Questões resolvidas de matemática

Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(01) Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao mesmo tempo em que um poste de
12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício
e o poste são perpendiculares ao solo?
Solução

Pela semelhança de triângulos, temos:

(02) Um terreno foi dividido em lotes com frentes para a Rua 01 e para a Rua 02,
como você vê na ilustração abaixo. As laterais dos terrenos são paralelas. Calcule
os valores de x, y e z.
Solução
Aplicando o Teorema de Tales, temos:
𝑥

x=

𝑦
𝑧

𝑦
5
540
45

8
5
8
5

𝑧

5
5

𝒙

𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔

𝒚

𝟏𝟖 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
𝒛

𝟐𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔

1


(03) Na praça central de uma cidade foi construído um obelisco, em forma de cruz,
conforme mostra figura abaixo. A cruz é compacta e construída com cubos de
alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de alumínio usado para construir
somente a cruz foi de:
a) 5,12 m³

b) 4,80 m³ c) 4,48 m³ d) 4,16 m³ e) 3,84 m³

Solução
A cruz é formada por 10 cubos de aresta 80 cm
cada um.
𝑉 𝑑𝑎
𝑉 𝑑𝑎

𝑐𝑟𝑢𝑧

𝑎3

𝑐𝑟𝑢𝑧

5.

𝑉 𝑑𝑎
.

8

𝑐𝑟𝑢𝑧

𝑐𝑚³

𝑽 𝒅𝒂

3

𝟓, 𝟏𝟐 𝒎³

𝒄𝒓𝒖𝒛

Resposta: letra (a)

(04) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de
largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:
a) 3.750.

b) 37.500.

c) 375.000.

d) 3.750.000.

e) 37.500.000.

Solução
A piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo,
logo:
𝑉

𝑎. 𝑏. 𝑐

𝑉

3.75 .

𝑉

5 . 5.3

𝑉

375

𝑚3

𝑑𝑚³

Como: 1 dm³ = 1 litros
Resposta: 3.750.000 litros, letra (d).
2


(05) Calcule área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas na
figura abaixo.

Solução
Sabemos que quando conhecemos os três lados (diferentes) de um triângulo, a área
dessa região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron.
Vejamos:
(1) Cálculo do semiperímetro do triângulo:
3

8

3

,

(2) Cálculo da área do triângulo:
(Fórmula de Heron)

√
√ 5,5 5,5
√ 5,5

3

5,5

8

5,5

,5 7,5 5,5

√ 598, 375
,

(06) Qual é a área da região triangular limitada pelo triângulo cujas medidas estão
indicadas na figura abaixo?

3


Solução
Quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo formado por eles, a área
da região triangular é dada por:
.

̂ (“a” e “b” são os lados conhecidos e ̂ o ângulo formado por eles).

.

Logo:
.

.

.

̂

.

3

5

,5

(07) Sabe-se que
é a medida (em graus) de um dos ângulos internos de um
triângulo retângulo. Se sen
, cos
e a hipotenusa do triângulo mede 20
cm, determine sua área.
Solução

𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑘

𝑘
𝑘

∆

6

𝑠𝑒𝑛 𝜃

Note que:

0

𝑘

𝑘

𝑘

𝑘

𝑘

5𝑘

𝑘

𝑘

𝑐𝑜𝑠 𝜃

3
∆

± 6

𝑘

6
𝑘

𝑠𝑒𝑛 𝜃

±8
3
5

𝑘′

3
, 𝑘"
5

𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒

𝟒
𝟓

, logo:

5

cos
Note que cos

0

4


3
5
Cálculo da área do triângulo:
.

6.

(08) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos
considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual é a
estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4.000 m² que tenha
ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação?
Solução
Esse problema pode ser solucionado através de uma regra de três simples:

(09) Um mapa é feito em uma escala de 1 cm para cada 200 km. O município onde
se encontra a capital de certo estado está representado, nesse mapa, por um
losango que tem um ângulo de 120° e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. determine a
área desse município.
Dado: 3
,7.
Solução

5


Note que a área do município equivale ao dobro da área de um triângulo equilátero
de lado igual a 40 km:
3

3

.

6

.

