3.4!4 !4.5.6.7.8.9.10 2.3.4!4 !4.5.6.7.8.9.10 !4!4 !104,4 10 = ===P
- 36. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Evento que depende de evento anterior ( )! ! pn n A p n − =
- 37. Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Permutação Definição Tipos Com repetição simples Agrupamento de todos elementos dados P! Caso Particular característica ( )! ! pn n A p n − = !!! !,, γβα γβα n Pn =
- 38. Combinação Simples A combinação simples acontece quando agrupamos uma quantidade p de elementos de um conjunto com n elementos, sem importar a ordem que esses elementos são escolhidos. Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoas dentre as 5 que se candidataram a uma viagem, não importa a ordem que as 3 serão escolhidas, pois todas as 3 irão da mesma forma.
- 39. Combinação Simples Para resolver problemas que ocorrem a combinação simples, usaremos a fórmula: Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoas dentre 5. ( )!! ! pnp n C p n − = ( ) 10 2!3 !3.4.5 2!3 !3.4.5 !2!3 !5 !35!3 !53 5 ==== − =C
- 40. Tente fazer sozinho 8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir: Considere que cada grupo de 4 figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
- 41. Tente fazer sozinho 8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir: Considere que cada grupo de 4 figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
- 43. Tente fazer sozinho 9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas, quantos copos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitos?
- 44. Tente fazer sozinho 9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas, quantos copos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitos?
- 46. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Combinação Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem ( )! ! pn n A p n − = ( )!! ! pnp n C p n − = Caso Particular Permutação Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
- 47. Bibliografia • http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fun • http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/ana • Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325