Análise combinatória (resumo)
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Este documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, permutação, arranjo e combinação. Também apresenta o princípio fundamental da contagem e exemplos de cálculo de possibilidades e arranjos.
Análise combinatória (resumo)
- 1. ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1 Exemplo: Calcular o valor de: 10 ! 10.9. 8! c) = = 90 8! a) 4! + 3! b) 7! Observe que: 8! 24 + 6 7.6.5.4.3.2.1 4!+3! 7! 30 5040 22/6/2011 1
- 2. (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! O conjunto solução de: Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação 50 ! 49 ! (m – 3)! = 1 d) (n 1)! é: 210 49 ! (n 1)! 50.49! – 49! (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! (n 1)! 49! 210 m–3=1 m–3=0 (n 1)! m=4 m=3 49!(50 – 1) (n + 1).n.(n – 1)! = 210 49! (n – 1)! Logo a soma dos valores de m é 7 (n + 1).n = 210 49 n2 + n – 210 = 0 22/6/2011 n’ = 14 n’’ = - 15 2 (não convém)
- 3. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : : En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 26 26 26 10 10 10 10 = 175. 760. 000 22/6/2011 3
- 4. Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis Usando o princípio fundamental da contagem: 244 3215 244 5138 10 10 10 10 244 0008 244 244 2344 244 0000 : = 10 000 números : : fixo 22/6/2011 4
- 5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 100 99 = 9900 maneiras 22/6/2011 5
- 6. USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS IMPORTA ORDEM COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM p n! p n! FORMULÁRIO Pn = n! A C n (n p)! p! n (n p)! 22/6/2011 6
- 7. EXERCÍCIOS: 1. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca? Resposta: 6 2. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR? Resposta: 24 22/6/2011 7
- 8. 3. Quantos números com cinco algarismos distintos, podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9? Resposta: 120 4. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3? Resposta: 48 5. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB? Resposta: 5040 22/6/2011 8
- 9. 6. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos? Resposta: 3456 7. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas? Resposta: 56 22/6/2011 9
- 10. 8. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas? Resposta: 999000 9. Em uma sala existem 20 pessoas, 8 mulheres e 12 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens? Resposta: 44352 22/6/2011 10
- 11. 10. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades? Resposta: 120 11. Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Resposta: 81 22/6/2011 11
- 12. 12. Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados? Resposta: 60 13. Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados? Resposta: 15600 22/6/2011 12