3

8

3

8

. ,7

(10) O lado, o semiperímetro e a área de um hexágono regular formam, nessa
ordem, uma PG. Determine o apótema desse hexágono.
Solução
Lado = L
Semiperímetro = 3L
Área do hexágono:
𝑆

PG (L, 3L,
3

3

𝐿

3

𝑺

𝟑

𝑳

𝟑
𝟐

)
3

3

6.

3

3

3

6

Cálculo do apótema:
No triângulo vermelho, temos:
( )

3

3(

3)

3. .3

9

6


(11) Calcule a área da região colorida na figura abaixo.

A área colorida é conhecida como “segmento
circular”. Ela pode ser obtida pela diferença
entre a área do setor circular e a da região
triangular:

(1) Área do setor circular:
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟

𝜋𝑅 𝛼
36


𝜋. 36. 5
36

(2) Área da região triangular:
. 6.6.

5


𝜋. 6 . 5
36


5𝜋

𝑺 𝒔𝒆𝒕𝒐𝒓

𝟗𝝅
𝟐

. 36.

(3) Área do segmento circular:
9

9

9

8

√

(12) O perímetro do quadrado ABCD da figura abaixo é 32 cm. Calcule a área da
região colorida (amarelo) da figura.
Solução
(1) Cálculo do lado do quadrado:
Perímetro = 32
𝐿

3

𝑳

𝟖 𝒄𝒎 ∴

Área do quadrado de lado igual a 8 cm:
𝑆

𝐿

𝑺

𝟔𝟒 𝒄𝒎

(2) Cálculo da área do círculo de raio igual a 4 cm.
.

7


(3) Área da região colorida:
6

6

(13) Calcule a área do setor circular da figura abaixo.

Solução
Temos na figura ao lado: raio = 4 cm e
comprimento do arco = 10 cm. Logo, devemos
calcular a área do setor circular em função
dessas duas dimensões:

Podemos usar o seguinte raciocínio:

.

.

(14) Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles e por fundo um
quadrado de 19 cm de lado. Desprezando a espessura da madeira, quantos metros
quadrados de madeira foram necessários para fabricar essa cesta de lixo?

8


Solução
A área total da cesta é dada por:
.
.(

7

. 6. 5

75

9 3

)

9

36

36

3
,

(15) Dado um triângulo equilátero de lado L. Qual a área da coroa circular limitada
pelas circunferências inscrita e circunscrita nesse triângulo?
Solução

(1) Se R é o raio da circunferência circunscrita, então:

𝐿

𝑅 3

𝑅

𝐿

𝑳 𝟑
𝟑

𝑹

3

(2) Se r é o raio da circunferência inscrita, então:
𝐿

𝑟 3

𝑟

𝐿 3
3

𝒓

𝑳 𝟑
𝟔

(3) Área da coroa:

*(

3
3

)+

[(

3
6

) ]

(

3
9

3
)
36

9


3

(

36

)

(

9
)
36

(16) Um triângulo escaleno ABC tem área igual a 96 m². Sejam M e N os pontos
médios dos lados AB e AC, respectivamente. Calcule a área do quadrilátero BMNC.
Solução
A razão entre os lados dos triângulos ABC e
AMN é k = 2.
A razão entre suas áreas é:
96
𝑆

k² = 4 

𝑺

𝟐𝟒 𝒄𝒎

Então a área do trapézio BMNC é:
96 – 24 = 72 cm²
(17) Na figura ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O
segmento DE é paralelo a AB, F é um ponto de AB e o segmento CF intercepta DE
no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Calcule a área do triângulo CDE.

Solução
(1) O triângulo menor CDE é semelhante ao maior CAB, pois
̂ é comum e as bases 𝐷𝐸 𝑒 𝐴𝐵 são paralelas. Assim, a área
𝐶
do triângulo CAB é:
.5

𝑆 𝐶𝐴𝐵

𝑺 𝑪𝑨𝑩

𝟏𝟎 𝒄𝒎

(2) A razão entre os segmentos CF e CG é:
𝑘

𝐶𝐹
𝐶𝐺

𝑘

6

𝒌

𝟑
𝟐

(3) Logo, a razão entre as áreas é:
3
( )
9

9

10


(18) A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Assim sendo,
calcule a área real, em m², de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12
cm e 14 cm.
Solução

(19) Em uma metalúrgica, uma talhadeira industrial recorta 24 discos de uma chapa
metálica, como mostra a figura abaixo. A sobra vai para a reciclagem para a
produção de novas chapas.
Quantas sobras são necessárias para produzir uma nova chapa com as mesmas
dimensões?
Dado: π = 3,14.

