Análise Combinatória.ppt
- 1. ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO Exemplo: Calcular o valor de: a) 4! + 3! b) 7! 24 + 6 30 7.6.5.4.3.2.1 5040 Observe que: 4!+3! 7! c) ! 8 ! 10 n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1 = 8! 10.9.8! 90 =
- 2. d) ! 49 ! 49 ! 50 – 49! 49! 50.49! 49!(50 – 1) 49! 49 O conjunto solução de: 210 )! 1 ( )! 1 ( n n é: (n – 1)! = 210 (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n.(n – 1)! (n + 1).n = 210 n2 + n – 210 = 0 n’ = 14 n’’ = - 15 (não convém) Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1 (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! m – 3 = 1 m = 4 m – 3 = 0 m = 3 Logo a soma dos valores de m é 7 210 )! 1 ( )! 1 ( n n
- 3. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 26 26 26 10 10 10 10 = 175. 760. 000
- 4. Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis 244 3215 244 5138 244 0008 244 2344 244 0000 : : : Usando o princípio fundamental da contagem: 244 10 10 10 10 = 10 000 números fixo
- 5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 99 100 = 9900 maneiras
- 6. USA TODOS ELEMENTOS NÃO USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO COMBINAÇÃO IMPORTA ORDEM NÃO IMPORTA ORDEM Pn = n! p)! (n ! n p n A p! p)! (n ! n p n C FORMULÁRIO
- 7. 01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é: n = 8 “total” p = 2 “usa” A C Corda AC = CA COMBINAÇÃO p! p)! (n ! n p n C 28 2)!2! (8 ! 8 2 8 C USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem
- 8. EX:1:Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? A(9,5) = 9!/(9-5)! = 9.8.7.6.5.4!/4! = 15 120 Ex:2: Um anagrama é um código formado pela transposição (troca) de todas as letra de uma palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Por ex., BOCA e ABOC são anagramas da palavra CABO. Considere , agora, a palavra LIVRO. a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra? b) Quantos deles começam por L e terminam por O? c) Quantos contêm as letras RO juntas e nessa ordem?
- 9. USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ( trocar de lugar) ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por: Permutações com elementos repetidos Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento) Pn (a,b,c,...) = n! / a!b!c!...
- 10. 04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o acento) USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 210 ! 2 ! 2 ! 3 ! 7 3,2,2 7 P 56 ! 3 ! 5 ! 8 5,3 8 P
- 11. 06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é: USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem n = x “total” p = 2 “usa” COMBINAÇÃO p! p)! (n ! n p n C 2)!2! (x ! x 28 José – Carlos Carlos – José 2)!2.1 (x 2) - 1)(x - x(x 28 56 = x2 - x x2 – x – 56 = 0 x = 8
- 12. 07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal. Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43 cumprimentos. O número de colorados é: USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 43 2 x C 2 6 C 43 2)!2! (x ! x 2)!2! (6 ! 6 43 2)!2.1 (x 2) - 1)(x - x(x 15 x2 – x =56 x2 – x – 56 = 0 x = 8
- 13. USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 2 x A 01. A equação = 12 não possui solução. 12 ! 2) (x ! 2) 1)(x x(x 12 ! 2) (x ! x 12 A2 x x(x – 1) = 12 x2 – x – 12 = 0 x1 = 4 ou x2 = – 3 (não serve). F 02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas Pn = n! P4 = 4! = 24 V 04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30. 200 20 . 10 3 6 C . 2 5 C F ou + e x 08. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56. 7 8 =336 ARRANJO P.F.C 6 F
- 14. 09) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros. 02. Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. (não considere o acento) 04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos. 08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180. 1050 .210 5 ! 4 !. 6 ! 10 . ! !.1 4 ! 5 C . C 4 10 1 5 F 3 ! 2 ! 3 P2 3 F 220 ! 3 . ! 9 ! 12 C3 12 F Terminados em 2 Terminados em 6 120 ! 3 ! 6 P3 6 60 ! .2 ! 3 ! 6 P3,2 6 TOTAL: 180 V