Solução
(1) Área da chapa
.

,8

.

11


(2) Diagonal do círculo:
,
6
,

∴

,

(3) Como são 24 discos, a área recortada da chapa é:
.
.

,

.3,

. ,

,

(4) Área da sobra:

,96
,

,7536

6

5 Sobras necessárias para uma nova chapa:

,96
, 6

Resposta: Serão necessárias sobras de 5 chapas para produzir uma nova
chapa.

12


(20) O triângulo inscrito na circunferência da figura abaixo de raio 1 cm é
isósceles de raio 1 cm. Calcule a área da região pintada de vermelho.

Solução

A área da região pintada de vermelho é igual à área do
círculo de raio 1 cm menos à área do triângulo isósceles
menos a área do segmento circular.
(1) Área do círculo:
𝑆𝑐

𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜

𝜋𝑟

𝑆𝑐

𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜

𝜋.

𝑺𝒄

𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐

𝝅

(2) Área do triângulo
.

3

3

(3) Área do segmento:

(a) Cálculo da área do setor:
Observe que no triângulo equilátero de lado 1, cada ângulo interno vale 60°,
portanto:
13


.6
36

.

.6
36

(b) Cálculo da área do triângulo equilátero de lado 1:
3

3

(c) Área do segmento:

(4) Área da região pintada:
-(
*(

(

3

)

3 3

+
(

3
6

)
)+

3 3

)

6

14


(21) O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero e tem área
3 cm². As
circunferências têm centro em A, B e C. Calcule a área da região pintada de
amarelo.
Solução
Observe que o raio de cada círculo vale a metade do lado
do triângulo ABC, logo:
R=

𝐿

(1) Área do triângulo ABC =
𝑆 𝑡𝑟𝑖

𝐿

3

3

𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝐿

3 cm².
3

𝐿

8

𝑳

𝟐 𝟐

Como:
R=



(2) Área amarela:
3.

3. (

3.

)

3.

.(

) .6
36

6

(22) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de
circunferências de raio 1. Calcule a área da região pintada de azul.

Solução

15


(1) O quadrado ABCD de lado 1, tem área igual a:
(2) Cálculo da área do triângulo ADE:
3

3

O ângulo ̂ é o complemento do ângulo ̂ que mede 60°, então med ( ̂
3 . Da mesma forma, a medida do ângulo ̂ é 30°.
Assim podemos visualizar a seguinte figura:
Note que na figura ao lado:

𝐵𝐴𝐸


𝐶𝐷𝐸

𝜋𝑅 . 𝛼
36

𝜋.

.3
36

𝜋

Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2.

𝜋

(3) Quando subtrairmos da área do quadrado, a área do triângulo ADE e as áreas
dos dois setores circulares (BAE e CDE), encontraremos a área procurada:

(

3
6

)

16

𝜋
6


(23) (Variação do problema anterior) - O quadrado da figura abaixo tem lado
unitário. Calcule o valor da área colorida.

Solução

O triângulo ADE é equilátero. Logo, a área destacada é a área do
triângulo equilátero somada a 2 segmentos circulares de 60°.
𝐿

𝑆 𝐴𝐷𝐸

𝐵𝐴𝐸

3

3

𝑆 𝐴𝐷𝐸

.

𝐶𝐷𝐸

𝟑

𝑺 𝑨𝑫𝑬

𝜋𝑅 . 𝛼
36

𝟒
.

𝜋.

.6
36

.

𝜋
6

𝝅
𝟑

Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2.
𝑆 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜


𝑺 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐

𝝅
𝟔

𝑆 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑖𝑑𝑎

𝝅
𝟑

𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜

𝟑
𝟒

3
4

𝑺 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒓𝒊𝒅𝒂

𝑆 𝑡𝑟𝑖

𝜋

𝝅
𝟔

𝟑
𝟒

𝟑

𝟒

17

𝜋
6

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